2024学年揭阳市惠来一中高二数学上学期第一次段考试卷附答案解析

学年揭阳市惠来一中高二数学上学期第一次段考试卷满分150分，时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．复数z满足，则（

）A．1 B．2 C． D．43．设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（

）A．B．C．D．不能确定4．已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（

）A． B． C． D．5．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（

）A． B． C． D．6．已知，，且恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（

）

A． B． C． D．48．是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。9．已知向量，，，则下列结论正确的是（

）A．向量与向量的夹角为B．C．向量在向量上的投影向量为D．向量与向量，共面10．把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．C．当时，的值域为D．若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（

）A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多人13．邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）.14．已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，，，，其中，则，的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知空间中三点，设(1)已知，求的值；(2)若，且，求的坐标.16．已知的内角所对的边分别是.(1)求角；(2)若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.17．某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，90,100，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数；(2)活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率.18．《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点．(1)证明：平面平面；(2)求二面角的正切值；(3)求与平面所成角的正弦值．19．已知是指数函数，且过点是定义域为的奇函数(1)求的值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；(3)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围参考答案：题号12345678910答案DCBCCBCCABDBCD题号11答案ABD1．D【分析】先求得集合，再根据交集的定义求解即可．【详解】由题可知，，所以，故选：D．2．C【分析】根据复数运算求得，进而求得.【详解】由得，两边乘以得，所以.故选：C3．B【分析】根据题意可得，利用作差法比较大小.【详解】由题意可知：，则，因为，则，可得，即.故选：B.4．C【分析】设相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得，再结合线面夹角运算求解.【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，由题意可得：，解得，设该圆锥的母线与底面所成的角为，则，可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为.故选：C.5．C【分析】根据条件，先求的有关值，再求对应事件的概率.【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且.恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，所以，整理得，他三道题都答错为事件，故.故选：C.6．B【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解.【详解】解：设，则，解得，则，，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2，又因为对，，且恒成立，所以，故选：B7．C【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积求出，再利用三棱锥体积公式计算即得.【详解】取中点，连接，则，而平面，于是平面，，，又，则，解得，，而，则，，所以三棱锥的体积为.故选：C

8．C【分析】首先推导出，从而得到，再根据计算可得.【详解】因为，即，所以，又，所以，所以.故选：C9．ABD【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C错误，得出向量共面判断D.【详解】因为，所以，可得，则向量与向量的夹角为，故A正确；因为，所以，即B正确；根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为，所以C错误；由向量，，，可知，向量与向量，共面，所以D正确.故选：ABD10．BCD【分析】根据三角恒等变换化简，即可利用平移以及奇函数的性质求解，由周期公式即可求解A，代入验证即可求解B，利用整体法求解即可判断CD.【详解】由，得，故，由于为奇函数，故，由于，故取，则，故，对于A，最小正周期为，A错误，对于B，由于，故B正确，对于C，当时，则，故，故的值域为1,2，C正确，对于D，时，则，要使在区间上恰有六个不等实根，则，解得，故D正确，

故选：BCD11．ABD【分析】A选项，考虑锥体的底面积、高均未变，故体积不变；B选项，找出异面直线所成的角，在三角形中判断角的大小；CD选项，找到点轨迹，计算可得.【详解】对A：如图：

当在平面上运动时，四棱锥的底面面积为定值4，高为点到平面的距离为定值2，所以为定值.故A正确；对B：如图

当在线段上运动时，与所成角就是与所成的角，因为为等边三角形，所以当点与线段的端点重合时，与所成的角最小，为，当点为线段中点时，与所成的角最大，为.故B正确；对C：如图：

因为是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，所在的平面为如图正六边形，正六边形的边长为，当点与中点重合时，最小，为.故C错误；对D：如图：

使直线与平面所成的角为的点P的轨迹为对角线、以及平面内以为圆心，以2为半径的圆的，故点的轨迹长度为：.故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：与立体几何有关的轨迹问题，关键是要弄清楚动点的轨迹形状.12．9【分析】根据题意可以计算出分层随机抽样的抽样比例，进而计算出中年人和青年人的人数，最后计算出中年人比青少年多多少个.【详解】设中年人抽取人，青少年抽取人，由分层随机抽样可知，，解得，，故中年人比青少年多9人，故答案为：9.13．26【分析】中,运用正弦定理，先求出，再根据等腰直角三角形知识得到即可.【详解】中，，,.所以.在中，运用正弦定理，可得，代入值求得，由于为等腰直角三角形，则，则此塔的高度约为米.故答案为：26.14．1【分析】作出图象，将方程有4个解，转化为图象与图象有4个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的、的范围与关系，结合图象，可得m的范围，综合分析，即可得答案.【详解】作出图象，由方程有4个解，可得图象与图象有4个交点，且，如图所示：由图象可知：且因为，所以，由，可得，因为，所以所以，整理得；当时，令，可得，由韦达定理可得所以，因为且，所以或，则或，所以故答案为：1，．【点睛】解题的关键是将函数求解问题，转化为图象与图象求交点问题，再结合二次函数，对数函数的性质求解即可，考查数形结合，分析理解，计算化简的能力，属中档题.15．【详解】（1）因为，，所以，，又，所以，得到.（2）因为，又，所以，解得或，所以的坐标为或.16．【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，化简可得，由余弦定理得，因为为三角形内角，B∈0,π，所以.（2）因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为，因为，所以由正弦定理可得故，所以，因为为锐角三角形，则，，即的周长的取值范围为.17．【详解】（1）由频率分布直方图有，解得，因为，所以中位数在区间内，设为x，则有，得，所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；（2）设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”，则由古典概型概率计算公式得：，，所以有，记“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有，且有与互斥，因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立，所以，所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率.18．【详解】（1）由已知，，因为为棱的中点，为棱的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，连接，因为，，因为为棱的中点，为棱的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，，又，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.（2）由已知平面，平面，所以，又，所以直线两两垂直，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A3,0,0，，，，，所以，，设平面的法向量为m=x,y,z，则，所以，取，可得，，所以为平面的一个法向量，又为平面的法向量，设二面角的平面角为，所以，观察可得，所以，所以，所以二面角的正切值为.（3）因为，，所以，因为平面平面，为平面的一个法向量，所以为平面的一个法向量，设与平面所成角为，所以，所以与平面所成角的正弦值为.19．【详解】（1）设，函数过，代入，即，解