2024-2025学年高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理同步作业含解析新人教A版必修5

PAGE余弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在△ABC中,b=QUOTE,c=3,B=30°,则a= ()A.QUOTE B.2QUOTEC.QUOTE或2QUOTE D.2【解析】选C.由余弦定理:b2=a2+c2-2accosB可得:3=a2+9-6a×QUOTE,解得:a=QUOTE或2QUOTE.2.(2024·丹东高一检测)在△ABC中,cosA=QUOTE,AC=3AB,则sinC= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为cosA=QUOTE,所以sinA=QUOTE.又BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=AB2+9AB2-2AB·3AB·QUOTE=8AB2,BC=2QUOTEAB,又QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE·sinA=QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA=QUOTE,a=7,c=6,则b= ()A.8 B.7 C.6 【解析】选D.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以49=b2+36-2b·6·QUOTE,整理得5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-QUOTE(舍去).4.在△ABC中,sinQUOTE=QUOTE,AB=1,AC=5,则BC= ()A.2QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.4QUOTE【解析】选D.因为sinQUOTE=QUOTE,所以cosA=1-2sin2QUOTE=1-2×QUOTE=-QUOTE,因为AB=1,AC=5,所以由余弦定理可得:BC=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.5.(2024·鹤岗高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=QUOTEbc,sinC=2QUOTEsinB,则A= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为sinC=2QUOTEsinB,由正弦定理可得c=2QUOTEb,代入a2-b2=QUOTEbc可得a2=7b2.由余弦定理的推论可得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以A=QUOTE.6.(2024·玉溪高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a∶b∶c=4∶3∶2,则QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由题意QUOTE=QUOTE=QUOTE,a∶b∶c=4∶3∶2,设a=4k,b=3k,c=2k,由余弦定理可得,cosC=QUOTE=QUOTE,则QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=QUOTE,a=QUOTE,c=QUOTE,则b=________.

【解析】由余弦定理可得a2=6=b2+5-2QUOTE·b·cosQUOTE,解得b=QUOTE或b=QUOTE(舍去).答案:QUOTE8.(2024·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=QUOTE,b=2,A=60°,则sinB=____________,c=____________.

【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sinB=QUOTE=QUOTE.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得c2-2c-3=0,则c=3或c=-1(舍去).答案:QUOTE3三、解答题(每小题10分,共20分)9.在△ABC中,已知sinC=QUOTE,a=2QUOTE,b=2,求边c.【解析】因为sinC=QUOTE,且0<C<π,所以C为QUOTE或QUOTE.当C=QUOTE时,cosC=QUOTE,此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4,即c=2.当C=QUOTE时,cosC=-QUOTE,此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=28,即c=2QUOTE.所以边c的长为2或2QUOTE.10.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C所对的边,QUOTEcosC(acosB+bcosA)+c=0.(1)求角C.(2)若a=QUOTE,b=2,求sin(B-C)的值.【解析】(1)由已知及正弦定理得QUOTEcosC(sinAcosB+sinBcosA)+sinC=0,所以QUOTEcosCsinC+sinC=0,因为sinC≠0,所以cosC=-QUOTE,因为0<C<π,所以C=QUOTE.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即c2=2+4+4,所以c=QUOTE.由QUOTE=QUOTE得sinB=QUOTE,cosB=QUOTE,所以sin(B-C)=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,若b=3,c=1,cosA=QUOTE,则a= ()A.2QUOTE B.2QUOTE C.8 D.12【解析】选B.因为b=3,c=1,cosA=QUOTE.所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=9+1-2×3×1×QUOTE=8,解得a=2QUOTE.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知QUOTE+QUOTE=1,则C为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.在△ABC中,已知QUOTE+QUOTE=1,由正弦定理可得QUOTE+QUOTE=1,通分整理得a2+b2-c2=ab,又由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE,因为C∈(0,π),所以C=QUOTE.3.在△ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=4,AD=QUOTE,则∠BAC为 ()A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】选B.如图,设BD=CD=x.在△ABD和△ACD中,由余弦定理及诱导公式,得QUOTE,即14+2x2=20,解得x=QUOTE,即BC=2QUOTE.则cos∠BAC=QUOTE=QUOTE,所以∠BAC=60°.4.在△ABC中,QUOTE=c2,sinA·sinB=QUOTE,则△ABC肯定是 ()A.等边三角形 B.等腰三角形但不是等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选A.由QUOTE=c2⇒a3+b3-c3=(a+b-c)c2⇒a3+b3-c2(a+b)=0⇒(a+b)(a2+b2-ab-c2)=0.因为a+b>0,所以a2+b2-c2-ab=0.(1)由余弦定理(1)式可化为a2+b2-(a2+b2-2abcosC)-ab=0,得cosC=QUOTE,∠C=60°.由正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,所以sinA·sinB=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=1,ab=c2,将ab=c2代入(1)式得,a2+b2-2ab=0,即(a-b)2=0,a=b.又因为ab=c2,所以a2=c2,c=a=b,所以△ABC是等边三角形.5.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2QUOTE,c=2,cosQUOTE=QUOTE,则b= ()A.1 B.QUOTE C.2 D.4【解析】选D.因为a=2QUOTE,c=2,cosQUOTE=QUOTE,所以cosA=2cos2QUOTE-1=2×QUOTE-1=QUOTE,所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得:(2QUOTE)2=b2+22-2×b×2×QUOTE,可得:b2-3b-4=0,所以解得:b=4或-1(舍去).二、填空题(每小题5分,共20分)6.在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,则sinA=________.

【解析】由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为A为△ABC一内角,所以sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.(2024·衡水高二检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其外接圆的直径为d,且满意bcosA+acosB-4ccosC=0,则QUOTE=__________.

【解析】由bcosA+acosB-4ccosC=0及余弦定理,得b·QUOTE+a·QUOTE-4ccosC=0,得QUOTE+QUOTE-4ccosC=0,得c-4ccosC=0,即cQUOTE=0,所以cosC=QUOTE,所以sinC=QUOTE.由正弦定理,得QUOTE=d,则QUOTE=sinC=QUOTE.答案:QUOTE8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,BC边上的高与BC边长相等,则QUOTE+QUOTE+QUOTE的最大值是________.

【解析】在△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.因为由余弦定理得a2=c2+b2-2bccosA,所以QUOTE=QUOTE.又因为在△ABC中,BC边上的高与BC边的长相等,所以QUOTEbcsinA=QUOTEa2,即bcsinA=a2.所以QUOTE=QUOTE=2sinA+2cosA=2QUOTEsinQUOTE≤2QUOTE.则QUOTE+QUOTE+QUOTE的最大值为2QUOTE.答案:2QUOTE9.已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则QUOTE的取值范围是________.

【解析】由b2=a(a+c)及余弦定理可得c-a=2acosB,由正弦定理得sinC-sinA=2sinAcosB,因为A+B+C=π,所以sin(B+A)-sinA=2sinAcosB,所以sin(B-A)=sinA,因为△ABC是锐角三角形,所以B-A=A,即B=2A.因为0<B<QUOTE,QUOTE<A+B<π,那么:QUOTE<A<QUOTE,则QUOTE=sinA∈QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b·cosA=c·cosA+a·cosC.(1)求角A的大小.(2)若a=QUOTE,b+c=4,求bc的值.【解析】(1)依据正弦定理得2b·cosA=c·cosA+a·cosC,即2cosAsinB=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,因为sinB≠0,所以cosA=QUOTE,因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由余弦定理得7=a2=b2+c2-2bc·cos60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,把b+c=4代入得bc=3,故bc=3.11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2c=QUOTEa+2bcosA.(1)求角B.(2)若c=7,bsinA=QUOTE,求b.【解析】(1)由已知及正弦定理可得2sinC=QUOTEsinA+2sinBcosA,所以2(sinAcosB+sinBcosA)=QUOTEsinA+2sinBcosA,即2sinAcosB=QUOTEsinA,因为sinA≠