中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）-2024年中考数学复习专项题型训练

中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）

解题方法

1、圆中常见相似三角形

不含切线含切线（4。是。。的切线）

△PAC—APDB

△ABD—AAEC

△AE2t\ADB

△ACD-ACBDsAABC

2.在圆中解三角形或四边形的常用思路

画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这

些特殊图形中求出一些中间量。

题型归纳

目录：

题型1：圆与三角形综合

题型2：圆与四边形综合

题型3：圆有关的动态问题

题型4：圆与坐标系或函数

题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题

题型6：最值问题

题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆

题型8：定值问题

题型9：在圆综合中求解三角函数值

题型1：圆与三角形综合

1.(2024•黑龙江哈尔滨•一模)已知，AD.8C为。。两条弦，于点E,连接OE,AE=CE.

(1)如图1,连接。E,求NAEO的度数;

(2)如图2,连接AC,延长E。交AC于点N,点尸为AC上一点，连接E尸，在所上方作等腰直角三角形EFG,

且NEG/=90°,连接NG,求证：NG//BC；

⑶在(2)的条件下，连接48,CD,当点G落在线段43上时，过点。做OCOE,交CD于点L,交CE

于点T,若OE=6也,EG=2CL,求。。半径的长.

【答案］(1)45°

(2)见详解

⑶6石

【分析】本题考查了圆与三角形的综合，涉及到全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线成

比例，勾股定理，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练灵活运用知识点是解决本题的关键.

(1)连接。AOC,证明△AEO名△CEO即可；

(2)过点G作GRLGN交EN于点R,先证明,得GR=GN,

所以NGNR=NGRN=45°,得至“NGNR=/NEC,故GN||3C.

(3)过G作GRJLGN交NE的延长线于点R,连接OQOC,作OKJ.CD于点K,OHLCE于点、H,先证

明△ABE丝ZkCDE,:.EG=；CD,设。L=“,£16=24,43=0)=4。,"=3。，则OD=OC=20a，

OK=DK=2a,KL=a,证出NKOL=NOCT,贝l|tanNKOL=tanNOCT,

最后在RLAOCH中运用勾股定理求0C=64.

【解析】（1）连接0A0C,

图1

•・・。4,0。为。0半径，

:.OA=OC9

・.・EA=ECQE=OE,

：.△AEO也△CEO,

：.ZAEO=ZCEOf

,：AD1BC,

：.ZAEC=90°,

：.ZAEO=/CEO=-ZAEC=45°；

2

(2)证明：过点G作GRLGN交EN于点R,

：.ZRGN=90°f

图2

:.NRGN=NEGF,

：.ZRGN-ZRGF=ZEGF-ZRGF,

ZEGR=ZFGN,AE=CE,ZAEN=ZCEN,

EN工AC,AN=CN,

：.ZENC=90°,

：.ZENC=90°=ZEGF,

：./GEN=/GFN,

又•：GE=GF,

：.AGE哙丛GFN,

：.GR=GN,

：.ZGNR=ZGRN=45°,

:./GNR=/NEC,

：.GN||BC.

(3)过G作GH_LGN交NE的延长线于点H,连接。。,0。，作。K,CD于点K,OHLCE于点H,

D

由(2)得△GRV之△G£7?,得GN||5C,

.ANAG

•・布一茄’

,/AN=CN,

：.AG=BG,ZAEB=90°,

石G=；AB,ABAD=/BCD,AE=CE,ZAEB=ZCED,

:.△ABEmACDE,

：.AB=CD,

：.EG=-CD,

2

设CL=a,EG=2a,AB=CD=4a,DL=3a,/FAC=90°-ZAEN=45°,

：.ZDOC=9Q0,

：.ZDOK=ZCOK=45°,

・•・ZODC=ZOCD=45°,

则QD=OC=2缶，OK=DK=2a,KL=a,

在RtZkOXL中，tanZLOK=1，

2

•.*OL±OE,

AZEO£=90°,

・•・NOED=NOTE=45。,

「ZKOL+ZLOC=45°,NOCT+ZLOC=45°,

・•・ZKOL=ZOCT,

tanZKOL=tanNOCT,

OE=6y/2,OH=6,HC=12,

222

在RtA(9C7/中，OC=OH+HC,

/.0C=6小.

2.（2024•黑龙江哈尔滨.一模）已知：AB为。。的直径，点C为AB上一点，连接AC,点。为BC上一点,

连接AD,过点。作A5的垂线，垂足为点凡交。。于点E,连接CE,分别交4。和48于点H和点K,

A

图3

（D如图1,求证：ZCAD=ZBAD；

⑵如图2,连接族，过点〃作HF的垂线交于点T,求证：AB=2FT；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接3c交AD于点G,延长8交48的延长线于点M,若CM=AG,FT=5,

求CG的长.

【答案】（1）见详解

（2）见详解

【分析】（1）证明44HCSM1ED,即可得出结论;

(2)连接8C,证明AAHC丝ASA),得到CH=KH,ZACH=NAKH,证明RRHSURH,得到

ZHTK=ZHFD,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出板=£>/，得到NTf/K=ZACH,推

出AC〃m,证明AAKCSXZX”，得至I］生=受=也W=2,再证明“LBCS/H,即可证明结论；

THHKHK

(3)连接GK,过点M作CB的垂线，垂足为点M证明AAHC丝AAHK(ASA),得到CH=KV,4C=AK,

进而推出NACG=NAKG,证明AG4KgAMCN(AAS),得到AC=AK=CV,进而推出GK=MN=CG,证

明AGBK=AMBNIAAS),得到8K=3N,设BK=BN=a,贝|AK=AC=CN=10-a,CB=10-2a,求出

BK=2,AC=8,BC=6,设CG=GK=m,则G8=6-加，利用勾股定理即可求解.

【解析】(1)W：,：ABA.DE,

：./AFD=90。

'：ZAHE=90°,ZC=ZD

：.iAHC^^AFD

：.ZCAD=ZDAB；

(2)解：如图2：连接BC,

A

图2

由(1)知NCW=NDW,

ZAHK=ZAHC=90°,AH=AH,

:.^AHC^AHK(ASA),

CH=KH,ZACH=ZAKH,

ZBAD+ZAKH=ZBAD+ZADF=90°,

:.ZADF=ZAKH,

•:TH1FH,

;.NTHK+NFHK=NFHK+NFHD=90。,

:.ZTHK=ZFHD,

-*•^TKH^^FDH,

:.ZHTK=ZHFD,

•・•点厂是DE的中点，/EHD=90。,

:.HF=DF,

:.ZFHD=ZFDH,

:.ZTHK=ZTKH,

・・・ZTKH=ZACH,

:.ZTHK=AACH,

:.AC//TH,

，AAKCS^XH

ACCK2HKc

:.---=-----=------------=-乙

THHKHK

,AC//TH

"CAB=/HTB,

：ZACB=ZTHF=90°

'・^BC^^TFH

•AB——AC,

7T~TH~

-AB=2FT；

（3）解：如图3,连接GK,过点M作CB的垂线，垂足为点N,

TOK\'耳、、O，）:M...ZCAD=ZBAD,ZAHC=ZAHK=90°,AH=AH

图3

;.AAHC咨AAHK（ASA）

:.CH=KH,AC=AK

/.ZACK=ZAKC

:.CG=GK

:.ZGCK=ZGKC

ZACK+ZGCK=ZAKC+ZGKC

:.ZACG=ZAKG

•「AB是OO直径

:.ZACB=ZAKG=ZGKB=90°

•/ZAKG=ZCNM=90°,ZGAK=ZMCN,AG=CM

/.△G4^^AMC7V(AAS)

,\AC=AK=CN

:.GK=MN=CG

・・•ZGKB=/MNB=90°,ZGBK=/MBN

.•.△GBK也△MBN(AAS)

:.BK=BN

,・・TF=5,AB=2FT,

..AB=10,OA=OB=59

设BK=BN=a,贝UAK=AC=CN=10—CB=10—2a

在RtZkABC中，AC2+BC2=AB2

BP(10-a)2+(10-2a)2=102

:.a=2^a=10(舍去)

:.BK=2,AC=S,BC=6

设CG=GK=m,贝ijGS=6—m，

在RCG/®中，GK2+BK2=GB2

BPm2+22=(6—m)2

8

...m=一

3

...”CG=—8.

3

【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定

和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形，

全等三角形.

3.(2024.黑龙江哈尔滨.一模)如图1,在。。中，直径A8垂直弦8于点G,连接AD,过点C作CT1.AD

于F,交48于点H,交。。于点E,连接DE.

图1图2图3

(1)如图1,求证：NE=2NC；

(2)如图2,求证：DE=CH-

(3)如图3,连接3E,分别交AD、CD于点、M、N,当OH=2OG,HF=M,求线段EN的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶12

【分析】(1)连接AC,根据垂径定理和等弧所对的圆周角相等，结合等角的余角相等即可证明结论；

(2)连接BC,运用同弧(等弧)所对的圆周角相等，结合同角的余角相等和等量代换即可证明；先证明

BC=CH,再证明3C=DE；

(3)根据已知设出0G和OH,结合(2)表示BG,进而用x表示半径、直径，结合勾股定理表示BE,

结合ABGNSABEA,即可求解.

【解析】(1)证明：连接AC,

A

B

〈AB是OO的直径，AB1CD,

:、BC=BD，ZBAD^ZADG=90°

：.ZCAB=ABAD=-ACAD=-ZCED,

22

VAF1CE,

；・ZECD+ZADG=90。,

JZECD=ZBAD,

：.ZE=2ZDCE；

(2)连接BC,

A

B

图2

•:AB±CD,CE±AD,

：./ECD+/CHG=/ECD+NCDF=90°,

:.ZCHG=ZADC,

又・.,NADC=NB,

・•・/CHG=/B,

:.CH=CB,

由(1)知：/E=2/ECD,

・・CD=2DE，

,**CD=IBC，

•*-DE=BC，

:.DE=BC=CH；

(3)连接OC,AE,贝!J：ZAEB=90°,

OH=2OG,

・••设OG=x,则QH=2x,

・,.HG=OH+OG=3x,

由(2)知，BC=CH,

■:ABLCD,

：.BG=GH=3x,

：.OB=BG+OG=4x,

OC=4x,AB=8x,AH=2x,

•：ZCHB=ZAHE,ZCBH=ZCEA,且NCHB=NCBH,

:・ZAHE=/CEA,

・・・AE=AH=2x,

RtAABE中，BE=VAB2-AE2=2A/15X>

Rt">GC中，CG=〈OC?一心=Ax，

Rt/J/GC中，CH=JCG?+GH?=2而,

DE=BC=BD，

：.NBAD=NDCE,

HFHG

；•sin/BAD=sinNDCE,即:

.V103X

••2尤―2湿'

.2715

・・x=-------

3

/.BE=2715%=20,BG=3X=27T?,AO=8X=16厉,

3

•：NABE=ZGBN,ZBGN=ZAEB=90°,

:.ABGNS小BEA,

.BNBG

*AB-BE

2屈T1

BGAB

BN=

BE

EN=BE—BN=12.

【点睛】此题主要考查圆的综合问题，涉及到垂径定理，圆周角定理，弧、弦、角之间的关系，解直角三

角形，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，熟悉圆的相关性质，会结合题意灵活运用勾股定

理和方程思想，会借助相似三角形构建等量关系是解题的关键.

(2)如图2,若点E为弧AC上一点，连结BE交AO于点/，若NBAD=2NC4D,ZDBF+4ZC4£>=90°,连结OF,

求证：OF平分ZAFB；

⑶在(2)的条件下，如图3,点G为8c上一点，连结EG,ZBGE=2NC.若AD=娓,BD+EG=3,

求。尸的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶当

6

【分析】

(1)根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，且结合A。人8C,即可作答；

(2)先根据三角形的外角性质，得ZABF=NBAD=2a,等角对等边，得BF=AF,即可证明

AAOF^ABOF(SSS),结合全等三角形的对应角相等，即可作答；

(3)根据同弧所对的圆周角是相等，得NAEB=90O-c,由三角形的内角和，得/54£=90。-々，等角对

等边，得AB=BE,进而证明AABD^ABEM(AAS),得ME=BD,等角对等边，得EG=EN,故

MF

MN=ME+EN=3,因为ZMBE=ZWB,BMN=ZBMN=90°,证明得2L_=,

3>/6

解得腔=2,由勾股定理建立式子，即可作答.

【解析】(1)证明：•・,

JZADC=90°,

・•・ZC+ZZMC=90°,

J2ZC+2ZZMC=180°,

丁ZAOB=2ZCf

：.ZAOB+2ZDAC=180。；

(2)证明：设NC4D=a,

ZBAD=2ZCAD,ZDBF+4ZCAD=90°,

：.ZBAD=2a,ZFBD=90°-4a,

：.ZBFD=4a,

；・ZABF=/BAD=2a,

：.BF=AF,

VOB=OA,OF=OF,

：.△AOF^ABOF(SSS),

：.ZBFO=ZAFO,

：.O/平分NA/中；

(3)解：连接AE,过点E作石于点M交BC的延长线于点M

A

由（2）得，ZACB=90°-a,

：.ZAEB=90°-a,

9：ZABF=ZBAD=2a,

ZABE=2a,

VZBGE=2ZC9且NC=90。—a,

JNBAE=180。—NABE—NAEB=90。—N5G石=180。—2a,

AZBEA=ZBAEfZEGC=2a,

**•AB=BE,

VZBAD=ZABE,ZBME=ZADB=90°,

：.△ABO^AB£M（AAS）,

:.ME=BD,AD=MB=a,ZMEB=ZDBA=90°-2a,

*：ZEBN=90°-4a,

AN=2a,

:・/EGC=/ENG,

：.EG=EN,

•・・BD+EG=3,

:・MN=ME+EN=3,

•：ZMBE=ZMNB,BMN=/BMN=90。,

Z\BMEs/\NMB,

.BMME

•・^7一蕨’

.46ME

D'

.ME=2,

/.ME=BD=2,

"­"BD"+DF2=BF2,

：.22+DF2=^y/6-DF^,

【点睛】本题考查了圆综合，涉及圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形

的判定与性质，勾股定理等综合内容，难度较大，综合性较强，学会灵活运用等角对等边以及作出正确的

辅助线是解题的关键.

题型2：圆与四边形综合

5.(2024•浙江杭州.模拟预测)如图，四边形A3Q)内接于OO,AC为。O的直径，DEJ.AC于点、F交BC

于点E.

图1图2

(1)设ZDBC=a,试用含a的代数式表示/ADE；

(2)如图2,若BE=3CE,求黑的值；

DE

⑶在(2)的条件下，若AC,8。交于点G,设?=尤，cosNBDE=y.

①求y关于x的函数表达式.

②若BC=BD,求y的值.

【答案】⑴90。-々

(2)2

„2„11

(3)①y=-②;7

x+l16

【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等，结合三角形的内角和定理，即可得解；

(2)圆周角定理得到NADC=90。=NAFD,进而得到NZMC=NCr(尸，推出AOCESABCD,得到

笑笔=*设CE=a,求出8的长，即可得出结果；

DECDCE

(3)①过点G忤GH//DE,得到,进而得到巨="=空，丝=丝£=些

CHCGGHDEBEBD

根据g=x,BE=3CE，推出=DF=-^—DE,利用丫=cos/瓦组=段结合与=2进行

CF3十“DGDE

求解即可；

②作£W，处于W,根据已知条件推出皿=4CE,DE=2CE,设CE=a,DW=m,勾股定理求出根=〃a,

8

nw

再根据y=cosZBDE=答求解即可.

DE

【解析】(1)解：,・•四边形ABC。内接于OO,

:.ZDAC=/CBD=a,

,?DE1AC,

：.ZAFD=90°,

：.ZADE=900-ZDAC=90°-a；

(2)〈AC为的直径，

：.ZADC=90°=ZAFD,

：.ZDAC=/CDF=90°-ZADF,

•；/DBC=/DAC,

:・/DBC=/CDF,

*：NDCE=NBCD,

:・ADCESABCD,

.BDBCCD

%%~DE~CD~CE"

*：BE=3CE,

・••设CE=a,则：BE=3a,

**.BC=4a,

CD2=BCCE=4aa=4a2,

：.CD=2a(负值舍去)；

.BDBC_4ac

''~DE~~CD~^la~；

(3)①过点G作GH〃OE,

则：^CEFs^CHGqBHGs^BED,

,CE_CF_EFGH_BH_BG

'~CH~~CG~~GH'~DE~~BE~~BD

・BE=3CE,

•・CF'，

.CEEF1

BC=4CE,

*CH~GH~x+1

：

.EF=-^—GH,CW=（x+l）CE,

x+\

・・.BH=BC-CH=4CE-（x+］）CE=（3-x）CE,

BE=3CE,

.BGGHBHJi-x

3—x3—x

：.GH=——DE,BG=^~^BD,

33

x13-x

：.DG=BD—BG=—BD,EF=——GH=———--DE

3x+13（x+l）

4Y

I.DF=DE-EF=———-.DE.

3（x+l）

4Y

DF

y=cosZBDE=——

DG

-BD

3

翳2.

由(2)知:

4x

--2x+1

3

②如图，作于W,

,/BC=BD,BD=IDE,BC=4CE,

BD=4CE,DE=2CE,

设CE=a,DW=m,贝!J：BD=4a,DE=2a,BE=3a,BW=BD-DW=4a-m,

EW2=DE2-DW2=BE2-BW2,

4a2—m2=9a2-(4〃—,

解得：m=

o

11

—a

【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及到圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，求函数

解析式，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，掌握圆周角定理，添加辅助线，构造特殊图

形和相似三角形，是解题的关键，注意计算的准确性.

6.(2024・广东珠海•一模)如图1,尸为正方形ABCD边5c上一点，连接AF,在川上取一点。，以Q4

为半径作圆，恰好使得。。经过点8且与CQ相切于点

A/-------\D-------\D

图2

(1)若正方形的边长为4时，求。。的半径；

(2)如图2,将反绕点A逆时针旋转45。后，其所在直线与。。交于点G,与边CD交于点H,连接OG,BG.

①求ZADG的度数；

②求证：ABBF+AGFG^BG2.

【答案】(l)g

⑵①45。；②证明见解析

【分析】(1)连接。8、OE,如图所示，先证明,是。。的直径，再证明OE是梯形的中位线，设。。的

半径为，，由梯形中位线性质及正方形性质得到FC=2—4,BF=8-2r,AF=2r,在RGABP中，由勾

股定理列方程求解即可得到答案；

(2)①连接3。交。。于如图所示，利用正方形性质、旋转性质及圆周角定理得到8G与重合，即

可得到答案；②过点6作6河，5c于M,GNLAB于N,如图所示，得到四边形的WGN是矩形，进而结

合等腰直角三角形的判定、全等的判定与性质、正方形的判定与性质得到相应边的关系，设正方形3MGN的

边长为。，AN=FM=b,贝UAB=3N+?W=a+b,BF=BM-FM=a-b,在RtZXGMF中，由勾股定理

可得G/2="+〃，在RtaGMB中，由勾股定理可得G8?=2",即可得到所证等式成立.

【解析】（1）解：连接。3、0E,如图所示：

:.OA=OB,OE1DC,

ABAC=ZOBA,OE//AD//BC,

在正方形ABC。中，ZABF=90°,则/BAC+/AFB=90。，ZOBA+ZOBF^90°,

：.ZOBF=ZOFB,则03=0b,^OA=OB=OF,

为AF的中点，

OE//AD//BC,

，生=笑=1,即E是。C中点，

CEOF

是梯形的中位线，则OE=g（AO+FC）,

设。。的半径为小则PC=2r-4,

:.BF=4-FC=8-2r,AF=2r,

在RMW中，由勾股定理可得广=A尸，即4?+（8-2r）2=（2r）2,解得r=|；

（2）解：①连接3。交。。于/,如图所示：

在正方形ABCD中，NABO=45。，

"是的直径，且将"绕点A逆时针旋转45。到/团,

ZFAH=45°,ZAGF=90°,

NAFG=45°,

AG=AG>

:.ZABG^ZAFG^45°,

与5D重合，贝U/ADG=45°；

②过点G作GM，3c于M,GNLAB于~N,如图所示:

.•.四边形血/GN是矩形，

由①知ZABG=45°,贝lj?GBF45?,

是等腰直角三角形，即MG=MB,

四边形BMGN是正方形，

:.GN=GM,

由①知44GF是等腰直角三角形，即G4=Gr,

RtAGAi4^RtAGMF(HL),

:.AN=FM,

设正方形3MGN的边长为。，AN=FM=b,贝i|钻=即+河=。+6,BF=BM—FM=a—b,

在RtAGMF中，由勾股定理可得GF2=GM2+FM-=a2+b2,

在中，由勾股定理可得G*=GM2+3Af2=a2+a2=2a2,

ABBF+AGFG

=ABBF+FGFG

=(q+6)(a-6)+(q2+b,

=2a2

=BG2,

ABBF+AG-FG=BG2.

【点睛】本题难度较大，综合性强，涉及圆周角定理、梯形中位线的判定与性质、勾股定理、旋转性质、

圆周角定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性

质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定，根据问题作出相应辅助线求解是解决问题的关键.

题型3：圆有关的动态问题

7.（2024・广东•一模）综合探究：

如图，已知AS=10,以A3为直径作半圆。，半径。4绕点。顺时针旋转得到OC,点A的对应点为C,当

点C与点8重合时停止.连接5c并延长到点使得CD=3C,过点。作于点E,连接AD,AC.

（2）如图2,当OE=1时，求3c的长;

（3）如图3,若点P是线段AD上一点，连接PC,当PC与半圆。相切时，判断直线PC与AD的位置关系,

并说明理由.

【答案】（口△ABD是等边三角形，理由见解析

⑵3c的长为闻或2方

（3）PCLAD.理由见解析

【分析】（1）由圆周角定理得到AC」3C,结合已知条件CD=3C和等腰三角形“三线合一”性质推知

AD=AB=10,再由等腰“三线合一”性质得到A£>=B£>,即可得到结论；

（2）分类讨论：点E在线段AO和线段。3上，借助勾股定理求得BC的长度；

（3）由三角形中位线定理知OC〃AD,又由切线的性质知尸CLOC,根据平行线的性质即可得到答案.

【解析】（1）△ASD是等边三角形，理由如下：

如图1,♦.•厄是圆。的直径，

:.AC±BC,

又；CD=BC,

.-.AD=AB=1O,

・.,点E与点。重合，

AE=BE,

「DELAB,

AD=BD,

/AD=AB,

.'.AD=AB=DB,

..△ABD是等边三角形;

(2)-AB=10f

AO=BO=5,

当点E在49上时，

贝ijAE=A。—。£=4,BE=BO+OE=6,

・・・AD=10,DE1AO,

，在RtAADE和RtABDE中，

由勾股定理得AD2-AE2=BD2-BE2>

即IO2—42=班)2—62,

解得BD=2屈,

.-.BC=1BD=V30；

当点E在OB上时，同理可得1()2_62=比>2-42,

解得BD=4辨,

BC==BD=2下;

2

综上所述，BC的长为回或2君；

(3)PCLAD.理由如下：

如图3,连接OC.

・.,点C是8。的中点，点。是A8的中点，

.•.0。是445。的中位线，

:.OC//AD

又「PC与半圆。相切,

.-.PC±OC

:.PC1.AD.

【点睛】此题考查了圆周角定理，等边三角形的判定，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形中位

线定理，切线的性质等知识，根据点E的位置正确分类是解题的关键.

8.（2024.浙江湖州•一模）如图，在YABCD中，是锐角，AB=6拒,BC=10,在射线54上取一点

P,过尸作PEJL3C于点E,过P,E,C三点作。。.

P

3

（1）当cos8=g时，

①如图1,若48与。。相切于点P,连结CP,求CP的长;

②如图2,若OO经过点。，求。。的半径长.

（2）如图3,已知。。与射线54交于另一点将△3EF沿E尸所在的直线翻折，点2的对应点记为且E

恰好同时落在O。和边AO上，求此时上4的长.

【答案】（1）①CP=8；②。。的半径长为后;

(2)PA=|V2.

【分析】（1）①利用切线的性质得到/BPC=90。，利用三角函数的定义求得3尸的长，再利用勾股定理求

解即可；

②连结PO,PC,求得PC是oo的直径，利用三角函数的定义结合勾股定理即可求解；

(2)过点/作同恢，交D4的延长线于点〃，连结CP,CP,PC是直径，得至！JNP产C=9。。，求得所

和川的长，再利用勾股定理求得AB'=6.再求得平行四边形BC边上的高的长，设PN=AN=x,利用

勾股定理即可求解.

【解析】(1)解：①；PELBC,即/PEC=90。，

.,・。尸是。。的直径，

•••AB与O。相切于点尸，

.-.ZBPC=90°.

3

QcosB,BC=10,

BP=BC-cosB=6f

根据勾股定理，得CP={BC?-By=8；

②如图，连接PD,PC,

：.PC是OO的直径，ZPDC=90°,

•••四边形ABCD是平行四边形，

:.AD〃BC,AB//DC,AD=BC,CD=AB,

3

/.cosZPAD=cosB=~,ZAPD=ZPDC=90°,AD=BC=10,CD=AB=66,

AP=ADcosZPAD=6,

根据勾股定理，得尸。2=陋2—人产=64,

PC=y/plf+CD2=2A/34.

二。。的半径长为扃；

(2)解：如图，过点/作W_LZM交D4的延长线于点〃，连接CF,CP,记PE于AD交于点N,

・.・/FBE=/B/FBE=/FPE，

:.ZB=NFPE,

vPElBC,

:.NB=/FPE=45。,

・.・/PEC=9伊,

/.尸。是直径，

/.ZPFC=90°,

...5尸=5。cos45。=50，AF=42，

・.・NM4F=NB=45。，

:.AM=MF=AF史=T,

2

・.・BF=BF=5A/2，

MB=^BF2-MF2=7，BPABf=6.

・・・NE为平行四边形3C边上的高，

.•.2VE=6VLsin45o=6，

又・.・NPAN=/B=45。,

/.PN=AN.

设PN=AN=x,贝!JP£=x+6,NB=6-x,

•:PE=BE=RE,

BE=x+6,

根据勾股定理，得NB'2+NE?=B'E°,即(6-4+62=(6+X)2,

3

解得工=5，

;.PA=-^2.

2

【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判

定与性质、折叠的性质.正确添加辅助线解决问题是解题的关键.

9.（2024•云南昭通•模拟预测）如图，在。。中，是O。的直径，点M是直径A3上的一个动点，过点

M的弦CDLAB,交。。于点C、D,连接BC,点产为8C的中点，连接。尸并延长，交AB于点E,交。。

于点G.

P

(D如图1,连接CG,过点G的直线交OC的延长线于点P.当点M与圆心。重合时，若/PGC=NMDE,

求证：PG是。。的切线；

(2)在点M■运动的过程中，DE=kDF(左为常数)，求上的值；

(3)如图2,连接BG、OF、MF,当尸是等腰三角形时，求ZBGD的正切值.

【答案】(1)见解析

2

(2)k=-

⑶ZBG£>的正切值为坏或手

【分析】(1)连接0G,根据圆周角定理，结合等角的余角，求得/CGO+NPGC=90。，进而得到OGL尸G,

即可得证；

(2)过点F作EF/_LCD,垂足为H,易得FH是ABCM的中位线，进而推出黑=；，证明△DMEs^DHF,

DH3

2

得到£>E=§Z)尸，即可得出结果；

(3)分点M在圆心。的左侧和点M在圆心。的右侧，两种情况进行讨论求解即可.

【解析】(1)证明：如图1,连接。G,则OD=OG,

ZMDE=ZOGE,

当点M与圆心。重合时，是。。的直径，

ZCGD=90°,即ZCGO+ZOGE=90°,

NPGC=/MDE,

NPGC=NOGE,

/.NCGO+/PGC=90°,

即OG_LPG,

*/OG是。。的半径，

PG是。。的切线.

(2)解：如图1,过点尸作FH_LCD,垂足为X,则阳〃AB,

A

D

图1

图1

.•点F为3c的中点,

.CHCF,

•而一蕨一’

••H为CM的中点，

FH是ABCM的中位线，

\CH=MH=-CM,

2

..AB是。。的直径，弦CDLAB,

*.CM=DM=-CD,

2

.DM_2

：ZDME=ZDHF=9Q。，ZMDE=ZHDF,

ADME^ADHF,

.DEDM2

•5FDF-3)

*.DE=-DF,

3

(3)解：如图2,当点M在圆心。的左侧时，OF=OM,连接CO,

丁点尸为5C的中点,

：.OF±BCf

_co=co

在Rt△。尸。和中，〈八厂八“，

[OF=0M

・・・RtAOFC^RtAOMC（HL）,

：.CF=CM.

在RtZXCW中，点厂为3c的中点，

：・MF=CF=BF,

：.MF=CF=CM,

・・・△CM尸是等边三角形，

：.ZDCB=60°,

：.ZBGD=60°f

***tan/BGD=tan60°=^3；

如图3,当点M在圆心。的右侧时，OF=OM,ZFOMAOFM,

：.OF±BC,

・•・ZOFB=90°,

AZOFM+ZMFB=90°,ZFOM-}-ZMBF=9Q0,

:.ZMFB=ZMBF,

：-MF=MB,

在RtAQWB中，点尸为5C的中点，

:・MF=BF=CF,

••MF=MB=BF，

JVM"是等边三角形，

JZMBF=60°,

：.ZMCF=30°,

JZBGD=ZBCD=3U。,

tanZBGD=tan30°=—.

3

综上所述，ZBGD的正切值为6或日.

【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，涉及切线的判定，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定

和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度

大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

题型4：圆与坐标系或函数

10.(2024•福建龙岩•一模)如图，抛物线y=-x?+3x+4与x轴分另ij交于A、B两点(点A在点3的左侧)与

(2)如图(1),P是抛物线上异于A,3的一点，将点B绕点尸顺时针旋转45。得到点Q,若点。恰好在直线AP

上，求点P的坐标；

(3)如图(2),是抛物线上异于8,C的两个动点，直线8N与直线CM交于点T,若直线经过定点

(1,3),求证：点T的运动轨迹是一条定直线.

【答案】⑴A(-LO),3(4,0),C(0,4)

(2)/(1,6)或尸(2,6)

(3)见解析

【分析】

(1)分别令尤,y=o,即可求解；

(2)以为斜边向上作等腰直角三角形△AB。，得出。依题意，^APB=45°=^ZADB,尸是半

径为年逝的0。与抛物线的交点，设可加，-加+3利+4),其中根据勾股定理建立方程，解方程,

即可求解；

(3)设T(〃z,〃)，分别表示出直线2IC的解析式％=—」x+f,%=~x+4,进而联立抛物线解析

m—44—mm

式，得出XN=-一二T，%=3-己二士依题意，直线肱V的解析式为丁=左卜一1)+3,即了=丘一人+3,

m—4m

联立抛物线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系可得税+%=3-左，xM-xN=-k-l,进而得出关于

机，〃的恒等式，即可求解.

【解析】(1)解：对于抛物线＞=一/+3天+4,当x=0时，y=4,则C(0,4),

当y=0,BP-X2+3%+4=0

解得：玉=-1,%=4,

:.A(-l,0),B(4,0)

(2)解：如图所示，以为斜边向上作等腰直角三角形△ABD,

（1）

VA（-l,0）,B（4,0）,贝|AB=5,

.-1+43

x=，。=-AB=-

••D-2-=yy22

依题意，ZAPB=45°=-ZADB,

—2

；•尸是半径为|应的。。与抛物线的交点,

设网北-疗+3瓶+4）,其中一1<相<4

整理得（加+1）（加_4）（徵_2）（机_1）=0

解得：m=±l,2,4

V-l<m<4

根=1或m=2

则网1,6）或尸（2,6）；

（3）解：设7（私”）,

•.”4,0）,C（0,4）,

设直线TB,TC的解析式分别为%=Kx+b^y^kx+b,

1的+4=04=4

\mk+b=n

{1mk2+b2=n

n

h=n—4

m-4

解得：m

4n

b也=4

24-m

n4Hn—44

7二门+匚晟必------x+4

m

n4n及-4

%=h+%=------%+4

联立4-m,m

y=-x2+3x+4y=-x2+3无+4

n上

消去〉得：x2+_3i+=0,

m-44-m

x2+心-3x=0

m)

•・/+%N=37，%N=~1

m—4m—4A

由X2+（1-3]X=0可得"=3—1

依题意，直线MN的解析式为＞=%（尤-1）+3

即,=丘_左+3

y=kx—k+3

联立

y=—x2+3x+4

贝次+(%_3._化+1)=0

一2_1+3上

=3—k

、m-4m

nn—4<(n八(〃一4、，

消去k得:-------+-------+1=-------+13-1

m-4m-------------------------------m)

解得：n=-m+4（与直线5c重合，故舍去）或"=m+8

即点T的运动轨迹是一条定直线y=X+8.

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，

圆周角定理，二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键.

11.（2024•江苏常州•模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOv中，P、。为平面内不重合的两个点，其中

「（士,%）,。（尤2，％）.若：%+为=演+12,则称点0为点P的”等和点+

（1）如图1,已知点P（2,l）,求点P在直线y=x+l上"等和点”的坐标;

（2）如图2,0A的半径为1,圆心A坐标为（2,0）.若点P（0,机）在©A上有且只有一个“等和点”，求机的值;

（3）若函数y=-f+2（xwM的图像记为叱，将其沿直线x=w翻折后的图像记为叽.当W，弘两部分组成

的图像上恰有点尸（0,祖）的两个“等和点”，请直接写出机的取值范围.

【答案】⑴（1,2）

⑵"2=2+应或2-夜

9

(3)_72或机〉a

【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类

讨论是解题的关键.

(1)设点尸在直线y=x+l上“等和点”的坐标为(a，a+1),由定义可列方程解答；

(2)设点尸(0,〃?)在G)A上“等和点”的坐标为(x,y),由定义可知：x+y^m,点P的“等和点”在直线

y=-x+m±,根据点P在。A上有且只有一个“等和点”，得出直线y=-x+：九与0A相切，即可求解；

Q

(3)当A=0时，求出"J因此当机时，叱，吗部分组成的图象上恰有2个“等和点”；函数y=-/+2与

直线x=”的交点为(加,_加+2),当点(孙-川+2)在直线y=-x+a上时，解得加=_0■或“7=0,结合图

象可知：-夜＜俏＜0时，叱,吗两部分组成的图象上恰有2个“等和点”.

【解析】(1)解：设点P在直线y=x+l上"等和点”的坐标为(a,a+1),

由题知：2+l=a+a+l,

解得a=l,

二点尸在直线y=x+i上"等和点”的坐标为(1,2).

(2)设点P(0，m)在04上“等和点”的坐标为(%,y),

由题知：x+y^m,

点P的“等和点”在直线V=-x+加上，

:点尸在G)A上有且只有一个“等和点”，

.•.直线丁=一天+机与04相切，

如图所示，

ZABE=ZACD=90°,ZAEB=ZEAB=ZCAD=ZCDA=45°,

:.EB=AB=CA=CD=1,

AE=AD=^2,

:.OE=2-®,OD=2+C,

.-.E（2-A/2,0）,£＞（2+A/2,0）,

将网2-&,0）,£＞（2+0,0）代入y=-x+加,

得一（2-四）+机=0,_（2+应）+机=0,

解得〃?=2+五或2-VL

(3)函数y=-V+2关于直线x=m的翻折后的抛物线解析式为y=-(x-2m)2+2,

设点P(0,间在叱，也两部分组成的图像上“等和点”的坐标为(8y),

由题知：x+y=m,

点尸的“等和点”在直线,=-彳+加上，

=—x+m

联立方程组

=-（x-2m）2+29

整理得x2-（4m+l）x+4m2+m-2=0,

A=（4m+1）