贵州省遵义市2025届高三第一次适应性考试数学试卷（含答案解析）

贵州省遵义市2025届高三第一次适应性考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数4=2+4，z2=3-2i,则下列选项正确的是（）

A.闵=%|B.Zj=-z2

C.Z]=z2D.z、=—z2

2.若奇明黎是定义在R上的增函数，则下列选项正确的是（）

A./（x）=-—B./（x）=x3+3x

Inx,x>0

C.〃x）=e"+efD./（x）=<0,x=0

ex,x<0

3.已知集合A={。,1,2},B={1,2,3},若集合C={zeN*|z=醐,xeA且yeB},则C的子

集的个数为（）

A.8B.16C.32D.64

4.如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算

经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书

之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为。，6斜边为。（a、b、c均

2

为正数）.则（。+4=4必+0-a?,（a+6）2=2c2-g-a）”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”

时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为的长度（制作其

它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（）

A.9B.18C.27D.36

5.设。=log20242026,b=log20232026,2024c=2025.则（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

6.已知函数/（力=*-2江+25一2乙则下列选项正确的是（）

A.“X）的图象恒过点（0,0）B./（X）的图象必与x轴有两个不同的交点

C.“X）的最小值可能为—2D.“X）的最小值可能为-1

7.若5布（：一口-,=一（，则sin（«+/?）-cos（«+/?）的值为（）

A应R2瓜72

A.------D.------C.Un.

55510

8.在矩形ABC。中，AB=2近a，BC=4a,E为BC的中点，将AABE和ACDE分别沿AE,

DE折起，使点B与点C重合，记为点尸，若三棱锥尸-ADE的四个顶点都在球。的球面上,

则球。的表面积为（）

A.36a，B.20a2nC.9a2nD.4a2兀

二、多选题

9.已知函数〃x）=x,xe[-1,1],函数g（x）=2f-下列选项正确的是（）

A.方程〃g（x））=0无实数解

B.方程〃彳）+8（》）=0有且仅有两个解

C.方程〃力送（司=0有且仅有三个解

D.方程g（/（x））=0有且仅有四个解

10.数列｛月｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列，又称黄金分割该

数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即工+2=工旬+工（〃eN*）,则下列选

项正确的是（）

A.%=55

B.F1+F3+F5+F1+……+%=莅

试卷第2页，共4页

C.K+K+稣+月+...+尸2024=8025

D.斤+工2+居2+厅+……+F：=F』

11.已知函数〃%）=卜足乂+|8$]|+卜泣2%],则下列选项正确的是（）

A.函数的最小正周期为m

B.函数〃尤）的图象为中心对称图形

C.函数/'（X）的图象关于直线了=:对称

D.函数〃x）的值域为[1,1+3]

三、填空题

12.VxeR,关于x的一元二次不等式£-2x+a>0恒成立，则实数。的取值范围是.

13.在多项式（〃+30（1-村的展开式中，炉的系数为32,则”.

14.定义在R上的偶函数“X）满足〃l+2x）+/（l-2x）=6,则/⑴=；

/（1）+/（2）+/（3）+……+/（2023）+/（2024）+/（2025）=.

四、解答题

15.已知公差为2的等差数列｛%｝和公比为2的等比数列他,｝满足：q+%=%,a2=b2.

⑴求％和”;

⑵求数列｛%也｝的前〃项和S,.

16.记VA5c的内角A,B,C对应的三边分别为。，b,c,且6sinB+cosB=l.

⑴求B;

（2）若6=3,求VABC的周长的取值范围.

17.已知4台车床加工的同一种零件共计1000件，其中第一台加工200件，次品率为5%；

第二台加工250件，次品率为6%；第三台加工250件，次品率为8%；第四台加工300件,

次品率为10%.现从这1000件零件中任取一个零件.

（1）求取到的零件是次品的概率；

⑵若取到的零件是次品，求它是第i(其中"1,2,3,4)台车床加工的零件的概率.

18.如图，现用一个与圆柱底面成e角的平面。截圆柱，所得截面是一个椭圆c,在平面。

上建立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2,。=餐TT

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设POo，yo)为椭圆c上任意一点，/为椭圆c在点尸处的切线.设椭圆c的两个焦点分别为

K,F2,它们到切线/的距离分别为4,d2,试判断是否为定值？若是，求其定值；若

不是，说明理由.

19.已知函数/(x)=e^-alnx(“eN*,o＞0,In2®0,693,e®2.71828).

⑴当〃=1,a=e时，求函数/(x)的单调区间；

⑵当〃=2,。＞0时，求函数/(x)的最小值；

(3)当〃eN*,时，函数f(x)的极小值是关于〃的函数，记为。“，设

S”=%+4+%+….若＜10e,求"的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ABCBDDCBBCABD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】根据复数的模和共辗复数的概念即可判断.

【详解】对A,0=收二三=而，Z2=3-2i=42+(-2)2=而，则闵=闾，故A正

确；

对B,-z2=-3+2i^z；,故B错误；

对C,显然ZiRZz,故C错误；

对D,—z2=—(3+2i)=-3—2i,则z1片—z0,故D错误.

故选：A.

2.B

【分析】对于A,由函数定义域即可判断；对于B,先得函数定义域，接着利用导数工具得

函数八支)的单调性，再由/(-力=-/(力得函数奇偶性即可判断13；对于C,由函数的奇偶

性即可判断；对于D,由/卜£|>/(0)即可判断得解.

【详解】由题函数/(*)是定义域为R的奇函数，且在定义域R上单调递增.

对于A,〃力=-：定义域为(-<»,0)30,口)，故A错误；

对于B,函数/1(%)定义域为R,因为函数和y=3x是定义在R上的增函数，

故函数f(x)是定义在R上的增函数，

X/(-%)=(-%)3+3(-^)=-%3-3^=-(%3+3^)=-/(%),故函数f(x)为奇函数，故B正确;

对于C,函数/(%)定义域为R,f(-x)=e-x+e(-x)=e-+ex=/(x),

故函数/O)为偶函数，故C错误；

对于D,因为/，；］=eT>〃O)=O,故函数f(x)在定义域R上不是增函数，故D错误.

故选：B.

3.C

答案第1页，共12页

【分析】首先求集合C中的元素，再根据集合的元素个数，代入公式，即可求解.

【详解】由条件可知，肛=0xl=0x2=0x3=0,xy=1x1=1,lx2=2xl=2,1x3=3,

2x2=4,2x3=6,

所以集合c={1,2,346},集合C的子集的个数为25=32个.

故选：C

4.B

【分析】根据题意可得。+匕=6,a>0,6>0,结合基本不等式即可得/+片的最小值.

【详解】由题可知。+〃=6,。>0*>0,

则a即6'2^/^,所以MW9,当且仅当。=匕=3时，等号成立

又“赵爽弦图'’的面积为。2+/=(a+6)2-2a6=36-2aZ?N36-2x9=18,

所以当。=人=3时，"赵爽弦图”的最小面积为18.

故选：B.

5.D

【分析】根据指对互化，结合对数函数/(x)=log2024X的单调性可比较a，c大小，根据对数

函数g(x)=log2026X的单调性，结合对数的运算即可比较a，》的大小，从而得结论.

【详解】因为2024。=2025,所以c=logziw2。25,

又因为函数/(x)=log2024X在工e(0,+8)上递增，所以log20242025<log20242026,即C<。，

因为函数g(x)=lOg2026尤在％6(0,+8)上递增，

所以0=log20261<log20262023<log20262024<log20262026=1,

11

则ice'即l°g20232°26>log20242026,即">"，

1O&2026ZUZDl°g2026NU"

综上可得：b>a>c.

故选：D.

6.D

【分析】举反例求/(O)与判别式可判断AB,求函数的最小值，再判断范围，即可判断CD.

【详解】A.当/=2时，/(0)=2?-2r=2x22-2x2^0,

答案第2页，共12页

所以〃尤)的图象不恒过点(o,o),故A错误；

B.当/=0时，A=4?-4(2/2-=-4t2+8r=0,

此时/(x)的图象必与无轴只有1个交点，故B错误;

CD./(x)=x~—2tx+2厂-2t=(x—+/一2t,

则〃尤)的最小值为=

所以函数的最小值不可能是-2,可能为-1,故C错误，D正确.

故选：D.

7.C

【分析】由题得sin|j-a-q=sin：-(a+0,接着由已知结合两角差的正弦公式即可

计算求解.

［详解］由题sin_a_')=sin+

=sin：cos(a+〃)-cos：sin(c+B)

0i

=^-[cos(tz+£)_sin(a+£)]=一丁

所以sin(a+尸)-cos(a+

故选：C.

8.B

【分析】首先判断尸E,P4PD两两互相垂直，再补体成为长方体，利用长方体和四棱锥

P-ADE是同一个外接球，即可求半径，求球的表面积.

【详解】依题意，PE±PA,PELPD,PA［｝PD=P,P4,POu平面上4£),

则尸E_L平面尸AD,

PA=PD=2&，AD=4a,即有PT+产犷=仞2,则以，尸£),

由此可将三棱锥尸-ADE补成以尸及尸4也》为相邻三条棱的长方体，

若三棱锥尸-4组的四个顶点都在球0的球面上，则该长方体的各顶点亦在球0的球面上,

12

设球。的半径为R,则该长方体的体对角线长为2R,2R=dPE°+PA+PD=2#1a

答案第3页，共12页

p

故选：B

9.BC

【分析】对于A,由题/(g(x))=O等价于g(x)=0,解方程g(x)=0即可判断A；对于B,

直接解方程〃x)+g(x)=0即可得判断；对于C,直接解方程(2犬-1b=0/€[-1,1]即可得

解判断；对于D,由题g(〃x))=。等价于〃到=±季[-1』，解方程7(尤)=±冬[-1』

即可得解.

【详解】对于A,由题可知/(0)=0,故/等价于g(x)=0,

gM=OBP2x2-l=0^x=±^e[-l,l],故方程/(g(x))=。有实数解，故A错误；

对于B,方程/(x)+g(x)=0即2炉+计1=0,工4-1,1],

故(2x-l)(x+l)=0,xe,解得尤]=J,%=—1,故B正确；

对于C,方程=0即(2%2―1卜=0,无,

故解方程(2/-1b=0,xe[-M]得工=0或；1=±¥«-1』，故C正确；

对于D,因为｛±']=0,方程g(7(x))=0等价于〃x)=±条[-1』，

故由函数/(x)=x,xe[—l』得方程〃x)=±¥的解为x=±2，故D错误.

故选：BC.

10.ABD

【分析】根据递推公式进行验证.

【详解】由己知％=21+34=55,A正确；

F24=F23+F22=F23+F2l+F20=---=F23+F2l+---+F3+F2=F23+F2l+---+F3+Fl,B正确；

g025=工024+B()23=^*2024+工022+「2021=…=^*2024+^*2022+1■居+工

答案第4页，共12页

=工024+8022+卜工+玛+耳,C错;

PnPn+l=F"(F"+匕-)=月2+FgF“=F>£T(ET+£_2)=k+号|+El工一2=…=

k+R+…+母+KK

=居2+碓+...+号+斤（为+月）=琛+改+...+好+管+马耳

=E；+£-+•••+瑞2+后+斤，D正确,

故选：ABD.

11.ACD

【分析】用反证法证明最小正周期为g,从而判断A,对周期函数，其图象有对称中心，则

在一个周期内必有对称中心，最低点到相邻的最高点（如果有）连线段中点就是对称中心,

由此结合反证法判断B,由/（x）=/q-尤）判断C,利用周期性，只要在一个周期内考虑去

绝对值符号后求得最值可得值域，从而判断D.

7T

【详解】选项A,若/（%）最小正周期丁£（05），首先/（。）="0=1,

2

兀...

xG（0,—）时，/（x）=sinx+cosx+sin2x=sinx+cosx+2sinxcosx

=(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)-l,

xe（0,立时，x+：e（：苧，sin（尤+京）€（孝,1］，

sinx+cosx=叵sin(x+—),

4

所以sinx+cosx£,设/=sinx+cos%£(1,72],

22

y=r+f-l=(f+l)-1,在(1,0]上是增函数,

又f=l时，y=l,r=时，j=1+5/2,因此ye(1,1+,

所以不可能有/(T)=l,即T不可能是y'(x)的周期，

又/(%+])=sin(x+^)+cos(x+^)+|sin(7t+2x)|=|cosx|+|sinx|+|sin2x|=/(%),

所以］是函数的一个周期，综上最小正周期是A正确;

选项B,

由此讨论知/（0）=/弓）=1是函数的最小值,

答案第5页，共12页

xe［0,—］Ht,/(x)=2sin2(x+—)+41sin(x+—)-1=［A/2sin(x+—)+—］2--,

244424

y=«+!)2—在，＞。时是递增函数,，=&sin(x+；)在。。上递增,在日,巴］上递减,又

244442

/(x)是以会为周期的周期函数，

Ax)在上递增，在止,3上递减，

442

所以Ax)在佟，"+勺上递增，在佟+1,等］上递减，其中ZeZ,

224242

jrJr

假设/(x)的图象有对称中心，则［0,勺上也有一个对称中心，而在［0,勺上函数图象的最高

44

点是。』+五)，最低点是(0,1),因此对称中心应为(士1+1)，

482

而sin(巴+工)=sin如7Ki=叵逅，

848y22

巴14+26+j_)2_*=.+"+2痣＞1+旦,因此点(工,1+立)不可能是/(x)图象

82242282

的对称中心，

所以/(x)的图象没有对称中心，B错；

选项C,/(、一无)=sin("1一尤)+cos(］—x)+sin2(^-x)=|cosx\+|sinx\+|sin2x|=/(x),

所以函数/(x)的图象关于直线x对称，C正确；

选项D,由选项A知，f(x)的周期是冷，而在［0,曰上f(x)的值域是［1,1+四］,

所以函数的值域为［1,1+3］,D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：含有绝对值的函数问题有一定的难度，解决方法是根据绝对值的定义或

者用换元法去掉绝对值符号，本题中函数为周期函数，因此可有一个周期内进行讨论，从而

容易去掉绝对值符号，把函数化简.在sinx土cos兀与sinxcosx同时出现时，^,t=sinx±cosx,

用换元法变换函数式进行研究是常用方法.

12.(l,+oo)

【分析】根据二次函数的性质得A＜0,即可求解.

【详解】由题意可知，A=(—2)2—4。＜0,得

答案第6页，共12页

故答案为：(1,+8)

13.-17

【分析】首先展开得“1-xf+3Ml-%):再分别计算两部分含V的系数，即可求解.

5

【详解】+=[(1一%)5+3x(l-x),

。(1-%丫中含%5的系数为F,(1—力5中含/的系数为c：=5,所以3X0-%)5中V的系数为

15,

所以—a+15=32,得.=-17

故答案为：-17

14.36075

【分析】在〃1+2力+〃1-2力=6中令x=0即可得f⑴的值；结合函数的偶函数性质与

/(l+2x)+f(l-2x)=6,换元转化可得函数/'(X)是周期为4的函数，赋值求解

〃3),〃2)+〃4)的值，从而求得了(1)+〃2)+〃3)+〃4)的值，由周期即可得所求.

【详解】因为/(l+2x)+/(l—2x)=6,令x=0可得，/(1)+/(1)=6,所以/(1)=3；

函数/(x)为偶函数,则/(力=/(—力，

因为/(l+2x)+/(l_2x)=6,所以/«)+/(2_。=6,则/(r+2)+/(f)=6,

又/«)"(-),所以加+2)+价=6,则有/«+2)=/(・2),

因此可得/(x+4)=/(x),故函数是周期为4的函数；

在/(1+2力+/(1—2x)=6中，令无=1可得/(3)+/(-1)=6,

又/(T)=〃l)=3,所以/(3)=3,

令x=；可得〃2)+/(0)=6,又/(4)=/(0),所以〃2)+〃4)=6,

则/(1)+/(2)+〃3)+/(4)=3+6+3=12,

所以

/(1)+/(2)+/(3)+……+/(2023)+f(2024)+f(2025)=[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]x506+/(1)=12x506+3

答案第7页，共12页

故答案为：3；6075.

15.⑴。“=2〃，bn=2"

⑵S“=(2"-2)。"1+4

【分析】(1)根据等差等比数列求结合已知条件件求数列的通项公式即可；

(2)利用错位相减法求出数列的和.

【详解】(1)设等差数列的公差为d,则1=2,

X«i+«2=«3»所以2%+1=4+21,即q=d=2,所以%=2+(〃一l)x2=2w；

设等比数列｛加｝的公差为d,则4=2,,

由g=4=4=44=2仿，得4=2,所以，=2X2"T=2"

n

(2)■,•an-bn=2nx2.

=2x咪+4x2?+…+(2〃-2)x2"-1+2nx2",

23+1

2Sn=2x2+4x2+...+(2n-2)x2"+2nx2".

两式相减可得：-S==4+2x(2~+23H----F2")—2〃x2"'

4_2〃+i

=4+2x--2/7x2,,+1=(2-2n)x2,,+1-4,

n+1

Sn=(2n-2)T2+4.

2n

16.(l)B=y

(2)(6,273+3]

【分析】(1)利用三角恒等变换可得sin(B+£)=；,结合角度范围与正弦函数值即可得角

B的大小；

(2)利用正弦定理边化角可得。=2石sinA,c=2行sinC,结合三角恒等变换将周长a+b+c

转化为关于角A的正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可得VA5C的周长的取值范围.

【详解】(1)因为Gsin8+cos8=l,所以2sin(B+%]=l,gpsin^B+—,

因为86(0,/,所以8+6=费，即8=日；

答案第8页，共12页

b

2兀--------——-A=273

(2)因为5=3-,〃=3,由正弦定理得sinAsinCsinB百

2

贝!Ja=2石sinA,c=26sinC,又A+3+C=7i,

71

则。=7i—B—A=^—A,且

3

所以〃+/?+<?=2^/3sinA+2^/3sin[；-A[+3=2^3sinA+3cosA-石sinA+3

=6sinA+3cosA+3-sin[A+§)+3

兀712兀，则sin[A+]卜

因为Ae,所以A+1G

333

综上可知，三角形ABC的周长的取值范围是（6,2石+3].

⑦(1$

2142

⑵分别为I?丁I?丁

【分析】（1）用样本估计总体，由所有次品总数除以1000即可得;

（2）求出各台机床产生的次品数，分别除以总次品数即可得.

200x5%+250x6%+250x8%+300xl0%753

【详解】（1）由题意所求概率为尸=

1000100040

（2）由题意第一台车床加工的零件中次品数约为200x5%=10,第二台车床加工的零件中

次品数约为150x6%=15,

第三台车床加工的零件中次品数约为250x8%=20,第四台车床加工的零件中次品数约为

300x10%=30,

10+15+20+30=75,

所以取到的零件是次品，它是第一台车床加工的零件的概率为片=i/n=]2,它是第二台车

床加工的零件的概率为耳=w

它是第三台车床加工的零件的概率为片=*20=走4，它是第四台车床加工的零件的概率为

2

5

18-呜+卜;

答案第9页，共12页

(2)4d2=4.

2acos0=4

【分析】(1)由题意得23=4,求出。力即可得解；

e=-

[3

(2)分直线/斜率不存在和直线/斜率存在两种情况去分析求解即可，对于直线/斜率存在

且不为0情况，先设切线方程，接着联立椭圆方程利用x；+4y：=16和△=()整理得切线/

的斜率上=一含，从而得切线方程，：％x+4%y-16=。，再利用点到直线距离公式和

呼+=16即可计算求解4d2=4.

2〃cos9=4，

(a=4

【详解】(1)由题可得20=4o7,且椭圆。的焦点在x轴上，

[b=2

e=-

[3

22

所以椭圆C的标准方程为2+3=1.

(2)由⑴耳,2百,0),鸟(2后0),

当直线/斜率不存在时，则由(1)得/:%=4或*=7,

当/:x=Y时，dx=a-c,d2=a+c,此时&&=(a-c)(a+c)=/-c2=4,

当直线/斜率存在时，设/:>-%=左卜-不),

y-y0^k(x-x0)

联立(1+4左~)尤？+8(的o—左""尤0)尤+4^~XQ—8AXQ%+4y；—16=0,

1164

贝ijA=64(^0-/尤。了一40+4左2)(4左2%-8Ax0%+4%-16)=0,

答案第10页，共12页

整理得(16-需*+2与/_y；+4=0①,

又江+区=1即x：+4y：=16,故片=16-4/，

164

2

将其代入上式①可得16y；/+8xoyok+无；=。即(4%人+xo)=O,故左=一2，

”0

所以/:=_^-(%一/),整理得/：入0冗+4%y—16=0,

所以点耳卜2®0),B(2Ao)到I的距离的乘积为

2氏一161_|12片_16?_12x；-16?|_4(3x；-64)

-—16

=7%)+16y)||片+16巾x；+64一4x；||3x；一64=4.

也；+16y；((

综上，4d2是定值且44=4.

19.(1)递减区间是(0,1),递增区间是(1,+8)；

(2)e+eln2；

(3)5.

【分析】(1)把〃=1,a=e代入，利用导数求出函数的单调区间.

(2)把〃=2代入，利用导数求出最小值函数，再借助基本不等式求出