空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）（原卷版）-2024-2025学年高二数学复习（人教版选择性必修第一册）

第一章空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）

课标要求

1.能够理解空间向量的概念，运算、背景和作用；

2.能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力；

3.能够掌握空间向量基本定理，体会其作用，并能简单应用；

4.能够运用空间向量解决一些简单的实际问题，体会用向量解决一类问题的思路.

基础知识归纳

一、空间向量的有关概念

1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模;

如空间中的位移速度、力等.

2、几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量［长度相等而方向相反的向量，称为7的相反向量，记为-£

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

二、空间向量的有关定理

1、共线向量定理：

对空间任意两个向量点石3片。），出的充要条件是存在实数X,使£=4次

（1）共线向量定理推论：如果/为经过点A平行于已知非零向量£的直线，那么对于空间任一点。，点P在

直线/上的充要条件是存在实数£,使而=砺+后①,若在I上取AB=a＞则①可以化作：而=函+tAB

P

B

A

O

（2）拓展（高频考点）：对于直线外任意点。，空间中三点尸,A3共线的充要条件是丽=兄丽+〃通,

其中2+〃=1

2、共面向量定理

如果两个向量2万不共线，那么向量方与向量2万共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（尤,y）,使

p=xa+yb

（1）空间共面向量的表示

如图空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（尤,y）,使Q=天通+yAC.

或者等价于：对空间任意一点。，空间一点P位于平面ABC内（P,A,5c四点共面）的充要条件是存在

有序实数对（尤,y）,使丽=C5+X通+＞正，该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任

意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

（2）拓展

对于空间任意一点。，四点P,C,A3共面（其中C,A,3不共线）的充要条件是存=+yC5+Z萌（其

中x+y+z=l）.

3、空间向量基本定理

如果向量三个向量a,反c,不共面，那么对空间任意向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.

三、空间向量的数量积

1、空间两个向量的夹角

（1）定义：已知两个非零向量£,九在空间任取一点。，作诙=£,OB=b^则么NAO3叫做向量

的夹角，记

（2）范围：＜。,匕＞£[0,句.

特别地，⑴如果＜痴那么向量痴互相垂直，记作/人

（2）由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为万，故＜Z,B〉=0（或

＜afb＞=»）0£//后（。,行为非零向量）.

⑶零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定o与任何向量Z都是共线的，即两非零向量的夹角是

唯一确定的.

（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）

若两个向量[1所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为。,

__»TT

⑴向量夹角的范围是0«凡办><乃，异面直线的夹角。的范围是

—»—»TT

（2）当两向量的夹角为锐角时，0=<a,b>-,当两向量的夹角为3时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为

钝角时，O=TT-<a,b>.

2、空间向量的数量积

定义：已知两个非零向量Z，b-贝U|Z||B|cos<£,B>叫做Z,B的数量积，记作7B；即

a-b=\a\\b\cos<a,b>.规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

3、向量日的投影

3.1.如图（1）,在空间，向量£向向量B投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面。

内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量石共线的向量入c=|a|cos<a,>>=向量2称为向量£在

1。1

向量B上的投影向量.类似地，可以将向量Z向直线/投影（如图（2））.

3.2.如图（3）,向量a向平面B投影,就是分别由向量Z的起点A和终点B作平面P的垂线，垂足分别为4,

B',得到向量称为向量Z在平面夕上的投影向量.这时，向量z，H@的夹角就是向量£所

在直线与平面夕所成的角.

4,空间向量数量积的几何意义：向量z，B的数量积等于Z的长度与B在Z方向上的投影

Ib|cos<a,b>的乘积或等于B的长度|B|与£在B方向上的投影|a|cos<a,b>的乘积.

5、数量积的运算：

（1）=AGT?.

（2）a.]=石.a（交换律）.

（3）a-（B+c）=a%+a-c（分配律）.

四、空间向量的坐标表示及其应用

设0=(6,4,%)，b=(bl,b2,bi)，空间向量的坐标运算法则如下表所示:

数量积a-b=〃也+a2b2+“3%

共线(平行)

%=Xbx

Z||灰石wC）=%=丸石=<a2=Ab2（2GR）

%=2Z?3

垂直

a-Lb<^>a-b=0<^afy+a2b2+a3b3=0均非零向量）

模1。1=aF=Jj=,a：+a2+，即1a1=J+

夹角

-_a-b01bl+a2b2+a3b3

cos<a,B"向⑹州+城+色信+届+£

五、直线的方向向量和平面的法向量

1、直线的方向向量

如图①,a是直线/的方向向量,在直线/上取通=£,设P是直线I上的任意一点，则点P在直线/上的充要条

件是存在实数乙使得»=扇，即Q=f通

四①

2、平面法向量的概念

如图，若直线l1a,取直线I的方向向量Z,我们称Z为平面e的法向量；过点A且以Z为法向量

的平面完全确定，可以表示为集合{P|〉ZA=0}.

3、平面的法向量的求法

求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:

设向量：设平面a的法向量为百=(羽y,z)

选向量：选取两不共线向量AB,衣

7怎=0

列方程组：由__.列出方程组

n-AC=0

n-AB=0

解方程组：解方程组—一.

n-AC=0

赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1）

得结论：得到平面的一个法向量.

六、空间位置关系的向量表示

设耳石分别是直线44的方向向量，晨晨分别是平面%力的法向量.

4〃，2O%//〃2o三几£R,使得％=彳〃2

线线平行

注：此处不考虑线线重合的情况.但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合

线面平行4//a±=0注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；

_»__11UU

二///7〜々//%32eR,使得Y\=几巧

面面平行

注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合.

线线垂直/1_L，2o4_L沆2O4•%=0

线面垂直4_L。=4//“<^>32eR,使得％=力

面面垂直1"L力O"_L〃20勺,%=0

七、向量法求空间角

1、异面直线所成角

设异面直线4和所成角为。，其方向向量分别为1，V；则异面直线所成角向量求法：

…--U-V

①cos<u,v>=一一

|w||v|

②COS0=|COS<V>|

2、直线和平面所成角

设直线/的方向向量为3，平面a的一个法向量为元，直线/与平面。所成的角为。，则①

——（J./I

cos<a,n>=―—―；

1ali"I

②sin0=|cos<a,n>\.

3、平面与平面所成角（二面角）

(1)如图①，AB,是二面角。-/-，的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小。=<氐瓦丽〉.

①

(2)如图②③，%,后分别是二面角。的两个半平面名，的法向量，则二面角的大小。满足:

①cos<n,,n,>=_!上

②COS6=±COS<〃],〃2>

若二面角为锐二面角(取正)，则cosOgcosv4,生〉|；

若二面角为顿二面角(取负)，则cosO=—|cos<%,4〉|；

(特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是

钝二面角.)

八、向量法求距离

(1)点到直线的距离

已知直线/的单位方向向量为；，A是直线/上的定点，尸是直线/外一点，点尸到直线/的距离为

(市

(2)两条平行直线之间的距离

求两条平行直线/，，"之间的距离，可在其中一条直线/上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于P到

直线"2的距离.

(3)求点面距

①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.

即：点A到平面a的距离,其中QGa,万是平面a的一个法向量.

\n\\n\\n\

(4)线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解

\AB-n\

直线。与平面a之间的距离：d=―ra—，其中五是平面a的一个法向量.

\n\

两平行平面a,月之间的距离:其中Aea,BeB力是平面a的一个法向量.

重要题型

题型一空间关系的证明

【例1】如图,正方形ADE尸与梯形ABCD所在的平面互相垂直，2AB=2AD=CD^4,ADLCD,AB!/CD,

M为CE的中点.

⑴求证：8"//平面4)£尸1；

(2)求证：BC人平面BDE.

反思总结

证明平行、垂直关系的方法可以运用传统方法也可以运用空间向量。

利用空间向量证明平行、垂直关系的方法：

(1)证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可。

(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明平面内存在一个向量与直线的

方向向量是共线向量;③利用共面向量定理，即证明平面内存在两个不共线向量来线性表示直线的方向向量。

(3)证明面面平行的方法:①证明两个平面的法向量平行;②转化为线面平行、线线平行的问题。

(4)证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直。

(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②转化为线线垂直问题。

(6)证明面面垂直的方法:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题。

巩固训练：

1.如图，四棱锥尸-ABCD中，侧面BW为等边三角形，线段的中点为。且尸0人底面ABCD,

1兀

AB=BC=-AD=1,ZBAD=ZABC^-,E是尸。的中点.证明："//平面

22

2.如图所示,正四棱ABCD-A4GR的底面边长1,侧棱长4,M中点为E,CG中点为人求证:平面区见//

平面

3.如图，在正方体ABCD-AgGA中，M,N分别为AB,与C的中点.证明:

⑴平面ABO〃平面3卬；

(2)〃'_1平面48。.

题型二利用空间向量求线面角

【例2】如图，己知正三棱柱ABC-ABC中，点E,尸分别为棱即,AG的中点.

⑴若过AE、尸三点的平面，交棱与G于点尸，求怠■的值;

(2)若三棱柱所有棱长均为2,求AE与平面.所成角的正弦值.

反思总结

根据图形与已知条件，建立适当的空间直角坐

标系

设直线48与平面a所称的角为优需求出平面

a的法向量n和直线45的方向向量彳才

cos＜琼心|由:

\AB\'\n

利用sin0=|cos<A^,n>\，直线和平面所成角的

范围是［0,千］,即可得出直线和平面所成的角

巩固训练

1.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为矩形，上4,平面ABCZ),PA=AD=0AB,点〃是尸。的中

(1)证明：AM±PC；

(2)设AC的中点为。，点N在棱PC上(异于点P,O,且ON=0A,求直线AN与平面ACM所成角的正

弦值.

2.如图四棱锥P—ABC。，点A民C,D在圆。上，A3=AO=2,/BAO=120。，顶点尸在底面的射影为圆心。,

点E在线段尸。上.

⑴若AB//CD,PErPD,当AE〃平面P3C时，求2的值;

(2)若A3与CZ)不平行，四棱锥尸-ABCD的体积为6，尸。=0,求直线PC与平面E4B所成角的正弦值.

3.如图，在四棱柱ABCO-ABIGA中，44—平面ABCD,AB//CD,AB1,AD,AD=CD=1,AAi=AB=2,

E为441的中点.

(1)求四棱锥的体积;

(2)设点加在线段GE上，且直线AM与平面BCC百所成角的正弦值为:，求线段A"的长度;

题型三利用空间向量求二面角

［例引如图，在四棱锥P-ABCD中，尸3,平面A3CD,底面ABCD为直角梯形，ZBAD=ZABC=90°,

PB=AB=BC=2AD=6,尸为84的中点.

(1)证明：BF1PD.

⑵求二面角尸-CD-尸的余弦值.

反思总结

利用向量法确定二面角平面角大小的常用方法.

(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，结合实际图形通过两个平面的法向量的夹

角得到二面角的大小.

(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这

两个向量的夹角等于二面角的平面角.

确定二面角的平面角的大小，方法有:①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角;②依据“同进

同出互补，一进一出相等”求解;③在二面角的一个半平面内取一点P,过点P做另一个半平面所在平面的垂线,

若垂足在另一个半平面内，则所求二面角为锐二面角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角

为钝二面角.

巩固训练

1.如图，在三棱锥A—BCD中，2C=CD=2e,AB=AC=AD=BO=4,O为8。的中点.

(1)证明：。4，平面3。。；

(2)点E在棱C£＞上，若平面ABD与平面ABE的夹角为30。，求r;的值.

2.如图，已知圆柱的上、下底面圆心分别为P,Q,MGC是圆柱的轴截面，正方形ABC。内接于下底面

圆Q,AB—a,A4j=6.

⑴当a为何值时，点。在平面PBC内的射影恰好是APBC的重心;

(2)在(1)条件下，求平面PAD与平面P3C所成二面角的余弦值.

3.如图①所示，在RtaABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是线段AC,AB上的点，DE//BC

且。E=2,将VADE沿。E折起到△AOE的位置，使ACLCZ),如图②.

E

图②

⑴若点N在线段上，且2BN=N%,求证：EN//平面AC。；

(2)若M是4。的中点，求平面与平面DEBC夹角的余弦值.

题型四应用空间向量求空间距离

［例4］如图，四棱锥P—ABC。的底面是矩形，PDJ_底面AB。，PD=DC=2,AD=2丘,M为BC的中

(1)求直线BD与平面APM所成角的正弦值;

(2)求D到平面APM的距离.

反思总结

巩固训练

1.已知直线/的一个方向向量为记若点尸(TL-l)为直线/外一点，44,1,-2)为直线/上一点,

则点P到直线I的距离为一.

2.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，Q4,底面ABCD,OA=2,M、N、

R分别是。4、BC、AO的中点.求：

(1)直线与平面0CD的距离；

(2)平面MNR与平面OCD的距离.

3.如图，在三棱锥P—ABC中，AB=BC=272,PA=PC=AC=4,平面ABC人平面PAC.

(1)求异面直线AC与PB间的距离;

⑵若点M在棱8C上，且二面角M-必-C为30。，求PC与平面所成角的正弦值.

4.如图①菱形ABCD,NB=60。,BE=EC=1.沿着人后将454£折起到右皮4£,使得/0/18'=90。，如图②

所示.

图②

⑴求异面直线A9与8所成的角的余弦值;

(2)求异面直线与8之间的距离.

题型五平行或垂直的探索性问题

［例5］如图，在棱长为1的正方体ABCD-AqGR中，点E为BC的中点.

(1)在8史上是否存在一点尸，使〃尸，平面与AE?

(2)在平面AA^B上是否存在一点N,使DtN1平面B、AE?

反思总结

涉及线段上的动点问题，先设出动点分线段的某个比值入，根据两个向量共线的充要条件得数乘关系,从而用

入表示动点的坐标，再进行相关计算,这样可以减少未知量，简化过程。值得注意的是，应给出入的取值范围。

另外,建系时最好用右手直角坐标系且使几何元素尽量分布在坐标轴的正方向上。

巩固训练

1.如图，直三棱柱ABC-ABG中，AB±BC,AB=BC=1^=2,。是的中点.

(1)求异面直线4G与瓦。所成角的大小;

(2)求二面角C--8的余弦值;

(3)在BC上是否存在一点E,使得DE〃平面ABC?若存在，求出空的值；若不存在，请说明理由.

EC

2.如图，在AABC中，IB90?,P为A3边上一动点，PD//3C交AC于点现将APZM沿PZ)翻折至APDA.

⑵若尸5=CB=2=4,且APLAP,线段AC上是否存在一点£(不包括端点)，使得锐二面角E-3D-C

的余弦值为也，若存在求出痣的值，若不存在请说明理由.

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