2024-2025学年高二年级上册期中模拟考试数学试题（上海专用测试范围：沪教版必修第三册第十-十一章）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：沪教版2020必修第三册第十〜十一章。

5.难度系数：0.65o

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.“点4在直线/上”用符号语言可以表示为.

【答案】Ael

【解析】/在直线/上，即

故答案为：Ael

2.在正方体-44G〃中，/4=2,则直线到平面的距离为.

【答案】2

【解析】根据正方体的性质可知，AB//CD.

又<Z平面CDDG,CDu平面CDDG,

所以，48//平面CDAG.

所以，点/到平面的距离，即等于直线到平面CDAG的距离.

又，平面CDDG,所以点/到平面CDDG的距离即为=2.

所以，直线到平面CDDG的距离为2.

故答案为：2.

3.已知圆柱的底面半径为2,高为2,则该圆柱的侧面积是.

【答案】8兀

【解析】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即2%x2=4兀，另一边长为2,故

圆柱的侧面面积为2x47r=87i.

故答案为：871

4.如图，在正方体/BCD-44GA中，异面直线48与NC所成的角为

【解析】在正方体/BCD-44GA中，连接

正方体/BCD-4月£4的对角面AxBCDt是矩形，则CDJIAXB,

因此ZACD、是异面直线AtB与AC所成的角或其补角，

而/'=CD】="C=41AB,即A4CR是正三角形，则NNC，=60°,

所以异面直线45与NC所成的角为60。.

故答案为：60°

5.圆锥的母线长为2,母线所在直线与圆锥的轴所成角为30。，则该圆锥的高为.

【答案】V3

【解析】由已知得该圆锥的高为2cos30。=百.

故答案为：V3.

6.一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且H8'=l,O'C'=3,OW=2,则原梯形的面积

【解析】在xQy坐标系中作出直观图对应的原图形O4BC,它是直角梯形，如图.

故原梯形的面积为：S=彳乂(1+3)x4=8,

2

故答案为：8.

7.已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的0倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小

为.

【答案】£/45。

【解析】设斜线和平面所成角为.OWaV。贝ijcosa=j==g,，a=f.

77

故答案为：

4

8.已知球的两个平行截面的面积分别为49兀，400兀且两个截面之间的距离是9,则球的表面积为.

【答案】2500兀

【解析】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为勺2,球的半径为R,

因为兀巧2=49兀，所以4=7,

又无•々2=400兀，所以々=20,

当两截面在球心的同侧时，A/T?2-72-A/^2-202=9>

解得尺2=625,球的表面积为4成2=2500兀；

当两截面在球心的同侧时，SJR2-72+7^2-202=9>无解；

综上，所求球的表面积为2500兀.

故答案为：2500K.

9.如图，在四棱锥尸-48CD中，以，底面/BCD,底面48CD是边长为1的正方形，以=1,则侧面PCD

与底面ABCD所成的二面角的大小是.

【答案】45°

【解析】因为底面/8C。是边长为1的正方形，所以4DLCO,

又因为H_L底面N8CD,CDu底面/BCD,所以乃_LCD,

因为""4。=/,在面以。内，所以CD_L平面

又因为PDu平面所以CD_LP。，

于是NPD4为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，

因为以_L底面48cD,4Du底面48cD,PALAD,

又因为融=1,AD=1,所以/P£U=45。，

于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°.

故答案为：45°.

10.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是.

（1）直线/月与直线OE相交；

（2）直线C段与直线DE平行；

（3）直线8G与直线。E是异面直线；

（4）直线与直线5G成60。角.

【答案】⑶（4）/（4）（3）

【解析】解：由正方体的平面展开图可得正方体/BCD-EFG//,

可得4尸与即为异面直线，故（1）错误；

CH与。E为异面直线，故（2）错误；

直线3G与直线DE是异面直线，故（3）正确；

连接/H,NC,由正方体的性质可得⑷7〃8G,所以乙4HC为异面直线C”与直线BG所成的角，因为A/HC

为等边三角形，所以4HC=60。，即直线S与直线3G所成角为60。，故（4）正确；

故答案为：（3）（4）.

11.设和CD都是平面夕的垂线，其垂足分别为瓦。已知/8=5,。=9,3。=3,那么线段

AC=

【答案】5或血旃

【解析】如图所示，因为和。都是平面。的垂线，其垂足分别为民。,

可得N3//CD,且8D,CD，8。，

如图（1）所示，当点4c在平面的同侧时，

过点A作NELCD,垂足为E,则/E//AD,

又因为78=5,8=9,6。=3,P]^CE=CD-DE=CD-AB=4,

在直角ZUCE中，可得NC=JAE^+CE?=，3?+42=5.

如图（2）所示，当点4c在平面的两侧时，

过点A作CD的延长线的垂线，设/尸，CF,垂足为月，AF//BD,

又因为/3=5,。。=9,3。=3,n\^CF=CD+DF=CD+AB=14,

在直角△/CF中，可得NC=，/■?+c尸2=,3?+14?=755?.

故答案为：5或疯后.

12.如图，平面。45J_平面a,OAua,OA=AB,ZOAB=120°.平面a内一点P满足尸/_LP8,记直

线OP与平面OAB所成角为e,则tan0的最大值是.

【答案】逅

12

【解析】如图,

过点B作交CM的延长线于点H,连接？H,OP,

取的中点为£,连接PE,过点P作尸尸，。4,垂足为尸，

•平面CM81.平面a,且平面CM3Cl平面a=CM,88u平面048,PFua,

：.BH±a,PF_L平面0/8,，OP在平面048上的射影就是直线。4,

故N/OP就是直线。尸与平面0/8所成的角6,即40尸=6,

VAP^a,:.APLBH,

又；PA工PB,PBCBH=B,PB,BHu平面PBH,

二.PN_L平面尸AH',「PHu平面PBH,:.PALPH,

故点P的轨迹就是平面a内以线段AH为直径的圆(/点除外),

VOA=AB,且NCMB=120",ZBAH=60°,

设。4=a(a>0),则AB=a,从而///=48-cos60°=巴，

2

:.PE=-AH=-,如图，

24

当且仅当尸尸，即O尸是圆E的切线时,角0有最大值，tan。有最大值,

PEPE7V6

==

tan。取得最大值为：—=/22=I77-

°PJOE*12

故答案为：逅.

12

二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正

确选项）

13.下列说法错误的是（）

A.一个棱柱至少有5个面B.斜棱柱的侧面中没有矩形

C.圆柱的母线平行于轴D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

【答案】B

【解析】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确.

故选：B

14.已知/是直线，生尸是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）

A.若〃/□,〃/£,则a〃/B.若a_L£,〃/a,贝

C.若/_L。,〃"，则Cl■/D.若〃/a,a〃/?,则〃//

【答案】C

【解析】若=〃/机,/<zc,/<z£,则有〃/口,〃//?,故可判断A错误.

若acB=Ba,则〃//或/u〃，故B错误.

若/，氏〃%,则月存在直线与/平行，所以故C正确.

若〃/%a〃£,则〃//或/u/，故D错误.

故选：C.

15.《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体43CDE/，其中/3〃7元//£尸，“羡除”形似“楔体”.“广”

是指“羡除”的三条平行侧棱之长。、b、c,“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离机、“袤”是指

这两条侧棱所在平行直线之间的距离〃（如图）.羡除的体积公式为%="竺也，过线段ND,BC的

6

中点G,H及直线所作该羡除的一个截面£，已知。刚好将羡除分成体积比为5:4的两部分.若/2=4、

DC=2,则斯的长为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】因为43=4、DC=2、ABIIDCIIEF,G,H为线段40,8c的中点,

所以GHHABHCD且G"=；（48+C。）=3,

n

（EF+DC+GH）mx-（EF+AB+GH）mx—

所以2，

Vv「ABHGEF

GHCDEF66

n

（EF+5）mx—（£尸+7）加x；

即

—GHCDEF2，^ABHGEF

66

n

（跖+7）加x—

2

‘ABHGEF56

因为“即r解得斯=3.

^GHCDEF（EF+5）mx；

6

16.如图，在正方体/8CD-44GA中，点P在线段qc上运动，则以下命题正确的序号为()

①直线即，平面4。。

②平面B.CD与平面BCD的夹角大小为|

③三棱锥尸-4G。的体积为定值

JT7T

④异面直线NP与4。所成角的取值范围是pj

A.①②B.①③C.①③④D.①④

【答案】B

【解析】如图，连接与2,正方形中，4G，BR,

正方体的棱1平面4片。2,4GU平面4片。〃，：.BB114G.

•：BBX[\BXDX=B1,u平面534,所以4cli•平面叫2,

又8,u平面阳。，所以4G，8。，同理

•••4£门4。=4，4G，4。U平面4。。，所以BD1平面同£。，①正确；

因为CD,平面8c4，4Cu平面5c4，所以CD131C,

又平面4czM平面8CD=。，BCLCD,BCu平面BCD,4Cu平面8(7),

则/耳CS是平面81CD与平面BCD的夹角，显然三角形38c为等腰直角三角形，则该角大小为工，②错;

4

因为44///3,AiBl=AB,AB!/CD,AB=CD,所以/百//CD,/#=CD,

所以四边形AB.CD为平行四边形，因此有AtDHBXC,

又4。<=平面4QD,用c<2平面4。。，所以4。//平面4。。,

PeBg,因此尸到平面4。。的距离为定值，三棱锥尸-4G。的体积为定值，③正确;

由于4。//耳C,因此异面直线AP与4。所成角就是AP与B’c所夹的角,

即图中//PC或//尸片，设正方体棱长为1,易知48]=/C=&C=&,

当点p为中点时，止匕时/尸，qc,

7T7T

因为A/BC是等边三角形，尸在线段与C,因此//PC或4尸片中较小的角的范围是y,-,④错误.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)

17.如图，已知瓦£6以分别是正方体/38-4864的棱/反氏^«。[6。的中点，且所与而相交于

点。.

(1)求证：点。在直线DC上；

(2)求异面直线EF与4月所成角的大小.

【解析】(1)平面NBCDn平面CDD£=DC,

由于0e£Fu平面N3C。，。eu平面CDD£，

所以0eDC,也即点0在直线DC上.（6分）

（2）根据正方体的性质可知4月〃。C,

所以异面直线M与44所成角为NDQE,（8分）

由于AB//DC,E,尸分别是AB,3C的中点，

所以ZDQE=NFEB=45°,

所以异面直线防与所成角的大小为45。.（14分）

18.如图，在四棱锥P-N8C。中，底面48。为平行四边形，。是4C与8。的交点，ZADC=45°,AD=AC=2,

PO_L平面/BCD,P0=2,M是尸。的中点.

（1）证明：P2//平面/Q0

（2）求直线AM与平面ABCD所成角的大小.

【解析】（1）连接MO,在平行四边形中,

因为。为NC与8。的交点，

所以。为3D的中点，（2分）

又M为尸。的中点,所以尸3〃MO.

因为尸平面NCA7,M0u平面/CM,

所以尸8//平面/CM.（6分）

（2）取。。中点N,连接MN,/N,

因为M为尸D的中点，所以皿//尸0,且MV=；PO=1,

由PO_L平面48CD,得A«V_L平面48CD,

所以ZMAN是直线与平面ABCD所成的角.（8分）

因为底面N3CO为平行四边形，且N4DC=45。，AD=AC=2,

所以N/CD=45。，则ADAC=90。，

在RtADAO中,AD=2,NO=1,所以DO—V5，从而AN=-DO=>

22

因为AW_L平面/BCD,NNu平面48CD,MN_LNN,

MN12J5r-1

..tan/MAN=——=—八…n

所CCH以I在中，ANy]55，•；ZMANcA0,—,

~T

所以直线4AZ与平面42CZ）所成角大小为arctan2叵.（14分）

5

19.某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相

等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm,圆柱高为30cm,

底面的周长为24?tcm.

（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到（Men?）；

⑵现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材

料（按实测面积计算）的造价为等平方举8不，共需多少元？（结果精确到0.1元）

【解析】（1）设圆锥的底面半径为尸，母线长为/,高为4,圆柱高为〃2,

贝IJ由题意有2a=24兀，得r=12cm,圆锥高4=也。？-12?=16cm，

223

所以“笼具”的体积V=Ttrh2+1Ttr/2!=7iH44x30+|xl44xl6j=5088兀~15984.4cm,（6分）

（2）圆柱的侧面积用=2兀泌2=720兀cm?,圆柱的底面积显=兀r=144兀,

圆锥的侧面积S3=nrl=240K,

所以“笼具”的侧面积饵则=耳+$2+S3=1104兀cn?.（12分）

故造50个“笼具”的最低息造价为——不----=二一~138.7兀.（14分）

答：这种“笼具”的体积约为15984.4cn?；生产50个笼具需要138.7元.

20.如图，已知四棱锥尸-4BCD的底面为直角梯形，ADHBC,乙8co=90。，PA=PB,PC=PD.

（1）证明：CO与平面尸4D不垂直;

（2）证明：平面尸平面48cD；

（3）如果00=40+8。，二面角尸-BC-/等于60。，求二面角P-CO-N的大小.

【解析】（1）若CD,平面尸4D,

则CDLPD,

由已知PC=P。，

得NPCD=NPDC<90°,（2分）

这与CD_LPD矛盾，所以CD与平面尸4D不垂直.（4分）

（2）取N3、CD的中点E、F,连接尸£、PF、EF,

由尸/=PC=PD,得PE工AB,

PF1CD,

.,.E尸为直角梯形的中位线，（6分）

.­.EFLCD,又PFCEF=F,

•••CD1平面PEF,（8分）

由PEu平面尸所，得CD_LPE,又且梯形两腰48、CO必交,

:.PEL^^ABCD,

又PEu平面尸48,

.,.平面尸平面/BCD,（10分）

（3）由（2）及二面角的定义知/母E为二面角尸-CO-N的平面角,

作EGL8C于G,连尸G,

由于尸E_L平面ABCD,BCu平面ABCD，故尸E±BC,

EGLBC,EGcPE=£,EG,PEu平面PEG，故BC1平面PEG

PGu平面PEG,所以PGLBC

故/尸GE为二面角尸-5C-4的平面角，（12分）

即NPGE=60°,

由已知，得EF=；（4）+BC）=；CD,

又EG=CF=；CD.

：.EF=EG,

RtiPEF=RLPEG.NPEF=NPGE=60P,

故二面角尸-CO-4的大小为60。.（18分）

21.如图，斜三棱柱ABC-44G中，NC=BC,。为N8的中点，2为4月的中点，平面ABC_L平面ABBXAX.

（1）求证：直线4。〃平面BGA；

（2）设直线/月与直线82的交点为点£,若三角形N3C是等边三角形且边长为2,侧棱/4=电，且异面

2

直线5。与力4互相垂直，求异面直线4。与BG所成角；

（3）若AB=2,AC=BC=6,tanN&AB=当，在三棱柱/BC-481G内放置两个半径相等的球，使这两个球

相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切.求三棱柱/8C-44G的高.

【解析】（1）斜三棱柱NBC-43G中，0为的中点，。为的中点,

所以40=且42〃8。，

所以四边形428。为平行四边形，

所以4。/力2