新高考数学二轮复习：平面向量小题全归类（练习）（解析版）

专题11平面向量小题全归类

目录

01平面向量基本定理及其应用........................................................2

02平面向量共线的充要条件及其应用..................................................4

03平面向量的数量积.................................................................6

04平面向量的模与夹角..............................................................9

题型05等和线问题......................................................................11

06极化恒等式......................................................................15

07矩形大法........................................................................17

08平面向量范围与最值问题..........................................................19

09等差线、等商线问题.............................................................25

题型10奔驰定理与向量四心.............................................................32

题型11阿波罗尼斯圆问题...............................................................37

12平行四边形大法.................................................................40

13向量对角线定理.42

■■题型_01平面向量基本定理及其应用

1.（2023•江苏南通•高三江苏省如东高级中学校考期中）已知£,5是两个不共线的向量,

m=2a-3bfn=4a-2bp=3〃+石,则)

八一5n-6m―5n+6m-1In-10m—lln+lOm

A.p=------B---.-P二------c.p=-------------D.p=-------------

8888

【答案】C

【解析】因为B是两个不共线的向量,设p=xm+yn，

5

X=——

2x+4y=34

即…b解得

11

y二一

8

r-r-K।，5--11-*1In—lOz/z

所以p=——m-\—n=-------------

488

故选：C

2.（2023•安徽•高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图

所示的直角三角形来构造无理数.已知A8=8C=C。=1,A8JLJBC,AC，8,AC与B。交于点O,若

DO=KAB+iiAC,贝l]2+〃=()

1-V2C.V2+1D.-72-1

【答案】A

【解析】以c为坐标原点，C2G4所在直线分别为无丁轴建立如图所示的坐标系,

由题意得AC=夜，

贝川0词,8占当,C（0,0）,通=[乎,一§,AC=（O,-^）.

I22）\22）

因为CB=CD=1,ZDCB=90°+45°=135°,故ZBDC=22.5°,

因为tan45。=2tan225=],所以tan22.5=0-1（负值舍去），

1-tan-22.5°

所以OC=Z）C-tan225=拒-1，

故0（0,夜-1）.又。（-1,0）,则加=（1,忘-1）,

f,凡

1=-----Z

因为加=九通+日记，所以、,

V2—1=------4—yfljLl

、2

Z=6—

解得，所以2+〃=0-1,

-1

故选：A.

3.（2023•广东肇庆•统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCQ中，AE=^-AD,BF=】BC,CE与

34

。方交于点。.设池=£,AD=S，若=+则2+4=（）

11

D.

17

【答案】B

【解析】连接AF,AC,

AA

E」

・・・。。/三点共线，「•可设衣=心诟+'正，贝！J%+y=l,

j_

:.7id=xAD+y{^AB+BF^=xAD+y5+ya；

4

・・・£,0,。三点共线，，可设加=相近+〃正，则机+〃=1,

m二一

布而+M而+而卜——\-n\b+na-

3J

x+y=l

9

m+n=1x——

17.k；8-11厂日厂81119

1m,解得：＜,..A.0=—ci-\----b即X+//=-----1----——.

x+—y=——I-n817179171717

43y=—

17

y=n

故选：B.

一题型02平面向量共线的充要条件及其应用

4.（2023•四川成都•高一成都七中校考阶段练习）如图，在AABC中，点。满足的=2觉，过点。的

直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设A5=mAM,AC=〃AN,则加+"的最小值是（）

A.-B.2C.y/2D.也

55

【答案】A

【解析】因为诙=2历，所以前［丽+g府=£而+g丽.

H77Y}

又因为M、O、N三点共线，所以:+?=1.所以机=3-2人

33

2629

所以加2+川=©—2n）+/=5/_12〃+9=5（〃一-）+-

所以当〃=6加=：3时，疝+〃2有最小值为9:

故选:A.

->1—.

5.（2023•重庆北倍•高一西南大学附中校考期末）△ABC中，。为AB上一点且满足AO=彳。8,若「

为线段C。上一点，且满足而=4而+〃正（2,〃为正实数），则4的最小值为（）

32//

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

mmuumuum丫uunuum

【解析】因为P为线段CO上一点，则AP=xAD+yAC=]A3+yAC,且x+y=l,

一——,,2=-[%=32

又因为rAP=4A5+〃AC,可得13,即〈，

所以34+4=l,

1

十曰1

可,豆+%-^-+—+2>2+2=4,

32juy32ju

当且仅当S=2,即〃=32=:时，等号成立,

32〃2

所以2+’的最小值为4.

3Z〃

故选：B.

6.（2023•浙江宁波•高二校联考期末）在“LBC中，点。满足前=29，过点。的直线分别交射线

AB,AC于点M,N,S.AM=mAB^AN=nAC，则加+2〃的最小值为（）

A.一B.—C.3D.4

33

【答案】A

【解析】由题可知,m>0,n>0,

___.—.1.—.1—.

因为诉=根丽，AN=nAC,所以AB=—AM,AC=-AN,

mn

又由=2砺，所以:W-/=2通一2近,

.2.1—.2»1.

所以AO=—A5+—AC=——AM+—AN,

333m3n

21

因为％。，N三点共线’所以藐+71，

匚匚…c/c、/21、4m4〃4c148

所以加+2〃=(加+2〃)(---1------)=—H-------1------->—+2,

3m3〃33n3m393

m4n

当且仅当彳J；,即机=:4〃=（2时，等号成立.

------1------=1

3m3〃

Q

所以m+2〃的最小值为

故选：A

一题型03平面向量的数量积

7.(多选题)(2021•新高考I)已知O为坐标原点，点4(cosa,sina),7^(cos/?,-sin/?),P3(cos{a+/3),

sin(cr+^)),A(l,0),贝4()

A.访|=|砥|B.|通|=|诟

C.OAO^=O^O^D.OkOP^OP^OP3

【答案】AC

【解析】法一、:4(cosa,sin。)，《(cos^,-sin#),6(cos(a+力)，sin(a+万))，A(l,0),

,OPX=(cosa,sina),0P2=(cos4一sinP),

0P3=(cos(cr+J3),sin(a+万))，OA=(1,0),

APX=(cosa-1,sina),AP2=(cos月-1,一sin尸),

则I函|二Jcoda+s加2a=i,।圾|二小cos?0+(—sin/3丫=1,贝j西|=|砥故A正确；

|AF\|=yf(coscr-1)2+sin2a=vcos2a+sir^a-2cosa+1=j2-2cos十,

IAP1|=^/(cos/7-1)2+(-sin/?)2=^cos1(3+sin2J3-2cos/?+1=j2-2cos/7，

|福同南I，故3错误；

OA-OP3=1xcos(<z+£)+0xsin(cr+/?)=cos(cr+£),

OP[•OP2=cosacos/?-sinasin(3=cos(cr+0),

/.=故C正确；

国"=1xcosi+0xsina=cosa,

OP2OP3=cospcos(a+6)一sin/3sin(a+(3)=cos[/7+(a+<)]=cos(a+2/3),

WLOP^OPIO^,故。错误.

故选：AC.

法二、如图建立平面直角坐标系，

使角£的始边与。4重合，终边交圆。于点片，角力的始边为。《，终边交圆O于右，

角-力的始边为。4,交圆。于鸟，

于是《(coscosine),月(cos(a+£),sin(a+£)),g(cos£,-sin£),

由向量的模与数量积可知，A、C正确；B、。错误.

故选：AC.

8.(2023•安徽安庆•高三安庆市第十中学校考阶段练习)已知在AABC中，AB=3,AC=4,

ZBAC=^,AD=2DB>尸在CD上，AP=1lC+2AD,则Q.阮=.

【答案】4

—.1—,—»

【解析】因为AP=WAC+2A。，尸,CO三点共线，

所以1+4=1,解得

22

—.2—.

因为莅=29，所以

­.1—.1—.1—.1—.

贝lj4尸=—AC+—AO=—AC+—A3,

2223

BC=AC-AB，

所以阮=呵•（尼-演）

AAC2AAB2AAC，AB

236

=8-3--x4x3x-=4.

62

故答案为：4.

9.（2023•上海静安•高三校考阶段练习）已知向量£=（1,右），且£出的夹角为:，Q+和（22-3方）=4,

则3在£方向上的投影向量等于.

【答案】（；,乎）

【解析】同=2,a-^=|a||z?|cos|-=2-|/j|-^=|Zj|,

由已知@+办（213扭=21）4-3片=8第-3,=4,解得忖=1（负值舍去），

a-b1laA百、

・・・B在£方向上的投影为口=5，石在£方向上的投影向量为］.口=（丁7）.

故答案为：（J孝）

10.（2023•上海闵行•高三校考期中）平面上有一组互不相等的单位向量南，区，…，西，若存在

单位向量厉满足历•菊+历•嗨+…+丽•皈=0,则称厉是向量组西，区，…，可的平衡向

量.已知（函,%）=；,向量是向量组两，砒，竭的平衡向量，当中•强取得最大值时，

西•网"的值为

—3±a

【答案】

6-

【解析】当存=砥时，方•砥取得最大值,

又（西，砥）=三，如图所示,

就『=小两。+2西.斯+砒2=J1+1+1=6

设西+区=方，（两砌=同0,可,

贝U砥.(风+网•+砥卜砥•丽'+1=0,

所以O4-OB=—1,即J^cos9=-1,解得cos0=-^^

故sin0=V1—cos20=,(04,。4)=0_彳或^+不，

OAOA,=cos]G--I=cos^cos—+sin^sin—=旦走+如」V6—3

"〜I6j6632326

或CMjOAi=cosf0+-^j=cos0cos-sinsin=

故答案为：一土巫

6

・题型04平面向量的模与夹角

n.(2023•北京)已知向量H,B满足4+5=(2,3),西—5=(—2,1),则⑷2_历|2=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】•・・M+5=(2,3),a-5=(-2,1),

.•.5=(0,2),5=(2,1),

.••g12TBi2=4_5=_1.

故选：B.

12.(2023•甲卷)向量|乙|二|B|=1,\c\=y/2,S.a+b+c=0,则cos〈M-1,b-c)={)

224

A.--B.——C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】因为向量I利=出1=1,IE|=0,B.a+b+c=0,所以—E=M+5,

所以/=/+后+2无5,

即2=l+l+2xlxlxcos,b>,

解得cos<a,5>=0,

所以五_L5,

又M—1=21+5,b—c=a+2b,

所以(白一亍),(分一3=(24+5>(4+25)=2片+252+5万・彳=2+2+0=4,

\a-c\=^b-c\="片+4无5+7-,4+0+1=后,

56—»(6-5)=4=4

所以cos〈M-E，

\a-c\\b-c\小义非5

故选：D.

13.（2023•广东广州•高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）已知正三角形△ABC的边长为1,设

AB=a^AC=b.贝12五+B与一3五+2石的夹角=.

27r

【答案】120°/y-

【解析】由题意知，|司=忖=1，且♦，,B.=60。，则日石=同忖卜0$60。=；,

贝“2日+行『=4万2+方2+4拓=,|-3a+2bf=9a2+4b2-12ab=7,

所以忸+,=近，卜3n+2.=小

~_7

设容+B与-3乙+2B的夹角为凡则cose=(窃+6)•卜31+2.)=6不+无5+2'=12L,

\2a+b\^-3a+2b\忸+5卜3万+2可2

因为6e[0,兀I，所以22+5与-3万+2石的夹角为r.

2兀

故答案为：—.

14.(2023•全国•模拟预测)已知向量a=(l,l),石=(1,一1),若实数相，孔满足加〃=一1,贝!+与Z+怎

的夹角为.

【答案】g/90°

2

【解析】因为向量Z==,所以Z+7怎=。+m,1—m),62+nS=(1+n,1—n),

又mn=-1,所以(。+应)•(〃+怎)=(1+相—+=(1+m)(1+n)+(1-ni)(1—n)=2+2mn=0,

JT

i^La+mb与a+的夹角为彳.

2

故答案为：£TT.

15.(2023•四川广安•高三校考阶段练习)已知向量2=(1,退)，b=(3,m),且石在£方向上的投影数量

为-3,则向量日与石的夹角为.

■2兀

【答案】y

【解析】"在々方向上的投影数量为-3,.♦.问cos@@=-3,

；W=JF+(用2=2,4力=同卡际他力=2乂(-3)=-6,

又a-/?=3+A/=—6,m=-3-\/3)5=^3,—3A/3),忖=[3。+卜3\/^)=6,

•.•04«,到〈兀，.•.向量£与石的夹角为年,

2兀

故答案为：y.

一题型05等和线问题

16.(2023•湖北•高一校联考期中)给定两个长度为1的平面向量由和赤，它们的夹角为90。，点C在

以。为圆心的圆弧A8上运动，若阮=其中则3x+5y的最大值为()

A.734B.5C.737D.6

【答案】A

【解析】如图所示，建立直角坐标系.

A(1,O),5(0,1).

OC=xOA+yOB=(x,j),设C(cosa,sina)(ae0,-^).

53

则3工+5〉=38$(/+5$1111=^/§?$111(«+0)，其中cos0=^j,sinp=^j.

3x+5^<V34,当且仅当sin(a+e)=l时取等号.

故选A.

17.(2023•全国•高三专题练习)给定两个长度为1的平面向量函和彷，它们的夹角为90。，如图所

示，点C在以。为圆心的圆弧A8上运动，若配=x^+y而，其中x,y^R,则x+y的最大值是

()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】由题得|反F^\xOA+yOB\1=/+>2+与次.砺=彳2+)2,

.".x2+y2=l,则2盯3/+产=1.

又（x+y）2=N+y2+2x汇2,当且仅当x=y=1时等号成立，

故x+y的最大值为亚.

故选：B

18.（2023•上海黄浦•高二格致中学校考期中）在AASC中，AC=3,BC=4,NC=90。.尸为AABC所

在平面内的动点，且PC=2,若而=2①+〃丽，则给出下面四个结论：

4

①4+〃的最小值为-二；②丽.而的最小值为-6；

3

③彳+〃的最大值为了；④丽.而的最大值为10.

4

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

如图，以C为原点，CAC2所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系,

则C（0,0）,A（3,0）,B（0,4）,因为尸C=2,所以设尸（2cosO2sin＞）,

则丽=（2cose,2sine）,©=（3,0）,丽=（0,4）

所以万=ACA+juCB=（3/1,4//）,

,2八

Z=—cost/

2cos6=343

则,即V

2sin6=4〃1.八

〃=—sin"

2

_21543

所以4+〃=—cos6+—sin9=—sin（6+0）,其中sin0=一,cos/=一,

32655

所以（X+〃L=TO+〃:u=|，

所以①③错误;

•»,PA=(3—2cos4一2sin9),PB=(—2cos8,4—2sin8)

/.PA-PB=-2cos0(3-2cos0)-2sin^(4-2sine)=4—10sin(e+a),

34

其中sina=—,cosa=—,

55

-10<-10sin(0+6Z)<10

/.-6<4-10sin(0+a)<14

.\-6<PAPB<14

所以②正确，④错误；

故选：A

19.(2023•吉林•统考一模)在直角三角形A3C中，A=90。，△回(?的重心、外心、垂心、内心分别为

G1,G2,G3,G4,若祠=4而+4./(其中1=1,2,3,4),当4+从取最大值时，1=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】直角三角形ABC中，A=90°,D为BC中点,从IBC的重心为G-如图所示，

A

C

AG=^AD=-x-(AB+AC]=-AB+-ACf

1332、)33

12

则4=,4+4=耳；

直角三角形A3C中，A=90°,AABC的外心为G一则G2为BC中点，如图所示，

A

BG,C

A^=|(AB+AC),则4=4=；,4+〃2=l：

直角三角形ABC中，A=90。，AABC的垂心为G3,则G3与A点重合，虫=6,

则4=〃3=。，4+〃3=。；

直角三角形A3C中，A=90。，的内心为G”，则点G*是三角形内角平分线交点,

A

B

直角三角形ABC中，角ABC的对边分别为瓦。，设内切圆半径为小

be

则S"得

a+b+c

beAB+beAC_beAB+beAC—^AB+——AC,

a+b+c[AB\a+b+cIACIa+b+cca+b+cba+b+ca+b+c

2=----------,4=-----------,丸+〃=-------1--------------=------------<1.

a+b+ca+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

4+〃2=I最大，所以当儿+从取最大值时，，=2.

故选：B.

W06极化恒等式

20.(2023・山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，肱V是内切圆的一条弦，点尸为

正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，两.两的取值范围是

【答案】。，；

【解析】如下图所示：

设正方形ABCD的内切圆为圆0,当弦MN的长度最大时，为圆。的一条直径,

PM-P/V=(PO+OM)-(PO-OM)=|PO|2-|OM|2=|PO|2--,

当P为正方形ABC。的某边的中点时，|明=-,

IImin2

当产与正方形ABCD的顶点重合时，，爪|=—,即，历归1

IImax22II2

因此，W.P?V=|PO|2-^e0,；.

故答案为：0，；,

21.（2023•湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABC。中，EF是边上长为6的可移动的线段,

AD=4,AB=8m,BC=12,则屉.砺的取值范围为

【答案】[99,148]

【解析】在3c上取一点G,使得BG=4,取E产的中点P,连接DG,BP,

如图所示：

贝ljDG=8g,GC=8,CD=J82+（8A^）2=16,

tanZBC£>=—=73,§PZBCD=60°.

8

而.丽=技（而+珂一（而一丽）1T（2研一回=-9,

当族，CD时，|丽|取得最小值，止匕时|丽|=12xsin60。=64，

所以（丽・丽=（6厨-9=99.

当尸与。重合时，CP=13,BC=12,

贝”研=122+132-2X12X13X：=157,

当E与C重合时，CP=3,3c=12,

贝”研=122+32-2X12X3X1=117,

所以（而•丽L=157-9=148,即福阱的取值范围为[99,148].

故答案为：[99,148]

22.(2023•陕西榆林•三模)四边形ABCD为菱形，ZBAC^30°,AB=6,尸是菱形ABCD所在平面的任意

一点，则两.定的最小值为.

【答案】-27

【解析】由题设，AC=6A/3,取AC的中点0,连接Q4,OC,。尸，

贝1凤=所+丽，PC=PO+OC=PO-OA,

所以西.定=(而+到.回_网=后—函2=防_27127.

故答案为：-27

一题型07矩形大法

23.设向量b,5满足I万|=出|=1,a-b^,(Z?-c).(^-c)=0,贝。忆|的最小值是()

A.叵B.3二^C.6D.1

22

【答案】B

【解析】建立坐标系，以向量万，B的角平分线所在的直线为x轴，使得5的坐标分别为9三

设才的坐标为(x,y),

因为(ay>(5y)=o,

(6)1

表示以一,。为圆心，：为半径的圆,

\2/乙

则©的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值,

因为圆到原点的距离为立，所以圆上的点到原点的距离的最小值为正-工,

222

故选：B

24.(2023•河北石家庄•高三阶段练习)已知向量G,b，1满足间忖=洒5=3,若

(c-2。).(25-3c)=0,则忸-4的最大值是.

【答案】1+V2.

【解析】分析题意可知，设AU),8(3,0),贝！］商=砺,b=OB，设C(x,y),

,\c=OC=(x,y),又(c-2a).(2b-3c)=0,A(x-2)(6-3x)+(y-2)(0-3y)=0,

而(x-2)2+(y_l)2=l,即点C在以(2,1)为圆心，1为半径的圆上，

忸_W4J(3-2)2+(0-1)2+1=1+V2,故填：1+5/2-

25.(2023•全国•高三专题练习)已知向量£、3满足W=W=a/=2且(a-c)®-c)=。，则忸-目的

最大值为.

【答案】A/7+1

【解析】求出向量£、B的夹角为(设方=。=(2,0),OB=b=(l,y/3),OC=c=(x,y),根据

(a-)•©-y=0可求得点C的轨迹方程，由忸-2|的几何意义结合圆的几何性质可求得忸的最大值.设

1

向量£、B的夹角为凡,•,|o|=|5|=a-^=2,

21

TT

:.0=—,

设OA=a=(2,0),。5=石=(1,6)，OC=c=(x,y),

则a—c=(2—x,—y),日一c二(l一%，百一y),

整理得x?+y2+2=0,即=1,其中点r=1,

则忸的几何意义为点C(x,y)到定点尸(2,2百)的距离，如下图所示:

2动一立

2--I++1=77+1.

22

故答案为：V7+i.

・题型08平面向量范围与最值问题

26.(2022•上海)在AABC中，ZA=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点，点尸在边3c上，则初5•屈

的最小值为—.

【答案】2

8

【解析】建立平面直角坐标系如下，

则8(2,0),C(0,2),M(l,0),

直线的方程为2+2=1,即x+y=2,

22

点P在直线上，设P(x,2-x),

MP={x—1,2-x),CP=(x,—x),

—­―•,3,99

MP-CP=x(x-l)-x(2-x)=2x2-3x=2(x-^)2

__..一Q

CP的最小值为.

8

故答案为：-2.

27.(2023•上海)已知市、OB,反为空间中三组单位向量，且函_L砺、OALOC,访与反夹角为

60。，点P为空间任意一点，且|而|=1,满足I存•反倒而•砺I|丽・函|,则|成•前|最大值为.

【答案】—

7

【解析】设况=(0,0,1),05=(—,-,0),历=(0,1,0),

22

OP=(x,y,z),不妨设x,y,z>0,贝”。尸|=炉+/+z2=1,

因为|丽•方|剌丽•丽|\OPOA\,

所以源哼X+gyZ,可得X…弓y,z..y,

所以—得忧q,

故"花=为理.

故答案为：叵.

7

28.(多选题)(2023•安徽•高三安徽省宿松中学校联考开学考试)已知P(2,0),A(cosa,sina),

B(cos/?,sin/?),A,2两点不重合,则()

A.|丽-丽|的最大值为2

B.|苏+图的最大值为2

C.若西=九方，国-网最大值为6

D.若向=几而，国+画最大值为4

【答案】AD

【解析】A选项，由已知A,8为单位圆上任意两点，|Q4|=|O用=1,|⑸-困=|AB|42,A正确;

B选项,设。为AB的中点，则国+词=2|即,

由于A,8两点不重合，所以|叫«1,3),贝“西+网=2|尸£归(2,6),故B错误；

C选项，当P,A,8共线时，|西-丽|=|AB|42,故C错误；

D选项，当尸，A,2共线时，若AB坐标分别为(-1,0)与(1,0)或(L0)与(-1,0)时,

。，。两点重合，止匕时离+画=2|叫=4,

若AB坐标不同时为(-1,0)与(1,0)时,此时。则阳＜3,

故国+词=2|P*4,故D正确.

故选：AD

29.(多选题)(2023•福建南平•高一武夷山一中校考期中)圆幕定理是平面几何中的一个定理，是相交

弦定理、割线定理、切割线定理的统一，(其中相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长

的积相等，例如，如果交点为尸的两条相交直线与圆。相交于AC与5。，则上4-PC=PaPD),如下图，

已知圆。的半径为3,点尸是圆。内的定点，且OP=2,弦AC、均过点P,则下列说法正确的是

a

------

A.R4PC=-8B.丽・历的取值范围是(-9,-1)

C.当ACLBD时，丽•瓦为定值D.ACLBO时，|而|的最大值为28

【答案】CD

【解析】如图，设直线P。与圆。于E,F.

则可.定=-图•|PC|=-|PE|-|PF|=-1国-网用+网)=|可T研=2?_32=-5,故A错误;

取8D的中点为/,连接OM,

因为M为中点，所以OMJ_班），即次■•丽豆=0,西•防=0,MD=OD-QM2.

则OB.OO=（OM+Affi）.（OM+MD）=OM-MD=OM-lr2-OM\=2OM-9,

WO<OM2<|OP|2=4,故砺.砺的取值范围是[-9,-1],故B错误；

当AC13D时，ABCD=（AP+PB）（CP+PD）=APCP+PBPD

=-|AP|-|CP|-|PB|.|P^=-2|P^.|P^=-2X5=-10,故C正确；

当AC13D时，圆。半径r=3,取AC中点为N,8。中点为M,

则ONLAC,OM,又ACLBD,所以四边形ONPM为矩形，所以|丽彳+向闫网?=4,

当且仅当|加『=|网2=2,不等式等号成立，所以|向口前|的最大值为28,故D正确.

故选：CD.

7T

30.(2023•四川攀枝花•统考模拟预测)在平面四边形OACB中，OA±OB,OA=3,ZOBA=ZACB=-,

则反•国的最大值为()

A.6y/3B.9石

C.12D.15

【答案】C

【解析】如图，以。为原点，OAOB分别为尤,y轴建立平面直角坐标系,

因为OA=3,Z.OBA——,所以OB--\/3,AB—2-73,

即8(0,遂),4(3,0),设C(x,y),

7T

由ZACB=g可知，点C(x,y)的轨迹为AABC外接圆的一段劣弧AB，

2R一地一亥一4

且.2兀一百，即外接圆半径尺=2,

sm——

32

设“3。外接圆的方程为。-°)2+"-6)2=4,

tz2+(<3-Z?)=4

代入点8(0,6),A(3,0)可得，,，

(3-〃)2+/=4

〃=2{a=l

解得76或二n(舍去)，

[b=y/3[b=0

即点C(x,y)的轨迹方程为(x-2>+(y-我2=4,

所以一2«x—2V2,BP0<x<4,

又觉.丽=3x43x4=12，当x=4时，y=G

此时点C(4,6)在劣弧上，满足题意，故祝.次的最大值为12.

故选：C

31.(2023•北京西城•高三北师大实验中学校考阶段练习)平面直角坐标系xOy中，定点A的坐标为

(cos6»,sin6»),其中04。4兀.若当点8在圆(龙-2月+丁=1上运动时，厉.砺的最大值为0,则()

定UUTUIH

A.0=—,OAOB的最小值为-2

冗uuruun3

B.3=—,OAOB的最小值为-7

32

2JTuuruun

C.夕=4~,。4,。3的最小值为—2

2uurUUttq

D.=7r的最小值为-：

32

【答案】C

【解析】设5(2+cosa,sina),0<a<2TI,

ULILllUL

则OA=(cos3,sin6),OB=(2+cosa,sina),

ULILlUU

可得。405=cos6(2+cosa)+sinOsina=2cos6+cos(6-a),

对任意04。<2兀,可知当cos(e—o)=l时，砺.砺的最大值为2cos6+l=0,

12兀

可得cos0——,且048«兀，所以。=—，

23

且当cos(6--1时，OAOB的最小值为2cos8-1=-1-1=-2.

故选：C.

32.(2023•江西•高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系中，A(l,0),B(0,3),C(3,0),动点P

满足闭=1,则阳+历+西的最大值是（）

A.6B.2.72+1C.5D.y/lQ+1

【答案】A

【解析】由|在|=1,得动点P的轨迹是以C（3,0）为圆心，以1为半径的圆，其方程为（x-3＞+y2=i,设

P（x,y）,则用+砺+西=J（x+l『+（y+3）2,表示圆C上的点尸到点（T-3）的距离，所以

\pA+OB+Op\=^（3+1）2+32+1=6.

故选：A.

33.（2023•四川宜宾•四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）设向量2、b，2满足同=1,

忖=2,a-b=O,c-（^+b-c）=0,则口的最大值等于（）

A.75B.1+好C.2D.1

2

【答案】A

【解析】向量入b，1满足同=1,忸卜2,ab=O,

不妨设Z=（1,O）,石=（0,2）,2=（%,y）,贝!）1+1一0=（1一％,2-丁），

因为白仅+3-今=武1一元）+丁（2-y）=0,整理可得卜一gj+（y_i）2=：,

而原点。也在圆+（，T）2［上，

所以，|O