高考数学重难点突破训练：利用导数研究恒（能）成立问题（十一大题型）（原卷版）

重难点突破05利用导数研究恒（能）成立问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：直接法..................................................................3

题型二：端点恒成立..............................................................5

题型三：端点不成立..............................................................6

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离......................................7

题型五：洛必达法则..............................................................9

题型六：同构法与朗博同构.......................................................10

题型七：必要性探路.............................................................11

题型八：max,min函数问题.....................................................13

题型九：构造函数技巧...........................................................14

题型十：双变量最值问题.........................................................16

题型十一：恒成立问题求参数的具体值.............................................17

03过关测试....................................................................18

亡法牯自与.柒年

//\\

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数

后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论

法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)VxeD,(A:)^；

(2)VxeD,加之1mx；

(3)BxeD,7?i</(x)o/n</(x)n]ax；

(4)3x&D,m>

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(x),x&[a,b],y=g(x),x&[c,d\.

⑴若V%e[a,0,Vx2e[c,i/],有/㈤<g(w)成立,则/⑺1mx<g(x)1n；

⑵若V%e[a,国,3%,e[c,d],有/(%)<g(%)成立,则/⑺1mx<g(x)1mx；

⑶若玉!e[a,6],河e[c,d],有/(%)<g(巧)成立,则/(x)111ta<g(x)1mx;

(4)若％e>,6],Bx2e[c,d],有/a)=g(%)成立,则/(x)的值域是g(x)的值域的子集.

4、法则1若函数和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=O&limg(x)=O；

XTaQ

(2)在点。的去心邻域(。-£,a)5aM+£)内，/(X)与g(x)可导且g'(x)#0；

法则2若函数/(x)和g(x)满足下列条件：⑴理/(x)=0及㈣g(x)=O；

(2)3A>0,/(x)和g(x)在(f,A)与上可导，且g'(x)#O;

/'(x)

(3)lim修==/,

…g(x)

/(x)/'(x)

那么lim，4=lim-4=/.

f°g(九)g(町

法则3若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(1)吧/(九)二°°及㈣g(，)=8；

(2)在点〃的去心邻域(。一&。)。(。,。+£)内,/(%)与g(%)可导且g'(%)W0;

(3)lim-=/,

fg(%)

那么lim：?=lim/^=/.

』g(x)』g(x)

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

(1)将上面公式中的1-a,xfgx.f,x-/，x—晨洛必达法则也成立.

(2)洛必达法则可处理°,O-oo,10°,oo°,0°,co—8型.

(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足之,O-oo,f,8°,Q°,8-8型定式，

否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用,

应从另外途径求极限.

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

==如满足条件，可继续使用洛必达法则.

…8\X)—ag(%)fzg(可

题型一：直接法

【典例1-11(2024•河南信阳•模拟预测)已知函数/(x)=xlnx,/7(x)=V^(x-l)(x>0).

⑴试比较/(x)与Mx)的大小；

⑵若/(x)4(xT)(依-。+1)恒成立，求。的取值范围.

2

【典例1-2】(2024•山西•模拟预测)已知函数〃无)=一■,g(x)=lnx—依，a^O.

(1)讨论函数g(x)的单调性；

⑵当。>0时，尸(龙)=8(尤)-〃力40恒成立，求。的取值范围.

【变式1-1](2024•四川绵阳•模拟预测)已知函数/(x)=alnx-!+x(aeR).

X

⑴讨论“X)的零点个数；

(2)若关于x的不等式/⑴V2x-*在(0,+。)上恒成立，求。的取值范围.

e

【变式1-2](2024•湖南衡阳•三模)已知函数f(x)=(x-l)e工一/+1.

⑴当a=e时，求函数/(x)在点P(l,f(l))处的切线方程；

(2)若xe[0,+8),不等式/(无)20恒成立，求实数。的取值范围.

【变式1-3](2024•四川成都•模拟预测)设/(x)=(/_l)e，+sinx-3

(1)当a=0，求函数〃无)的零点个数.

(2)函数A(x)=/(©-sinx-x?+2依+2,若对任意xNO,恒有/?(x)>0,求实数。的取值范围

题型二：端点恒成立

【典例2-1](2024•广西•三模)已知函数/(x)=e*-x.

(1)求函数/(元)的极值；

(2)若对任意x>0,〃尤)>：依2+1,求。的取值范围.

【典例2-2](2024•四川•模拟预测)已知函数/(x)=ex-£尤3T.

(1)若/(%)有3个极值点，求。的取值范围；

(2)若x20J(x)2加+x,求。的取值范围.

【变式2-1](2024•山西•三模)已知函数[(x)=ae*—尤+1

⑴当a=1时，求曲线>=以x)在点(1J⑴)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)当x2。时，/(x)N办2恒成立，求。的取值范围

【变式2-2](2024•河北•模拟预测)已知函数〃元)=g,g(x)=sin%+cosx.

⑴当a=l时，求/(元)的极值；

⑵当无«0㈤时，/("Vg(x)恒成立，求。的取值范围.

题型三：端点不成立

【典例3-1】(2024•河南郑州•模拟预测)已知〃x)=(x-a-l)e*-gar?+〃、-1.(aeR)

⑴讨论/⑴的单调性；

(2)若a=-l,且存在xe(0,+co),使得/1⑺Wlnx+g/+(6+l)x,求6的取值范围.

【典例3-2】(2024•山东泰安•三模)已知函数/(%)=

(1)讨论的最值;

(2)若a=l,且隹―，求左的取值范围.

【变式3-1](2024•四川•模拟预测)已知函数〃x)=axlnx-2x+b(«,6eR)在点(1,/。))处的切

线方程为y=

⑴求函数/(x)的极值；

⑵设g(x)=exVpj+2+mx(meR),若g(x)20恒成立，求加的取值范围.

【变式3-2](2024•安徽合肥•模拟预测)/(x)=e"(aeR).

⑴若〃x)的图象在点A(x0,7'(%))处的切线经过原点，求为；

(2)对任意的xw[0,4co),有/(x)2sinx,求。的取值范围.

【变式3-3](2024•浙江金华•三模)已知函数〃x)=ox+xlnx在X=e(e为自然对数的底数)处取得

极值.

⑴求实数a的值；

(2)若不等式迫恒成立，求上的范围.

XyX)

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

【典例4-1】(2024•陕西咸阳•三模)已知函数〃x)=0吧+x-l.

X

(1)当。=1时，求函数g(x)=/(x)-x极值；

(2)若对任意xe[l,+e),/(x)2a+l恒成立，求实数a的取值范围.

2

【典例4-2】(2024•湖南衡阳•模拟预测)已知函数/(x)=e'-x,函数8(h=/+,尤_2("0).

⑴若直线x=r«eR)与函数/⑺交于点A,直线x=e'T(reR)与函数g(x)交于点3,且函数/(x)在点

A处的切线与函数g(尤)在点2处的切线相互平行或重合，求。的取值范围；

(2)函数〃(x)=xlnx-£g(尤)在其定义域内有两个不同的极值点X],*2，且&＞马，存在实数几＞0使得不

等式事+"＜工厂尤恒成立，求实数X的取值范围.

【变式4-1】已知函数〃力=，+2/2卜1

⑴若函数无)=g加+2加+4依，F(x)=/(x)+m(x),讨论函数尸(x)的单调性；

⑵若不等式/'(%)2(%2+2卜'.+(%+1)2(111彳+如+1)恒成立，求实数b的取值范围.

【变式4-2](2024•山东济南•三模)已知函数〃尤)=。*+2*-2,其中a>0且。工1.

(1)若/'("是偶函数，求。的值；

⑵若x>0时，/(x)>0,求。的取值范围.

【变式4-3](2024•辽宁沈阳•模拟预测)设函数〃到=如1”》-362的两个极值点分别为

(1)求实数。的取值范围；

(2)若不等式X<4％+%)恒成立，求正数几的取值范围(其中e=2.71828…为自然对数的底数).

【变式4-4](2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=ae'+无+2,曲线y=〃x)在点(1J⑴)处的切线

与x轴平行.

(1)求实数。的值；

⑵若对于任意xe[e,y),/⑺(而恒成立，求实数几的取值范围.

【变式4-5](2024•四川绵阳•模拟预测)己知函数=

(1)当机=2时，求函数/(幻的单调区间；

(2)若以〉0,不等式/(幻〉/恒成立，求实数机的取值范围.

题型五：洛必达法则

【典例5-1］已知函数/(x)=alnx+bx(a,beR)在x=』处取得极值，且曲线y=/(%)在点(1,/(D)处

2

的切线与直线%-丁+1=。垂直.

⑴求实数。,6的值；

(2)若X/x£［l,+8),不等式/(X)((m—2)x——恒成立，求实数加的取值范围.

X

Y

【典例5・2】设函数/(工)二1一《一".当时，/(%)<-----,求。的取值范围.

ax+1

【变式5-1］设函数/Xx)=‘in”.如果对任何x'o,都有/(x)Wox,求。的取值范围.

2+cosx

【变式5・2】(2024•浙江宁波•模拟预测)已知函数/(x)=e"一.

⑴讨论了(%)的单调性；

(2)若对任意的恒成立，求〃的范围.

题型六：同构法与朗博同构

【典例6-1】已知函数〃x)=e,,g(x)=；

⑴若Mx)=/(x)-mg(x)(机eR),判断/?("的零点个数；

(2)当x>0时，不等式时(力2黄y+hu+2恒成立，求实数。的取值范围.

【典例6-2](2024•全国•模拟预测)已知函数/卜)=1-2e"lnx.

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵当x>2时，/(x)>0恒成立，求实数。的取值范围.

【变式6-1】已知函数〃工六耳"、?，)，其中qeR.

⑴讨论函数极值点的个数；

(2)对任意的无>0,都有求实数”的取值范围.

【变式6-2](2024•海南海口•一模)已知函数/(尤)=生+1.

X-L

⑴讨论函数〃元)的单调性;

A,x

AxeI-1

(2)已知;1>0,若存在％w(l,+oo),不等式成立,求实数力的最大值.

：V'+i

【变式6-3](2024•云南•模拟预测)已知函数/㈤=e*+a,g(x)=lnx.

⑴若函数g(x)在x=l处的切线/也与函数的图象相切，求。的值；

⑵若/(x+a)2g(x)恒成立，求。的取值范围.

【变式6-4](2024•内蒙古•三模)已知函数/(x)=f-ox+21nx.

(1)讨论的单调性；

⑵若a>0,/(x)<eOT恒成立，求。的取值范围.

题型七：必要性探路

【典例7-1】(2024.江西九江•统考三模)已知函数=

(1)讨论兀0的单调性：

(2)当〃=-2时，若x»0,/(x)<ln(l+2x)-z7U-l,求实数优的取值范围.

【典例7-2】已知函数/(%)=旦(。<0))在x=l处的切线斜率为

ax-14

⑴求。的值；

(2)若/(x-l)<lnx-z<x-l)-l,求实数相的取值范围.

【变式7-1](2024•陕西商洛•模拟预测)己知函数/(x)=lnx-•依-cosx,“eR.

⑴当aV-1时，求的零点个数；

(2)已知函数/(x)=/(x)+xlnx+co&x+2,若尸(x)20在。,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.

【变式7-2](2024•浙江温州•模拟预测)函数〃x)=eTsinx

⑴求的单调区间.

⑵若f(x)<ax+^^x>0时恒成立，求。的取值范围.

【变式7-3](2024•湖北•模拟预测)已知函数/(x)=xe\

⑴求〃x)的单调区间；

(2)若关于x的不等式/U)+/(l-x)>«恒成立，求实数。的取值范围.

【变式7-4](2024•四川绵阳•模拟预测)已知函数〃x)=2sinx+川(x+1)—依.

(1)当a=2时，求函数/⑴在区间(0,?上零点的个数；

(2)若xNO时，不等式/(x)W0恒成立，求实数。的取值范围.

【变式7-5](2024•四川绵阳•模拟预测)已知函数〃x)=e=左cosx,其中％为常数.

⑴当左=1时，讨论函数〃元)在(0,+8)上的单调性；

⑵若Vxe。。/(x)>l,求实数上的取值范围.

【变式7-6］(2024•重庆•三模)已知函数/(%)=xlnx+ox+L

(1)若，=1,求〃尤)在点(1J⑴)处的切线方程，并求函数的单调区间：

⑵若『(X)在定义域「Le］上的值域是H，e］的子集，求实数a的取值范围.

ee

题型八：max,min函数问题

【典例8-1】已知函数/(x)=(x-2)ei-；x2+x+g,g(x)=ax-sinx-ln(x+l),其中aeR.

(1)证明：当乂.1时，/(%)..0；当x<l时，f(x)<0；

(2)用max{租，”}表示相，”中的最大值，记/(x)=max{f(x),g(x)}.是否存在实数°,对任意的xeR,

尸(x)..O恒成立.若存在，求出°；若不存在，请说明理由.

【典例8-2】已知e是自然对数的底数，函数〃x)="，直线y=为曲线y=/(x)的切线，

ee

g(x)=(x+l)lnx.

⑴求g'(x)的单调区间；

⑵求。的值；

⑶定义min{M,"}={'~'函数〃7(力=疝11{/(力，8(力},/z(x)=7〃(x)-4在(0,+s)上单调递增，求实

数t的取值范围.

【变式8-1】已知函数/(x)=(x-4(e*+l),g(x)=avlnx+x+e-2(aeR),设max{私科表示〃z,”的最

大值，设尸(x)=max{〃x),ga)}.

⑴讨论广(X)在(0,+⑹上的零点个数；

(2)当x>0时/⑺对，求。的取值范围.

【变式8-2】已知函数"x)=(x-l)e£-gx2+i,g(无)=sinx-or,其中aeR.

(1)证明：当xNO时，/(%)>0；当x<0时，/(x)<0；

⑵用max{加,〃}表示s,"中的最大值，记/(x)=max"(x),g(x)}.是否存在实数°,对任意的xeR,

尸(x)20恒成立.若存在，求出a,若不存在，请说明理由.

【变式8-3】已知。为实数，函数〃x)=axinx+x+e-2,g(x)=(x-G(eX+l).

⑴若函数y=/(x)在x=l处的切线斜率为2,求。的值；

(2)讨论函数丫=8'(%)在(0,+e)上的零点个数；

⑶设max{九科表示W的最大值，设“x)=max{/(x),g(x)}.当x>0时，F(x)>0,求。的取值范围.

题型九：构造函数技巧

【典例9-1】已知函数/=机片0.

(1)讨论函数〃x)的单调性；

(2)若g(x)=Y-jx,且关于x的不等式，(x)Wg(x)在(0,+司上恒成立，其中e是自然对数的底数，求

实数〃，的取值范围.

【典例9-2】已知关于x的函数y=/(无),y=gM与h(x)=kx+b(.k,beR)在区间。上恒有/(%)>h{x}>g(x).

(1)若/(力=炉+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-co,+co),求/i(x)的表达式；

(2)^/(x)=x2-x+1,g(x)=k\nx,h(x)=kx-k,D=(0,+<x>),求上的取值范围；

2

(3)若〃司=彳4-2/g(x)=4x-8,/7(%)=4(/-卜-3r+2/2(0</区0),。=在"，〃仁［一四，血］，求证:

n-m<41•

【变式9-1】已知函数〃x)=xe=lnx-L

⑴求函数在x=l处的切线方程；

(2)若不等式>ax(aeR)恒成立，求实数。的取值范围.

【变式9-2］已知函数2(x)=e-e”(a+lnx).

⑴当。=1时，求的单调递增区间；

(2)若〃x)ZO恒成立，求。的取值范围.

【变式9-3］已知函数〃%)=6小一111(%+1).

⑴判断的导函数尸(x)的零点个数；

(2)若“X)上21na—31n2-3,求a的取值范围.

【变式9-4］(2023•安徽合肥・合肥市第六中学校考模拟预测)已知函数〃x)=lnx+26+1,

g(^)=x(eA+l)(e为自然对数的底数).

⑴若函数””的最大值为0,求a的值；

⑵若对于任意正数x,〃x)Wg(x)恒成立，求实数。的取值范围.

题型十：双变量最值问题

【典例10-11(2024•湖北武汉•模拟预测)己知关于x不等式+6对任意xeA和正数6恒成立，

则:的最小值为()

b

A.1B.1C.V2D.2

【典例10-21(2024•江苏•模拟预测)已知/(x)=s+〃，g(x)=lnx,对于Vxe(0,+<»),

/⑺2g(x)恒成立，则优+2〃的最小值为()

A.—In2B.-1C.—In4D.—2

【变式10-1]若对于任意正实数X,都有Inx-的-6+l<0(e为自然对数的底数)成立，则a+b的最小值

是—.

【变式10-2】已知函数/(x)=x3,x>0,g(x)^ax+b,其中a/eR.

(1)若a+b=0,且〃x)的图象与g(x)的图象相切，求。的值；

(2)若/(尤)2g(x)对任意的x>0恒成立，求。+人的最大值.

【变式10-3](2024•高三•江苏苏州•开学考试)已知函数/(x)=e'+f-x,g(x)=x2+ax+b,

a,bGR.

(1)当a=l时,求函数B(x)=〃x)-g(x)的单调区间；

(2)若曲线y=/(x)-g(x)在点(1,0)处的切线为/：x+y—1=0,求a,6的值；

(3)若g(x)恒成立，求a+b的最大值.

题型十一：恒成立问题求参数的具体值

【典例11.1】已知函数〃x)=(e"—l)(2+cos%)—3asinx.

⑴当a=l时，讨论在区间[。,+e)上的单调性；

⑵若Vxe-y,+^,f(x)>0,求。的值.

【典例11-2](2024•福建福州•模拟预测)已知函数/(x)=e£,g(x)=sinx+cosx,其中e为自然对数的

底数.

(1)证明：尤20时，el—1>x>sinx；

⑵求函数/z(x)=/(x)-g(x)在"私+<»]内的零点个数；

⑶若/(x)+g(x”依+2,求。的取值范围.

【变式11-1](2024•河北保定•三模)已知函数/("=依+ln(x+l).

(1)若a=—2,求〃x)的单调区间；

(2)若/(x)W0恒成立，求。的取值集合.

【变式11-21(2024•福建福州•三模)已知函数t/(1=ax-ln(l—x)(awR).

(1)求曲线V=/(元)在点(0"(。))处的切线方程；

⑵若/(x)20恒成立，求。的值

〃过关测试N

1.(2024•辽宁沈阳•三模)已知函数〃x)=ei—a(其中aeR),g(x)=l叱

⑴当a=0时，求函数“X)的图象在点(。，/⑼)处的切线方程；

(2)当x>0时，若“X)2g⑺恒成立,求a的取值范围.

龙+2

2.(2024•甘肃酒泉•三模)已知函数〃尤)=­.

e

⑴求函数〃无)的极值；

(2)若对任意xe[0,+8),都有/(x)2a-x成立，求实数。的取值范围.

3.(2024•河北邯郸•模拟预测)已知函数〃x)=ae*-xlnx.

⑴当a=l时，求函数在处的切线方程；

⑵若“X)为增函数，求。的取值范围.

4.(2024•广西•模拟预测)设函数〃x)=-aInx+e?)a>0.

⑴当a=e时，求函数的单调区间；

⑵证明：/(x)-2a-aln2+alna20.

5.(2024•江西•模拟预测)已知曲线〃尤)=(x+a)ln无在点(I"⑴)处的切线方程为y=6x-3.

⑴求a,6的值；

⑵求〃x)的单调区间；

(3)已知xNyzg,且〃x)+/(y)=aln(孙)，证明：对任意的me。,2],3<2x+my<4.

6.(2024•河南•三模)己知函数/'(x)=atcosx-(a-4xBsinx,g(x)=(a-4xBsinx-8xco&v.

⑴如果4=16,求曲线y=/(x)+g(x)在“兀处的切线方程;

(2)如果对于任意的xe都有/⑺>0且g(x)>0,求实数a满足的条件.

7.(2024•湖北荆州•模拟预测)已知函数f(x)=xlnx.

(1)求〃力的单调区间；

(2)若对于任意-,e,都有/(x)V办-1,求实数a的取值范围.

e

8.(2024•吉林长春•模拟预测)己知函数/■(x)=Gdnr—x"+l.

⑴当a=l时，求/⑴的最小值；

⑵若x>l时，〃力<0恒成立，求。的取值范围.

9.(2024•河南信阳•模拟预测)设函数=1,g(x)=lnx

⑴已知e>kx2Inx对任意xe(0,y)恒成立，求实数k的取值范围；

⑵已知直线/与曲线/(x),g(x)分别切于点(%,〃%))，(无2，g(%))，其中为>0.

-2-1

①求证：e<x2<e；

②已知(九彳2-％+1)e*+x40对任意工©［石,+8)恒成立，求义的取值范围.

10.(2024•黑龙江•三模)设函数f(x)=—+(1-k)x-ldnx.

⑴讨论的单调性；

(2)若左为正数，且存在%,使得了(%)<、-/,求上的取值范围.

11.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(x)=xe\

(1)若存在唯一的负整数%,使得了(%)<利(与-1),求"?的取值范围；

(2)若”>0,当xe(—l,y)时，Q(x)+321n弋+1),求“的取值范围.

12.(2024•福建厦门•三模)已知函数/(x)=alnx+L

(1)若。=2,设b>0,讨论函数g(x)=的单调性;

⑵令人(无)=〃耳-1+千/-尤，若存在毛21,使得求。的取值范围.

2〃一1

13.(2024•云南昭通•模拟预测)设函数〃力=6'-出(》+4),«eR

⑴当。=1时，求“X)的单调区间；

(2)若求实数。的取值范围.

14.(2024•宁夏银川•模拟预测)已知函数/(尤)=丘-ln(l+x)(左＞0).

(1)当上=1时，求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)如果存在％《(。，也),使得当xe(O,x0)时，恒有/。)＜尤2成立，求左的取值范围.

15.(2024•河北•模拟预测)已知函数〃x)=(e—a)e，+x(aeR).

⑴讨论函数的单调性；

(2)若存在实数。，使得关于x的不等式恒成立，求实数4的取值范围.

16.(2024•福建泉州•模拟预测)已知函数/(*)fx21nx.

(1)求了⑺的单调区间；

⑵若存在尤＞0,使得/(%),,以成立，求实数。的取值范围.

17.(2024•河南•模拟预测)已知函数/(x)=alnx+x-l(aeR).

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)Vxe[l,+oo),21nx+(lnx)2,求。的取值范围.

18.(2024•江西•二模)设函数〃x)=alnx-x,其中aeR.

⑴讨论函数〃尤)的单调性；

⑵