集合与常用逻辑用语（解析版）-2024-2025学年人教版高一数学压轴题攻略

专题03集合与常用逻辑用语9大压轴考法

一、单选题

1.（23-24高一上•北京•阶段练习）设非空数集〃同时满足条件：①M中不含元素-1,0」；②若aeM,则

旦eV.则下列结论正确的是（）

1-a

A.集合M中至多有2个元素

B.集合M中至多有3个元素

C.集合M中有且仅有4个元素

D.集合M中至少有5个元素

【答案】C

【分析】由题意可求出。，手，-乙二都在M中，然后计算这些元素是否相等，继而判断加的元素个数

l-aaQ+1

的特点.

11+Q11

]1-----111

【详解】因为若aeM,则=所以一^二一一已加，

l-a]1+〃a1+1a+1

l-aa

rQ—1

1+----9

贝!J—a±^-=—=aeM,

,a-12

1----------

〃+1

当。片-1,0,1时，4个元素。，咎，-士巴二中，任意两个元素都不相等，

l-aaa+1

所以集合“中有且仅有4个元素，

故选：C

2.（23-24高一上•福建厦门•阶段练习）若集合A={（m,w）M+2〃?〃+w=2xl09,〃?eZ,〃wN*},则集合A的

元素个数为（）

A.19B.20C.81D.100

【答案】B

【分析】首先由题意方程变形为两个数相乘，即〃（〃+2祖+1）=2|°><59,依次讨论n为奇数或偶数，得到满

足条件的n,从而得到集合A的元数个数.

【详解】由题意可知〃2+2"?"+〃=2乂109,即〃（“+2〃?+1）=2%59,

当n是偶数时，九+2加+1是奇数,

59_1_O10

当M=210»此时n+2m+1=59>解得m=-------------eZ,满足条件,

2

以此类推，n=210x5.210x52,210x53,...,210x59,共10个n,每一个n对应位于的m,

当”是奇数时，“+27W+1是偶数，此时"=5°,5f,…59共10个n,

综上可知满足条件的n有20个数，每一个n对应唯一的m,

所以集合A的元素个数为20个.

故选：B.

、填空题

3.（23-24高一上•重庆九龙坡•阶段练习）设xeR,用国表示不超过x的最大整数，如

22023

I22220232

[1.2]=1,[—1.2]=—2.贝|如构成的集合元素的个数为.（用数字作答）

202320232023

【答案】1962

【分析】计算得出接近2023整数倍的平方数，结合定义计算即可.

I222442

【详解】易知442<2023<452==0,

202320232023

244

I222442

故=0,

202320232023

452462632

又2023<452<632<2023x2<642n=1,

202320232023

454663

452462632

故=1,

202320232023

m2n2

设机>〃之64（加,〃£N*）,则的结果有两种可能,

20232023

m2n2m2n2

①若,不妨设

2023202320232023

m2m2n2

则=tn显然尸>，,即>

20232023920232023

m2n2m2n2m2n2m2n2

②若则------>------->>

20232023202320232023202320232023

m2n2

综上当相〉〃之64（m,〃£N*）时,>恒成立,

20232023

22

易知』I，?焉，一2黄0232T中有2023个数，其中前44个数为0,第45个数至第63个数为1,其

202320232023

余均不相同,

2023

121r2220232

中有2023—63+1+1=1962个数,

2023，20232023

故答案为：1962.

三、解答题

4.（23-24高一上•全国•课后作业）对正整数“，记/“={12,n},Pn=\^=\m^In,k,求集合2中元

素的个数.

【答案】46

【分析】确定〃=7,分类求解，分别求得左=1,2,,7时，鸟种元素的个数，即可求得答案.

【详解】对于A，有〃=7,（={1,234,5,6,7},

故当％=1时，m取1,2,-,7,此时月={1,2,,7）,即？中有7个元素；

，%},此时4中有7个元素;

当上=2时,m取1,2,,7,

5},此时A中对应有7个元素;

当人=3时,m取12,7,

当左=4时，m取12,7,Pj=|mG/7>={—,1,—,2,—,3,—),

।乙j乙乙乙乙

其中有3个元素1,2,3与％=1时尸7中元素相同,

当％=5时，m取1,2,,7,此时2中对应有7个元素;

当左=6时，m取1,2,.,7,此时A中对应有7个元素;

当左=7时，m取1,2,.,7,此时片中对应有7个元素;

故集合2中元素的个数为7x7-3=46.

5.（23-24高一上.上海徐汇・期中）已知非空实数集S,T满足：任意xeS,均有——eS；任意yeT,均

x

（1）直接写出S中所有元素之积的所有可能值；

（2）若T由四个元素组成，且所有元素之和为3,求T；

⑶若ST非空，且由5个元素组成，求S_T的元素个数的最小值.

【答案】(1)-1或1

⑵T=，2+八,2-石,右"

⑶18

【分析】(1)根据集合S中的元素构成可得集合S中的元素是以的形式，三个数为一组出现,

从而可得结论；

(2)根据集合T中的元素构成可得集合T中的元素是以［%24，-匕产］的形式，四个数为一组出现，

Iy+iyi-yj

从而可得结论；

(3)由(1)(2)可得集合S,T的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环，从而根据ST得元素个数,

可确定SJT的元素个数的最小值.

【详解】(1)已知非空实数集S满足:任意xeS,均有24eS,且x="在实数范围内无解,所以,

XXX

所以^"Rnr'-eS，=

X-ll-x］

Xl-x

则集合S中的元素是以卜，三^丁匚］的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且cues,

［Xl-xJ

X—11

又X・二—.--=-1,则S中所有元素之积的所有可能值为-1或1；

X1—X

⑵已知非空实数集T满足：任意ys均有色5且

Zzl_i-1-1Hl，1

所以土1TQy1+Jrr-r，1-yT

——eT,且^—=一5x.=yeT

y二+iI八+i

y+iyi-y

则集合T中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且-1,0,1eT,

若T由四个元素组成，则T=,且所有元素之和为3

所以+下,整理得(，-4y-l)(y2+y-l)=0

y+i

解得y=2±&或》=匚|好

当y=2+&或y=2-有或y=或时，T=[2+君,2-后，

,22[22

综上,T=12+后2一后

（3）由（1）（2）集合S,T的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环，

且当％=丫时，同一周期内其余元素不相等，

因而3和4互素，所以S和T中的各组最多只能有一个公共元素，

因为ST有五个元素，若要使乱7的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，

若[知迎二，P—T，S,：1=S,此时从S中选出5个元素属于T,此时T包含20个元素，SiT中

[无。1一玉）%

包含6+20-5=21,

若7=1%，九=，-,，产，肉上二,-工，生4,此时从T中选出5个元素属于S,此时S包含15个元素，

I%+i%1-%x+i%1-MJ

ST中包含8+15-5=18,

所以S7的元素个数最小值为18.

【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素

个数关系，例如本题中集合S中的元素是以[苍=,/匚:的形式，三个数为一组出现，集合T中的元素是

以1y,一，-匕92]的形式，四个数为一组出现，组和组不相交.

[y+ly1-y]

题型2根据元素与集合的关系求参数

一、多选题

1.（23-24高一上•江苏盐城•阶段练习）已知集合4=｛。-2,2/+5。,1+2。｝,-3eA,则。的值为（）.

3

A.—1B.—C.1D.—2

2

【答案】BD

【分析】由题意可得-3=。-2或一3=2/+5°或1+2〃=-3,求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即

可.

【详解】-3eA,集合A=｛a-2,2〃+5a,1+2。｝,

得-3=a-2或—3=2（72+5a或1+2a=—3,

3

解得。=-1或a=-万或a=-2,

当。=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性，故a=T舍去;

37

当〃=-万时，ci—2=――,2a2+5a=—3,1+2〃=-2,满足题意；

当。=-2时，a-2=-4,2a2+5〃=-2,1+2々=-3,满足题意.

故选：BD.

2.（23-24高一上•江苏南京•阶段练习）设非空集合S=[x\m<x<l}满足:当xeS时，有YS，下列命题中，正

确的有（）

A.若%=1,则$={1}B.优的取值范围为-

C.若/=1,则一变WmWOD.m+

224

【答案】ACD

【分析】对于A,当m=1时,S=卜|1<x<l}Ml>\，分类讨论判断正误;对于B,由题意得meS,则WeS,所

以机4/判断B的正误;对C,若/=g,S=卜,<x<|j，此时m<O,IH0O<m2<|求出范围判断即可;对于D,

因为根£S,则小£S，所以/<I，将机+/转化为机+/之加+加求解即可.

【详解】对于A,当机=1时,S={刈Wx</},此时K1.若〜,则S={1}，满足题意;若/>1,贝！）£S,尸&s，综上，若

机=1,贝!)S={1},故A正确;

对于B,因为mwS,则疗wS,所以机工疗,解得mV。或根“，故B错误；

对于C,若/=；,S=3%W无此时"?40,则04.4；,解得一包4〃区遮，综上一受〈mWO,故C正

2222

确；

对于D,因为〃zeS,则加es,所以/w/,所以〃7+/Z加+/=（〃7+‘]D正确.

12）44

故选:ACD.

二、填空题

3.（2024高一上•全国・专题练习）已知M={。-3,2。一1,储+1},双={-2,4。一3,3。一1},若/=N,则实数。的

值为.

【答案】1

【分析】根据题意知集合加=双，利用分类讨论及集合元素的互异性从而可求解.

【详解】由题意知集合M=N,

所以当a-3=-2时，得a=l,所以M={-2,1,2},N={-2,1,2},故满足M=N；

当2a—1=—2时，得.=一;，所以〃=卜：,一2,：1,"=卜2,-5,-^},故不满足河="；

当<?+1=_2时，无解，故不满足M=N

综上，可得实数。的值为1.

故答案为：1.

三、解答题

4.（23-24高一上•江苏镇江.阶段练习）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若aeA,贝

L-a

（1）若。=-3,求出A中其他所有元素.

（2）0是不是集合A中的元素？请你取一个实数aeA（aH-3）,再求出A中的元素.

【答案】（1）A中其他所有元素为-g,2；

（2）0不是A的元素，当3wA,A中的元素是：3,-2,

3N

【分析】（1）根据定义直接计算即可得到A中其他所有元素;

（2）先假设OeA,依定义判断即可；取。=3,根据定义直接计算即可得到A中其他所有元素.

【详解】（1）由题意可知：-3eA,

14

1+(-3)9―,

则A,T=2"，

1-(-3)十

1--1-2

3

所以A中其他所有元素为-；，1,2.

则罟=leA,

(2)假设a=0£A,

1—0

而当IwA时，手不存在，假设不成立,

l-a

所以0不是A的元素,

1+1+-

取。=3,贝！］*=-2eA,T=3"，

1—31一（一，）

1-1--

2

所以当3wA,A中的兀素是：3,—2>.

3/

5.（23-24高一上湖南长沙•阶段练习）设数集A由实数构成,且满足：若（x.l且x.°）,则占eA.

（1）若3eA,试证明A中还有另外两个元素；

（2）集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由;

（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为三14，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合

A.

【答案】（1）证明见解析

⑵否，理由见解析

⑶4=卜1，5,2,一万1,—3,§2

【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；

（2）根据条件求出元素间的规律即可；

（3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可.

【详解】⑴由题意，若3eA,则工=eA,

1-32

H2.——=3E.A

右；£A，n贝！112,

3

所以集合A中还有另外两个元素-;1和永O

（2）否，理由如下：

由题意，若xeA（x/1且尤片0）,贝（J—5—eA,

1-x

1-x

若1-9儿则

所以集合A中应包含x,-J-,1-1,而尤.4（1_n=一1,

\-xX1-XIX）

所以集合A的元素个数为3的倍数，

故集合A不是只含有两个元素的集合.

（3）由（2）知，尤,J—,1-^eA,且集合A的元素个数为3的倍数,

i-xX

因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,

所以集合A的元素个数为6,其中一个元素为T,

由-leA结合已知条件可得，1,2eA,

由-。+2+」+」」

21-xx3

1?

解得户-^或x=3或x=g,

所以&=卜名,2,一；,3,|}.

题型3根据集合的包含关系求参数

一、单选题

1.（24-25高一上•上海•随堂练习）已知集合M=[X|X=冽+：,M£Z},=jx|x=|-1,neZ

P=|x|x=-^+—,pezj,则〃、N、P的关系满足（）.

A.M=NuPB.MuN=P

C.MuNuPD.NuPuM

【答案】B

【分析】先将集合M,N,尸化简变形成统一形式，然后分析判断即可.

6m+1J[I3x2m+1”

【详解】因为加=xx----,meZ>=<%%=-----,meZ

3(1)+13k+l

,keZ

66

所以MuN=P.

故选：B.

2.（23-24高一下.北京.期末）已知集合4=&,0}、5={y,0,l},其中/y40,1,2,3,4,5},且AgB.满足

以上条件的全部有序数对（%，历的个数为（）.

A.6B.8C.20D.36

【答案】B

【分析】根据集合中元素的互异性以及集合之间的包含关系进行分类讨论求解.

【详解】依题意,当九=1时,丁=2,3,4,5,有序数对（%,y）有4个；

当工=，时，y=2,3,4,5,有序数对（羽,）有4个；全部有序数对（羽y）的个数为8个.故A,C,D错误.

故选：B.

二、填空题

3.(2024高一上.全国.专题练习)设集合A={-1,1},集合3={丫|/一2依+》=0},若3N0且BgA,则

实数成>=__.

【答案】0或T或1

【分析】且3U{T,1},关于x的方程f-2办+6=0的根只能是-1或1,但要注意方程有两个相等根的条

件是△=().

【详解】3={x，-2G+6=0}=A={-U},且3x0,

•.2={-1}或2={1}或2={_1,1}.

当.〔2={-1}时，

A=4a2—48=0且l+2a+b=0,

解得。=-1,6=1.贝!I"=-1；

当3={1}时，

△=4。2-48=0且1-2。+》=0,

解得a=b=l.贝！|而=1

当8={-1,1}时，

<(-l)+l=2a,(-l)xl=/>,

解得a=0,6=-1.则而=0；

所以必=0或-1或L

故答案为：0或T或1

三、解答题

4.(23-24高一上.吉林四平.阶段练习)已知集合尸={xeR,一3x+b=0},0=keR|(x+l)(x2+3尤-4)=0}.

⑴若6=4,存在集合M使得尸为M的真子集且M为。的真子集，求这样的集合M；

(2)若集合尸是集合。的一个子集，求6的取值范围.

【答案】⑴㈠},{-1},{1},{-4,-1},{-4,1},{-1,1}

⑵["4

【分析】(1)确定尸=0,并求出集合Q,写出。的真子集即得；

(2)分类讨论，P=0时满足题意，P/0时，由集合。中的元素属于集合P,分别代入求出参数6,得

集合尸检验即可.

【详解】(1)当6=4时，方程f-3x+6=0的根的判另I］式A=(-3)2-4xlx4<0,所以尸=0.

又Q=卜eRk+l)(x~+3x-4)=()}={-4,—1,1},故PUQ.

由已知，得M应是一个非空集合，且是。的一个真子集，

用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{T},{-1},{1},H-1},{T,1},{-1,1}.

(2)当尸=0时，尸是。的一个子集，此时对于方程无2一3彳+人=0,

9

有△=9-4。<0,所以6>—.

4

当Pw0时，因为。={T,-U},所以当—le尸时，

(―I)?—3x(—1)+6=0,即6=—4,此时尸={无产—3尤-4=o}={4,-1},

因为4拓。，所以尸不是Q的子集；

同理当TeP时，6=—28,P={7,T},也不是。的子集；

当le尸时，b=2,尸={1,2},也不是。的子集.

综上，满足条件的b的取值范围是卜卜〉:，.

5.(23-24高一上•新疆昌吉•阶段练习)已知集合4={%|x=:r+〃2,〃zeZ,"eZ}.

⑴判断2,5,25是否属于集合A；

(2)若正整数了为完全平方数，zeA,证明：yzeA；

(3)若集合B={x|尤=4%+3,kwZ},证明：AcB=0.

【答案】(1)2,5,25属于集合A

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(D将2,5,25拆成两个整数平方和即可；

(2)由题可设y=/(aeZ),z=&2+c2(/?GZ,ceZ),由此即可证明yzeA；

(3)根据m与n的奇偶分类讨论，结合两集合中元素的性质即可得证.

【详解】(1)由2=12+/,5=12+22,25=32+4、可知2,5,25属于集合A；

(2)由题可设y=q2(aeZ),

又由zeA,设z=〃+c2(beZ,ceZ),

有yz="{b1+c?)=(aZ?)2+(ac)2,

由aeZ,6eZ,ceZ,有。Z?eZ,aceZ,故有yzeA；

(3)①当都为偶数时，不妨设相=2勺化eZ),〃=2&(£wZ),

有x=/+"2=4#+4片=4(左；+抬)，

此时x为4的倍数，而偶数e8,此时Ac3=0；

②当加,〃都为奇数时，不妨设机=2匕+1(匕eZ),〃=2&+l(&cZ),

有尤="2+〃2=(2匕+1)2+(2e+1)2=4(6+居+用+履)+2,

此时x为2的倍数，而偶数隹B,此时Ac3=0；

③当机,〃一奇一偶时，不妨设〃?=2匕+1(%eZ),"=2&(&eZ),

有x=m2+n2=(2勺+以+%=4(好+舄+勺)+1,

此时尤被4整除余1,而集合2中的元素被4整除余3,此时Ac3=0.

由①②③可知，AnB=0.

6.(23-24高一上•北京朝阳・期末)已知集合4={4&,…,叫，其中“eN*且"24,a"N*a=l,2,「,")，非

空集合3勺4,记7(5)为集合2中所有元素之和，并规定当B中只有一个元素6时，T(B)=b.

⑴若A={1,2,5,6,7,8},T(B)=8,写出所有可能的集合2；

(2)若4={3,4,5,9,10,11},3=也,打也}，且丁法)是12的倍数，求集合B的个数；

⑶若@e{l,2,3,L,2〃-l}(i=l,2,L,〃)，证明：存在非空集合3=使得丁⑸是2〃的倍数.

【答案】⑴{8},{1,7},{2,6},{1,2,5}

(2)4

(3)证明见详解

【分析】根据条件，可列出(1)(2)中所有满足条件的B；对(3),分情况讨论，寻找使7(3)是2”倍数

的集合反

【详解】(Q所有可能的集合8为:{8},{1,7},{2,6},{1,2,5}.

(2)不妨设：瓦＜b2cb3,由于3V々＜打＜4々I，且4也也eA,

所以3+4+5=12WT⑻/+8+%＜30=9+10+11.

由题意，T(B)是12的倍数时，7(B)=12或7(3)=24.

当T(B)=12时，因为4+N+H'3+4+5=12,

所以当且仅当3={3,4,5}时，T(3)=12成立，故3={3,4,5}符合题意.

当T(3)=24时，

若4=11,则4+4=13,故3={3,10,11}或8={4,9,11}符合题意；

若&=10,则=14,故3={5,9,10}符合题意；

若4=9,贝1I4+4+444+5+9=18,无解.

综上，所有可能的集合3为{3,4,5},{3,10,11},{4,9,11},{5,9,10).

故满足条件的集合B的个数为4.

(3)(1)当〃任A时，设％<4则

%,%,?”，£{1,2,3,?一；421,〃#1,?n-1,

这2〃个数取2〃-2个值，故其中有两个数相等.

又因为％%，于是2〃一%>2〃一。2>?》2-。九，

从而％,。2，?因互不相等，24、。1，2〃-〃2，?"-为互不相等，

所以存在〃，〃e{l,2,?一,“}使得4=2〃-6.

又因吸w”，q,二〃故〃Av.

则3={a〃,aJ,则T(B)=a〃+4=2〃，结论成立.

(2)当“eA时，不妨设4=〃，

则％,旦，?“，。“唾(〃24),在这〃-1个数中任取3个数,4<%<4.

右Uj—与4-ctj都是〃的倍数，七一%=(%—。J+(%—4)N2n,

这与q,%,%«0,2〃-1]矛盾.

则a,,%,4至少有2个数，它们之差不是n的倍数，不妨设%-q(%>卬)不是"的倍数.

考虑这〃个数：%,%,％+%,%+出+〃3，…，+电+…+〃〃-1.

①若这〃个数除以"的余数两两不同，则其中必有一个是〃的倍数，又生,出<2〃且均不为〃，

故存在2WrW〃-l,使得q+生+••+%=p〃(九eN*).

若〃为偶数，取5={4%,则T(8)=p〃,结论成立；

若P为奇数，取3={%,%,?-“,。“},贝!|T(B)=p〃+〃=(p+l)九，结论成立.

②若这〃个数除以"的余数中有两个相同，则它们之差是”的倍数，又为-4,%均不是〃的倍数,

故存在2Ws<r(”―1,使得(6+02+--•+«,)-(01+02+­--+as)=qn[qeN*).

若4为偶数，取3=噌+1，4+2,?.»，}，则T(3)=q〃,结论成立；

若4为奇数，取8={4+1，4+2，?“，％，4,}，则T(5)=W+〃=(4+1)”,结论成立.

综上，存在非空集合3a4,使得7(8)是2〃的倍数.

【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合5,使得T(B)是2"的倍数是问题的关键.

题型4集合的交、并、补运算及参数问题

一、单选题

1.（24-25高一上•上海•课后作业）若A、B、C为三个集合，AuB=BnC,则一定有（）

A.AcCB.CcAC.A1CD.A=0

【答案】A

【分析】由已知等式可推导得到AuC,由此可依次判断各个选项得到结果.

【详解】因为=

所以AB三B,AcBC,B三BC,

所以Au5,AuC,3uC,

所以AgBuC,

对于A,因为4=3=。，所以A=C,故A正确；

对于B,当且仅当A=B=C时，CcA,故B错误；

对于C,当A=B=C时，满足=故C错误；

对于D,当AN0时，满足故D错误.

故选：A.

2.（23-24高一上・上海青浦・期末）已知非空集合4,3且403工0,设。=卜,=4},。=卜,=同,“=。门£）,

F={x|xcAnB）,则对于反尸的关系，下列问题正确的是（）

A.E口FB.FjEC.E=FD.E、尸的关系无法确定

【答案】C

【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解.

【详解】MxeE=Cc\D,<XGC,XGD,从而有进一步xqAcB,BPxeF,所以石口方，

VxeF={x|xoAnB|,有从而有qB,进一步有工£。,%£。，即尤££=CCZ）,所以

FjE,

综上所述，有E=F.

故选：C.

二、填空题

3.（2024.全国.模拟预测）设集合4={1,”,5},3={小2-4%+〃2=0}.若{1}屋（4门3）且3=4,则

m+n=.

【答案】6

【分析】根据集合间的关系可知lw3,可得m=3,再由3=4求得〃=3,即可得解.

【详解】因为集合人={1,〃,5},8=上/—4x+m=0j,

若{1}口（AC3）,贝！）1£?1且1£3,可得1一4+加=0,解得根=3,

即有3={小2-4*+3=0}={1,3},又所以〃=3,所以租+〃=6.

故答案为：6

4.（23-24高一上•北京•期中）设4=口|--8工+15=0},B={x\ax-\=Q）},若AB=B,则实数。的值可

以为.

（将你认为正确的序号都填上，若填写有一个错误选项，此题得零分）

①[②0③3@1

【答案】①②④

【分析】根据交集的定义以及集合的包含关系求得结果.

【详解】集合A={x|f—8x+15=0}={3,5},由A8=8可得BgA,

则分3=0和8={3}或{5}或{3,5},

当3=0时，满足。=0即可；

当8={3}时，满足3a—1=0,解得：〃=；；

当8={5}时，满足5a-l=0,解得：。=；；

当8={3,5}时，显然不符合条件，

所以0的值可以为

故答案为：①②④.

三、解答题

5.（23-24高一上.江苏苏州•阶段练习）已知集合A{x|x<-3或x>2},B={x\-A<x-2<i\.

⑴求（瘤4）U（RB）；

（2）若集合M={x\2k-1<x<2k+\\是集合A的真子集，求实数k的取值范围.

【答案】（1）ACB={X|2<尤<4},（>4）o（RB）={X|X<2^X>4}

3

（2）左<—2或左>5

【分析】（1）根据集合的运算法则计算即可得；

（2）由子集的定义得出不等关系后计算即可得.

【详解】（1）B=-4<x-2V2}二-2Kx<4},

则Ac5={H2Vx<4},

^A=1x|-3<x<21,43={小<-2或%24},

.•.(领)。({巾W2或x"}；

(2)•.•集合M={x|201W尤<2左+1}是集合A的真子集，

3

二2左+1<—3或2左一1>2,解得左<一2或%>—.

2

6.(24-25高一上•上海•课后作业)已知A={尤|。<尤V-a+3},8={x[x<-l或x>5}.

(1)若AcB=0,求。的取值范围；

(2)若4B=R,求。的取值范围.

【答案】⑴卜L心)

(2)(-co,-2]

【分析】(D分A=0和AH0两种情况讨论求解即可；

f—a+3N5

(2)由题意得/,从而可求出。的取值范围.

[a<-1

3

【详解】(1)①当A=0时，AnB=0,：.a>-a+3f**•«>--

2,3

②当Aw0时，要使Ac5=0,必须满足<—ci+3V5,解得

a>-l2

综上所述，。的取值范围是卜1,内).

(2)•.*AB=R,A=|x|6z<x<—a+31,3={x|%1或x>5},

[~ci+325

i,)解得aV—2,

[a<-1

故所求。的取值范围为-2].

7.(23-24高一上.浙江杭州・期中)设集合&={小2-"+42-19=。},B=^X|X2-5X+6=0

C={X|X2-2X-3=0}.

(1)若AB=AB,求实数。的值；

(2)若且AcC=0,求实数。的值.

【答案】(1)5

⑵-3

【分析】(1)由题意得出A=3,再利用韦达定理求得参数值;

(2)由题意得出2eA,求得。值后，再代入检验.

【详解】⑴由题可得。={x*-5x+6=0}={2,3},由AB=A\B,得管=瓦

,A（2+3=Q

从而2,3是方程％2一依+〃一]9=0的两个根，即{2in，解得〃=5.

[2x3=〃-19

（2）因为3={2,3},C={X|X2-2X-3=0}={-1,3}.

因为Ac5w0,又AcC=0,所以2^4,

即4一2[+。2_i9=o,a?_2q-15=0,解得。=5或a=—3.

当。=5时，A={2,3},则AcCwO,不符合题意；

当〃=—3时，A={—5,2},则Ac5={2}且AcC=0,故々=—3符合题意，

综上，实数。的值为-3.

8.（24-25高一上•上海•课堂例题）已知集合M=1|1=。+4回,〃、.

⑴若加为整数，试判断加是否为集合”中的元素；

G

（2）求证：若不、x2eM,则王超M.

【答案】（1）机£以

⑵证明见解析

【分析】（1）根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解.

m

（2）若再、X2eM,贝11玉=叫+々6，尤2=利+%6，且g、2、6、%cZ,计算玉马的形态，从而确

定它与集合M的关系.

【详解】（1）是.•：根wZ,・••加=M+0X其中mwZ,OEZ,・••整数机£河.

（2）证明：•:国、“eM,

・••可设%=町+勺百，x2=m1+^5/3,且叫、根2、个"26Z,

:.XxX2=（叫+々石）（加2+〃2君）

=m1m2+仍巧）,+3々%

=（见”+3々%）+（”々+町巧）百.

又（m1m2+34%）£2,（明々+町巧）£2,

/.XjX2eM.

题型5集合的新定义问题

一、多选题

1.（23-24高一上.安徽芜湖•阶段练习）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集

合“相交”.对于集合M={乂加T=。}，N=，g/:,若M与相交”，则。等于()

A.4B.2C.1D.0

【答案】AC

【分析】由集合新定义把N中的元素代入M解出即可.

【详解】由M与N“相交”，可知;,1有一个属于集合M,

若geM,贝(]-l=0no=4；

若leAf,贝！lox]2—l=Ono=l,

故选：AC.

2.(23-24高一上•河南开封•期中)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；

当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合4=[-2,0b,“，

8={尤弧-1)(尤+a)=0},若A与2构成“全食”或“偏食”，则实数。的取值可以是()

A.-2B.--C.0D.1

2

【答案】BCD

【分析】考虑。=0时，3=网，时，8=.一。，口，依次将各个选项中的数据带入，计算集合8,再

判断A和8之间的关系得到答案.

【详解】当。=0时，B={x|(ar-l)(x+a)=0}={0},

当年0时，B={xl(a%-l)(x+a)=O}=j-a,-j>,

对选项A：若a=-2,B=I2,--j,此时Ac3=0,不满足；

对选项B：若a=-g,8=[2,g,此时8=满足；

对选项C：若a=0,8={。},此时B=满足；

对选项D：若a=l,B=此时A3={1}W0,满足；

故选：BCD.

二、填空题

3.(23-24高一上.上海.期中)已知非空集合42满足以下两个条件:

(i)AB={1,2,3,4,5,6},AnB=0；

（ii）A的元素个数不是A中的元素，2的元素个数不是B中的元素，

则有序集合对（AB）的个数为.

【答案】10

【分析】分别讨论集合A,8元素个数，即可得到结论.

【详解】若集合A中只有1个元素，则集合B中只有5个元素，贝!J1史A,5史B,

即5eA,IwB,此时A={2,5,3,4,6},有1种，

若集合A中只有2个元素，则集合8中只有4个元素，则2e4,4eB,

即4eA,2eB,此时集合A还可以有1,3,5,6中的一个数，故有4种

若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则中3eA,3eB,不满足题意，

若集合A中只有4个元素，则集合B中只有2个元素，则4任A,2eB,

即2e/,4eB,此时集合A还可以有1,3,5,6中的三个数，

即A={2,1,3,5},或4={2,1,3,6},或4={2,5,3,6},或4={2,1,5,6},有4种，

若集合A中只有5个元素，则集合8中只有1个元素，则5eA,1e3,

即leA,5eB,此时A={2,1,3,4,6},有1种，

故有序集合对（AB）的个数是1+4+4+1=10.

故答案为：10.

三、解答题

4.（24-25高一上•上海•课堂例题）对于非负整数集合S（非空），若对任意都有尤+yeS,或者

|x-y|eS,则称S为一个好集合，以下记同为S的元素个数.

（1）写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可）

⑵设集合5={。,"c,d},a<b<c<d,若集合S为好集合，求出。、b、c,d所满足的条件.（需说明理由）