新课程2024高考数学一轮复习第七章立体几何第1讲空间几何体的结构特征及其直观图学案含解析

PAGE第七章立体几何第1讲空间几何体的结构特征及其直观图[考纲解读]1.相识柱、锥、台、球及其简洁组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简洁物体的结构.2.会用斜二测画法画出简洁空间图形的直观图．(重点、难点)[考向预料]本讲是高考考查的内容之一．预料2024年本讲内容不会单独考查.1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面相互eq\o(□,\s\up3(01))平行且eq\o(□,\s\up3(02))全等多边形相互eq\o(□,\s\up3(03))平行侧棱eq\o(□,\s\up3(04))平行且相等相交于eq\o(□,\s\up3(05))一点，但不肯定相等延长线交于eq\o(□,\s\up3(06))一点侧面形态eq\o(□,\s\up3(07))平行四边形eq\o(□,\s\up3(08))三角形eq\o(□,\s\up3(09))梯形2．旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线相互平行且相等，eq\o(□,\s\up3(01))垂直于底面相交于eq\o(□,\s\up3(02))一点延长线交于eq\o(□,\s\up3(03))一点—轴截面全等的eq\o(□,\s\up3(04))矩形全等的eq\o(□,\s\up3(05))等腰三角形全等的eq\o(□,\s\up3(06))等腰梯形eq\o(□,\s\up3(07))圆3．直观图(1)画法：常用eq\o(□,\s\up3(01))斜二测画法．(2)规则①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴与y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴(或y′轴)eq\o(□,\s\up3(02))垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍eq\o(□,\s\up3(03))平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度eq\o(□,\s\up3(04))不变，平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的eq\o(□,\s\up3(05))一半．1．概念辨析(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)棱台各侧棱的延长线交于一点．()(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是旋转体．()(5)菱形的直观图仍是菱形．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．小题热身(1)如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′－ABC，则剩余的部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体答案B解析剩余的部分是四棱锥A′－B′C′CB.(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()答案A解析由斜二测画法的原理可知．(3)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是________．答案五棱柱三棱柱题型一空间几何体的结构特征下列结论正确的个数是________．①有两个平面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；②棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；③有两个平面相互平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；⑤若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．答案0解析①③④错误，反例分别见下面三个图．②错误，若六棱锥的全部棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必定要大于底面边长．⑤错误，平行于轴的连线才是母线．识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的状况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，依据定义进行判定.(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可.(2024·青岛模拟)以下三个命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0B．1C．2D．3答案B解析由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③错误.题型二空间几何体的绽开图问题1．纸制的正方体的六个面依据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()A.南B．北C.西D．下答案B解析如图所示的正方体，要绽开成要求的平面图，必需剪开棱BC，使正方形BCC1B1向东的方向绽开．剪开棱D1C1，使正方形DCC1D1向北的方向绽开．剪开棱A1B1，使正方形ABB1A1向南的方向绽开，然后绽开，则标“△2.已知圆锥的表面积为a，且它的侧面绽开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A.eq\f(a,2)B.eq\f(\r(3πa),3π)C.eq\f(2\r(3πa),3π)D.eq\f(2\r(3a),3π)答案C解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πr＝πl，所以l＝2r，则圆锥的表面积S表＝πr2＋eq\f(1,2)π(2r)2＝a，所以r2＝eq\f(a,3π)，所以2r＝eq\f(2\r(3πa),3π).求解绽开图问题的关键及留意事项求解立体图形绽开图问题的关键是弄清原有的性质改变与否．应留意：(1)点的改变，点与点的重合及点的位置改变；(2)长度、角度等几何度量的改变.如图所示是一个无盖的正方体盒子绽开后的平面图，A，B，C是绽开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为()A.30°B．45°C.60°D．90°答案C解析还原成正方体后如图所示，由正方体的性质可知，△ABC为正三角形，故∠ABC＝60°.题型三空间几何体的直观图(2024·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析如图(1)所示的是△ABC的实际图形，图(2)是△ABC的直观图.由图(2)可知A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在图(2)中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.故选D.条件探究将本例中的条件变为“△ABC的直观图△A1B1C1是边长为a的正三角形”，则△ABC答案eq\f(\r(6),2)a2解析如图(1)所示的是△ABC的直观图，图(2)是△ABC的实际图形.在图(1)中作C1D1∥y1轴，交x1轴于点D1，在图(2)中作CD⊥x轴，交x轴于点D，设C1D1＝x，则CD＝2x.在△A1D1C1中，由正弦定理eq\f(a,sin45°)＝eq\f(x,sin120°)，得x＝eq\f(\r(6),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.用斜二测画法画直观图的技巧(1)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中仍旧与x′轴或y′轴平行.(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线.(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点，然后用平滑曲线连接.(2024·福州调研)已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.答案eq\f(\r(2),2)解析如图所示，图(1)是