2025年高考数学一轮复习突破：立体几何中的截面、交线问题（九大题型）

拔高点突破01立体几何中的截面、交线问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：截面作图...............................................................2

题型二：截面图形的形状、面积及周长问题.........................................4

题型三：截面切割几何体的体积问题...............................................5

题型四：球与截面问题...........................................................6

题型五：截面图形的个数问题.....................................................6

题型六：平面截圆锥问题.........................................................7

题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题.............................8

题型八：截面有关的空间角问题..................................................10

题型九：交线问题..............................................................10

03过关测试....................................................................11

亡法牯自与.柒年

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解决立体几何截面问题的解题策略.

1、坐标法

所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问

题增添了一种代数计算方法.

2、基底法

所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其

理论依据是：若四点E、F、G、”共面，P为空间任意点，则有：

结论1：若旃与丽不共线，那么而=2旃+〃而；

结论2：PE=APF+juW+t]PH（A+ju+r]=l）.

3、几何法

从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以及平面

几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而

得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明.

题型一：截面作图

【典例1-1】（2024•河南•三模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形,

AD=PA=2,BC=4,E,F,G分别为PA,BC,CD的中点.

在答题卡的图中作出平面EFG截四棱锥尸-ABCD所得的截面，写出作法（不需说明理由）;

【典例1-2］如图所示，已知正方体ABCIR-ABCD,过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截

面所成的角皆相等，试找出满足条件的一个截面.

【变式1-1］如图，已知正方体ABCD-A'3'C'Z)'的棱长为1,分别是线段BB'QZX上靠近反。的三等

分点.过点AIM,N作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积.

【变式1-2］如图，正四面体ABC。中，尸是AB上一点，AP=^AB,Q&AD,AQ=^AB,R为CD中

点，截面PR。与CB交于点S.确定S的位置.

A

题型二：截面图形的形状、面积及周长问题

【典例2-1］（2024•全国•模拟预测）已知正方体ABCD-A耳G，中，点E是线段B片上靠近耳的三等分

点，点尸是线段AG上靠近”的三等分点，则平面AEF截正方体ABCD-A4G2形成的截面图形为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【典例2-2］（2024•高三•江西•开学考试）已知一正方体木块ABC。-ABC2的棱长为4,点E在棱

AA上，且AE=3.现过DE,用三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（）

A.4>/26B.5A/17C.2后D.-^―

2

【变式2-1］（2024•江西•模拟预测）已知在长方体ABCD-A片GR中，AB=BBl=2BC,点P,Q,

T分别在棱8月，CG和A3上，且用尸=32尸，CQ=3C,Q,BT=3AT,则平面PQT截长方体所得的截面

形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【变式2-2］（2024•陕西咸阳•模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，M,N分别为棱AD,

3c的中点，O为线段的中点，球O的表面与线段AO相切于点M,则球。被正四面体ABCD表面截

得的截面周长为.

A

题型三：截面切割几何体的体积问题

【典例3-1】（2024•河北•模拟预测）过圆锥PO高的中点。作平行于底面的截面，则截面分圆锥尸。上

部分圆锥与下部分圆台体积比为（）

A.-B.-C.-D.-

2357

【典例3-2】（2024•湖南娄底•模拟预测）如图，在三棱柱耳G中，底面A3C,

AB=BC=CA=AA，点。是棱A4上的点，AD=^-AAi,若截面BOG分这个棱柱为两部分，则这两部分

4

的体积比为（）

A.1:2B.4:5C.4:9D.5:7

【变式3-1]（2024•贵州贵阳•一模）在三棱柱中，底面ABC,

AB=5C=CA=gAV点p是棱AA上的点，AP=2PAl,若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分

的体积比为（）

A.1:1B.1:3C.4:9D.4:5

【变式3-2]（2024•河北衡水•一模）已知正三棱柱ABC-ABC-过底边BC的平面与上底面交于线段

MN

MN,若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则工三=（）

A.B.1一@C.D.3--

2222

题型四：球与截面问题

【典例4-1】（2024•福建漳州•一模）在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=AAl=4,ACrAB,过

AG作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为一.

【典例4-2】（2024•河南新乡•二模）已知一平面截球。所得截面圆的半径为2,且球心。到截面圆所在

平面的距离为1,则该球的体积为一.

【变式4-1】已知球。的体积为£兀，高为1的圆锥内接于球。，经过圆锥顶点的平面a截球。和圆锥所得

的截面面积分别为席邑，若岳=2/7兀，则$2=

16

【变式4-2］（2024•陕西西安•三模）如图，已知球。的半径为R,A、B在球。的表面上，AB=2,连接

球心。与A、B,沿半径。4旋转使得点3旋转到球面上的点C处，若此时N54C=12O。，且球心O

D

到VA3C所在截面圆的距离为则球。的表面积为一.

题型五：截面图形的个数问题

【典例5-1】过正四面体尸-ABC的顶点P作平面a,若。与直线A4,PB,PC所成角都相等，则这样的

平面的个数为（）个

A.3B.4C.5D.6

【典例5-2］（2024•陕西榆林•陕西省榆林中学校考三模）过正方体ABC。-A4GA的顶点A作平面a,

使得正方体的各棱与平面a所成的角都相等，则满足条件的平面a的个数为（）

A.1B.3C.4D.6

【变式5-1］设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面a去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四

边形,则这样的平面a

A.有无数多个B.恰有4个C.只有1个D.不存在

【变式5-2］（2024•浙江•模拟预测）过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使

截面与底面BCD所成的角为75。，这样的截面有（）

A.6个B.12个C.16个D.18个

题型六：平面截圆锥问题

【典例6-1】用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用

一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角6不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别

是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.记圆锥轴截面半顶

角为a,截口曲线形状与da有如下关系：当。〉a时，截口曲线为椭圆；当。="时，截口曲线为抛物线:

当，＜a时，截口曲线为双曲线.如图1所示，其中现有一定线段AB,其与平面£所成角

（P（如图2）,8为斜足，尸上一动点尸满足=设尸点在的运动轨迹是「，贝U（）

图1图2

A.当0=5，/=］时，r是抛物线B.当夕时，「是双曲线

6436

C.当0=：,7=:时，「是圆D.当°=时，：r是椭圆

【典例6-2］（2024•福建泉州•模拟预测）已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形，过其底面圆周

上一点A作平面a,若a截圆锥S。得到的截口曲线为椭圆，则该椭圆的长轴长的最小值为（）

A.走B.1C.JiD.2

2

【变式6-1］如图1,用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进

行研究，其中比利时数学家Germinaldandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两

个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于E、F,在截口曲线上

任取一点A,过A作圆锥的母线，分别与两个球切于C、B,由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC,

AF=AB,^-^AE+AF=AB+AC=BC,由8、C的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭

圆定义可知，截口曲线是以£、P为焦点的椭圆.如图2,一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点

光源尸，则球在桌面上的投影是椭圆，己知A4是椭圆的长轴，P4垂直于桌面且与球相切，尸4=3,则

椭圆的离心率为（）

p

【变式6-2］（2024•上海虹口•模拟预测）在圆锥PO中，已知高产0=2,底面圆的半径为4,M为母线

PB的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面

四个命题，正确的个数为（）

①圆的面积为4兀；

②椭圆的长轴长为历；

③双曲线两渐近线的夹角正切值为=;

4

④抛物线的焦点到准线的距离为迪

5

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题

【典例7-1］（2024•四川宜宾•模拟预测）己知E,b分别是棱长为2的正四面体ABCD的对棱AD,3c的

中点.过斯的平面a与正四面体A3CD相截，得到一个截面多边形也则正确的选项是（）

①截面多边形。可能是三角形或四边形.

②截面多边形二周长的取值范围是［4,2也+34］.

③截面多边形T面积的取值范围是［1,应］.

④当截面多边形?是一个面积为渔的四边形时，四边形的对角线互相垂直.

2

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【典例7-2】（2024•四川•一模）设正方体ABCD-A耳G2的棱长为1，与直线AQ垂直的平面。截该正

方体所得的截面多边形为M.则下列结论正确的是（）.

A.M必为三角形B.M可以是四边形

C.M的周长没有最大值D.M的面积存在最大值

【变式7-1］若圆锥的轴截面.是一个顶角为2胃兀，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，

截面面积的最大值为（）

A.走B.1C.3D.2

2

【变式7-2］（多选题）（2024•福建厦门•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABC。-A与GR中，点

E,尸分别是。，和8R的中点，则（）

B.C尸_1_”

点F到平面EAC的距离为显

C.

3

D.过E作平面a与平面ACE垂直，当a与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为

【变式7-3］正方体ABC。-AAGA中作一截面与AG垂直，且和正方体所有面相交，如图所示.记截面

B.S不为定值，C为定值

c.S和C均为定值D.S和C均不为定值

题型八：截面有关的空间角问题

【典例8-1］（2024•四川成都•高三校联考期末）在正方体ABC。-4464中，E为线段AD的中点，设

平面A5C,与平面CCXE的交线为m,则直线m与AC所成角的余弦值为（）

A.|B.—C.叵D.—

2255

【典例8-2］在正方体ABCD-AAGA中，E为线段的中点，设平面A3C与平面CC出的交线为/,

则直线/与BE所成角的余弦值为（）

A6RA/10„4\5p.^30

5101010

【变式8-1］（2024•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测）在正方体A3CO-4耳G。中，E为中

点，过的截面a与平面的8田的交线为/,则异面直线/与8c所成角的余弦值为（）

&回R新「Mn厉

A.-----D.C.-----L）.---

10555

题型九：交线问题

【典例9-1】（2024•四川绵阳•模拟预测）如图，在正方体48CD-A瓦G2中，E是棱C6的中点，记平

面ARE与平面的交线心平面ARE与平面A的交线4,若直线AB与4所成角为a,直线A8

与4所成角为凡贝"in（2a-⑶的值是

【典例9-2］（2024•全国•模拟预测）已知正四棱柱ABCD-ABGR中，AB=2,照=4,点片为

的中点，点尸为的中点，平面诋与平面A。。A的交线为/,则异面直线/与A。所成角的余弦值

为一

【变式9-1］（2024•浙江宁波•一模）在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD（不含端点）上的动

点，过点A的平面a与平面P3C平行.若平面。与平面平面ACD的交线分别为力4〃，则根,〃所成

角的正弦值的最大值为.

【变式9-2]（2024•山东•二模）三棱锥尸-ABC中，VA3c和APBC均为边长为2的等边三角形，D,E

分别在棱AC上，且，=/；,。£<=平面/4尸〃平面。，若PA=6,则平面。与三棱锥P-ABC的

rDA7C

交线围成的面积最大值为一.

【变式9-3]（2024•广东汕头•一模）如图，在正方体ABCO-A4G2中，E是棱CQ的中点，记平面

ARE与平面A3C。的交线为乙，平面ARE与平面42与A的交线为），若直线AB分别与4、4所成的角为

a、/3,贝|tan（z=,tan（a+,）=.

1.已知球。是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=6,

AB=4y/3,点E为线段8。的中点.过点E作球。的截面，则所得截面面积的最小值是（）

A.9兀B.8兀C.4兀D.3兀

2.已知正三棱锥A-BCD的外接球是球。，正三棱锥底边BC=3,侧棱A8=26，点E在线段3。上，且

BE=DE,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）

11711「Cc1「11兀,]「9兀/

A.-B.[2K,3TI1C.一1，4兀D.二~,4兀

4JL」4」L4

3.（2024•四川资阳•二模）已知球。的体积为一，点A到球心。的距离为3,则过点A的平面。被

球。所截的截面面积的最小值是（）

A.9兀B.12兀C.16TID.20兀

4.（2024•宁夏吴忠•模拟预测）己知正三棱锥A-BCD的外接球是球O,正三棱锥底边BC=3,侧棱

A8=2打，点E在线段上，且班=1）£,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的最大值是（）

9兀

A.2兀B.—C.3兀D.4兀

4

5.（2024•四川绵阳•模拟预测）在长方体ABC。-ABIGR中，AB=2AD=2AA，点M是线段GA上靠

近2的四等分点，点N是线段CG的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

6.（2024•四川成都•二模）在正方体ABCD-4瓦弓2中，尸、。分别是棱A4、CQ靠近下底面的三等

分点，平面〃尸QCI平面ABCD=/,则下列结论正确的是（）

A./过点B

B.IIIAC

C.过点的截面是三角形

D.过点R,P,。的截面是四边形

7.（2024•安徽安庆•三模）在正方体A28-ABC2中，点及尸分别为棱AB,/⑦的中点，过点E/，G

三点作该正方体的截面，则（）

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱8片的交点是棱B片的一个三等分点

C.A。，平面C]EF

D.平面A8Q//平面C]E尸

8.（多选题）（2024•河南信阳•二模）如图，在四棱锥Q-E尸G〃中，底面是边长为20的正方形，M

为QG的中点.QE=QF=QG=QH=4,过。作平面£FGH的垂线，垂足为。，连EG,EM,设EM,

。。的交点为A,在△QH尸中过A作直线3c交。尸于8,C两点，QB=xQH,QC=yQF,过

石河作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为匕匕，下列说法正确的是（）

—.1―•1—.B.『3

A.QA=-QH+-QF

无y

V1

’的最小值为:

C.Vl=2-j3xyD.

V22

9.（多选题）（2024•福建福州•模拟预测）在棱长为2的正方体ABC。-中，M,N,P分别是

AVCCCQi的中点，。是线段A4上的动点（不含端点），则（）

A.存在点Q,使尸。〃平面M6N

2

B.存在点。，点。到直线B尸的距离等于1

C-过AMB，N四点的球的体积为三

D.过Q,M,N三点的平面截正方体ABCD-A4GA所得截面为六边形

10.（2024•山西吕梁•二模）己知圆台。02的高为3,中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径

为3,若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1:2的两部分，则该圆台的母线长为.

11.现要将一边长为101的正方体ABCD-A瓦G2,分割成两部分，要求如下：（1）分割截面交正方体各

棱AA，BB{,CCX,DR于点p,Q,R,S（可与顶点重合）；（2）线段AP,BQ,CR,£>S的长度均为

非负整数，且线段AP,BQ,CR,DS的每一组取值对应一种分割方式，则有种不同的分割方式.

（用数字作答）

12.（2024•河南•模拟预测）在三棱柱ABC-AAG中，441底面MC,AB=BC=C4=；A4,,点尸

是棱AA上的点，AP=2PA，若截面8PG分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为.

13.（2024•浙江绍兴•模拟预测）过正三棱锥P-A5c的高P”的中点作平行于底面ABC的截面ABC1，

若三棱锥尸-4月£与三棱台ABC-44G的表面积之比为己，则直线出与底面ABC所成角的正切值

为一

14.（2024•山东临沂•一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截

面的直径被截得的一段叫做球冠的高•球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面

的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.

如图1,一个球面的半径为R,球冠的高是力,球冠的表面积公式是S=2位"与之对应的球缺的体积公式

1JT

是V=］兀（3R-/z）.如图2,已知CD是以A3为直径的圆上的两点，ZAOC=ZBOD=-,S^COD=6n,

则扇形COD绕直线AB旋转一周形成的几何体的表面积为,体积为.

15.（2024•高三•浙江宁波•期末）已知高为2的圆锥内接于球O,球。的体积为36兀，设圆锥顶点为P,

平面。为经过圆锥顶点的平面，且与直线PO所成角为设平面a截球。和圆锥所得的截面面积分别为

0

S”贝科=____.

d2

16.（2024•河南•三模）在正四棱柱ABC。-A用Ca中，AB=1,明=3,点P为侧棱DQ上一点，过

A,C两点作垂直于B尸的截面，以此截面为底面，以8为顶点作棱锥，则该棱锥的外接球的表面积的取值

范围是__.

17.（2024•重庆•三模）在三棱锥A-3C。中，为正三角形，△BCD为等腰直角三角形，

3CLCD且BC=1,AC=V3,则三棱锥人-BCD的外接球。的体积为—；若点E