高考数学专项复习：向量（新定义）（解析版）

专题06向量专题（新定义）

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）定义平面向量之间的一种运算“。”如下：对任意的£=（租,〃）,B=（p,q）.令

aQb=mq-np,下面说法错误的是（）

A.若£与否共线，则

B.aQb=b0a

C.对任意的（回0鼠=*0分），

D.Ro耳+0,=用中

【答案】B

【分析】根据给出的运算“。”的新定义，结合已知的向量的数量积公式及模长公式逐项判断即可.

【详解】若“与匕共线，贝!J有=〃口-7驴=0,故A正确；

■：bQa=pn-qm,而<2。6=mq-np,:.aQb^bQa,故选项B错误；

对任意的几wR,1.•（旬Qb=（力〃，An）Qb=Amq-Anp,

y.aQb=mq-np,^（aQb^=Xmq-Xnp,故C正确;

（a0b^=（inq—np^+（inp+nq^—m2q2+n2p2+m2p2+n2q2,

又同一MJ=（"?2+1）（/+42）=m2p2+川“2+n2P2+8/,故D正确.

故选：B.

2.（2022春・湖南邵阳•高一统考期中）定义万③5=1循-万石.若向量方=倒,石），向量B为单位向量，贝lj2③方

的取值范围是（）

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6）D.（-1,5）

【答案】B

【分析】求得同，设<扇5>=。，整理可得4®B为关于。的关系式，进而求解.

【详解】因为商=（2,6），所以同=,2?+（如『=3,

设<>=0,。耳。,司，由向量5为单位向量，

所以二B『一小6=32-3xlxcos〈万,5>=9-3cos6,

因为cos6e［-1』,所以C<8）0«6,12］,

故选：B

3.（2021春.云南昆明.高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点。和两个不共线的向量冢，工,由

平面向量基本定理，平面内任何一个向量而都可以唯一表示成，，瑟的线性组合，m=xe^-^-ye^（x,yeR）,

则把有序数组（苍>）称为而在仿射坐标系［。；M区］下的坐标,记为正=（x,y）,在仿射坐标系［。之，［］下，，

B为非零向量，且〃=（%,%）,1=（%,%）,则下列结论中（）

①a+B=（石+%2，%+%）②若打人贝+

③若Z//B，贝|士必=X2%④8s的…/J；，；2

，元1+%7尤2+%

一定成立的结论个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用向量的新定义结合向量的性质逐个分析判断即可

【详解】在仿射坐标系［。；6,021下，设卜］,02）=0,因为。=（%,%）,〃=（三,为），所以£=X［1+y高,

6+%豆，所以a+B=（玉+乂）4+（%+%）02,所以4+3=（占+孙%+%），①正确；

1

若Z_L方，贝JZ%=0，所以>石=（无石+%帚«无21+%可=再％1+（%%+%尤2）1£+“%62,

-

=XjX2\ex|+（xjy2+y^2）|e,||e^|cos0+yxy21^|=0,故②不一定正确；

因为Z//B，所以存在唯一的实数几，使得£=历，则%I+y高=彳（々1+%@，所以％=袄，所

以占所以③正确；

由②知，a'b=xxey+[xy+yx)e-e+yye^,所以④不一定正确,

cos<a,b)=f2x2<x1x2x2x2

\a\\b\

所以正确的有2个,

故选：B

4.(2022・高一单元测试)若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向

量为“等模整向量”，例如向量”(1,3)出=(-3,-1),即为“等模整向量”，那么模为5拒的"等模整向量”有()

A.4个B.6个C.8个D.12个

【答案】D

【分析】把50=同=1(±1)2+(±7)2=J(±5『+(土5)2,分别写出向量即可.

【详解】因为5后=廊=，(±1)2+(±7)2=J(±5『+(±5)2

所以模为5人的等模整向量有

q=(1,7),%=(1,—7),%=(—1,7),=(—1,—7)

%=(7，)，。6=(7，—1)，%=(-7,1),cig=(-7,-1)

%—(5,5),GJQ=(5,—5),4i=(—5,5),42=(—5,—5)

所以模为50的等模整向量共有12个.

故选：D

【点睛】在求向量模的有关问题时通常的处理方法有：

⑴a2=a.a=|a/或卜卜；

(2).±@=«a士务)2=7«2+2a-b+^；

(3)若a=(无，y),则|a|=^x2+y2.

5.(2017・四川广元•统考三模)对于〃个向量Z，Z，Z，…若存在"个不全为0的示数左&，片，…,左，使

得：匕1+左2Z+&Z+…=。成立;则称向量7，Z，Z，…是线性相关的，按此规定,能使向量7=(L。),

Z=(L-1)，Z=(2,2)线性相关的实数左A&，则K+4%的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

_«,___«,一(匕+匕+2kq—0

【分析】由题可得£%+总%+勺％=0,结合条件可得:；“八oz__n)即得.

I/CiXv1K2(—1)।JLK?_U

【详解】由题可知勺4+k2%+匕/=。，4=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2),

&+&+2k3-0

/x。+%2（-1）+2k3=0

两等式两边相加可得匕+4攵3=。.

故选：B.

6.（2022秋•内蒙古鄂尔多斯•高三统考期中）对任意两个非零的平面向量a,，，定义戊。2=募，若平面

P'P

向量篇满足同训>0,痴的夹角0<0,£|,且』。5和都在集合中，贝0。5=（）

135

A.—B.1C.—D.—

222

【答案】C

【分析】由题意可可设〃zeZ,feZ,aob=-,boa=~,得cos?。="e["1],对加，t进行赋值即可

224<2J

得出切，f的值，进而得出结论.

_ra-b同cos。\b\cos6

【详解】解：«oZ?=-^F=^p6t|neZ-故石。@—eP|/IeZL

同|2

又由|团…|石|>0,可设机eZ,ZGZ,

一m一t

令Gob=—,boa=—B.m>t>0

22f

又夹角ee（o,3，所以cos?八号

对加，/进行赋值即可得出机=3/=1

-m3

所以。。

22

故选：C.

7.（2023・全国•高三专题练习）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系

中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点尸作两坐标轴的平行

线，其在x轴和y轴上的截距a,6分别作为点尸的x坐标和y坐标，记尸（“力），则在x轴正方向和y轴正方

向的夹角为。的斜坐标系中，下列选项错误的是（）

y

------7P(a,b)

------------------X

O/a

A.当6=60。时P。,2)与5(3,4)距离为26

B.点A(l,2)关于原点的对称点为4(-1,-2)

C.向量&=(%,4)与b=(x>,龙)平行的充要条件是=%再

D.点4(1,2)至I]直线元+y—1=0的距离为夜

【答案】D

【分析】根据“斜坐标系”的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】设x轴正方向的单位向量为1，y轴正方向的单位向量为可，

对于A选项:由己知得怎,0=60。，所以吊运=lxl4《

由A。,2),8(3,4)及斜坐标的定义可知OA=ex+1e2,OB=3et+4e2,

|AB|=|(95-OA|=2p1+^|=2,(6]+e?)=2《e：+2q•g+g=2V1+1+1=2百，

故A选项正确；

对于B选项:根据“斜坐标系”的定义可知:点A(l,2),则砺=冢+2攻，设A(l,2)关于原点的对称点为A(x,y),

则OA'=-OA=—ex-2e2-xex+ye2,

f%二—1

由于£区不共线，所以jy=_2，

故B选项正确；

对于C选项：a=xlei+yle2,b=x2ei+y2e2,

若〃是零向量，则〃〃成立，同时％1=%=。，所以玉%=成立,

11

此时a!lb\y2=x2y1；

右a是非零向重，则a!1b<=>存在非零常数九，使五=Aa+Ayle2o<

〔肛=%

11

2%%=2占%oX%=%不，所以。〃匕=玉%=.

故C选项正确；

对于D选项：设直线x+y-l=0上的动点为尸（X,y）.而=x[+y晟，

因为x+y-l=0,所以x+y=l,

设反=1,罚=晟，则点尸（x,y）在直线C。上，

所以直线无+>-1=0过点C（1,O）,D（。」）,

因为次=1+21，贝川同=|反一词=2同=2,

|码=|历一研=$+可==6，

由于瓯卜|因=1,（元，9）=60。，所以3=1.

所以师卜即目闾2,所以布,前，

所以点A到直线x+y-1=0的距离为|而卜g,

故D选项错误.

故选：D

8.（2022春.黑龙江大庆.高三大庆实验中学校考阶段练习）如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成。（。二£

角的两条数轴，,晟分别是与尤，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系尤Oy为。斜坐标系，若

OM=x^+y^,则把有序数对（x,y）叫做向量两的斜坐标，记为的=（x,y）.在。=?的斜坐标系中,

石=（抬,-1）.则下列结论中，错误的是（）

=+②阿=1；®515；④B在日上的投影为一行

A.②③B.②④C.③④D.②③④

【答案】D

【分析】借鉴单位向量夹角为90。时的情况，注意夹角为

4

£一3二（%弓+,高）一（%2不+%最）=（%一%2）冢+（乂一%）1；同=7?=G+y2；

数量积为〃%=（七6+%02＞（%2,+%/）；

B在。上的投影为|年3'=忖口=芳•

【详解】对于①.£-3=（：1+与耳）-（括冢-£）=（1-若）,+（g+i）4,

--fl厂6、

所以a-b=--V3,^-+l,故①正确；

对于②.忖=+当4)。h+2＞3＞岑9.02+^-=^7^8$?='1+半＞1，故②错误;

对于③.a-b=(—e]+^-e2)-(yf3e}-e2)=^--^-+e2-e2=0+^-0,故③错误;

22222

一显

对于④.囚在Z上的投影为逅=N_>o,故④错误.

问W

故选：D

9.（2021春•上海浦东新•高一华师大二附中校考阶段练习）如图，定义2、B的向量积［2可=WMsine,a

为当£、B的起点相同时，由Z的方向逆时针旋转到与B方向相同时，旋转过的最小角，对于；=（和功，

%=（%，%），C=（无3,%）的向量积有如下的五个结论:

(1)[几。,=2/z[〃,；②[〃,可=[瓦

③[z,可=占%-々%；④+=[Q,可+[Q,C]；

⑤[a,B+c]=；

其中正确结论的个数为（）

a

a

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】C

【分析】结合题目中的新定义的概念逐项分析即可得出结论.

【详解】①4〃至少有一个为0时，显然成立；

4〃都不为。时，

若“/>0贝I][丸々,"可=•卜q•sina=沏忖•W•sina=[a,5]

若力〃<0,则4可=kN•|阿•sin(a-万)=〃//J•忖•sina=沏[a,可；

综上：［几2〃可=〃/［£,可，故①正确;

②[〃,可=卜雨sina,忸,a]=|&|•|a|sin(-a)=-1«|•|^|sina,所以[a,可"瓦a],故②错误;

=UHq.sina=必

=%％一%2%故③正确;

%

④由③知：［£石+可=.(%+%)-%(%2+4)=占为一%2%+玉%一=［工可+Eq，故④正确；

⑤［获+1=』(%+%)-%(%2+%3)［£石一可=%1(%-%)-%(%2-%3)F(%+%)-％(/+匹)与

%(%-%)-%(%2-毛)不一定相等，故⑤错误；

故选：c.

10.(2022春・山西朔州•高一校考阶段练习)定义般,%为两个向量£,引向的“距离”，若向量£,刃满

足下列条件：(i)W=l;(ii)lwB;(出)对于任意的左尺，恒有“何回2"(£,5),现给出下面结论的编号,

①.2_L石②.以(£-方)③冲④・问w1⑤.仅+3)_1_(£一加)

则以上正确的编号为()

A.①③B.②④C.③④D.①⑤

【答案】B

【分析】根据题意可得仅-历仅询2,转化为〃_224+(2£/-1)2。对于任意的任尺恒成立，即AW0,

整理得再利用向量的数量积逐一判断即可.

【详解】由于〃(痴)=忖-0,又对于1R,恒有匹，问士1(2,可,

显然有卜一目，即(°_疡)>^a-b^,

则一一2笈%+(2日•方一1卜0对于任意的teR恒成立，

显然有A=卜2a-4(2aZ-l)W0成立，

即1)<0,则”.3=1，故序号①错误，

进而24=问Jocose=1,

：W=1,于是8SO=、V1,得冷1,即序号④正确.

再由。一1=0得［屋7=0,得碓-3)=0,

：.b1(a-b),显然序号②正确.从而序号③错误,

再由②ZwB，故序号⑤错误.

综上知本题正确的序号为②④.

故选：B.

【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式

恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次

的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题.

11.（2018.湖南.统考一模）在实数集R中，我们定义的大小关系“〉”为全体实数排了一个“序”，类似的，我

们这平面向量集合D=^\a=（x,y）,xeR,ye耳上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“〉定义如下：

对于任意两个向量Z=（X[，X）,%=（无2，%），当且仅当“为>尤2"初'占=工2且%>%”，按上述定义的

关系“>”，给出下列四个命题：

①若4=（L0），£=（0,1）,6=（0,0）,贝!Jq>e2>。；

②若%>a?,a2>a3,则O]>4；

③若q>的，则对于任意的al+a>a2+a-,

④对于任意的向量£>6，其中6=（0,0）,若%>%,则

其中正确的命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】按照新定义，对每一个命题进行判断.

【详解】对于①，由定义可知①是正确的；

对于②，中囚=（占,%）,%负%,%）,%=（玉,%），满足已知%>外,%>4，则^^马之退，只要有一个没有

等号，则一定占>尤3，若玉=三，则%>%>%，都满足正确；

对于③，：%%=>必+y>%+y，二命题正确，

对于④，中若7=（LD,£=（L-I），则但>Z=o=£,0，错误，因此有①②③正确.

故选:B.

【方法点睛】新定义问题，关键是正确理解新概念，并掌握解决新概念下问题的方法，有一定的难度.本题

中新概念关系“〉”与向量的坐标之间的大小关系联系在一起，由实数大小关系的传递性可得新关系“〉”的传

递性，但向量的数量积与新关系“〉”之间没有必然的联系，这可通过举反例说明.实际上举反例说明一个命

题是错误的，是数学中一个常用的方法.

a

12.（2017秋•河南郑州•高三郑州一中阶段练习）若非零向量扇B的夹角为锐角0,且亍=cos。，则称日被加

“同余已知B被*'同余”，则%-B在a上的投影是（）

【答案】A

b

【分析】首先根据“同余”的定义得一=cos。，再根据投影公式，列式求解.

a

【详解】根据B被*'同余”，则有一=cos。，所以同=B|cos，，万一B在日上的投影为：

a

（万_1）.万一2Tb•同cose_五2

\a\a\同

故选：A.

13.（2022春.陕西榆林.高一榆林市第一中学校考期中）设Z=（q,%）£=（&么），定义一种向量积：

a®b=（a{,%）③（4，％）=（她，％白）•己知而J2,：|,，点尸（x，y）在y=sinx的图象上运动，

点。在y=的图象上运动，且满足丽=方③丽+5（其中。为坐标原点），则y=/（x）的最大值A及最

小正周期T分别为（）

A.2,TVB.2,4兀

C.g,4%D.；,加

【答案】C

【分析】根据题意，设出。的坐标，根据诙=而®而+日的运算得到尸、。坐标间的关系，从而得到了（x）的

解析式，即可求得最大值和最小正周期.

【详解】由题意知可设尸（X。，%）,Q（x,f（x））

则根据丽=而®诙+分可得（xj（x））=（2xo，；yoj+go]

jr1

即x=2尤o+1,〃尤)=5%

1TT

所以无0=寸-%，%=2〃x)

而尸在y=sinx的图象上运动，满足为nsiriXo

1冗即/(x)=；sin

所以2/(x)=sin—X------

26

所以最大值为即A=；

7丁2兀

最小正周期为一丁

2

故选：C.

14.(2023•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习)设向量2与B的夹角为6,定义Z㊉后=|益ind+及os，］.

已知向量2为单位向量，W=&,卜一4=1,贝九之㊉石二()

A.走B.72C.叵D.2^/3

22

【答案】C

【分析】由平面向量数量积的运算律求出向量々与B的夹角，代入新定义求解即可.

【详解】由题意得,一0=5/一2£石+片=J12-2X1XV2COS6>+(A/2)2=1，

解得cos。=，

2

又6e［。,兀］,所以sinO==~^~'

所以逐=争+争/47*=4+i+R*

故选：c

15.(2022春.浙江金华・高一浙江金华第一中学校考期中)记min{x,y}=I"2',设£,加为平面内的非零

[x,x<y

向量，则()

A.min{k+5#"-5]}<B.min{k+5|2,|a-^|2|>a2+b2

C.min{卜+矶口一矶之min{同，同}D.min||«+5\a-b\^}<a2+b2

【答案】D

【分析】根据向量加法减法的几何意义和向量数量积运算，结合排除法解题.

【详解】对于A选项：考虑石，根据向量加法减法法则几何意义知：|Z+B|=|Z-B|>min{|£|,|5|},所

以A错误；

B选项：根据平面向量数量积可知：不能保证±7后20恒成立，

—»-0-*2-2—*—►—*—,—»2—»2—*—►

\a+b\=a+b+2a-b,\a-b\=a+b—2a・b，

2

所以它们的较小者一定小于等于7+S,所以B错误D正确；

C选项：考虑Z〃B，W=5，W=4min{|Q+W,|Z-B|}=l,min{|a|,|B|}二4,所以C错误.

故选：D

【点睛】此题考查向量相关新定义问题，其本质考查向量加减法运算的几何意义，平面向量数量积的运算

和辨析，综合性较强，解题中结合排除法得选项.

16.（2021・全国•高三专题练习）对于向量％（i=l,2,把能够使得|朋|+|匹|+…+|可取到最小值的点

尸称为4«=1,2,的“平衡点”.如图，矩形A3CD的两条对角线相交于点。，延长8c至£,使得3C=CE,

联结AE,分别交3。、CD于产,G两点.下列的结论中，正确的是（）

B.D、C、E的“平衡点”为£>、E的中点.

C.A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一.

D.A、B、E、。的“平衡点”必为P

【答案】D

【分析】利用“平衡点”的定义、三角形中两边之和大于第三边，对选项进行一一验证.

【详解】对A,A、C的“平衡点”为线段上的任意一点，故A错误；

对B,D、C、E的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为120。的点，故3错误;

对C,A、尸、G、E的“平衡点”是线段FG上的任意一点，故C错误；

对。，因为矩形ABCD的两条对角线相交于点。，延长3C至E,使得3C=CE,联结AE,分别交3D、CD

于F、G两点，所以A、B、E、。的"平衡点''必为尸，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查“平衡点”的求法，考查对新定义的理解与应用，求解时要注意平面向量知识的合理运用.

二、多选题

17.（2022春・浙江.高一期中）如图所示，在平面上取定一点。和两个以点。为起点的不共线向量/，工,

称为平面上的一个仿射坐标系，记作｛。:〈,/｝,向量0/0=xeY+ye2与有序数组（x,y）之间建立了一一对应关

系，有序数组（x,y）称为两在伤射坐标系｛。后,身下的坐标，记作的=（x,y）.已知[，晟是夹角为。=与

的单位向量，方=。,2）,5=（2,-1）,则下列结论中正确的有（）

OW*-

A.a+B=（3,l）B.|a|=\/3

1-

C.a±bD.B在a方向上的投影向量为-5。

【答案】ABD

【分析】根据向量线性运算的坐标表示，向量数量积的定义，运算律及投影向量的概念，逐项分析即得.

【详解】由题可知商=。,2）=录+2。，1=（2,—1）=2——温，

/.a+b=el+2e2+2el-e2=3ex+e2=（3,1）,故A正确；

因为A,瑟是夹角为。=子的单位向量，

所以同="|=l,e/4=一;，

••同=+2e?）=~+4q.e?+4e,-=Jl-2+4=s/3,故B正确；

a.0=（G+2与）,（2e]-4）=2,+3^,e2—2e2=2———2=——,故C错误；

3

.•.B在£方向上的投影向量为丝-a=——-a=--a»故D正确.

a32

故选：ABD.

18.（2022春・河南•高一校联考阶段练习）对任意两个非零向量35,定义新运算：a0b=W.已知非

零向量〃?,〃满足网＞3,且向量a,”的夹角0e7171，若4（拓丽）和4（的可都是整数,则若的值可

15

能是（）

A.2B-iC.3D.4

【答案】BC

sin。kn\sin31一一

【分析】由题意可得心区正=、m®n“利用。的范围，可得加从而定

m4同

点答案.

【详解】由题意可得区⑤正==。（丘Z）,因为网＞3,网＞0,所以。（叫＜L

4\m\3

7171,所以.sin3<19所以。<T^ZJ；sin,

因为。e

75\m\

k14

即0＜W＜§,解得0V左＜耳，因为左eZ,所以左=1,

所以的乃。n

sin1.I1匹出=45而。,

“则二=,故机名）〃=

同m4sin。|利

7171，所以《^<sin6<l,因为。<LZ^<G，

因为

『52\m\3

3QQ

所以0＜J-<1,所以一<sin9<l,所以一<sin20<1,则一〈4sin?夕<4,

4sin634164

即山区〃w

故选：BC.

19.（2023・全国•高三专题练习）已知向量1是平面a内的一组基向量，。为a内的定点，对于a内任

意一点P,当丽=x1+y区时,则称有序实数对（尤,y）为点P的广义坐标.若点A,8的广义坐标分别为（孙兀）,

（4，丹），关于下列命题正确的是（）

A.线段A,B的中点的广义坐标为（七三,咤匹）

B.A,B两点间的距离为％y+（%-%I

C.若向量函平行于向量历，则玉丫2=%%

D.若向量函垂直于向量砺，则为9+%%=2

【答案】AC

【分析】由题目给的定义结合向量的线性运算、向量的模长、向量的平行及垂直依次判断4个选项即可.

【详解】根据题意得，设48的中点为C,则

就=g（函+砺）=；（&4+口,+々4+

故线段A,2的中点的广义坐标为［土产，之产］,A正确；

AB=OB-OA=x2ex+y2e2-x1e1一必4=（x2一%）,+（%—X”2，故

网=，］（%-国居+（%-%）0=｛（X「X）2不+2亿一。）（%一%）♦£+（%-%）2丁，

当向量I，q是相互垂直的单位向量时，A,3两点间的距离为。占一%,+（%-%,否则距离不为

，（占一%）2+（%一%）2，B错误；

次与前平行，当次与砺存在。时，结论显然成立，当函与南都不为6时，设西=2丽（60）,

则玉1+乂1=/1%1+2%1，即玉="2，2占%=2%%,所以占%=%%,故C正确；

OAOB=（^xlel+yle2^x2e1+y2e2）=可'「+（占%+%%）＜-e?+，当冢与互为相互垂直的单位向量时,

砺与赤垂直的充要条件是玉%+=。，故D不正确.

故选：AC.

20.（2022•江苏南京・统考模拟预测）设人〃是大于零的实数，向量M=（mcosa,msina）,B=（〃cos£,〃sin£）,

其中a/w［0,2］），定义向量⑷2=1而cos^l•，疯sin］：而2=］«cos，,J^sing,记8=。一/，则（）

A.（ay-（ay=a

1」_n

B.（a）^-（by=J嬴cos—

1_____n

C.(ay-(by>4Vmnsin*12—

4

1_____n

D.(。户+(W>4vmncos2—

4

【答案】BCD

【分析】根据定义求出①户和(5)5，再根据平面向量的数量的坐标运算,结合恒等变换公式可求出他)5.(B)2,

由此可判断A和B选项；利用向量加减法的坐标运算、模长公式以及基本不等式，可判断C和D选项.

aI-.a

【详解】因为向量3户=一,vmsin一

22

aP券n

所以(1)5.(方户=而cos—cos—+sinsin?J=yjmncos(^—g='mncos］是一个实数，不是向量,

2222

所以A不正确，B正确;

因为(㈤3一(5”=cos--Vncos—,Vmsin--Vnsin—|,

2222J

2

1

所以|伍户-④)5|=cos--Vncos—--\/nsin—

2222

/2a.2。、/2P.2/、c/-(。.a.(3

Jm(cos—+sin—)+n(cos—+nsm—)-2yJmn\cos—cos—+sm—sm—

\2222I2222.

Am+n-2y[mncos(---)=Jm+n—lyjmncos—>2y1rnn-2y1mncos—

V22V2V2

=^2\/mn(l-cos-^)=^py/mn^sin2^=sin2,当且仅当机=〃时，取得等号,

1」__°

所以1(0)2一⑸2『之4或浣—,故C正确;

4

,2

cc/—BI—.ar~.B

因为m户+(5)5=cos——卜7ncos—,A/msin——I-vnsin—

2222

2

.ai—.B

所以10)5+(方)万|=Vmcos%+Gco:sin—+vnsin

m(cos2—+sin2—)+n(cos2—+nsin2—)+2y[mn\cos—cos—+sin—sin—

2222I2222

m+n+2y/mncos(-^--勺=+n+2Vmncos^之/,mn+2,mncos\

=J2Jmn(1+cos3=^2y/mn-2cos2=^4y/mncos2,当且仅当机=〃时，取得等号,

1」__n

所以|(M)5-(B)5|2>4vmncos2—,故D正确.

4

故选：BCD

21.(2022.浙江温州・高一永嘉中学统考竞赛)设。、A、3是平面上任意三点，定义向量的运算：

det(函，砺)=而•砺，其中亦由向量砺以点。为旋转中心逆时针旋转直角得到(若方为零向量，规定

OA也是零向量).对平面向量〃、B、c，下列说法正确的是()

A.det.5)=det(反aj

B.对任意XwR,det(a+X瓦5)=det(a,5)

___det(a,c)det(c,fe)

C.若£、B为不共线向量，满足★z+yB=c(x,y£R),则兀=—尸f，V=---

det(qZ)det(a,B)

D.det(a,B)c+det(5,c)Q+det1,=6

【答案】BD

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项;利用A选项中的结论结合题中定义可判断B选项;

利用平面向量数量积的运算性质可判断C选项；对£、B是否共线进行分类讨论，结合题中定义可判断D

选项.

【详解】设向量Z、B在平面直角坐标系中的坐标分别为Z=(q,%),石=伯，4),

设Z=(rcose,rsine),贝ij7=^rcos^+-1^,rsin^+-1^J=(-rsin^,rcos^)=(-6Z2,£ZJ),

同理可得9=(-4①)，

所以,det(a,石)=1•6=(一。2,q),伯也)=一。2bl+。也，

det仅,〃)=//•〃=(一》2，4).(4，〃2)=—+%4,贝Idet(a,B)wdet伍,〃),A错；

对任意的XER,由A选项可知，石石=0，

当2、B不共线时，detR.)=哂-她＜0，

det(q+"厨=-det伍a+4)=-F•(e+=-Ba=-det,a)=det(a,5),B对;

因为xa+y石=c,所以，c-br=xa-br+yb-br=xa-br,

C错;

_det(a,c)一

当入B不共线时，由C选项可知，c=ClH---

det(4,5)det

所以,det(a,b^c=det&ja+det(a,=-det(反c)a-det卜,a)b,

所以，det(a,5)c+det(5,c)a+det^c,a

任取两个向量而、3，对任意的实数人det（m,pn^=m,pn=p^-ri^=pdet（m,n）,

当入石共线时，设存在A£R使得石=。，且det（Z花）=0,

所以，det(q,5)c+det,c)a+de4Ga)5=det(5,c)•左Q+det^c,kb^b

=左det(瓦C)Q+左det(c,B)a=kdet(b,c^a—kdet(瓦c)a=j,

综上所述，det（a,B）c+det伍,2）a+det1,〃）5=0,D对.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向

量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.

22.（2023春・湖北武汉•高一华中师大一附中校考阶段练习）对任意两个非零的平面向量次和£,定义

m。£=宗£,若平面向量满足同纲＞。,万与■的夹角。e吟，且送5和B。G都在集合

meZ,wez1中.给出以下命题，其中一定正确的是（）

A.若根=1时，贝（Jaob=Z?o7=l

一1

B.若根=2时，则行ob=—

2

C.若机=3时，则乙。5的取值个数最多为7

2

D.若机=2014时，则5。方的取值个数最多为270—14

2

【答案】AC

【分析】由新定义可知。。石="=回*,5。万="=号孚，再对每个命题进行判断，即可得出结

b\b\a2\a\

论.

—,_।一六a'b|a|cos6-b-a|b\cos0.

【详解】对A,右机=1时，a"=—厂二——-——=nr,b。（1=——=-------=n,

b\b\a\a\

TT

两式相乘得cos2e=〃.〃，又0,—,

_4_

/.—<cos20<\,即,工九•〃41,

22

:.n=n=1,即Mo5=5o方=1，故A正确;

,41r一7IaIcos0n「一二一IbIcos0n

对B,若〃i=2时，贝=—=-,同理=-....=一

b闻2\a\2

相乘得至hos20="，又0,?,

4L4j

所以LVCOS2041,即上vl,

224

则（〃,"）取值（2,1）时符合34拳41,此时々。石=1，故B错误;

,4,…一二a'b\a\cos6n

对C,右根=3时，贝1]〃。/?=-T-=-----------=—,

b闻3

同理B。"雪平=g,相乘得cos?八处，又夕』05

\a\39L4

I,2八，1Inny

一wcosev1,—«—w1,

229

又.2内>0,得

n=3,n=2,3,

n=4,n=2,

n=5,6,7,8,9,n=1,

;二。石的取值个数最多为7个，故C正确；

对D,若租=2014时，由上面推导方法可知

22014-

20142I—

n2>nn>—^―,.-./：>100772,.­.1425<n<20142,

.-.aob的取值个数最多为2014?-1425+1w网£,故D错误.

2

故选：AC.

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进

行再迁移.

23.（2023・全国•高三专题练习）定义平面向量的一种运算“0”如下:对任意的两个向量；=（&%）,方=（三,%），

11

令加）〃=（%%-兀24不工2+%%），下面说法一定正确的是（）

A.对任意的XeR,有卜4）。6=2（004

B.存在唯一确定的向量工使得对于任意向量Z，都有潟）；=£）：=：成立

C.若£与B垂直，则侬向蓝与温（砌共线

D.若办与B共线，则（温力诚与温（确的模相等

【答案】AD

【分析】由温方=（士必-%小西尤2+乂％）表示出（