江苏省常州市某中学2025届高三年级上册开学摸底检测数学试题（含答案）

江苏省常州市金坛第一中学2025届高三上学期开学摸底检测数学试

题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={-3,-1,0,1,2,3,4},QRB={x\x<0或久>3],则AnB=()

A.0B.{-3,-1,0,4}C.{2,3}D.{0,123}

2.若p”og2(a-1)<1,q：3a-1<9,贝！Jp是［的()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

3.已知复数z满足Q-=4-3。则|z|=()

A.3/2B.3C.2/3D.2/5

4.已知幕函数/(%)=x4~m(meN+且znH4)为奇函数，且在区间(0,+8)上递增，则加等于()

A.1B.2C.1或3D.3

5.如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是()

7/27TD7737r

12

6.已知+y)=cos(x—y),tanx+tany=3,贝+y)=()

A.-3B.-2C.3D.2

1

a%2

7.若函数“X)=2-+4x-21nx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,1)C.(-00,1)D.(2,+8)

8.在回力BC中，内角所对的边分别为a,b,c,b=2gasin=fosinX,。是13aBe的外心，AO-

瓦:=6,贝旭ABC的面积为()

A.2/21B.6C.2AAyD.673

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知定义在R上的函数/Xx),对任意eR有/■(久+y)=久)+f(y),其中/'⑴=：；当x>0时，

f(x)>0,则()

A"(x)为R上的单调递增函数

B.f(x)为奇函数

C.若函数/(X)为正比例函数，则函数g(x)=管在x=。处取极小值

D.若函数/'(x)为正比例函数，则函数h(x)=/(%)-2sinx-1只有一个非负零点

10.如图所示，在长方体2BCD-41%的。1中，点E是棱CCi上的一个动点,若平面BE%与棱力公交于点

F,下列命题中真命题是()

A.四棱锥a-BEDiF的体积恒为定值；

B.四边形BED/是平行四边形；

C.当截面四边形BE/F的周长取得最小值时，满足条件的点E至少有两个;

D.若D1ECDC=P,D/nn4=Q,贝!jp、B、Q三点共线.

11.已知3>0,函数/'(久)=COS(3X+看)，下列选项正确的有()

A.若/(X)的最小正周期T=I，则3=4

B.当3=2时，函数f(x)的图象向右平移看后得到g(x)=cos2x的图象

C.若/(%)在区间&兀)上单调递增，则3的取值范围是K,看

D.若/(久)在区间［0,兀］上有两个零点，则3的取值范围是§

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知sin6+*)=富则当注21L.

13.在本次考试的8道单选题中，你前桌的小张同学对其中5道题有思路，3道题完全没有思路，假设有思路

的题能做对的概率为没有思路的题仅能随机猜，你恰好看到了他一道题的答案，这个答案是正确的概

率为-

14.设函数/(%)=(%-a)ln(x+b),若f(%)>0,且ab>0,则2+，的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知五=(sin%,cos%),b=(2V"^cos%,—2cos%),c=(—cosx,3sinx).

(1)若行—3与1共线，求sin2汽；

(2)若函数/(X)=3彳，求函数/O)在区间上的最大值，以及相应的x的值.

16.(本小题12分)

在回ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccosB-bcosA-acosB=0.

(1)求8；

(2)若团ABC外接圆的周长为苧兀，求团ABC周长的取值范围.

17.(本小题12分)

如图，四棱锥P—48CD中，P41底面2BCD,AD//BC,AB=4。=AC=3,PA=8C=4,M,N分别为线

段力。,PC上一点，AM=2MD.

(1)若N为PC的中点，证明：MN〃平面P2B；

(2)求直线4N与平面CMN所成角的正弦值的最大值.

18.(本小题12分)

在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队.比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国

队在每一局中获胜的概率都是'

(1)求中国队以3:0的比分获胜的概率；

(2)求中国队在先失1局的前提下获胜的概率；

(3)假设全场比赛的局数为随机变量X,在韩国队先胜第一局的前提下，求X的分布列和数学期望E(X).

19.(本小题12分)

已知函数/'(久)=2(mx—Inx)+e—2

(1)讨论/(x)的单调性；

omx

(2)当6＞0时，若关于％的不等式/(%)＞不■在区间(0,+8)上有解，求?n的取值范围；

(3)证明：££=2高＞?522,neN*).

参考数据：ln2«0.693.

参考答案

1.D

2.A

3.A

4.C

5.B

6.A

7.4

8.D

9.ABD

1Q.ABD

U.AC

12.—6V-3

13—

16

14.2/1+2

15.⑴

由题意,得五—b=(sinx-2V3cosx,3cosx).

,五一b与3共线，c=(—cosx,3sinx),

(sinx—2V_3cosx)x3sinx+3cos2x=0,

化简，M6V_3sinxcosx=3(sin2x+cos2x)-3,

sin2x=2smxcosx=—.

(2)

由题意，得/'(久)=a-b=2V-3sinxcosx—2cos2x=y/~3sm2x—(1+cos2x)

=V-3sin2x—cos2x—1=2sin-1.

二当2久一.=5即久=狎，函数取得最大值,

・•・函数/⑺在区间［0用上的最大值为1,此时x的取值为9

16.⑴

因为2ccosB-bcosA-acosB=0,

由正弦定理得2sinCcosB=sinBcosX+cosBsinZ=sinC,

因为sinCHO,所以cosB='

因为Be(0,兀).所以B=,

(2)

因为回ABC外接圆的周长为苧兀，所以团ABC外接圆的直径为警，

由正弦定理得号=等，则6=^x噂=2,

s\nB332

由余弦定理得4—a2+c2—2accosB=(a+c)2—3ac,

因为3ac=(a+c)2—4<3x,所以;(a+c)2<4,即a+cW4,

当且仅当a=c时，等号成立，

又因为a+c>6=2,所以2<a+cW4,则4<a+b+c<6.

故团ABC周长的取值范围为(4,6]；

综上，BW，回力8c周长的取值范围为(4,6].

17.(1)

证明：由已知前=2而得4M=2,取BP的中点T,连接27,TN,

由N为PC的中点知TN〃BC,

1

TN=^BC=2.XAD//BC,故TN〃4M,且TN=AM,

.•.四边形力MNT为平行四边形，.•.”可〃”，

•••ATu平面P28,MN仁平面P48,

MN〃平面P4B.

(2)

取BC的中点E,连接4E,建立如图所示的空间坐标系4一久yz.

4(0,0,0),M(0,2,0),C(，^2,0),P(0,0,4),

不妨设丽=ACP,Ae[0,1],

则而=前+4方=(AA5,2,0)+2(-75,-2,4)=(AA5-752,2-2A,4Z),

CN=(一届，-24,44)而=(一五,0,0)

设平面CMN的一个法向量为元=(x,y,z),

(n-CM=0^(x=0

In-CN=0-2y+4z=O'

取y=2,则元=(0,2,1).

设直线4V与平面CMN所成角为

\AN-n\44

sin0=

\AN\\n\<5xJ9(1-A)2+16A2门x]25乃—182+9

___________4_____________VT

0、25x(£)2-18x葛+9

故直线4V与平面CMN所成角的正弦值的最大值为容.

18.⑴

设中国队以3：0的比分获胜的事件为力，因中国队在每一局中获胜的概率都是今故事件力的概率为:

P⑷呜3喑

(2)

设中国队在先失一局的前提下获胜的事件为B,则有两类情况：

①中国队连胜3局(4:1获胜)记为事件当，则其概率为：P(BI)=GY=1^；

②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局(3:2获胜)记为事件&,则其概率为：「(4)=戏x停丫

\4/44

81

256；

因当与B2是互斥事件，故P(B)=P(B]U殳)=Pg+P02)=得+袅=培；

(3)

由题意知X=3,4,5,贝!]P(X=3)=0丫=1；

\^/1O

nr^311,/3\333

P(X=4)=Cx—x—Kx—+(—)=—,

)72444\4764

P(X=5)=C"优中"“停)晨知党,

所以X的分布列为:

X345

13327

p

166464

所以X的数学期望为:E(X)=3x》4x||+5*”箸・

19.解：⑴/⑺的定义域为(0,+8).

f(x)=2m-1=2(m；T).

①当m<0时，ff(x)<0恒成立，・•./(%)在(0,+8)上单调递减；

②当相>0时，当%>，时，/'(%)>0，当0V%V'时，/'(%)V0，

••・/(X)在(0,2)上单调递减，在+8)上单调递增，

综上可得：当机40时，/(%)在(0,+8)上单调递减；

当机>0时，f(x)在(0,6上单调递减，在(，,+8)上单调递增.

mx

⑵由题意知关于无的不等式彳p——2mx+21nx-(e-2)<0在(0,+8)上有解,

即e?nxTn%—2(jnx—Inx)—(e—2)<0在(0,+8)上有解,

又m>0,由(1)可知久=，时，即(nt%—lnx)min=1+Inm,

令t=mx—Inx,贝！R>1+Inm,

则——2t—(e—2)<0在te[1+Inm,+8)上有解，

令h(t)=e'-2t-(e-2),贝！)"(t)=e'—2,

令h/(t)=0,得t=ln2,

所以，当tvln2时,hf(t)<0,当t>ln2时,h!(t)>0,

即。在(-81n2)上