函数与方程10类常考压轴小题-2025年高考数学复习突破（新高考专用）

专题2-1函数与方程10类常考压轴小题

模块一、热点题型解读（目录）

【题型1】分段函数零点个数问题

【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系）

【题型3】嵌套（复合）函数求值问题

【题型4】反函数对称性的应用

【题型5】不等式恒成立与能成立问题

【题型6】存在，任意双变量问题

【题型7】关于的八x）的方程根的个数问题

【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题

【题型9】2个函数存在对称点问题

【题型10]隐零点问题初步

模块二I核心题型•举一反三

【题型1】分段函数零点个数问题

先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，首先要准确

绘制分段函数的图像，确保每个分段的图像都正确无误。在绘制过程中，特别注意分段连接点处的

图像变化

2X_11>0

1.已知函数<2二c,若实数相€（。,1]，则函数g（x）=〃x）-根的零点个数为（）

[-X-2x,x<0

A.0或1B.1或2C.1或3D.2或3

2.（2024・高三.北京通州•期末）已知函数/（x）={

[a-X.x>2.

（1）若4=-0,则“X）的零点是.

（2）若y（x）无零点，则实数。的取值范围是.

\x—c,0,

【巩固练习1】（2024•北京西城-一模）设ceR,函数/（、）=若/⑴恰有一个零点，

则c的取值范围是（）

A.（0,1）B.{0}U[l,+s)

C.（0,1）D.{0}U[；,+8)

\y+1_1|yQ

【巩固练习2】已知函数lI''若函数g（x）=〃x）-a有3个零点，则。的取值范围是

Inx,x>0

（）

A.（0,1）B.（0,2]C.（2,+s）D.（l,+<»）

3尤2—12尤+12,尤21,

【巩固练习3】（23-24高三上•陕西西安・期末）已知函数〃x）=।,若

|3-

/（%）=/（电）=/（鼻）=/（%）=，，且%力％二彳3工苫4,则f的取值范围是（）

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)

Y+4V+〃X<]

''若函数y=f(x)-2有三个零

{lnx+l,x>l,

点，则实数。的取值范围是()

A.(-8⑵B.(-3,4)C.(-3,6)D.(-3,+8)

尤2Ix_3尤<0

【巩固练习5】已知函数/(%)=.c,';，令/z(x)=/(x)-3则下列说法正确的()

-2+Inx,x>0

A.函数〃x）的单调递增区间为（0,+功B.当%«-4,-3）时，Mx）可能有3个零点

C.当左=-2时，%（力的所有零点之和为-1D.当此（YO,-4）时，/?（可有1个零点

【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系）

/核心•技巧/

解决分段函数等高线（方程根之间的数量关系）问题，首先要明确分段函数的定义和各分段上的表

达式。接着，对于每个分段，分别令函数值等于某个常数，以构造等高线方程。然后，解这些等高

线方程，找出它们的根，并关注这些根之间的数量关系。特别地，要注意分段连接点处等高线的行

为，以及可能存在的多重根情况。最后，综合所有分段的信息，得出等高线方程根之间的数量关系。

在解题过程中，数形结合的方法往往能提供直观的帮助。

3.已知函数〃x）=」，2（x,无<3,若有四个不同的解占，尤2,无3,匕且玉<尤3<匕，

X2-8X+16,X>37

则%+%+鼻+匕的取值范围是

x2+2x+1,x<0

4.（2024•陕西咸阳•模拟预测）已知函数/（x）=，若方程〃力=，有四个根

|lnx|,x>0

Xl,X2,X3,X4,且再则下列说法里误的是（）

A.玉+/=—2B.毛+%>2

C.小2>4D.Q<a<l

/、|lnx|,0<x<2..

5.（23-24高三上.广东.阶段练习）设小）=）（47）2<X<4'若方程〃力=相恰有三个不相等

的实根，则这三个根之和为；若方程〃龙）=加有四个不相等的实根%«=1,2,3,4）,且

2

网<%<W<Z，贝!1（占+x2）+x；+x：的取值范围为.

15

—x2—x,x<0n

【巩固练习1]（23-24高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）已知函数/（*）=22，若关于x

|ex-2|,x>0

的方程了（%）=根有四个不同的根不，工2，工3,/（玉<%<%3<%4），则2e与-卒4-工2冗4的最大值是（

A.5In—F3B.51n2+4

2

C.51n3D.13-2e

一炉—2x,x«0

【巩固练习2]（23-24高三上・甘肃平凉•阶段练习）（多选）已知函数

|log2x|,x>0，右

%1<x2<x3<x4,且/（%）=/（九2）=/（工3）=/（九4）二左，则下列结论正确的是（）

A.x,+x2=-lB.X3X4=1C.1<x4<2D.0<^<l

Ilog2x|,x>0

【巩固练习3】已知函数/（%）=]厂5，若方程/（%）="恰有四个不同的

73sinju-cosTLX,——<x<0

I3

实数解，分别记为毛，巧，工3，14，则%+%2+%3+%4的取值范围是（）

1192回5178兀178兀

A.B.C.D.

65123'12)29~4343

%2,x<1

【巩固练习3]（23-24高三上•湖北•开学考试）（多选）设函数/（%）=%z川…若

/（^）=/（^）=/（%,）=/（%4）,且%<%<匕，则'17r+（%+%+2）W的值可以是（）

%4十1

16

A.3B.4C.5D.—

3

x-a\,x<0

【巩固练习4】已知函数/（x）=1।C，函数y=/（x）-匕有四个不同的零点七，巧，马，和

且项<々<三<X4，-4<%+%<_2,则实数。的取值范围是.

X3X4

/、[|lri¥|,0<x<2,.

【巩固练习51（22-23高三上•四川内江•阶段练习）设“尤》）。,）2<r<4,若方程〃刃=加有

四个不相等的实根％[=1,2,3,4）,则（&+々）2+后+/的取值范围为.

【题型3】嵌套（复合）函数求值问题

/核心•技巧/

嵌套（复合）函数求值问题的解题思路主要在于分层求解和逐步代入。首先，需要明确嵌套函数的

构成，即确定内层函数和外层函数。其次，根据题目给定的自变量值，先求解内层函数的值，这个

值将作为外层函数的输入。接着，将内层函数的输出值代入外层函数，进行求解，得到最终的函数

值。在求解过程中，需要注意函数的定义域，确保每一步的求解都在函数的定义域内进行。最后，

根据求解结果，给出问题的答案。

21

6.已知/（九）是定义域为火的单调函数，且对任意实数x,都有//（x）+^7i=§'则

“Iog23）的值为.

【巩固练习1】任意时，/U•⑺一:]=2恒成立，且函数丁=1）单调，贝U历）=

【巩固练习2】已知函数/V）是定义域内的单调函数，且满足了"（x）-7心+!）]=妨3+2,

则函数/（£）的解析式/（#=,若不等式〃制＞加一/对任意％e[0,+s）恒

成立，则实数区的取值范围是.

【题型4】反函数对称性的应用

核心•技巧

反函数对称性在高三题型中主要体现在其图像关于直线y=x对称的性质。分析这类题型时，首先要

明确反函数与原函数图像的这种对称性。其次，通过观察或计算原函数的图像，可以推断出其反函

数的图像特征，如增减性、极值点等。再者，利用对称性，可以解决一些涉及反函数图像的问题，

如求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题等。最后，结合具体题目，灵活运用反函数的对称性，

可以有效简化解题过程，提高解题效率。

7.（2024・云南昆明.模拟预测）己知4是函数〃尤）=xlnr-2024的一个零点，%是函数

g（x）=xe'-2024的一个零点，则占的值为（）

A.1012B.2024C.4048D.8096

8.已知函数"x）=2"+x-2,g（x）=log2x+x-2,%（尤）=/+尤一2的零点分另！]为°,b,c,则

a+b+c=.

若为满足2%+2、=5，/满足2x+2log2（x-l）=5，则石+々.

9.（2024•山东淄博・一模）设方程e，+尤+e=O,lnx+x+e=0的根分别为q,函数

f[x}=e+[p+q）x,令"〃0）,b=d，c=U则b,c的大小关系为,.

【巩固练习1】已知王，X2分别是方程2尤+兀-8=0与8=。的根，则%+%2的值为.

【巩固练习2】（2024•湖南怀化・二模）（多选）已知函数y=x+e"的零点为£,y=x+hix的零点为巧，

则（）

A.%+%2>°B.\x2<0

%1

C.e+liix2=0D.xxx2-Xj+x2>1

【巩固练习3】（多选）已知函数〃无）=2，+无一2的零点为a,函数g（x）=k）g2x+x-2的零

点为b,

贝U（）

n22

A.。+6=2B.2+log2£»=2C.a+b>3D.O<ab<l

XY<0

【巩固练习4】（2024.四川绵阳.模拟预测）已知函数〃尤）=,e'~；g（x）=x-3,方程

Inx,x>0,

/（g（x））=-3-g（x）有两个不同的根，分别是和无2,则占+%=（）

A.0B.3C.6D.9

【巩固练习5】（23-24高三下•重庆•阶段练习）（多选）已知函数y=x+l（T的零点为A，y=x+lgx

的零点为巧，则（）

A.玉+入2>°B.xxx2<0

X|

C.10+lgx2=0D.4玉%―2%+2/<1

【巩固练习5]（23-24高三下•浙江•阶段练习）已知函数

YY11

/（%）=---2x（x>l）,g（x）=—^Tog2）（x>l）的零点分别为&〃，则一+下的值是（）

x—1%—1ap

A.1B.2C.3D.4

【题型5】不等式恒成立与能成立问题

核心•技巧

（1）若函数”X）在区间。上存在最小值/（X）1nhi和最大值“X）皿，则

不等式/（尤）>。在区间。上恒成立o/（x）1111n>。；

不等式在区间。上恒成立0〃力向了"；

不等式/（尤）<6在区间。上恒成立o/a、*<b-

不等式在区间。上恒成立of（x）1nM通

（2）若函数在区间。上不存在最大（小）值，且值域为（加，n）,则

不等式/（x）>。（或/'（无）2a）在区间。上恒成立O根Na.

不等式〃无）<。（或/'（力4匕）在区间D上恒成立Om口.

（3）若函数”X）在区间。上存在最小值”力〜和最大值以现…即则对不等式有

解问题有以下结论：

不等式在区间。上有解=a<〃x）1Mx;

不等式aW/（x）在区间。上有解=。（〃力2；

不等式在区间。上有解oa>/（x）1nhi;

不等式a2/(x)在区间。上有解oaN/GL；

(4)若函数在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(加，")，则对不等式有解问题有以下

结论：

不等式a<(或a</(x))在区间£)上有解oa<〃

不等式方>7(x)(或b2/(x))在区间D上有解=6>机

10.已知函数/(x)=_rlnx-依+1,若存在为40,小)，使得〃/)<0成立,则实数。的取值范围___

夕

11.(2024山东泰安・模拟预测)已知函数〃》)=加，+111--3(2>0),若/。)>0恒成立，贝的

取值范围是.

【巩固练习1]已知函数/(x)=e'-d—l,若〃x)W依在x«0,+向上有解，实数。的取值范围为

【巩固练习2】已知函数/(%)=1口无+々(1-％),4£1<,若存在尤°e(0,+oo),使得/(朝)22〃-2成立，求

实数〃的取值范围是.

【巩固练习3】(2024•浙江•模拟预测)已知函数/(》)=[+2/，g(x)=2m-lnr,若关于x的不等

式〃x)<移(尤)有解，则m的最小值是.

【巩固练习4]已知函数/(无)满足/(无)=1-炉+2%，若关于x的不等式/(x)>(2-a)x+l在(0,+8)上

恒成立，实数。的取值范围为.

【巩固练习5](2024高三下•全国•专题练习)若关于x的不等式/+元+lnL2mx+ln机恒成立，贝|

X

实数加的最大值为.

【题型6】存在，任意双变量问题

心•技巧7

存在任意双变量问题

⑴羽，/(石)〉g(%2)成立O/(X)max〉g(x)mm

(2)3%!，X2G(a,Z?),/(xJ<g(X2)成立O/(X)而n<g(X)max

(3)Vxrx2e(a,b),f(xj<g(x2)恒成立o/(大幻明<^(x)min

(4)Vxpx2e(a,b),/(石)>g®)恒成立=9⑶皿>g(x)max

(5)V%1G(<2,ZJ),3X2e(a,/?),/(Xj)>g(x2)of(x)min>g(x)min

(6)BXjV%2G(a,b),/(七)〉g(%)成立。/OOmax>gOOmax

(7)若f(x),g(x)的值域分别为A,B,则有:

①V%,3X2,使得/(再)=8(々)成立，则Ac3；

②iq,BX2,使得/(Xi)=g(X2)成立，则

12.已知函数/(x)=(x-l)e*M+如2,g(x)=x3---mx,(xe(0,2],0<m<6).若办eR,%e(0,2],

使『a)vg(%)成立，则实数机的取值范围为.

13.(2024・重庆・模拟预测)已知函数〃尤)=¥赭(耳=依6一%若存在占e(0,l),%e(-。,0)使得

/a)=g(z),则实数。的取值范围为()

A.(-oo,-2)B.(-2,-1)C.(-l,+oo)D.(。,+劝

14.已知函数/(%)=x+3,%e[0,2],g(x)=%+£,x«l,2].对V石耳0,2],都叫《1,2],使得

(犬2)成立，则。的范围是.

【巩固练习1]已知/(九)=疣*,g(x)=—(x+lp+Q,若玉JZWR，使得了(%2)<g(石)成立，则

实数〃的取值范围是()

A.[e,+oo)B.(-00,e]

C.D.卜7

【巩固练习2】已知函数/(x)=x2-2er+a,g(x)=—,对于存在的士仁口向，存在Xje[l,e],使

g(^)</(x2),则实数。的取值范围为()

1

A.[2e-l,+oo)B.2e—1,e9H—

e

■21

C.[e2,+oo)D.e+-,+oo

e

【巩固练习3】（23-24高三上•山东德州•阶段练习）若对任意的王式。』，总存在唯一的

使得芯+2只-3/-〃=0成立，则实数a的取值范围是.

【巩固练习4]（2024•山东泰安•二模）已知函数/（%）=祀"-（以2_利（々＞0）.

⑴若“X）的极大值为1-1,求。的值；

（2）当时，若％川e（-oo,0]使得/（芯）+/（%）=0,求。的取值范围.

【题型7】关于的大x）的方程根的个数问题

核心•技巧

复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函

数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.

15.设/（x）=”21,若关于x的方程尸5）_3/（尤）+2/=0有三个不同的实数根，则实数/的取值

范围为（

A.（0,1）D.(0,11

1nx+1

16.（2024・高三•河南•期末）已知函数/。）=----,若方程"（切2一（3租+2）/。）+2m+1=0有三

X

个不同的实数解，则实数加的取值范围是（）

A.-g，+0°jB.（-Q0,-g3D

C-；]D.[f

Y

【巩固练习1](2024.内蒙古呼和浩特.二模)已知函数/。)=声，若关于x的方程

+2/'(x)-1+m=0恰有3个不同的实数解，则实数，"的取值范围是()

A.C.(-co,2)u(2,+oo)D.(l,e2)

【巩固练习2】(2024.辽宁葫芦岛.二模)己知函数=g(%)=/2(%)-Zf(x)(/eR),若关

于x的方程g(x)=3-产有三个不同实数根，则实数t的取值范围是()

A.(—2,2)B.C.(-2,-D.(2,+co)

【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题

核心•技巧

在高考数学命题中，嵌蓼函数问题常以*察数学思维能力的题型出现，常出现在豆滓或填空的

压轴题中。对于嵌套问题，具有抽象程度高，综合性强的特点，是函数理解的一个难点，但却可以

很好地考查学生对于数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养，是高考数学的高

频热门考点。这类题典型的特点就是很绕，烧脑，需要慢慢悟，仔细体会。主打就是一个数学逻辑

推理。

这类题要做对，必须对函数有深刻的理解。函数实际上就是自变量与函数值在一定的法则下的

对应关系。只要遵循对应法则，那么自变量和函数值可以通过换元化归变化成不同的形式(当然转

化的形式要对解题目标有效，即不做无效变换)

,强式尤_2)|,2<x<6

17.定义在[-L6]上的〃龙)满足对足(%)=,关于x的方程

(尤-1)2,-1VXW2

[〃x)T-(a+l)〃x)+a=0有7个不同的实数根，则实数。的取值范围是()

A.(1,2]B.[L2]C.(2,4]D.(1,4]

3X+1<0

18.设函数〃x)=hogx；|若关于x的函数g(x)=r(x)-S+l)〃x)+l恰好有五个零点.则

实数。的取值范围是.

/、x2-2x+t,x<0

19.(多选)已知函数"X=若函数y=f(f(x))恰好有4个不同的零点，则

21n(x+1)-l,x>0

实数f的取值可以是()

A.-3B.-2C.0D.2

尤2+2x,%W0

【巩固练习1】(23-24高三上•山东滨州・期末)设函数/(x)=h,八若关于x的方程

|lgx|,x>0

f2w+(l-2〃?)/(x)+苏-〃?=0有5个不相等的实数根，则实数m的取值范围是.

g-2|,x42

【巩固练习2】设函数/(尤)=7，若方程/“X)-4⑺-a+3=0有6个不同的实数解，则

——，尤>2

J-1

实数。的取值范围为()

A.(I,：B/臼C.[I]D.(3,4)

【巩固练习3】已知函数帖)=‘若方程"由.⑺+…有5个不同的实数解,

则实数。的取值范围为()

【题型9]2个函数存在对称点问题

20.已知函数/（元）=2+：'无若y=〃x）的图象上存在两个点A,B关于原点对称，则实数a的

取值范围是（）

A.[l,+oo）B.（l,+oo）C.[-l,+oo）D.（-l,+oo）

21.（2023全国高三专题练习）已知函数y=a-21n尤,dwxWe）的图象上存在点M,函数y=Y+i

e

的图象上存在点N,且N关于x轴对称，则。的取值范围是（）

A.[l-e2,-2]B.-3-5,+，）

C.-3—7，-2D.1-e2,—3--y

eJe

【巩固练习1】（2024・四川内江•一模）已知函数/（%）=丘,—<x<e2g(x)=e2+1，右二(%)

e

与g（x）的图象上分别存在点M、N,使得〃、N关于直线y=%+l对称，则实数上的取值范围是（）

114c2c