高考数学专项复习：三角函数（解析版）

专题03三角函数专题（数学文化）

一、单选题

1.（2022春•黑龙江齐齐哈尔・高一齐齐哈尔市第八中学校校考开学考试）屏风文化在我国源远流长，可追溯

到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为2.4m,内环弧长为0.6m,

径长（外环半径与内环半径之差）为0.9m,若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（）

A.1.20m2B.1.25m2C.1.35m2D.1.40m2

【答案】C

【解析】设扇环的圆心角为a,内环半径为/，外环半径为弓，根据题设可得弓-4=0.9和£（/+幻=3,

从而可求扇环的面积.

【详解】设扇环的圆心角为a,内环半径为勺外环半径为4,则4f=。§,

由题意可知，=0.6,ar2=2.4,所以a（q+弓）=3,

所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为

2

S==^a（rx+-=gx3x0.9=1.35m.

故选：C.

2.（2021秋•湖南娄底•高三校考阶段练习）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立.甲行率七，乙行率

三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点

出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方

向走了一段后与乙相遇.甲、乙各走了多少步？（）

A.20,8B.24,10

C.10.5,24.5D.24.5,10.5

【答案】D

【分析】根据题目信息画出示意图，假设甲、乙相遇时经过时间为f秒，每步走。米，分别得到AC=3S,

AB=10a,8c=(7-10皿，再在直角三角形中利用勾股定理求解相遇时经过的时间，从而得到甲乙相遇时，

甲、乙各走的步数.

【详解】由题意，得到示意图如图所示，甲、乙从A点出发，甲走到B处后，又斜向北偏东某方向走了一段

后与乙相遇，即在C点相遇，假设甲、乙相遇时经过时间为f秒，每步走4米，则AC=3ta,AB^lOa,

BC=(lt-lO)a

在Rt^ABC中，AC2+AB2=BC1,

即(3⑷2+(ioa>=[(7-10)02,

解得：”彳，

4921

故甲走了〃===24.5步，乙走了3公二=10.5步.

22

故选：D.

【点睛】解三角形应用题的一般步骤：

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

3.(2021•河南许昌•校联考一模)某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁

在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收

反射光.当物体横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移力=竺吆，其中v为测速仪测得被测

物体的横向速度，4为激光波长，为"两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，

9

发出的激光波长4=1600nm（lnm=l（Tm）,测得某时刻频移fp=9.0xl0（l/h）,则该时刻高铁的速度约等

于（）

A.360km/hB.340km/hC.320km/hD.300km/h

【答案】A

【分析】由已知函数关系知v=结合已知及示意图求出sin。，代入求值即可.

2sin°

2f0.020.02

【详解】由题设知：-冷，而sm仁;=则行lExlLm,

1.6x10^x9.0xl09

v=----------------------

2*°。2即360km/h.

71.0004

故选：A.

4.（2021・全国•高三专题练习）音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅

里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如了=Asin©的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频

率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图1,2,3三个函数图象组

成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（）

音叉

A./(/)=0.06sin1000R+0.02sin1500"+0.01sin3000R

B./(，)=0.06sin500R+0.02sin2000加+0.01sin300加

C./(^)=0.06sin1000^+0.02sin2000^+0.01sin3000/rt

D./(/)=0.06sin1OOOR+0.02sin2500»/+0.01sin3000^

【答案】C

【分析】由图1求出A、T、。的值，写出对应函数的解析式，再结合选项得出函数/⑺的解析式.

211

【详解】解：由图1知，-，7.一丽=前，

所以0=干=1000万，所以y=0.06sin1000加；

结合题意知，®/(0=0.06sin1000^-?+0.02sin2000^-f+0.01sin3000^/.

故选：c.

5.(2022春.陕西汉中•高一统考期中)第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国

举办的国际性奥林匹克赛事.2月5日，在北京冬奥会短道跑道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37

秒348的成绩获得金牌，这也是中国代表团在本届冬奥会上赢得的首枚金牌.短道速滑，全称短跑道速度

滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动.如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径

为8.5m，直道长为28.85m.若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长，则该扇形的圆心角为(参

考数据：取17%=53.42)()

nr5-八一2"

A.—B.—C.2D.—

233

【答案】C

【分析】先计算出跑道内圈的周长，利用扇形的弧长公式即可求得扇形的圆心角.

【详解】由题意得跑道内圈的周长为2%x8.5+28.85x2=111.12m,所以该扇形的圆心角为

111.12-2x27.78c

27.78

故选：c

6.（2022•全国•高三专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的方法，他

把这种方法称为“三斜求积”：以斜幕并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜塞乘大斜幕减上，余四

约之，为实，一为从隅，开平方得积.在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里就有已知三边求三角形面积

的问题，该问题翻译成现代汉语就是：一块三角形田地，三边分别为13,14,15,则该三角形田地的面积

是（）

A.84B.168C.79D.63

【答案】A

【分析】根据“三斜求积”可得三角形面积公式为S=J一］，代入数值计算可得；

【详解】解：依题意设AASC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c^a>b>c,则三角形面积公式为

2

°1122iiA1o11,*2sz（+14~—13

5=-a2c2-\---------,又a=l5,6=14,c=l3,所以5=匕Sx”：［-----------I=84

故选：A

7.（2022.全国•高一假期作业）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争

中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图I.我国古代工匠已经知道，将长方体成块

以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用I。块一样的长方体砖块砌成的近似

圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为I个单位，如图2,则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆

的半径是（）

图I图2

tan18°2tan18°

【答案】B

【分析】设。为内切圆的圆心，「为内切圆的半径，根据正多边形的性质，可得NAOB=36。，再根据锐角

三角函数计算可得；

【详解】解：如图，

设。为内切圆的圆心，「为内切圆的半径.正十边形的每个外角为360。+10=36。，内角为180。-36。=144。,

所以NO8A=-xl44°=72°,所以NAOB=36°,AB=1,

2

故选：B.

8.（2022.全国•模拟预测）《几何原本》卷II的几何代数法成了后世数学家处理数学问题的重要依据，通过

这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，这种证明方式优雅而直

观.观察图形可知，阴影直角三角形的短直角边为cos（£+，）或cosacos/7-sinasin尸，所以该图直观地反映

了公式cos（a+p）=cos&cosp-sincsin。通过观察图中阴影直角三角形长直角边和长方形的宽，可得公式

cosacosp

A.cos(a-=cosacos+sinorsin(3

B.sin(a-y0)=sin«cos/?-cosasin/7

C.cos((z+/)=cosacos'-sinasin'

D.sin(6/+")=sinacos/+cosasin/

【答案】D

【分析】观察可知图中阴影直角三角形长直角边为sin（a+0,长方形的宽为sinccos尸+cosasin£,由二

者相等可得结果.

【详解】图中阴影直角三角形长直角边为sin（a+力），长方形的宽为sinacos^+cosasinA，

显然二者相等，所以有sin（a+，）=sinacos/?+cosasin/7.

故选：D.

9.（2022・吉林・统考模拟预测）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声,

然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）.已知噪声的声波曲线是V=2cos3x,通过主动降噪

芯片生成的声波曲线是〉=45皿8+0）（其中4>0,0>0,。<。<2万），则。=（）

用来降噪的声波

A-IB."C-TD-I

【答案】c

【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可.

【详解】由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即A=2,。=3,

即y=2sin（3x+。），要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是y=-2cos3x,

BP^?=—+2kn（keZ）,

3兀

因为040<2兀，所以令％=0,即0=三，

故选：C

10.（2022.高一课时练习）2021年1月7日，一个戴着红帽子，扎着红围脖，身材圆滚的大雪人在哈尔滨

市友谊西路音乐公园内落成.这个用雪量2000余立方米的“雪人中的巨人“，寓意着可爱祥和、喜庆丰收，

每天约有3000人前来和大雪人合影打卡，已成为松花江畔冬天的新地标，这满满的冬日仪式感就是冰城独

特的浪漫.小明同学为了估算大雪人的高度，在大雪人的正东方向找到一座建筑物A8,高为曳!，

2

在它们之间的地面上的点M（8,M,。三点共线）处测得楼顶A,雪人头顶C的仰角分别是15。和45。，在

楼顶A处测得雪人头顶C的仰角为15。，则小明估算大雪人的高度为（）

A.13V2mB.13mC.180mD.13gm

【答案】A

【分析】先根据题设画出示意图，利用三角变换公式可求雪人的高度.

【详解】根据题意可得如图所示的示意图：

13(76-72)

故/AMC=120。，所以/ACM=30。，故AB-----丁

CM=MA=-------=--------乜-----

sin15°sin15°

又sin15。=sin（45。-30。）=孝孝-；=痣

13(A/6-A/2)

故CM=—厂2=26，tkCD=—CM=13y/2,

卡-02

4

故选：A.

11.（2023・全国•高三专题练习）掷铁饼是一项体育竞技活动.如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁

饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”.经测量，此时两手掌心之间的弧长是A,“弓”

所在圆的半径为L05米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：应-1.414,73^1.732）

()

A.1.819米B.1.485米

C.1.649米D.1.945米

【答案】A

【分析】由扇形弧长公式可求得圆心角ZAOC,根据4?=2AC可求得结果.

【详解】根据题意作图如下，

万

/_7__

由题意知：AO3的长为方，。为AD3的中点，.NAOC=20=%，

°一-1.05-3

/.AB=2AC=2xl.05sin-=2.1x^»1.819,即所求距离约为1.819米.

32

故选：A.

12.（2022春・北京丰台•高一统考期末）古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus,约前417-前369）通过图

来构造无理数百，….记NB4C=a,ADAC=P,则cos(a+0=()

A,逅_正B,且一如C,@+诿D,"+"

32363632

【答案】B

【分析】利用锐角三角函数求出cosa,sina,cos",sin£,再利用两角和的余弦公式计算可得；

【详解】解：由图可知cosa=^^,sina=^~,cos/3=,sin/?=,

所以cos(a+/?)=cosacos/?-sinasin/?

也瓜也6c瓜

-........X--------------------X--------=--------------------

232336

故选：B

13.(2022.四川广安.统考模拟预测)我国古代数学家僧一行应用“九服号影算法”在《大衍历》中建立了号影

长/与太阳天顶距e(o°<e<180。)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可

知，密影长度/等于表高。与太阳天顶距夕正切值的乘积，即/=〃tand.对同一“表高”两次测量，第一次和第

7

二次太阳天顶距分别为a、P，若第一次的“辱影长”是“表高”的3倍，且tan(c-0=3,则第二次的“号影

长”是“表高”的()倍

A.1B.-C.—D.—

322

【答案】B

【分析】由已知可得出tana=3,由已知条件结合两角差的正切公式可求得tan^的值，即可得解.

【详解】设第4=1,2)次的“辱影长”是“表高”为4,

I7

由题意可知tana=j^=3,又因为tan(a-/7)=g,

-7

则tanZ?=tan「a_(a_0btana_tan?_m—二型;工

L\中」i+tanatan(a—夕)1+3xl303

9

l2

故广?=tann/=q.

n,3

故选：B.

14.（2022・全国•高三专题练习）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中

国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测

量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC,如图，测得ZZMC=3O。，ZDBC=60°,AS=14米，则岳阳

楼的高度CO为（）

【答案】B

【分析】由题意可得△ABD为等腰三角形，故有BD=AB=14米，在RtABCD中，利用CD=&）.cos?

求解即可.

【详解】解：因为ZZMC=30。，ZZ）BC=60°,

所以/ADB=30。，

所以△ABD为等腰三角形，

所以5£>=AB=14米，

在RtABCD中，ZBZ）C=90°-60°=30°,

所以C£>=8Z）.cos?80c14豫os30=7石米

故选：B.

15.（2022春.辽宁葫芦岛•高一统考期末）圣・索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆

柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣・索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物

AB,高约为36m,在它们之间的地面上的点M（B,M,。三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角

分别是45。和60。，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15。，则可估算圣・索菲亚教堂的高度CD约为（）

A.54mB.47mC.50mD.44m

【答案】A

【分析】根据题意求得［4⑷=360,在AAMC中由正弦定理求出即可在直角VCDM中求出|CD|.

【详解】由题可得在直角AABM中，ZAMB=45。，k36,所以|AM|=360,

在AAMC中，ZAMC=180°-60°-45°=75°,/M4c=15°+45°=60°,

所以ZACM=180°-75°-60°=45°,

所以由正弦定理可得心2L=叵L，所以|CM|=3f2=36班，

sin45°sin6001V2

V

则在直角VCDM中，|CD|=|CM|-sin60o=54,即圣•索菲亚教堂的高度约为54m.

故选：A.

16.（2022•浙江•校联考模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服号影算法”在《大衍历》中建立了影长/

与太阳天顶距。（0°«夕＜180。）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可

知，辱影长/等于表高//与太阳天顶距。正切值的乘积，即/itan，.对同一“表高”测量两次，第一次和第二

次太阳天顶距分别为a,P，若第一次的“辱影长”是“表高”的3倍，且tan（a-2）=；,则第二次的“辱影长”

是“表高”的（）

257

A.1倍B.-C.7倍D.5倍

【答案】A

【分析】先由题意可得tan（z=3,再由正切的和差公式求得tan/,进而可得第二次“辱影长”与“表高”的倍

数关系.

【详解】由第一次的“辱影长”是“表高”的3倍得，tana=3,

又tan（a-夕）=5,

/、3-1

,、rtana-tan（tz-万）Jo

所以tan£=tanr[e_（tz_£）]=---------------------<=----十=1,

LJ

l+tanatan（a-^）1+3xJ_

2

故第二次的“辱影长”是“表高”的1倍.

故选：A.

17.（2022・广西南宁.统考模拟预测）“割圆术”是我国古代计算圆周率兀的一种方法.在公元263年左右，由

魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求兀.根据“割

圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率兀，则兀的近似值是（）（精确到001）（参考数据sinl5°=0.2588）

A.3.05B.3.10C.3.11D.3.14

【答案】C

【分析】根据24个等腰三角形的面积之和约等于圆的面积即可求解.

【详解】设圆的半径为厂，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，

且顶角为3三60-°=15。，

24

所以正二十四边形的面积为24x』xrxrxsinl5°=12/sin15°,

2

所以有12/sinl5°=兀/,解得7i=12sinl5°a3.11,

故选：C.

18.（2022秋.全国•高三校联考阶段练习）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中提出

了已知三角形的三边求面积的方法：“以小斜幕并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大斜幕

减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”以上文字用公式表示就是S=

其中a,6,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边，S是△ABC的面积，在AABC中，若。=3,b=5,c=6,

则△ABC的内切圆的面积为（）

A.型B,生叵rC.迎D.里

2777

【答案】C

【分析】由内心性质得（/为△ABC周长），即可求出内切圆半径为厂，即可求内切圆的面积.

【详解】因为a=3,b=5,c=6,

所以S,BC=2V14.

△ABC的周长/=3+5+6=14,

设AABC的内切圆半径为r,

由工旗c=；>，解得/=干・

所以AABC的内切圆的面积为兀产=与.

故选：C.

19.（2021秋・辽宁营口・高三统考期末）勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械

学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，

在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形A3C的边长

为2,则勒洛三角形面积为（）

A.7.71-2-$/3B.2>T+A/3C.+A/3D.4乃

【答案】A

【分析】根据题意，勒洛三角形面积为以2为半径的半圆的面积减去两个边长为2的正三角形的面积，再代

入数据计算即可.

【详解】根据题意，以正三角形三个顶点为圆心，以边长2为半径形成的三个圆弧的构成了以2为半径的

半圆，此时勒洛三角形面积为半圆的面积再减去两个正三角形的面积即可.

所以勒洛三角形面积为S=S半圆-ZSBcugxaZZ-ZxgxZxZxsinGO。=2万-2g.

故选：A.

【点睛】本题考查扇形的面积计算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，将问题

转化为求以2为半径的半圆的面积减去两个边长为2的正三角形的面积.

20.（2022•全国•高三专题练习）勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，

汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1）,证

明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA延长至。）得到图2.在图2中,

若AO=5,BD=3®,D,E两点间的距离为则弦图中小正方形的边长为（）

A-TB.子c.1D.拒

【答案】C

【分析】在△瓦历中利用余弦定理可求出COSND3E,则可得cos/CBD,再由锐角三角函数的定义可求出

CB,由勾股定理求出8,从而可求得答案

【详解】连接DE,由条件可得BE=A£>=5,在△3DE中，由余弦定理得

/egBD1+BE1-DE2（3>/10）+25-（7145）1

cosZDBE=---------------=------------------=——=

2BDBE2x5x3710710

/.cosZCBD=cos（1一/DBE）=-cosZ.DBE~~^=,

：.BC=BD.cosZCBD=3回X4=3,CD=y/BD2-BC2=9>

A/10

04=4,

所以弦图中小正方形的边长为C4-C3=l.

故选：C

21.（2022•福建漳州.统考三模）英国化学家、物理学家享利・卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人,

卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙

上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算

出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝

上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质

量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2）,由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反

射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G,从而计算出了地球的质量.在该

实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点〃处）反射后，反射光线照射在刻度尺

的点。处，镜面绕M点顺时针旋转。角后，反射光线照射在刻度尺的点。'处，若是正三角

形.PQ=a,QQ'=b（如图3）,则下列等式中成立的是（）

【答案】C

【分析】过点M作则=/“。'。=60。-2即所以tan（60。-2a）=^^,

即可求解tan2cr.

【详解】过点“作因为是正三角形.PQ=a,QQf=b

则=L+MD力a,ZMQ'D=60°-2a

22

所以tanZMQrD-tan（60°一2a）==―-—=°。

DQ—+bQ+2

2

EItan60°-tan2a百一tan2。y/3a左力/口J3b

贝J；-----------=---T=------=-----，角牛得tan2a二-----

l+tan60°-tan26z1+V3-tanltra+2b2a+b

故选：C

22.（2022・全国•高三专题练习）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》

一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵

爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的

一个大等边角形，设。尸=3AF,若向三角形ABC内随机投一粒芝麻（忽略该芝麻的大小），则芝麻落在阴

影部分的概率为（）

【答案】D

【分析】根据几何概型的概率公式，求出ADEF和△△人?的面积，计算所求的概率值.

【详解】由题意，NDFE=g,-.ZAFC=K-^=^-,

27r

DF^3AF,:.CF=4AF,由余弦定理可得AC?=A尸+C＞一2AFCFcos],

AC2=21AF2,

.S.DEFg。尸'in,9A尸_3

21犷7'

23

•・・芝麻落在阴影部分的概率为尸=：3.

故选：D.

23.（2022•河南郑州.统考三模）位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表.圭表是我国古代

一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向

水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面

上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.如图是一个根据郑州市的地理位置

设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即NABC）约为32.5。，夏至正午太阳高度角（即

-4DC）约为79.5。，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即。3的长）为14米，则表高（即AC的长）约

A.9.27米B.9.33米C.9.45米D.9.51米

【答案】C

ACAC

【分析】根据题意2C=,CD=BC-CD^14,进而代入数据求解即可.

tanZABCtan/ADC

【详解】解：如图，ZABC=32.51,ZADC=79.5°,DB=14,

ACAC

设表IWJAC=/Z,则由题知，tanZ.ABC=,tanADC=

BCCD

所以5C=484

tanZABC'tanNADC

327

因为tan32.5OBy,tan79.5°«—,DB—14,

55?71QQ

所以巳/i一二/7=14,解得〃=,xl4=上=9.45,

3274020

所以，表高（即AC的长）约为9.45米.

故选：C

24.（2022秋・河南郑州•高三统考开学考试）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,

发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sinl8。表示.若实数〃满足4sin21++"=4,则.°

4/sin2181

的值为（）

A.4B.-C.2D.；

4

【答案】D

1-sin18°1-sin18°

【分析】先由平方关系得R=4COS2：18。，再由倍角公式化简得4“2$皿218。=2（1-COS72。）'最后由诱导公式

求解即可.

【详解】由题意知，n2=4-4sin2180=4cos2180,则

1-sin18。_1-sin18。_l-sinl80_1-sin18°_1-sin18。

4n2sin218°16cos218csin218°4.（2cosl8°sinl8°）24sin236°2（l-cos72°）'

又cos72°=cos（90'-18°）=sinl8°,则上吧”-=L

、'4/sin?18。2

故选：D.

25.（2022•高一课时练习）数学家傅里叶关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物

的叫声等都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的.已知描述百灵鸟

的叫声时用到如图所示的图象，对应的函数解析式是/■（x）=Asin（0x+（p）（A>O,0>O,O<（p<7t）,贝I］（）

B.a）=6,（p=一

3

/5万

C.0=3,9=?D.a>=6,（p=—

【答案】C

【分析】由图象求得函数"X）的最小正周期，可求得。的值，然后代入点I亍,0|可求得。的值.

【详解】由图象可知，函数/（无）的最小正周期为T=2x

则。=干27r=3,所以/（元）=Asin（3尤+。）.

7%=Asin［与+夕）=0,且函数/（尤）在77r

因为了1?XF附近单调递增,

77r1TC

所以---\-m=2kn（左eZ）,则m=2k兀----（左eZ）,

44

TT

因为所以

故选：c.

26.（2022秋•山西太原•高二山西大附中校考开学考试）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又

环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的

工作原理（图2）.现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度

为2米，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水

2

筒P刚浮出水面为初始时刻，经过t秒后,下列命题正确的是（）（参考数据:cos48°®—）

3

图1图2

①1=2—3sin,其中sin6=§,且Oe］。,,

②d=2+3sin］京/-“，其中sin6=g,且

③当t~38时，盛水筒P再次进入水中，

④当^22时，盛水筒P到达最高点.

A.①③B.②③C.②④D.①④

【答案】C

【分析】根据题意作出示意图，如图所示,其中。为筒车的轴心的位置，AC为水面，过。作ODLAC于

点。，尸为筒车经过r秒后的位置，连接OP,过P作依_LOD于点B,首先根据已知条件求出。，进而得

出08=。尸d=2-OB,即可判断①②，将t=38代入求得的解析式可判断③，将f=22代入

求得的解析式可判断④.

【详解】根据题意作出示意图，如图所示，其中。为筒车的轴心的位置，AC为水面，过。作ODLAC于

点D,尸为筒车经过/秒后的位置，连接OP,过尸作PB，OD于点B,筒车的角速度为。=牛=总=三rad/s,

由题意可知sinNOAC=sin6=0^=2,6»e|0,-

OA3I2J

所以sinNOPB=sin（6-二]="

（30JO尸

所以OB=OPsin（6-4），

因为d=2-OB,

所以d=2-3sin[”^]=2+sin[^-q,其中sin6=g,且所以①错误，②正确，

对于③，当f=38时，—=180?48?,sin48。。好，sin。二好，所以

3033

t/=2+sin（48°-0）=2-3（sin48°cos0-cos48°sin0）=1,故盛水筒尸没有进入水中，所以③错误，

对于④，当f=22时，筹=90?42?,sin42°=cos48°=|,即。=42?,所以

d=2+cos（42。-6）=2+3cos（）o=5,所以盛水筒尸到达最高点，所以④正确,

故选：C

27.（2022秋・河南•高二校联考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性,

曾经出现过下列两种三角函数：定义1-cosO为角。的正矢，记作versin。；定义1-sin。为角。的余矢，记作

covers。.给出下列结论:

①函数/(%)=versinx-covers%在(，»上单调递增;

Z-X.+4,coversx-1-…2

②右---------=2,则versin2x-covers2x-1=—；

versinx-15

③若g(x)=versincovers%,则g(x)的最小值为0；

④若//(%)=versin2%-coversx,则人(光)的最小值为-

8

其中所有正确结论的序号为（）

A.①②B.③④C.①③④D.②③④

【答案】D

【分析】利用定义性函数和三角函数关系式的变换判断各选项即可得到结论.

【详解】因为/71

(x)=versinx-coversx=sin%-cosx=6sinx~~

rr3T7-37T

所以/•（》）在pY上单调递增，在牛37r兀上单调递减，故①错误;

4

covers%-1-sin%

因为=tanx=2,

versinx-1-cosx

所以versin2x—covers2x-1=-1—cos2x+sin2x=-2cos2x+2sinxcosx

-2cos2x+2sinxcosx-2+2tan尤2上八公十必

=一，故②正确;

si.n2x+cos2xtan2x+15

g(x)=versinx-coversx=(1-cosx)(l一sin%)=1—(sinx+cosx)+sinxcosx,

令sinx+cosx=.£[一夜,0],则sinxcosx=?-l

2

,11

所以〃«)=!一+2=?”1)2,所以g(x)1111n=7力⑴=0,故③正确;

因为M%）=versinlx—covers^=-cos2%+sinx=2sin2x+sinx-1=2|sinx+—|,

(4)8

o

所以〃（x）1nhi=-1,故④正确.

8

故选：D.

28.（2022秋・广东肇庆.高三统考阶段练习）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代

时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图“（以

弦为边长得到的正方形A3CD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法

给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若AF=6,

BF=4V10,G,尸两点间的距离为2而'，贝『'勾股圆方图”中小正方形的面积为（）

G

A.9B.4C.3D.8

【答案】B

【分析】先在△班G中，利用余弦定理求解cos/防/二,再在/XBEF中结合勾股定理求解,继

而分析即得解.

【详解】由条件可得BG=AF=6.

BG2+BF2-GF236+160-2441

在AePG中，由余弦定理得cos/GBF=

2BGBF2x6x4屈-M

/.cosNEBF=—=

Vio

22

...BE=BFcos/EBF=4回又一^=4,EF=^BF-BE=12，

710

EA=6,

“勾股圆方图”中小正方形的边长为EA-BE=2,

面积为4.

故选：B

29.（2022・上海嘉定・统考一模）中国古代数学家用圆内接正6〃边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周

率兀的值.若据此证明兀＞3.14,则正整数〃至少等于（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】先求出圆内接正6〃边形的周长，与直径之比与3.14进行比较即可.

27rTL

如图，圆内接6〃边形，//、。4