导数压轴突破-切线放缩（含答案及解析）

第37讲切线放缩

【典型例题】

例L已知%,a29a39%成等比数列，且q+%+/+%=历（4+g+%），若%>1,

则（）

A.%<〃3，//B.%>。3，a2<a4C.%<〃3，%>。4D.4>%，%>/

例2.已知/(x)=3M，xe[0,3],已知数列｛%｝满足0<%,,3,neN*，且

1+X

%+%+…+々2010=670,贝1J/(%)+/(4)+•••+f(^2010)有()

A.最大值6030B.最大值6027C.最小值6027D.最小值6030

例3.已知不等式历（％+1）-L,依对一切犬>-1都成立，则2的最小值是（）

a

A.1—eB.eC.l—e~3D.1

例4.若存在不£(0,1),满足In">2a(v-1),则实数a的取值范围是()

A.(一,+oo)B.[_,4-oo)C.(_co,_)D.(_oo,一]

4444

例5.已知函数/(x)=2/〃(尤+l)+sinx+l,函数g(x)=ar—1—6/nr(a,beR,ab^O).

(1)讨论g(x)的单调性;

(2)证明：当x..O时，/(x)„3x+l.

(3)证明：当x>—l时,f(x)<(x2+2x+2)esmx.

例6.已知函数/(x)=2mr+sinx+1,函数g(x)=,b&R,ab^=O).

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)证明：当a=b=l时，g(x)..O.

(3)证明：/(x)<(x2+l)esinx.

【同步练习】

一.选择题

1.已知函数/'⑴=/*--法-办，aG(-00,—y],函数/(X)的最小值Af,则实数M的

e

最小值是()

A.—1B.—C.0D.——

ee

二.填空题

2.若x,y是实数，e是自然对数的底数，，+>+2—3,,/〃(>一2尤+1)+3元，贝|2尤+>=

3.若x,y是实数，e是自然对数的底数，e""2-3,,/〃(y—2x+l)+3x,贝|x+y=.

4.已知不等式历(x+l)-L,办+6对一切x>-l都成立,则々的最小值是.

a

5.已知函数/(x)=e，-l,g(x)=/〃(x+l),直线/与y=/(x)的图象相切，与y=g(x)的图

象也相切，则直线的/方程是.

6.已知实数a,b,c满足/。+02-二,。+2匕+1(6为自然对数的底数)，则的最小

值是.

7.已知实数a,b,c满足e"+c+e4~，,a+46+l(其中e为自然对数的底数)，则合+k的

最小值是.

xa

8.函数f(x)-e~+x,g(x)=/w(x+2)-4e"r,若玉°使得f(x0')-g(x0)=3,则

a=.

三.解答题

9.已知函数/(x)-ax+Inx+1.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)讨论函数/(x)零点的个数；

(3)对任意的x>0,f(x),,Ke?'恒成立，求实数。的取值范围.

第37讲切线放缩

【典型例题】

例L已知%,a29a39%成等比数列，且q+%+/+%=历(4+g+%)，若%>1，

则()

a<a

A.%<〃3，//B.%>。3，24C.%<〃3，%>。4D.%>/，%>/

【解析】解：4,%,生，%成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶

数项符号相同，

%>1,设公比为,，

当q>0时，令4+%+/=，，-a4=t-Int..1,即一〃4.」，故4<0,不成立，

即：a1>a3,a2>a｛<a3,a2<a4,不成立，排除A、D.

当q=-1时，4+a?+4+4—0,(q+%+叼)>。，等式不成”*，所以q丰—1；

当4<一1时，％+々2+。3+。4<°，历(4+々2+々3)>°，4+々2+。3+。4=历(。1+。2+。3)不成

立，

当qw(—l,O)时，a2<a4<0,并且q+/+%+%=加(4+%+。3)，能够成立，

故选：B.

例2.已知人>)=亘1心[0,3],已知数列｛氏｝满足0<%,,3,neN：且

1+X

%+。2+...+〃2oio=670，则f(%)+/(出)+•…+«/*(%oio)有()

A.最大值6030B.最大值6027C.最小值6027D.最小值6030

【解析】解：：/(g)=3,当q=%=…=%)10=g时，

/(%)+/3)+…+/Qcno)=6030,

对于函数/(x)=二,xe[0,3],k=f'(^)=~,

1Q1

在x=处的切线方程为y-3=京(%.),

即y=—(11-x),

10

贝U/(x)=g”^(11-x)=(x-3)(x-1)2,,0成立，

3

/.0<an„3,〃cN+时，有/(4),,记(11-3a〃),

3

f(4)+/(%)+...+</*(%01()),,—[11x2010—3(%+%+♦♦.+〃2oio)]=6。3。•

故选：A.

例3.已知不等式加(X+l)-L,依+》对一切%>-1都成立，则2的最小值是()

a

A.1—eB.eC.l-e~3D.1

【解析】解：令y=加(％+1)—双一6一1,贝=---a,

1+x

若4,0,则V>0恒成立，%>-1时函数递增，无最值.

1—n

右a>0,由y'=0得：x=----，

a

当时，y>o,函数递增；

a

当天>匕4时，y<o,函数递减.

a

则X=—处取得极大值，也为最大值-Ina+a-b-2,

a

—Ina+a—b—2,0，

b...—Inci+a—2,

b—Ina+a—2尽_—Ina+a—2

aaa

,Ina+1

.」=—，

a

：.(0,e-1)±,t'<0,(e-1,+oo)上，f>0,

a^e',tmin=l-e.

的最小值为l-e.

a

故选：A.

例4.若存在x°e(0,l),满足友尤。-1),则实数。的取值范围是()

A.(—,+℃>)B.[―,+oo)C.(—co,：)D,(—<»,—]

4444

丫411

【解析】解：设飘工)=历土1，%£(0,1),则〃⑴是单调增函数，且九⑴的值域为(无L0)；

22

设g(x)=2a(x-1),则g(%)恒过定点(1,0),

又h(x)=ln(x+1)-ln2,

/.hr(x)=」一，且〃(%)..〃(1)=L

x+12

y=2a(x-\)

即V尤e(O,l),不等式历——,,2a(x-l)不成立，

2

由止匕得—<2(?,解得a>—,

24

所以。的取值范围是

4

故选：A.

例5.已知函数/(尤)=2历(x+l)+sinx+l,函数g(x)=依一1一,beR,QZ?WO).

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)证明：当x..O时，/(x)„3x+1.

(3)证明：当时，/(x)<(x2+2x+2)esin".

【解析】解：(1)g(x)的定义域为(0,+oo),g《x)=竺心,

X

当a>0,hvO时，g'(%)>0,则g(%)在(0,+00)上单调递增；

b

当a>0,Z?>0时，令g'(X)>0,得x>—,

a

令g'(x)<o,得。<尤<2,则g。)在(0勺上单调递减，在(2,+oo)上单调递增；

aaa

当a<0,6>0时，g'(x)<0，则g(x)在(0,+oo)上单调递减；

当avO,〃vO时，令g'(%)>0,得0<%<一,

a

令g’(x)<0,得x,，则g(x)在(0造)上单调递增，在&+8)上单调递减；

aaa

(2)证明：设函数%(x)=/(%)-(3x+l),则/(%)=----FCOSX-3.

x+1

2

x..0,「.----E(0,2],COSXG[-1,1],

x+1

则"(无),,0,从而/z(x)在［0,+00)上单调递减，

h(x)=f(.x)-(3x+1)„/?(0)=0,即/(x)„3x+l.

(3)证明：方法一：当a=6=l时，g(x)=x-l-lnx.

由(1)矢口，g(x),”j.=g(1)=0,g(x)=x-l-Im..0,即x..l+/nx.

当x>-1时,(x+l)2>0,(%+l)2este>0,贝U(尤+1)209..1+山［(尤+1)2*力，

即(x+1)2esinx..2出(x+1)+sinx+1,X(x2+2x+2)esinv>(x+l)2esinv,

(x2+2x+2)esmx>21n(x+1)+sinx+1,

即/(x)<(Y+2x+2)e皿.

方法二：当x>—l时，要证/(幻<(_?+2尤+2)0皿，

只需证(x+1)2esinv一［2历(尤+l)+sinx］-l+esin%>0

即证e'"Wsi"一⑵〃(x+i)+sin幻-1+6而,>。，

F(x)=ex-x-1,易证尸(x)..O*

故产划2一⑵心+1)+sin幻-1+*,>0,

所以当x>-l时，/(x)<(f+2无+2)网1

例6.已知函数/(x)=2/nr+sinx+l,函数g(x)=办-1一6加(。，beR,ab^O).

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)证明：当a=6=l时，g(x)..0.

(3)证明：/(x)<(x2+lksinv.

【解析】解：(1)函数g(x)的定义域Q”)，81期二丝也，

X

当a>0,bvO时，g\x)>0,则g(%)在(0,+00)上单调递增；

hh

当a>0,b>0时，由<(x)>0可得x>—,止匕时函数单调递增，令g，(x)<0可得0<%<—,

aa

此时函数单调递减，

当avO,人>0时，g\x)<0,函数在(0,y)单调递减，

A_A

当a<0,bvO时，由，(X)>0可得0<x<—,止匕时函数单调递增，令/(X)<0可得x>—,

aa

此时函数单调递减，

(2)当々=6=1时，g(x)=x-l-lnx,

由(1)知，g(%)*=g(1)=0,

所以gO)..o,

(3)因为龙>0,所以fe而,>0,

由(2)可得x2esinx-l-Zn(x2esin%)..O,

即YeMn，..i+2仇x+sinx,

X(x2+l>sin'>x2esinv.

(x2+l)esmj:>21nx+sinx+1,

即/(x)<(%2+l)esinx.

【同步练习】

一.选择题

1.已知函数/(幻=无-_加_办，ae(-oo,-4]>函数/(x)的最小值M，则实数M的

e

最小值是()

A.-1B.--C.0D.-士

ee

【解析】解：•.・函数/(%)=比小一/"一利，々£(-00,―y],

e

f\x)=-+axe^-a--(ax+1)(^--)，

xx

由滑T—L=0,解得：Q=1ZZ竺，

XX

设双X)=^竺，

X

贝1")=蛆=，

X

当尤>/时，y(%)>o,当Ovxvf,y(%)<o,

从而p(%)在(0,f)上单调递减，在(/,+8)上单调递增，

21

P(x)mi〃=p(e)=-7，

、l/,11—日nax—\1八

当④一一-,④-----，即e以1一一„0,

exx

在(0,-L)上，ax+l>0,f(x)„0,g(x)单调递减，

a

在(_,，+8)上，ax+l<0,f'(xy.O,g(x)单调递增，

a

a

设/=-L©(0,e2],M=hit)=^--lnt+l,(0<t„e2),

ae

//(f)=X_l„0,/z(x)在xe(0,e?]上单调递减，

et

/z(?)../?(e2)=0,的最小值为0.

故选：C.

二.填空题

2.若x,y是实数，e是自然对数的底数,产一3„历(y-2x+l)+3x,贝U2x+y=

【解析】解：•.•比gx—1，(当x=l时取等号)，

:.ln(y-2x+l)„y-2x+l-l=y-2x，

ln(y—2x+1)+3不，y+x,

此时y—2x+l=l时取等号，

・・・e"..x+l,(当x=0时取等号)，

...ex+y+2-3..X+y+2+l—3=x+y,

止匕时x+y+2=0取等号，

又ex+y+2—3„ln(y—2x+1)+3x,

/.ex+y+2-3=x+y=ln(y-2x+l)+3x,

故有y—2x+l=l且％+y+2=0同时成立，

74«

解可得，x=—»y=――止匕时2x+y=_§.

故答案为：-9

3

3.若尤，y是实数，e是自然对数的底数，*>2—3,,历(y—2]+1)+3无，则x+y=

【解析】解：令/(%)=加:一％+1(%>0),则尸(无)=工一1,

x

当Ov%vl时，f\x)>0；当元>1时，fr(x)<0,

则/(%)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，

即V%>0,/(x)„f(1)=0,即/喝x-l,当且仅当％=1时取“=”，

于是历(丁一2%+1)+3兀，(y一2%+1)—1+3元=%+丁，当且仅当,一2%+1=1时取"二

显然即然Lx,所以/..x+1,当且仅当％=0时取“=

所以,+丹2一3..(%+y+2)+l—3=x+y,当且仅当无+y+2=0时取“=

即无+谖上+尸2-3ln(y-2x+1)+3光？x+y,

[Y_2v—f)

所以e，+y+2_3=/〃(y_2x+l)+3,当且仅当..一时取''"

[x+y+2=0

y-2x=0解得x=-2,y=一3，

由

x+y+2=033

此时x+y=—2.

故答案为：-2.

4.已知不等式加(X+1)-L,0¥+人对一切%>-1都成立，则2的最小值是

a

【解析】解：y=ln(x+l)-ax-b-l,贝ljy=^a,

x+1

若&o,则y>o恒成立，%>—1时函数递增，无最值.

1—a

若Q>0,由y'=0得：x=----，

a

当t<尤<匕色时，y>o,函数递增；

a

当天>匕£时，y<o,函数递减.

a

则x=j处取得极大值，也为最大值-松+a-%-2,

a

—Ina+ci—b—2,0，

b...-Irici+〃-2,

b—Ina+a—2

..—..；----------,

aa

tIna+a-2

a

,lna+1

/.f=-丁，

a

(0,-)±,t'<0,(-,+oo)上，f>0,

ee

1i

「•a=—，%n=l-e・

e

的最小值为l-e.

a

故答案为：l-e.

5.已知函数f(x)=e"-1,g(x)=ln(x+1),直线/与y=/(%)的图象相切，与y=g(%)的图

象也相切，则直线的/方程是.

【解析】解：/(x)=e“-1与趴%)=加(％+1)互为反函数，其图象如图，

其公共点为0(0,0),

由/(尤)=e*-l,得/(x)=e*',

曲线/(x)=e'-1在0(0,0)处的切线方程为y=x,

由g(x)=ln(x+1),得g'(x)=」一，

x+1

“'(。)=1，

曲线g(x)=/"(x+l)在0(0,0)处的切线方程为y=x,

曲线/(尤)=e"-1与曲线g(x)=/〃(x+l)的公切线为y=x.

故答案为：y=x.

y=e-l/1

A/^y=Zn(x+l)

6.已知实数a,b,c满足00+。+02~\。+26+13为自然对数的底数），则储+后的最小

值是.

【解析】解：由题意设新函数"（X）,

设w(x)=ex-(x+1),则u\x)=ex-1,

可知u(x)..〃(0)=0,即e"..x+1；

由不等式性质可知/+°+/人,一1..々+。+1+2〃—。=〃+2/?+1,当且仅当a+c=2&—c—1=0时

取等号；

ve°+c+/人”、a+2〃+l（e为自然对数的底数），

即有：ea+c+e2b-c-l^a+c+l,

即：a+c=2Z?—c—1=0；

fl=-C;6=山

2

...fl2+Z,^c2+(£+l)i=51

443+95

当且仅当时，取等号，

5

则储+〃的最小值是：1

5

故答案为：-

5

7.已知实数。，b,。满足0。+。+04~7,,0+46+1（其中e为自然对数的底数），则"+。2的

最小值是.

【解析】解：构造函数/a）=e'-x-l,

r(x)=e'-l,令r(x)>0解得：x>0,

故函数/(x)在(-8,0)递减，(0,+<»)递增,

故了⑺的最小值为/(0)=。，

故，(元)..0在r上恒成立，

e*..x+1,

:.ea+c..a+c+i,eiM.Ab-c-\+\,

故小+»*--+46-1,

当且仅当：a+c=O,46-c-l=O时取等号,

b=^

故。=-c，

4

故/+/=/+/+2c+117211

——c+-c-\---

1616816

观察可得/+/可表示为关于C的二次函数，故在对称轴。=-上取最小值，最小值为工,

1717

故答案为：:

xaax

8.函数f(x)=e~+x,g(x)=ln(x+2)-4e~,若比使得f(x0')-g(x0')=3,则

【解析】解：4*/(x)-g(x)=x+ex~a-ln(x+2)+4ea~x,

1y1

令y=x-ln(x+2),/=1------=----,

x+2x+2

故y=x-加(x+2)在(-2,-1)上是减函数，(-1,”)上是增函数，

故当x=-l时，y有最小值—1—0=-1,

而ei+4e“r..4(当且仅当ei=4e"f,即x=/〃2+a时，等号成立);

故/(x)-g(x)..3(当且仅当等号同时成立时，等号成立)；

故x=a+m2=—1,

即a=—l—ln2.

故答案为：-1-加2

三.解答题

9.已知函数/(x)=ar+/nr+l.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)讨论函数/(尤)零点的个数；

(3)对任意的x>0,〃琼,抚2工恒成立，求实数。的取值范围.

【