山东省济南市章丘区某校2023-2024学年八年级上学期9月月考数学试题（解析版）

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2023-2024学年度第一学期

章丘双语学校八年级数学学情调研

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；

2.请将答案正确填写在答题卡上.

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分）

1.在0.2,3%，7,61010010001（相邻两个1之间o的个数依次加1）,我，近中，无理数有

（）个.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：兀，2人等；开方开不尽的

数；以及像0.101001000L.,等有这样规律的数.无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定

要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不

循环小数是无理数.由此即可判定选择项.

【详解】解：T是分数，属于有理数；

羽=二，是整数，属于有理数；

0.2是有限小数，属于有理数；

无理数有：3开，后,6.1010010001...（相邻两个I之间0的个数依次加1）共3个.

故选：B

2.下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.6、8、10B.5、12、13C.12、18、22D.9、12、15

【答案】C

【解析】

【分析】利用勾股定理的逆定理即可求解.

【详解】A...•6?+8'=101.•.此三角形为直角三角形，故选项错误；

B...•52+13=13、.•.此三角形为直角三角形，故选项错误；

c.h.•.此三角形不是直角三角形，故选项正确；

D.V92+12:=15、.•.此三角形为直角三角形，故选项错误.

故选c.

【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于运用勾股定理的逆定理即可.

3.计算0的结果是（）

A.6B.而C.2D.母

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：册一心=2也一尤=后,故选D.

考点：二次根式的加减法.

4.一个直角三角形的三边长分别是6cm、8cm、xcm,则x的值为（）

A.100B.10C.10或2cD.100或28

【答案】C

【解析】

【详解】分析：根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答.

详解：分两种情况进行讨论：

①两直角边分别为6c7九，8cm,由勾股定理得：+'=io（cm）；

②一直角边为6%—斜边为8c7",由勾股定理得：x=优"-G=271（cm）;

故选C.

点睛：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意

讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解.

5.已知的三边分别为服b、c,下列条件中，不能判定△星°为直角三角形的是（）

A./4=N3+NCBObe=3：4：5

c.乙4：42C=345D,62=a3+c2

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形内角和定理.判断三角形是否为直角三角形，已知三

角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.根据三角形内角和定理可分析出A、C的正

误；根据勾股定理逆定理可分析出B、D的正误.

【详解】解：A,7ZA=ZB+ZC,Z^+_5+_C=lS0°,

：,4=90°,

二.A期C为直角三角形，故此选项不合题意；

B、.•・53=3、4）

.能构成直角三角形，故此选项不合题意；

C、设N4=3x。,ZB=4x°,NC=5x°,

3x+4x+5x=180,

解得：x=15,

则5X0=75。，

:AR5c不是直角三角形，故此选项符合题意；

D、,.,b2=a2+c2,

能构成直角三角形，故此选项不符合题意.

故选：c.

6.下列说法不正确的是（）

1±1_

A.25的平方根是5B.-9是81的一个平方根；

C.0.2的算术平方根是0.02；D.V-27=-3

【答案】c

【解析】

【分析】根据平方根立方根的定义即可判断.

11

----±—

【详解】A.25的平方根是-5,正确；

B.-9是81的一个平方根，正确

历=直

C.0.2的算术平方根是5,故错误；

D.A/-27=-3,正确，

故选c.

【点睛】此题主要考查平方根立方根的性质，解题的关键是熟知平方根立方根的性质特点.

7.下列各组数中，互为相反数的一组是（）

A.-2与J（-2）B.和以二§C.2与二D.HI和二

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐项判断即可求解,掌握相反数的定义是解题的关

键.

【详解】解：A=2,

.•.一2与小-2互为相反数,该选项符合题意；

B>VA/-8=-2,

.•.-2和环忑相等，该选项不合题意；

1

C、2与？互为倒数，该选项不合题意；

D、

卜胃和2相等，该选项不合题意；

故选：A.

8.如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m.如果梯子的顶端下滑4m,

A.7mB.8mC.9mD.10m

【答案】B

【解析】

【分析】利用勾股定理进行解答，先求出梯子未下滑时顶端距地面的距离，根据顶端下滑4米，再求出下

滑后梯足距离墙角的距离，便可计算梯足滑动的距离.

【详解】解：梯子未下滑时顶端距地面的距离：V25:-7:=24m,下滑4机后，梯子顶端距地面24-

4=20机，此时梯足距离墙角的距离：扪=15所,

，15-7=8?”,

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

9.如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端

点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为

（）

B

A8

A.15dmB.17dmC.20dmD.25dm

【答案】B

【解析】

【分析】根据勾股定理求解出最短路程即可.

,、*即、目%-超心=、秒+i6+9「=17加

【详解】最短路径V

故答案为：B.

【点睛】本题考查了利用勾股定理求最短路程的问题，掌握勾股定理是解题的关键.

10.如图，将aABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1）,点A,B,C恰好在网格图

中的格点上，那么AABC中BC边上的高是（）

A

R

MxAo叵

A.2B.4C.5D.Js

【答案】A

【解析】

【详解】先用勾股定理糖出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出AABC是直角三角形，最后设

8c边上的高为h,利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.

解：由勾股定理得：

47=/+P=5AB=肝工？=后,BC=卅十?=而,

•・.（而＞+（有）'=（如）‘，^AB2+AC2=BC2

.♦.△ABC是直角三角形，

设BC边上的高为h,

S^C.=-ABAC=-hBC

则22

,ABAC书义书如

h=---------=——=-----

；,BCM2.

故选A.

点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三

角形是否是直角三角形是解题的关键.

第n卷（非选择题）

二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）

11.庖的平方根是—.

【答案】±3

【解析】

【分析】根据算术平方根、平方根解决此题.

【详解】解：.•.可=9,

.实数百的平方根是士±3.

故答案为：±3.

【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键.

12.一十的相反数是—，倒数是—.

6

【答案】①.6(2).T

【解析】

【分析】根据相反数的定义，倒数的定义分别写出，然后根据分母有理化化简即可求解.

【详解】一十的相反数是小,一途的倒数为一忑一丁

一走

故答案为：T.

【点睛】本题考查了实数的性质，二次根式分母有理化，掌握实数的性质，分母有理化是解题的关键.

13.已知a,b分别是而的整数部分和小数部分，则2a->的值为.

【答案】9-而.

【解析】

【分析】先求出相介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用后减去它的整数部分求出它

的小数部分，再代入即可.

【详解】：9<13<16,

,-.3<V13<4,

67=3,6=3,

：.2a-b=2X3-(-3)=6-,而+3=9-而.

故答案为9-病.

【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此

题的关键.

14.已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6,则这个数是.

49

【答案】T

【解析】

【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，即可列方程求得X的值，进而求解.

【详解】解：根据题意得：3x-2+(5x+6)=0,

解得：x="2,

_2%

则这个数是(3X-2)2=(2)2=T;

49

故答案是：T.

【点睛】本题主要考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数.

15._-如。中，您1=15，=11,高J4D=12,则上期。面积为.

【答案】24或84

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积，分乙为锐角三角形，AABC为钝角三角形，两种

情况讨论，分别利用勾股定求出2。和CD的长，进而求出8c的长，再根据三角形面积计算公式计算面

积即可.

【详解】解：当3c为锐角三角形时，

过点A作也垂足为。，

■：AD1BC,

ZADB=AADC=9Q°,

'：AB=\5,AC=\3,4)=12,

:.BD=JAB)_AD，=V153-123=9,

CD=JAC2-AD2=7133-123=5,

：.BC=BD+CD=9+5=\4,

：Su，=%C^1)=1x14x12=84

11，

当AABC为钝角三角形时，

过点A作力D13C垂足为。，

-ADA.BC,

ZADB=AADC=%°,

vAS=15,.40=13,AD=\2,

：.BD=JAB，-AD)=V152-122=9,

CD=4AC2-AD2=V133-123=5,

BC=BD-CD=9-5=4,

S皿々=1x4x12=24

11,

.'.△ABC的面积为24或84,

故答案为:24或84.

【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键.

16.如图所示，已知448。是腰长为1的等腰直角三角形，以P-t2X3C的斜边月。为直角边，画第2个

等腰Rt—HCD,再以Rt-HCD的斜边加为直角边画第3个等腰RtA4DE……以此类推，第2023个

等腰直角三角形的斜边长为

【答案】（©

【解析】

【分析】将前3个等腰三角形的斜边计算出来，然后找出规律即可求出答案.

【详解】解:第一个等腰直角三角形的斜边为Jr+f=J?

何再肝=2=（可

第二个等腰直角三角形的斜边为

在+y=20=（闾'

第三个等腰直角三角形的斜边为

第2023个等腰直角三角形的斜边为'

故答案为：阳.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的有关知识、勾股定理、规律探究等知识，解题的关键是掌握从特殊得

一般探究规律题目的方法，利用规律解决问题.

三、解答题（共8道小题，共计78分）

17.计算：

万+4匠

（1）/；

⑨+2

kZJ\'f;

（）（2一闾一两—g）+|>/3-2

【答案】（1）11（2）4

⑶3-6

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，零指数暴，负整数指数幕，准确熟练地进行计算

是解题的关键.

（1）利用二次根式的除法法则以及性质，进行计算即可解答；

（2）利用平方差公式，进行计算即可解答；

（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答.

【小问1详解】

万+46

解：后

373+873

11百

="7F

=11；

【小问2详解】

解：（痒⑹心+"）+?

=5-3+2

=4；

【小问3详解】

（2--73）+y/3-2

解：⑷

=1—（—4）-4+2—>/§■

=1+4—4+2-^3

=o-w

18.解方程:

⑴2（X-1）3=736

⑵t.v-l（3=-27

【答案】（1）x=l+\^或》=1-/

⑵工=-2

【解析】

【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求立方根和求平方根的方法是解题的关

键.

（1）根据求平方根的方法解方程即可；

（2）根据求立方根的方法解方程即可.

【小问1详解】

解："、-记=病

=3

x-1=+>/3

x=1+后或x=1一技

【小问2详解】

(x-l)3=-27

x-l=-3

x=-2.

19.已知1的平方根是±3,5a+5-？的算术平方根是心求为-肪的平方根.

【答案】±4

【解析】

【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可求出？a+l和5。+二》-2的值，进而求出。和b的值，将。

和b的值代入3a-4b即可求解.

【详解】解：+1的平方根是±3,5a+26-2的算术平方根是％

A2a+1=9,5a4-26-2=16,

a=4,b=-l

把a=4,代入3a-4b得：3X4-4X(-1)=16,

3a-4b的平方根为：±JI?=±4.

【点睛】本题主要考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键.注

意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.

20.如图所示的一块地，已知4D=4米，CD=3米，ADLCD,力5=13米，BC=12米，求这块地

的面积.

【解析】

【分析】考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用，关键是作出辅助线得到直角三角形.连接

AC,利用勾股定理可以得出工47。和△火3c是直角三角形，的面积减去。的面积就是所求

的面积.

AC=yjAD^+CD2=V43+S3=5（米）

又。.•/(7'+8。2=53+11=133=9)

二AHBC是直角三角形，

=—x5xl2—x3x4=24.

故所求面积=AH8C的面积--4CD的面积22(米“).

答：这块地的面积为24米2.

21.如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A,E,。在同一条直线上，

乙4=ZZ)=90。，AE=CD=a,AB=ED=b,BE=CE=c,

B

/a3。b--------D

(i)填空：&EC=。，根据三角形面积公式，可得的面积=；根据割补法，由梯

形的面积减去阴影部分的面积，可得L3EC的面积=.

(2)求证：a2+b2=c2.

3

2_C32_C

【答案】(1)90,2,2

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论；

(2)用两种不同的方法表示梯形即CD的面积，计算化简后，即可得出

【小问1详解】

解：：AE=CD=a,AB=ED=b,BE=CE=c,

AABE=£DEC,

ZABE+AAEB=%°,

zS4£5+ZD5C=90°,

ZBEC=90°,

=-BECE=-c2

的面积22

由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得一8EC的面积

=ga+b)(a+b)-2xa"+2ab+b1')-ab=ga"+b")+ab-ab='c"

2

故答案为：90.2C,-2cC；

【小问2详解】

证明：：RtA4眼，RtjDEC,

..ZAEB=ADCE,BE=EC=c,

•.•ZD=90。，

..ZDCff+ZDEC=90°,

：,ZAEB+ZJ)EC=%°,

Z5£C=90°,

■ABEC是等腰直角三角形，

'•,XJCtD=Q&-XAT+'-Jtl.CDJ+ATC,

(AB+CD)ADAEABEDDCBEEC

----------、---------=-----C-----+-----C------+-----。-----

(〃+6)(。+6)_而baca

即2-T+T+-,

.a2+2ab+b2_c3+2ab

*一>10，

:.a2+b2=c2.

【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关

键.

22.如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风

筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB.

CR

【答案】风筝距离地面的高度为12米

【解析】

【分析】设A8=尤米，则AC=(x+1)米，依据勾股定理即可得到方程,进而得出风

筝距离地面的高度

【详解】解:设AB=x米，则AC=(x+1)米，

由图可得，ZABC=90°,BC=5米，

在MAABC中，=AC2,

即丁+5，=(x+l)：

解得尤=12,

答：风筝距离地面的高度AB为12米.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解

决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.

23.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.

(1)在图1中以格点A为端点画出出=34°=近J记的线段；

(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为？，力，风；

(3)如图3,点尸，M，N是小正方形的顶点，直接写出/尸的度数.

【答案】(1)如图1,见解析；(2)如图2,见解析；(3)/PNM=4F.

【解析】

【分析】(1)利用网格问题和勾股定理，即可得到答案；

(2)根据题意，利用网格问题和勾股定理，即可得到答案；

(3)连接PM,由勾股定理，得到PM=MN,则△RWN是等腰直角三角形，即可得到答案.

【详解】解：(1)如图1：乩5=/幺°=看AD=y/\0(多种画法)

(2)如图2的三角形的边长分别为尤,而；(多种法画)

(3)如图3,连接由勾股定理得尸M=J元,

AXPMN是等腰直角三角形,

：.ZPNM=^^"

BCD

图1图2图3

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键.

24.阅读下面计算过程.

1_lx（V2-l）_F,

1ix（V3-V5）

石（召-3）-

1.1x（6，）一乒、

75+2（>5+2）（75-2）V

请解决下列问题

]

（1）根据上面的规律，请直接写出，〃+1+6=.

11111

（2）利用上面的解法，请化简：1+0W+J，、后+J7^98+^99799+7100.

[

（3）你能根据上面的知识化简行巨一而吗？若能，请写出化简过程.

【答案】（1）石石一血；（2）9；（3）能，y/n+1+Jn

【解析】

【分析】（1）根据规律，分子、分母同时乘分母的有理化因式即可;

（2）将每个式子都分母有理化即可发现规律；

（3）分子、分母同时乘分母的有理化因式即可.

1y/r)+1-4n

=yjn+1-石

+1+4r)(Jn+1+y/n\IJr7+1--Jnj

【详解】解：(1)

故答案为而T一-

------+--------+--------+■…+----------+------------

(2)1+042+^3^+74廊+回799+7100

=心-l+相-企+也-/d--F^99-^98+>/100-499

=10-1

-9

yfn+1+>/w"

=J〃+l+后

1-y/n)(>Jn)

(3)(>/几+1+

故答案为屈T+g

【点睛】此题考查的是分母有理化，掌握含根号的式子的有理化因式是解决此题的关键.

25.如图，将矩形45C£）（AB<AD）沿89折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点R若A8=4,

BC=8.

（1）求的长；

（2）求△OB尸和△£>£1/的面积;

(3)求△DBF中/点到8。边上的距离.

【答案】(1)5；(2)SADBF=10,SADEF=6；(3)E到8。边上的距离为而.

【解析】

【分析】(1)易证34ED,在直角中，根据勾股定理就可以求出。F的长；

(2)由折叠的‘性质得8E=8C=8,DE=CD=4,ZE=90°,EF=BE-BF=3,SADE"TEF'DE,

S/\DBF=SABDE-S/\DEF即可得出结果；

(3)由勾股定理得出2。的长，设厂到8。边上的距离为/z,则SAOBJTB»/Z,即可得出结果.

【详解】(1):四边形A8C£>是矩形，：.AD=BC=8,A8=CZ)=4,ZA=90°,AD//BC,

：.ZDBC=ZFDB,由折叠性质得：/DBC=/DBE,：.ZFDB=ZFBD,：.BF=FD,设AP=尤，贝！|

BF=DF=S-X.在RtzXABF中，由勾股定理得：AB2+AF2=BF2,即：42+尤2=(8-无)2,解得：户3,

：.DF=8-3=5；

(2)由折叠的性质得：BE=BC=8,DE=CD=4,Z£=90°,EF=BE-BF=8-5=3,

1111

==_x_=-x

：.SADEF2EF'DE23X4=6,S^DBF=S^BDE-SADEF2BE-DE-628X4-6=10；

33

(3)BD='JAD^TA?=V8+4=4V5,设厂到8。边上的距离为/?,则Sz\DBF=了瓦>〃，即：

=L

1024、Sh,解得://=正，到8。边上的距离为而.

【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性

质，运用三角形面积公式计算是解题的关键.

26.据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得

到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.

(1)观察：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有

4=1(9-1)5=-(9+1)12=-(25-1)

间断过，当勾・