圆锥曲线与向量交汇问题-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展36圆锥曲线与向量交汇问题（精讲+精练）

、知识点梳理

一、向量共线

运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线

中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向

量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决.

【一般策略】

通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系

来解决问题.

二、向量的数量积

向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角

函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取

值范围和求圆锥曲线的方程等方面.

【一般策略】

在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的

数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化.

三、相应的知识储备

1.共线向量定理

如果苕="（XeR）,则。/区；反之，如果商〃B且3/0,则一定存在唯一的实数力，使々=花.（口诀:

数乘即得平行，平行必有数乘）.

2.数量积的运算

（1）已知非零向量。=（4，%），/»=（/，%）,e为向量。、，的夹角.

结论几何表示坐标表示

模\a\=4a~aIa卜次+y?

数量积a'b^a\\b\cos3ab=玉%2+M%

cos*「2+产

夹角c°se=a

\a\\b\

aD的充要

ab=0Vz+y^i=o

条件

。〃入的充要

a-九从bw0)尤i乃一尤2yl=°

条件

|a•川与|。|出]|a小区|a||W(当且仅当

1玉%+%%W+y；•Jx；+yl

的关系a//b时等号成立)

(2)两个向量a,6的夹角为锐角Ci为>0且a,6不共线；两个向量a,8的夹角为钝角2防<0且a,6不共

线

二、题型精讲精练

【典例1]已知点4(0,-2),椭圆E，+『l(a”>0)的离心率为冬尸是椭圆E的右焦点，直线AF

的斜率为友，0为坐标原点.

3

⑴求E的方程；

⑵设过点A的直线/与E相交于P,。两点，且APngA。，求△。尸。的面积及直线/的方程.

【解析】(1)设*GO),因为直线■的斜率为友，A(0,-2),所以2=宜1,解得c=®.

3c3

c-(a=22

又厂号,解得7,，所以椭圆E的方程为土+丁=1.

[/=/一历=14

(2)设P(%,yJ、由题意可设直线/的方程为：y=kx-2,

[d2,

联立《4,消去，得(1+43)》2一16日+12=0,

y=kx-2

当A=16(442一3)>0,所以/>[,即左<一走或左>3时，%+9=7%,再飞=」1万，

4221+4F1+4左2

—.1-,(16%『6973

由AP=：AQ,得无2=2%,代入上解得无2；=J~、=亡赤，即％==>[，

290+4左2)1+4Z204

4,1+左2,4左2—3

又|尸°|=Jl+左、+々)2-4再。2

1+4-2

点。到直线/的距离7r所以・小|PQ|=坐骁=乎，

此时直线/的方程为：片噜-2或尸一噜X。

【典例2】已知双曲线C的渐近线为4x±3y=0,右焦点为尸（5,0）,右顶点为4

（1）求双曲线C的标准方程;

（2）若斜率为1的直线/与双曲线C交于M,N两点（与点A不重合），当疯.丽=0时，求直线/的方程.

【解析】⑴双曲线C的渐近线4x±3y=0化为"与=0,设双曲线C的方程为工-炉=犯>0）,

34916

22

即工-工=1,又双曲线c的右焦点尸（5,0）,则92+164=5、解得2=1,

92162

22

所以双曲线C的标准方程为土-匕=1.

916

（2）由⑴知，A（3,0）,设直线/的方程为尸犬+“河区加川5,巴）,显然

V_/=2L

由忖一记一消去y整理得7尤2—18〃穴一（9"+144）=0,显然A>0,再+冗2=---------,须入2=--------------------------9

y=x+m

而AM=（玉—3,yj,A7V=（x2—3,%），则-AN=（%—3）（々-3）+（玉+m）（x2+m）

2

=2%IX2+（加一3）（西+x2）+m+9=-2（9加+144）+18"（"-3）।/+9=。，

7

75

化简得7m2—54m—225=0,即（7机—75）（加+3）=0,而根w—3,解得小=亍，

【题型训练-刷模拟】

1.向量共线

一、解答题

1.已知平面内动点M（x,y）与定点产（1,0）的距离和M到定直线x=4的距离的比是常数3.

（1）求动点/的轨迹方程；

（2）设动点/的轨迹为曲线C,过定点厂（1,0）的直线/和曲线C交于不同两点A、B满足衣=2而，求线段

A8的长.

22

【答案】⑴L+匕=1

43

（2）|AB|=y

【分析】（1）根据距离公式可得出关于无、，所满足的等式，化简可得点M的轨迹方程；

（2）分析可知直线直线I不与x轴重合，设直线/的方程为x=冲+1,设点AQ,%）、3（和％），由衣=2而

可得出乂=-2%，将直线/的方程与椭圆C的方程联立，由％=-2%结合韦达定理可求得疗的值，然后利

用弦长公式可求得|旗|的值.

【详解】（1）解：因为面内动点M（x,y）与定点网1,0）的距离和〃到定直线x=4的距离的比是常数9

则也可=整理可得£+f=i,

H243

22

因此，点M的轨迹方程为工+匕=1.

43

（2）解：若直线/与1轴重合，则A、5为椭圆C长轴的顶点，

若点4（2,0）、5（-2,0）,则赤=（-1,0）,丽=（-3,0）,此时通=：丽，不合乎题意，

若点4（-2,0）、5（2,0）,同理可得通=3而，不合乎题意，

所以，直线/不与x轴重合，设直线/的方程为x=“y+l,设点A（HM）、B（x2,y2）,

x=my+1

联立可得(3疗+4)y?+6啊-9=0,A=36m2+36(31+4)=144"+1)>0,

3x2+*44y2=12

因为刀=2两,即（1一和一%）=2G-1,初），所以，f=2%，即％=-2%,

由韦达定理可得%+=一熹'所以'%=号'

2

6m

%%=12£=-2x

3m2+4高解得病4

2

因此，\AB\=Jl+m*2.+必）、-43%=Jl+疗•

3m2+4

2

3m+43X4+48

r

221

2.已知椭圆C1r+斗=1（。＞人〉0）的离心率e二;，点耳，工为椭圆C的左、右焦点且经过点耳（-。⑼的

ab2

最短弦长为3.

⑴求椭圆C的方程；

（2）过点可分别作两条互相垂直的直线乙，〃，且4与椭圆交于不同两点42,'与直线交于点P，若

丽=彳耶，且点。满足®=4囱，求|尸@的最小值.

22

【答案】⑴上+工=1

⑵5

【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；

（2）讨论直线斜率，设AQ，x）,8（々,%）,《为尤=加了-1,注意〃?=0情况，联立椭圆方程

应用韦达定理求%+%,X%，结合观=2用、木二九5坐标表示得到九二一丛二土生，进而有

%必-y。

%=2詈求。，再求尸坐标，应用两点距离公式得到|为2|关于，"的表达式求最值，注意取值条件.

M+%

ri，解得*3,所以椭圆的方程为:+。1.

【详解】（1）由题意，

（2）由（1）得耳（-1,0）,若直线4的斜率为0,则6为x=-l与直线x=l无交点，不满足条件.

设直线4：x=my-\,若帆=0,贝!!久=1贝!!不满足@5=2豆，所以相片0.

设4（不，%），3（孙丹），。（%，%），

3x2+4y2=12

得：(3m2+4)y2-6my-9=Q,y+y-6m9

由x2o，xy?.=7

x=my-13m2+4-1-23m2+4

福=/l而即1(T-%,-%)=几(工2+1，%)

因为贝卜％=力必，乂一%=4（%-%），

QA=AQB

一。则％=-4,即Q—

所以4解得先=2%当

%%一%

直线4：x=--y-l,联立x=_/vT,解得P(1,-2M),

m1

/.闸小+[-；+2〃J>5,当且仅当〃z=乎或m=-乎时等号成立

二|「。|的最小值为5.

3.经过点4（-2,4）且倾斜角为135。的直线与抛物线丁=20以0>0）交于加，N两点，且AA/=2AW,

AN=^-MN,A>0.求P和％.

【答案】p=l,九=在」

2

【分析】设M4,yJ,N（x2,y2）,写出直线MN方程与抛物线方程联立方程组，消元应用韦达定理得

%+%,其%，由向量共线的坐标表示得出如%"的关系，消去4,代入韦达定理的结论求得P值，从而可

得M,N的（纵）坐标，由此求得2.

【详解】根据题意可得MN直线方程为>-4=-（》+2）,即x+y-2=0,

fx+y—2=0

联__,可得y+2py—4P=0,・.,夕〉0,「.△=4p2+16p>0,

[y2=2px!

设N(x29y2)9又A(-2,4),

.pi+%=-2p

..AM=(%]+2,%—4)，AN=(x2+2,%—4),MN=(x2—xlty2—,

5LAM=2,MN,AN=\MN,

7L

乃-4=%(%-%)

••<1,

上一4=二(%一%)

I4

(y-4)(%-4)=(必一%)2,

•二y%-4(y+%)+16=(y+%)2一句%，

-4p+8p+16=4〃2+I6p,

/.p2+3p-4=0,又p>0,

•.P=1,

7.y2+2^-4=0,

.-.y=-l±y/5,又义=±土>0,

%一名

••x=-1+\/59y29

_y-4_-1+A/5—4_yjs—1

%-M-1-正一(-1+正)2

故。=i,八也二L.

2

4.已知双曲线C：，■多=1(。>0,6>0)的渐近线方程为〉=±*尤，且过点⑹卜

(1)求双曲线C的方程；

（2）若尸是双曲线的右焦点，。是双曲线上的一点，过点尸，。的直线/与y轴交于点M,且破+2/=6,

求直线/的斜率.

九2

【答案】⑴二-丁=1

3

⑵k=±叵

6

【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为y=±gx和双曲线过点（"』），联立求解；

（2）由题意设直线方程为y=M%-2）,令x=0,得到M的坐标，设Q（x,y）,根据丽+2丽=0,用k

表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解.

【详解】（1）解：因为双曲线C♦=1（。>0,6>0）的渐近线方程为/=±*邙

所以2=立，

a3

22

又因为双曲线C：十'=15>0,6>0）过点（疝1）,

所以5J=1，解得"=3，〃=1，

所以双曲线的方程为工-9=1；

3

（2）由（1）知：°2="+片=4,则尸（2,0）,

由题意设直线方程为>=左（％一2）,令x=0,得y=-2Z,则M（0,-2左），

设。（尤,y）,贝（J丽=（x,y+2左），诙=（2—x,—y）,

因为丽+2/=6,

所以（x,y+2与+2（2—x,-y）=。，贝!I_丫+筋=0，

I

=4

解得,因为点Q在双曲线上，

[y=2左

所以鲁止=1,解得.叵,

36

所以直线1的斜率为左=±叵.

6

5.已知双曲线的中心在原点，离心率为2,一个焦点厂（-2,0）

（1）求双曲线方程；

（2）设。是双曲线上一点，且过点F、。的直线/与y轴交于点若|阿卜2|0可，求直线/的方程.

2

【答案】⑴炉-匕=1

3

（2）y=±^^（x+2）或y=±-^-（-^+2）

22

【分析】（1）依题意设所求的双曲线方程为，-与=1,则c=2,再根据离心率求出。，即可求出》，从

而得到双曲线方程；

（2）依题意可得直线/的斜率存在，设/:y=Mx+2）,即可得到M的坐标，依题意可得汲=2函或

MQ=-2QF,分两种情况分别求出。的坐标，再根据。的双曲线上，代入曲线方程，即可求出％,即可得

解

22

【详解】(1)解：设所求的双曲线方程为二-斗=1(«>0,b>0),贝!|e=£=2,c=2,

aba

2

又/=4+/贝8=指，所求的双曲线方程为/一匕=1.

3

(2)解：•••直线1与y轴相交于M且过焦点厂(-2,0),

.•.I的斜率一定存在，则设/:产k(x+2).令x=0得M(0,2左),

•.［阿卜斗司且M、Q、F共线于1,.•.血=2炉或血=-2两

当MQ=2Q尸时，xQ=——,H攵，，

；Q在双曲线一一二=1上，-=1,.•.左=±叵，

39272

当诙=-2斯时，2(-4,-2^),代入双曲线可得：

16--=1,.•.左=±3氐

32

综上所求直线1的方程为：y=土浮(x+2)或y=士半(尤+2).

1*2*2YY

6.已知双曲线斗=1(。>0/>0)的两条渐近线分别为4：y=：,/2：y=-g.

(1)求双曲线E的离心率；

(2)0为坐标原点，过双曲线上一点尸倒也』)作直线/分别交直线小4于A,3两点(A,3分别在第一、

第四象限)，且方=2市5,求剑93的面积.

【答案】⑴更

2

瑶

【分析】(1)根据渐近线方程可得2b=1再通过_离心率公式求得离心率；

a2

(2)根据双曲线过点网2忘,1)可得双曲线方程，由已知可设点A、,5］，8［再由而=2而，

可得七，X］,进而可得|0到设直线。4的倾斜角为6,则tan。=’,即可得sinNAOB,即可得“108

的面积.

【详解】(1)因为双曲线E的渐近线分别为小V=：,

所以6，=也五=好，

〃2aa2

所以双曲线E的离心率为更；

2

b1

（2）由（1）得'=—,

a2

则可设双曲线

因为尸（2形,1）在双曲线上，

所以2=2-1=1,则双曲线E的方程为三-产=1,

4

又点A,8分别在=与，2：y=-^上，

因为屈=2而，

所以1%-2应，-字-1]=2^2A/2,

则％=3+；应,%=30—3,

X|OA|=Jx；+㈤2=&=3书记回,同理得依用=1/=35一3下,

2sincos02tan6

设的倾斜角为，，贝［

Q4Ktan^=-=-,jsin/AOB=sin20=222

a2sin^+cos01+tan<9

诉l、Jc_!lz.Aiiz.pl-/.cn_l3君+3加3回-3下4_9

所以S«AOB=^\OA^OB\smZAOB=-X-x-x-=--

【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标

准方程的形式，然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系，求出a,b的值.如果已知双曲线的渐近线

22

方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为^-左=4（4H0）,再由条件求出入的

值即可.

7.已知圆G：（x+3>+y2=9,6：（尤-3）2+y=1,动圆加与圆C―6均外切，记圆心M的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

（2）直线/过点C?,且与曲线C交于A,3两点，满足相=3印，求直线/的方程.

2

【答案】（1"一2=1"川

8

（2）y=土同x-3）

【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；

（2）不妨设/:x=my+33（七,力），由公［=3Q不可得%=-3%,结合韦达定理运

\7

算求解.

【详解】（1）由题意可知：圆G的圆心G（-3,0）,半径4=3,圆C?的圆心。2（3,0）,半径弓=3,

由条件可得|MCj-3=|MC2|-1,即\MQ\-\MQ\=2<，

则根据双曲线的定义可知，点M是以G，C?为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支,

则a=1,c=3,可得从=c?—a?=8,

（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为、=±2岳，即工=土也y,

4

由于C?（3,0）且直线Afi的斜率不等于0,

不妨设/:x=my+3|m|4(%,%),3(%,%)，

4J

则AC?=(3—不，—%),C25=(x2—3,y2),

由AC2=3c2台可得％=-3%，

x=my+3

联立方程2>2,消去x得(8m2_l)y2+48〃9+64=0

X----=1

8

48m

%+、2=_Q21

8m-1

则A>0,由韦达定理可得

64

=8Qm2-11

72m

48m%一而-]

由,,必+%=-8〃11,解得,

24m

、%=一3%y2-8m2-l

4、64,24mf72m64

代入％%=可得嬴LfX

8m-18m-1I8m2-18苏_i'

解得病=—<—>即〃z=±Y1Z,

35835

BPy=±A/35(X-3).

222

8.已知月，居分别为椭圆C:二+当=1（。＞6＞0）的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线上-尸=]

Q64

在第一象限与椭圆C相交于点P，且|尸鸟|=1.

⑴求椭圆C的方程；

（2）设直线、=丘+1与椭圆C相交于A,2两点，。为坐标原点，且两=机砺（机＞0）.若椭圆C上存在点E,

使得四边形OAE。为平行四边形，求他的取值范围.

2

【答案】⑴土f+匕V=1

94

(2)me[1,2)

【分析】（1）结合双曲线方程可得『-技0）,6函,0）,结合双曲线和椭圆的定义即可得到|「耳|+|尸阊=6,

进而求解；

（2）设8（%,%）,则。（外,《%）,结合平行四边形OAED,可得研西+侬2，%+切?），联立直

_1Rk_774

线和椭圆方程，利用韦达定理可得%+々=舄三，%％=看一•进而得至!1m=2-从而求解.

9左+49左+49左+4

【详解】⑴由题意，双曲线'-y2=i的焦点为£（一后0）,（75,0）,

・••双曲线匚-V=i与椭圆c有相同焦点且在第一象限交点为p,

4

又|尸圆=1,叫=5,附|+|尸引=6.

,•2a—6fa=3.

/.b2=4.

r2v2

•••椭圆c的方程为L+匕=1.

94

(2)设3(%,%),则Z)(隐，切2).

1•,四边形OAED为平行四边形，

OD^AE,矶西+慢,％+啰).

•.•点A,B,E均在椭圆C上，

・日+尤=1,考+应=1,a+吵丫(.+阳2)[[

9494，94一'

,/m>0,

厂.4玉々+9%%+18加=0.

.0.（4+922）%%2+9左（石+%）+9+18M=0.

y=kx+1,

由*V消去y,得（9/+4）尤2+18航-27=0.

194

显然A=432（3左2+1）>0.

-18k-27

~21x（4+9^2）一一^^x9%+18m+9=0.

9k2+4'）9左2+4

m=2^―,

9F+4

因为/N0,所以9/+4N4,即0<

9一k，-+4“v]4,

44

所以一14一一—<0,即IV——--<2.

9左2+49k2+4

me[1,2）.

9.已知椭圆八二+工=1(m>0,〃7N&),点48分别是椭圆「与y轴的交点(点A在点B的上方)，过

nr2''

点r»（o,i）且斜率为k的直线/交椭圆r于E,G两点.

（D若椭圆「焦点在无轴上，且其离心率是比，求实数优的值;

2

（2）若加=左=1,求△瓦丘的面积；

⑶设直线AE与直线y=2交于点H,证明：氏G,H三点共线.

【答案】（1）羽=2

⑵2（&+1）

3

（3）证明见解析

【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；

（2）联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出|EG|,用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可;

（3）联立直线和椭圆方程，先表示出//坐标，将共线问题转化成证明原G=%BH，结合韦达定理进行化简计

算.

【详解】（1）依题意，'==e2=」，解得机=2（负数舍去）.

m-2

（2）左=1的直线经过（0,1）,则直线方程为：y=x+l；

2

m=\,则椭圆的方程为：/+匕=1.

2

y=x+l

设£（/%）,G（z，%）联立直线和椭圆方程：2黄,消去y得到3d+2x-1=0,

I2

解得Ll，z=g,则％=0,%=；故E（TO）,唱,£|,于是即=Jd+10甯=乎

依题意知，B为椭圆的下顶点，即8（0,-鱼），由点到直线的距离，8（0,-应）到y=x+l的距离为：与1.

…1401+722+20

故％

y=kx+l

（3）设E（4M）,G（W，/）联立直线和椭圆方程:x21,得到（苏左2+2）炉+2kmix-m2=0由

_+£9

,/7122

%"4。,扬，得到直线转方程为：尸—令尸2,解得人的'即

’（2-6同

H,2,又G（%,%），石（。，-右），为说明民G,“三点共线，只用证即证:

7

%+2+A/2

%二(2一反，下用作差法说明它们相等：

%+应_2+0=%+3_(2+&)(%-0)=%+忘_(3+21)(%-亚)

%(2—X](2—\/2)Xjx?玉，而％=丘]+1,%=近2+1,

X-3

y2+A/2_kx2+1+>/2_1+V2(3+25/5)(另-5/^)_(3+2>/5)(应+1-0)_(3+2^^)&+1丁.是

x2x2x2x1xtX]

\

式变为：k+生！Z-G+2母洪+旦旦-(2+2及求.

1+1

xlx2

-2km2

于是二故陋+1)11)

由韦达定理，，—+——-(2+2®=0,命题得

2

-m占尤2益尤2%x)

x,x=—^―：---2

,12m2V+2

证.

10.已知抛物线6了=。双。>0）的焦点为耳，抛物线G：V=2"的焦点为F?,且闺用=g.

（1）求P的值;

⑵若直线/与G交于M，N两点，与C?交于尸，。两点，M,P在第一象限，MQ在第四象限，且|MP|=2|N@,

求\胃MN的\值.

【答案】（1）2

呜

【分析】（1）根据抛物线焦点坐标公式，结合两点间距离公式进行求解即可;

（2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量共线性质进行求解即

可.

【详解】（1）由抛物线6：/=川5>0）的方程可知焦点4的坐标为］/,0卜

由抛物线G:「=2/的方程可知焦点F2的坐标为《,01,

因为闺闾=（，

所以勺/=gnp=2；

（2）由（1）可知两个抛物线的方程分别为y=2尤,>2=以，

设直线/：x=〃9+f,"（4'。'（孙％），75（，%）,。®，”），

根据题意结合图形可知：m^O,且%>%>。>%>为，

、，、[x=my+t,

联乂<2c^>y9--2my-2t=Q,贝!]%+%=2m，

[y=2无

.、fx=my+19,

同理联立<2.=>>2-4〃9-4/=0,则为+%=4%，

[y=4x

由|MP|=2|NQ|=>砺=2而n（%3-为,%-％）=2（X2-匕，为—”），

所以为-%=2（%-%），

即^n-y4-y1=2（2加一%一%）=%=—乂，

22

又因为才=24q=4尤”所以匕="=五=五，

442

2

fx=4M%

联立《，Jn%=8〃2,所以％=-6%%=-8利,%=12相，

〔X=2芭

【点睛】关键点睛：本题的关键是由恢阳=2|NQ|n存=2而

22

11.已知双曲线C：3=l（a>0,6>0）,直线/在X轴上方与X轴平行，交双曲线C于A,B两点，直

线/交y轴于点。当/经过C的焦点时，点A的坐标为（6,4）.

⑴求C的方程；

（2）设0D的中点为M,是否存在定直线I,使得经过M的直线与C交于尸,Q,与线段42交于点MPM=XPN，

丽均成立；若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴片-t=1

412

⑵存在，y=2⑪

【分析】（1）由点A的坐标求得c,结合双曲线的定义求得“，进一步计算得出双曲线的方程即可;

（2）设直线PQ的方程为y=Ax+加优#0）,与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求

得加，得到直线1的方程.

22

【详解】（1）由已知C：与一,=1（。>0,6>0）,点A的坐标为（6,4）,得c=4,

ab

焦点耳（0,4）,6（0,-4）,2a=|A周-囱=娘苕-6=4.

22

所以a=2,b2=c2-a2=n,故C：=1.

412

（2）设1的方程为y=27〃（m>l）,则£）（0,2%），故Af（0,m）,

由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为广质+加（b0）,故乂盛21

与双曲线方程联立得：（3A:2-l）x2+6fonx+3m2-12=0,

由已知得诙j1,A>0,设尸（药,%）,。（%,女）,

6km3m2-12

则玉+%2=-xx

342—1{23k2-1

由两=4而，丽=4函得:玉=丸［再一二

消去X得：*21%—工）=再1%

即2X1X2-+%)=0②

K

由①②得：%（加2-2）=0,由已知机=&,

故存在定直线1：y=2«■满足条件.

12.椭圆C:J+，=l(a>6>0)的离心率为乎，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线，与椭圆C相交于A,3两点，与y轴相交于/(0,m)点，若存在实数加，使得丽+3砺=4宿,

求用的取值范围.

【答案】⑴兰+丁=1

4

⑵朋咱，一£|

【分析】(1)根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可；

(2)根据直线/是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行

求解即可.

【详解】(1)因为该椭圆的离心率为遮，所以有£=3=£=2=>七汇=3=>[=工(1),

2a2a24a24a24V7

在方程,+方=1中，令x=±c,解得-夕，

因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1,

22

所以有1A(b^\/、由/⑴、，,⑵、可得：156Z=二21，

丫2

所以椭圆的方程为二+9=1;

4

(2)当直线/不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意;

当直线/存在斜率时，设为％,所以直线/的方程设为丫=米+加,

£2

于是有n(l+4左2)无2+8乃-4=0,

y=kx+m

因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有△=64廿历_4(1+4/)(4相-4)>0,

化简，得软2一苏+1>0,

设4(不乂)，3(孙％)，于是有%+々再尤2=，二?,

1十4/C1十4K

因为至+3OB=4丽，

所以(%,％)+3(兀2，%)=4(0,祇)=>玉+3/=。=>%=一3%2,

八、、8km,o8km4km

代入玉+马二-才/中，得_3%+%=_]+如2=12

1+4〃

4m2—4_4km4m2—4

于是有(-3X)-X1+4/0

221+4〃-l+4k2

化简，得公="A］代入4H>。中，得

4-16m

4--^——^-m2+l>0=>—<m2<1nzn£(工，11

4-16m24(2r<2

【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式西+3OB=40得到玉=-3々.

22

13.已知椭圆C:'+£=l(a>6>0)的离心率为点F?为C的左、右焦点，经过耳且垂直于椭圆长

轴的弦长为3.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点可分别作两条互相垂直的直线4，4,且《与椭圆交于4B两点，4与直线彳=1交于点P，若

丽=九而，且点Q满足砒=29，求线段尸。的最小值.

22

【答案】⑴，匕=1

43

(2)5

【分析】(1)由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；

(2)讨论直线斜率，设A(XQJ,3(%,%),。(%,%),ll^jx=my-l,注意切=0情况，联立椭圆方程

应用韦达定理求％+%，X%，结合亚=4用、@?=彳a坐标表示得至1]4=-*=21二迎，进而有

%=拿。求。，再求尸坐标，应用两点距离公式得到|尸。|关于机的表达式求最值，注意取值条件.

22「222

【详解】⑴对于方程5r+4v=1,令X=C,则=+5=1,解得y=±h匕，

ababa

K=3

a

c1

由题意可得｛—=%，解得4=4,b2=39

a2

a2-b2=c2

22

所以椭圆的方程为'+匕=1.

43

(2)由(1)得爪T。)，若直线4的斜率为0,则4为x=-1与直线*=1无交点，不满足条件.

设直线4：x=my-l,若租=0,贝!1%=1,则不满足a=29，所以加片0.

设4(%,%),设务皿),。(毛,%),

3'+4']I?得：（3>+4）/—6切—9=0,A=36W+36（3疗+4）>0,

由

6m9

所以%+为=

3m2+423m2+4

AF,=AEB玉，-%)=4(%2+1，%)、

因为」即X"v贝1一%二4%，Xf=4(%-%)，

QA=AQB曲，口一%)二丸(%2一％，％一%)

3

所以』解得犷——，贝!1%o=—4,即。|-4,---

mm

11

直线。X=-工丫-1，联立＜x=V—1X=]

rn,解得k-2/即W

m

x-\

•.•闸十+(一：+2小M+.+13N5,

当且仅当机=逅或=-逅时，等号成立，

22

•••|PQ|的最小值为5.

14.如图，正六边形ABCD跖的边长为2.已知双曲线T的焦点为A,D,两条渐近线分别为直线台及叱.

(D建立适当的平面直角坐标系，求r的方程；

(2)过A的直线/与「交于M,