2025年高考数学一轮复习：复数（学生版）

考点33复数(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓

展冲刺练)

m【考试提醒】

1.通过方程的解，认识复数.

2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.

3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

ill【知识点】

1.复数的有关概念

⑴复数的定义：形如。+历(a,bGR)的数叫做复数，其中.是复数Z的实部,

是复数z的虚部，i为虚数单位.

⑵复数的分类：

复数z=a+6i(a,6GR)

［实数(b0),

［虚数(60)(当a0时为纯虚数).

(3)复数相等:

a+6i=c+dic(a,b,c,dGR).

(4)共辗复数:

a+历与c+di互为共轨复数台(a,b,c,dGR).

(5)复数的模：

向量OZ的模叫做复数z=a+历的模或绝对值，记作或,即团=|a+

Z?i|=(a,6WR).

2.复数的几何意义

⑴复数z=a+历(a,bGR)DEE赠fa复平面内的点Z(a,b).

(2)复数z=a+历(a,bCR)DS强平面向量OZ.

3.复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则：

设2i=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d£R),贝U

①力口法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=：

②减法：z\一Z2=(a+bi)—(c+di)—：

③乘法：z\*Z2=(Q+bi)•(c+di)=：

…zia~\-bi(a+bi)(。一di)

④除法：一=^—=——-_______________(c+diWO).

Z2c-vd\(c+di)(c—di)

⑵几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,

—►----►

即OZ=，Z1Z2=.

【常用结论】

l+i.1-i

1.(1士i)2=±2i；

1+i

2.—6+ai=i（a+6i）（a,bGR）.

3.i4"=l,j4«+i=i,i4«+2=—1,i4,,+3=—i（；?eN）.

4.i4«+i4«+1+i4«+2+i4n+3=0（/7eN）.

5.复数z的方程在复平面上表示的图形

（l）aW|z|W6表示以原点O为圆心，以。和6为半径的两圆所夹的圆环;

⑵|z—（a+历）|=&»0）表示以（a,b）为圆心，r为半径的圆

羯【核心题型】

题型一复数的概念

解决复数概念问题的方法及注意事项

⑴复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,

只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可.

（2）解题时一定要先看复数是否为a+历伍，b£R）的形式，以确定实部和虚部.

【例题1］（2。24・四川•模拟预测）已知复数"土一产为虚数单位），则，的虚部为

1.1.

A.B.c.—1D.—i

2222

【变式1］（2024・辽宁•三模）已知复数z在复平面上对应的点为（加,1）,若iz〉-2,则实数加

的值为（）

A.0B.-1C.1D.1或-1

【变式2］（2023•江苏•三模）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）

A.若zeR,贝!Jz=zB.若z'eR，则zeR

C.若（l+i）z=l-i,则忖=1D.若z2+l=0,则z=i

【变式3］（2024•山东日照•二模）设机eR,i为虚数单位.若集合/={1,2加+（加-1）”，

B={0,1,2）,且N=贝.

题型二复数的四则运算

（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.（2）复数的除法：除法的关键是分子分

母同乘以分母的共机复数.

【例题2】（2024•湖北•模拟预测）已知复数2=。+历（a,beR,i为虚数单位），若忖=1且

|z-i|=l,则|z-2i|=（）

A.2B.V3C.41D.1

【变式1］（2024・山东•模拟预测）已知复数z满足目=1,M|z-l|=|z+i|,则z2=（）

A.1B.-1C.iD.-i

【变式2］（2024•福建福州•三模）已知复数4/2满足：,+叫+卜「闽=4,%-2i|=l,

则（）

A.LI的最小值是1B.目的最大值是2

C.三的最大值是3D.［石-2』的最大值是4

【变式3】2024•湖南,模拟预测汨知i是复数的虚数单位，且早=。+历（。,6eR）,贝|。+6

的值为.

题型三复数的几何意义

由于复数、点、向量之间建立了——对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一

起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观

【例题3】（2024•全国•模拟预测）如图，复数z对应的向量为应，且|z-i|=5,则向量应

在向量而上的投影向量的坐标为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式2](2024,湖南长沙•二模)在复平面内，复数句和句对应的点分别为42,则

【变式3](23-24高三上•江苏盐城•阶段练习)已知函数/(x)=asin2x+cos2x,且

71

(1)求函数〃X)的解析式;

(2)。为坐标原点，复数Z[=-2-4i,Z2=-2+〃/)i在复平面内对应的点分别为A,B,求

△045面积的取值范围.

【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知复数4=1-历伍eR）在复平面内对应的点在直线

x+y-l=0上，则复数Z2=6+i在复平面对应的点在（）

A.实轴正半轴B.实轴负半轴C.虚轴正半轴D.虚轴负半轴

2.（2024•河南•三模）已知i为虚数单位，"2=（）

O-O

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.（2024•黑龙江双鸭山•模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（T1）,则三=

Z

（）

A.2iB.iC.-iD.-2i

4.（2024•吉林长春,模拟预测）已知z=0+i），则2的虚部为（）

一1-i

A.2iB.-2iC.-2D.2

二、多选题

5.（2024•湖南•二模）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）

A.若复数z=生，贝

1-1

B.若匕1|〉匕2]，则

C.若Z2=o,则

Z?Z2

D.复数z在复平面内对应的点为z,若|z+i|+|z-i|=2,则点Z的轨迹是一个椭圆

6.（2024•广东广州•模拟预测）已知复数句，z2,下列结论正确的有（）

A.归一区同+闻B.若4-马＞0,则㈤＞"|

C.若＜-Z2[K]ZI+4,则Z「Z2=0D.若Z]=l+i,Z2则五为纯虚数

Z2

三、填空题

7.（2024•山西•三模）己知复数0+2i）-%（3-i）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数

m的取值范围是.

8.（2024•四川成都•模拟预测）设z=2-i,则吐的虚部为_________.

z1

9.2024・甘肃张掖・模拟预测）已知复数z=i+2i2+3i3+---+2O23i2023,则z的虚部为.

四、解答题

10.（2022,湖南•模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最

高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面

是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下

方的"===="是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744,也可以读出

其二进制码（0）11111100100,换算成十进制的数是〃，求（l+i）2"及［号）的值.

r

71

11.（2023,安徽芜湖•模拟预测）已知函数/（x）=asin2x+cos2x,且〃x）4/

⑴求“X）的最大值;

⑵从①②中任选一个作答.若选择多个分别作答.按第一个解答计分.

①A为函数"X）图象与x轴的交点，点B,C为函数“X）图象的最高点或者最低点，求

△ABC面积的最小值.

②。为坐标原点，复数句=-2-4i,4=-2+/（根在复平面内对应的点分别为A,B,求

△048面积的取值范围.

【综合提升练】

一、单选题

•2•

-1+1

1.（2024•湖北武汉•模拟预测）设复数z=，则三的虚部是（)

-1-i3

A.1B.-1C.iD.-i

2.（2024•河北•模拟预测）+>0,6/GR,则()

A.。=1B.Q=±1

C.a<-l^a>lD.a>\

已知z=罟，则z+z』5=（

3.（2024・全国•模拟预测）)

A.iB.—iC.1+iD.1-i

Z2

4.（2024•江西•模拟预测）在复平面内,复数Z对应的点的坐标为（1,-1）,则()

l-2i

A.UiC.21D.2+公

B.

55555555

（2。24・四川成都•模拟预测）复数z=苫在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数“

5.

的值为（

A.1B.2C.-1D.-2

1+i

6.（2024•山西运城•三模）设2=，贝Uz=（）

l+i2+i5

A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i

（2024•陕西西安•模拟预测）已知i是虚数单位，若2="是纯虚数，则实数。=（）

7.

2+1

A.-2B.2C.D

2-I

8.（2024•黑龙江齐齐哈尔•三模）复平面内。三点所对应的复数分别为1-i,2-i,3+i,

若四边形/3C。为平行四边形，则点。对应的复数为（）

A.2B.2+iC.1D.1+i

二、多选题

9.（2024•江苏南通,模拟预测）已知句，Z2都是复数，下列正确的是（）

A.右Zy=z2，则z/2£RB.右z/2£R,则Z]=z]

C.若㈤则z；=z；D.若z；+z；=0,则㈤="|

10.（2024,广东江门,一模）下列说法正确的是（）

A.z-z=|z|2,zeC

B.i2024=-l

c.若匕1=1,zee,贝”Z-2|的最小值为1

D.若-4+3i是关于x的方程x2+0x+q=O（，qeR）的根，贝l]/=8

IL（2024•河南•三模）在复平面内，设。为坐标原点，复数对应的点分别为A,B,

若E_L赤，贝1k可能是（）

A.2iB.1-V3iC.73+iD.73-i

三、填空题

12.（2023•天津南开•一模）i是虚数单位，复数?胃=.

13.（2024•辽宁葫芦岛•二模）已知复数z满足（z-i）（l-i）=2,则目的值为.

14.（2024•福建厦门•三模）复数z满足z+彳=2,zz=4,贝U|z—彳|=.

四、解答题

15.（2021•上海浦东新•模拟预测）已知关于x得二次方程：

x2+（2+i）x+4ab+（2a-b）i=0（。,6eR）.

⑴当方程有实数根时，求点（。*）的轨迹方程;

（2）求方程实数根的取值范围.

16.（2022•浙江•模拟预测）在正三棱台。48-。4月中，AO/8是边长为4的等边三角形,

\AB\,兀

且//=2.已知|。勾=5,ZOCH=~,D,b分别是线段03,的中点，当直线G"

上一动点C在射线。。1上时，|。©=1,tan/C44=行.

⑴证明：OCL平面445

⑵求直线GH与平面4BB4所成角的正弦值;

⑶连接。，C8,已知点C在平面0/8投影是G，平面。是一个分别以D4,。。作为x,

了轴的复平面，2=£»£.当。4，。8时，请直接写出z的虚部（不要求写出过程）.

17.（2021・上海•模拟预测）已知关于x的方程--3*-34=0（“€尺）的虚数根为占、x2.

（1）求闻+卜|的取值范围;

（2）若上-引=1,求实数。的值.

18.(2021•黑龙江大庆•模拟预测)已知复数2=加-i(〃?eR),且z-(l+3i)为纯虚数(［是

z的共轨复数).

(1)设复数4=?二，求㈤；

(2)复数^在复平面对应的点在第一象限，求实数4的取值范围.

19.(2024•安徽蚌埠•模拟预测)对于无穷数列旬,…我们称

=与"=%+午+*尤2+...+,无"+...(规定0!=1)为无穷数列｛%｝的指数型母函

〃=0〃«L♦

n

8]Y2Y

数.无穷数列1，1，…，1,…的指数型母函数记为e(x)=Z-/=l+x+=；+…+1+…，

n=0n\2!n\

它具有性质e(x)e(j)=e(x+y).

(1)证明：e(-x)=；

e(x)

、x-'(-1)*2kiX~X”、、Ef口口/、e(LX)+e(—IX).

⑵记c(x)=£万二X=1-阳+了+…+(-l)为穴+….证明：c(x)=----------------(其中I

k=o(2A-)!2!4!(24)!2

为虚数单位)；

X

⑶以函数为指数型母函数生成数列｛纥｝，

YyRRR

1

=B0+Blx+^-x+-+^-x"+■■■.其中纥称为伯努利数.证明:

e(x)-1〃=o加2!n\

4=一;.且当印=0(斤=1,2,3,…).

【拓展冲刺练】

一、单选题

1.（2024•浙江温州,二模）已知zeC,则"eR"是"zeR"的（）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

2.（2024•全国•模拟预测）已知i为虚数单位，且复数1°24=6,则下列说法中正确的是

（）.

A.复数z为实数B.i2024=i

C.复数z为纯虚数D.z=-6i

2024

3.（2024•全国•模拟预测）已知复数z满足：（l+i）Z=2+3i（i为虚数单位），则彳在复平

面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2024•辽宁葫芦岛•一模）设4，Z2为复数，则下列命题正确的是（）

A.若Z]+Z2>0,则

B.若2必2=0,则Z]=0且Z2=0

C.若㈤=%|,则z；=z；

D.^\Z-Z,\=\Z-Z2\,且Z]WZ2，贝”在复平面对应的点在一条直线上

二、多选题

5.（2024•辽宁丹东•二模）已知复数百的虚部与zZ的实部均为2,则下列说法正确的是（）

A.Z1是虚数

B.若[zj=|zj=2,则Z[=Z2

C.若Z]=[,则4与Z?对应的点关于x轴对称

D.若是纯虚数，则㈤=团

6.（2024•山东青岛,一模）已知复数z,下列说法正确的是（）

A.若z-7=0,贝！]z为实数B.z2+z2=0,贝!]z=^=0

C.割z-i|=l,贝『z|的最大值为2D.若|z-iHz|+l,则z为纯虚数

三、填空题

7.（2024•上海普陀•二模）已知复数z=l+i,其中i为虚数单位，则彳