2024年高考数学复习专项试题汇编：空间向量与立体几何

（7）空间向量与立体几何

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

一、选择题

1.[2024年新课标I卷高考真题]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高

均为百，则圆锥的体积为（）

A.2后B.3扃C.6石兀D.9后

2.[2024年新课标H卷高考真题]已知正三棱台ABC-4与。]的体积为半，AB=6,4片=2,

则A/与平面ABC所成角的正切值为（）

A.-B.lC.2D.3

2

3.[2024届.合肥一六八中学.模拟考试]设。，。表示两条直线，a,，表示两个平面，则下列

命题正确的是（）

A.若切/a，cua,则匕〃cB.若/JUQT，bile，则cutz

C.若c〃二,a1/3,则。_1_尸D.若c〃a，c_!_/?,则。_L/?

4.[2024届・浙江温州・二模]在正三棱台A8C-A用G中，下列结论正确的是（）

A.V.CY出©=3匕「阴G平面ABC

C.A.B±B]CD.AA11BC

5.[2024届.山东临沂.二模]已知正方体ABC。-AqGA中，M，N分别为CC1，G。的中点,

则（）

A.直线MN与A,C所成角的余弦值为无

3

B.平面BMN与平面BCR夹角的余弦值为叵

10

C.在g上存在点Q,使得4Q±BD]

D.在BQ上存在点P,使得PAII平面BMN

6.［2024届.辽宁省实验中学.模拟考试］将边长为夜的正方形ABC。沿对角线AC折起，使得

BD=>/2,则异面直线AB和CD所成角的余弦值为（）

A」B.正C至D.逅

2223

7.［2024届.辽宁省实验中学.模拟考试］已知正四棱锥尸-ABCD各顶点都在同一球面上，且正

四棱锥底面边长为4,体积为三64,则该球表面积为（）

4冗

A.9兀B.3671C.4KD.——

3

二、多项选择题

8.［2024届.河北邢台.模拟考试联考］在△ABC中，B=~,AB=2,3C=3,E为AC的中点，

2

点R在线段上，且CF=25尸，将△回（?以直线为轴顺时针转一周围成一个圆锥，D

为底面圆上一点，满足4。=兀，贝!!（）

A.BA1BD

B.而在荏上的投影向量是!丽

2

C.直线EF与直线CD所成角的余弦值为运

65

D.直线EF与平面ACD所成角的正弦值为生黑

9.［2024届.河南.模拟考试联考］将圆柱的下底面圆。1置于球。的一个水平截面内，恰好

使得。］与水平截面圆的圆心重合，圆柱OR的上底面圆。2的圆周始终与球0的内壁相接（球

心。在圆柱002内部）.已知球。的半径为3,00,=|.若R为上底面圆。2的圆周上任意一点，

设R。与圆柱002的下底面所成的角为a，圆柱OQ2的体积为V，则（）

A.a可以取到，某中的任意一个值

B.V=cos2a(1+2sina)

C.y的值可以是任意小的正数

8171

D.V

max4

三、填空题

10.[2024届.辽宁省实验中学.模拟考试]如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD,且

PA=AB=2,M是线段PB的中点，则异面直线DW与己4所成角的正切值为.

11.[2024届.海南.模拟考试校考]米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的

用具.为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征,

带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.如图的米斗可以看作一个正四

棱台，已知该米斗的侧棱长为5&，两个底边长分别为4虎和3&，则该米斗的外接球的表面

积是.

四、双空题

12.[2024届.福建•阶段性考试]已知圆锥SO的母线&!=5,侧面积为15兀，则圆锥SO的内切球

半径为;若正四面体4-能在圆锥SO内任意转动，则正四面体A-5lG2的

最大棱长为.

五、解答题

13.[2024年新课标I卷高考真题]如图，四棱锥P-ABCD中，上4_L底面ABCD,PA=AC=2,

BC=l,AB=6.

p

(1)若ADLPB,证明：AD〃平面P3C；

⑵若ADLOC'且二面角人一。一0的正弦值为年'求AD

14.[2024年新课标H卷高考真题]如图，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=56,

ZADC=90°,ZBAD=30。，点E,R满足通=—M,通=—通，将ZxAEF沿ER翻折至4PEF,

52

(1)证明：EFLPD：

(2)求平面PCD与平面P3R所成的二面角的正弦值.

15.[2024届.湖北.模拟考试联考]如图，在三棱锥尸-ABC中，与△ABC都为等边三角

形，平面平面ABC,M,。分别为Q4,A3的中点，且。0「创/=3,N在棱上,

且满足5N=2NC,连接GN.

(1)求证：GN〃平面PAC；

(2)设AB=2,求直线PN与平面BGN所成角的正弦值.

参考答案

1.答案：B

解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为广，因为它们的高均为百，且侧面积相等，所以

2Tirx6=Tir，(6)2+户，得产=9,所以圆锥的体积V=g兀产义6=3岳，故选B.

2.答案：B

解析：设正三棱台ABC-45cl的高为人，三条侧棱延长后交于一点P,作POL平面ABC于

点。，尸。交平面431cl于点。J连接。4,@4，如图所示.由=,可得尸a=；/z,

2

尸。=J又S©c=gx22x#=GSAABC=1X6X^=973,所以正三棱台ABC-4用G

的体积V=%.BC—匕"G=396x，—；x百义?=三,解得八#,故PO='h=26

由正三棱台的性质可知，。为底面A3C的中心，则。4=2义而与=26，因为POL平面

3

PC

ABC,所以NPAO是4A与平面ABC所成的角，在RtZ\PAO中，tanZPAO=-^=1,故选B.

3.答案：D

解析：若Z?//a，cua,则b//c或〃与。异面，故A错误；

若〃uiz，bl1c»则cua或clla故B错误；

若〃/a，al/3,则cu分或c〃尸或c与，相交，相交也不一定垂直，故C错误;

若clla,过c的平面与a相交，设交线为a,则c//a又c1(3,则a_L，,而aua,则tz_L，,

故D正确.

故选：D.

4.答案：D

解析：

5.答案：C

解析：

6.答案：A

分别取AC,BD,中点为E,F,G,

连接BD,EF,EG,FG,DE,EB,

则EG//CD,EG//AB,

所以NFGE为异面直线AB与CO所成的角，

因为正方形边长为0,则FG=正，EG=YZ,

22

在等腰直角三角形ABC中，

因为AB=BC=0,

所以AC=2.

因为点E为AC的中点，

所以3E」AC=1,

2

同理可得，DE=1.

因为座2+£）彦=2=BD?,

所以△BED是等腰直角三角形.

又因为点R为3。的中点，

所以=

22

在4跖6中，FG=EG=EF=匚,

2

所以是等边三角形，

所以NFGE=60。，

所以cos/FGE=cos60°=

2

故选：A.

7.答案：B

解析：如图，设P在底面ABCD的射影为H,则平面ABCD,

且“为AC,的交点.

因为正四棱锥底面边长为4,故底面正方形的面积可为16,且AH=』x40=2VJ,

2

164

故一xP〃xl6=—,故PW=4.

33

由正四棱锥的对称性可知0在直线PH上，设外接球的半径为R,

则OH=|4—/，故A?=8+（4—火）2,故火=3,

故正四棱锥尸-ABCD的外接球的表面积为4x7ix9=36兀，

故选：B.

8.答案：ABD

解析：△ABC旋转一周后所得圆锥的顶点为C,底面圆心为3,半径AB=2,所以所对的

圆心角为NABD=巴，A正确.易知B正确.以3为原点，

2

建立如图所示的空间直角坐标系，则4（020）,0（2,0,0）,C（0,0,3），E[1，|]，/（0,0,1）

E

所以而=1o,—L—g),CD=(2,0,-3),C4=(O,2,-3)

二匚I、I/厂K/^r\\EF，CD3,65

所以cos(EF,CD}=।“I彳=-,C错误.

\EF\\CD\65

2x—3z—0,.rr->/\

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则令z=2,则“=(3,3,2).

2y—3z=0,')

嘤,D正确.

设直线EF与平面ACD所成的角为。，则sind=

9.答案：BCD

解析：过R作圆柱OQ?的轴截面PQRS,过。作MN，a.交圆柱轴截面的边于〃，N,

由R。与圆柱的下底面所成的角为a,则。M=3cosa,MR=3sina,所以

277T

222

V-TI-OM-QR=71•(3coscif)(OO1+3sincif)=cosdf(l+2sincif)，

即y=^^cos2a(l+2sina)=^^(l—sin2a).(l+2sina),故B正确;

当点P,Q均在球面上时，角a取得最小值，此时=oa=|，所以a=弓，

所以aj30,故A错误;

[62；

令sina=teg，l]，所以V=—=2/—/+2/+1

所以展学(―)，

6"2t+2另—6»—2，+2=0,

解得两根/=1y/13,>=]+"7^,

1222

所以乙等（-6*2f+2）W等x一6义用-2x1+2=-等<0,

）在

—/+2/+1feg,l]时单调递减,

所以匕ax=2x-f-1+2xf-Ll=—,0<V<—，故CD正确；

max2[UJUJ^2jJ44

故选：BCD.

10.答案：V5

解析：因为上4，平面ABCD,则B4_L4),PA±AB,又四边形ABCD是正方形,

则ABLAD,以A为坐标原点，AP,AB,而分别为x,»z轴的正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，且B4=AB=2,则£>(0,0,2),

尸(2,0,0),5(0,2,0),又航是线段Pfi的中点，则2(1,1,0),

APDM276

则加=(1,1,—2),衣=(2,0,0)则cos（亚丽'）=

|AP|.|W|2766

设异面直线DM与上4所成角为，，即COS，=COS<IAM〉=Y^,

6

则sin0=71-cos20-,所以tan。="""_6，

6cos<9

即异面直线DM与PA所成角的正切值为百.

故答案为：卮

11•答案：100兀

解析：由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为下底面中心为。2,

由棱台的性质可知，外接球的球心。落在直线002上，

由题意该四棱台上下底面边长分别为4虎和3&，侧棱长为5a，

则|。刈=4,|Q4=3，|AB|=5近，

所以laakJWM'（DAHQMY=「

设外接球的半径为凡设|0Q|=/z,

若。在线段002上，则10011=7—/?,

因为002垂直于上下底面，

所以|0Q『+|Q3「=叱，即/+32=R2,

又=R2,即（7-犷+42=叱，

联立解得h=4,E2=25，

所以该米斗的外接球的表面积为4兀氏2=ioO7t-

若。在aa的延长线上，则I1=7+丸，

同理有（7+犷+4?=/?+9，解得力=T（舍）.

故答案为：100兀.

12.答案：①②.卡

解析：如图，在圆锥SO中，设圆锥母线长为/,底面圆半径为厂,

因为侧面积为15兀，所以兀〃=15兀，即力=15.

因为/=&1=5，所以r=3，所以SO=j52-32=4・

棱长为。的正四面体4-如图所示，

则正方体的棱长为正。，体对角线长为逅q,

22

所以棱长为a的正四面体4-四£2的外接球半径为亚a.

取轴截面SAB，设△&LB内切圆的半径为八

则、4乂6=工(6+5+5)厂，解得「=』，

22'，2

即圆锥SO的内切球半径为3.

2

因为正四面体4-耳£〃能在圆锥SO内任意转动，所以即aw«，

42

所以正四面体4-与G2的最大棱长为n-

故答案为：-；V6.

2

13.答案：(1)证明见解析

(2)AD=#)

解析：(1)由于底面ABC。，A£)u底面ABCD,:.PA±AD,

又ADLP5,PAC[PB=P,PA,P5u平面B4B,平面以3,

又ABu平面B4B,:.AD±AB.

AB-+BC2AC2,：.AB±BC,：.BC//AD,

•••AD,平面PBC,BCu平面PBC,.-.AD//¥ffiPBC.

(2)由题意知DC,AD,AP两两垂直，以。为坐标原点，AD所在直线为x轴，DC所在直

线为y轴，过点。且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则£>(0,0,0),

设A(a,0,0),a>Q,

CP=(a,-J4—ci~,2).

设平面CPD的法向量为〃=(x,y,z),

,CD-n=0一14—a?y=0_

贝I一，即｛/,可取〃=(2,0,—a).

CPn=0ax-\4-a2y+2z=0

设平面ACP的法向量为/n=(%,%,zj,

r।m-CP=0ax,—《4—a2y,+2z.=0一宣/----r

则<_.,即｛____,可取帆=(“一。2,。,0).

2

m-AC=0-axr+A/4-a=0

二面角A-CP-D的正弦值为四，

7

二余弦值的绝对值为五，

7

痂/\|\mn\244-Y币

故|cos〈》i,〃〉|=------=/,=——，

\m\-\n\,“+,27

又a>0,:.a=6即AD=技

14.答案：（1）证明见解析

8765

65

解析：（1）由题，AE=-AD=2y/3,AF=-AB=4,又4AZ）=30。，

52

所以由余弦定理得"2:4^+人严―2铉.4/40530。=4,故EF=2.

EF~+AE~=AF2,所以EFLAE.

由EFLAE及翻折的性质知EFLED,

又EDCPE=E,ED,PEu面PED,所以EFL面PED

又？Du面PED,所以EF_L?D.

（2）如图，连接CE,由题，DE=36CD=3,NCDE=90°,ijuCE=y/DE2+CD2=6.

又PE=AE=2百，PC=4A/3,PE2+CE2PC2,故PELCE.

又PELEF,CE^EF=E,CE,EFABCD,所以PE,面A3CD

EF,ED,PE两两垂直，故以E为原点，EF,ED,PE所在直线分别为x,»z轴建立空间直

角坐标系，

则P（0,0,2石），£>（0,3百,0）,尸（2,0,0）,A（0,—26,0）,。（3,3百,0）,

p,

y

连接出，则两=(0,36,—20)，DC=(3,0,0),AP=(0,2y/3,2y/3),AF=(2,2y/3,0).

设面PCD的法向量为4=(%,%,zj,

n.-PD=3y/3y.—2>j3z,=0

则为一上1,可取名=(0,2,3).

nx-DC—3元］=0

设面P3R即面以R的法向量为%=(程为/2)，

则U-AP=2®+上2