广州部分学校2025届高三第二次联考数学试题（含答案）

广州部分学校2025届高三第二次联考数学试

题+答案

2025届高三第二次教学质量联合测评

高三数学试卷

注意事项：

1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交..

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合M={x|0Vx<4},则"=［《；4犬45：,则McN等于()

A.“卜一』B."卜

C.{x|44x<5}D.1x|0<x<5|

2.已知复数z满足(l+2i)z=3-4i,则|z|=()

A.V3B.VsC.3D.5

3.已知向量，=(2,尤)，B=(X,2),若则-=()

A.2B.0C.1D.-2

4.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长

方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有期(a=6+1)个小

球，第二层有(a+1)优+1)个小球，第三层有(。+2乂6+2)个小球..…依此类推，最底层有个小球，共有

〃层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168,则该垛积的第一层的小球个数为

()

A.1B.2C.3D.4

5.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边

的高，则不同的种植方法共有（）

A.20种B.40种C.80种D.160种

6.如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物

线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端尸到江面的距离为100m,且AB==550m，则顶端P

到桥面的距离为（）

图①图②

A.50mB.50V2mC.55mD.55行m

7.将函数8（幻=侬"+3（。工）的图象上所有点的横坐标变为原来的3,纵坐标变为原来的2倍,

得到函数/（x）的图象，若/（x）在［o,］］上只有一个极大值点，则。的最大值为（）

A.2B.3C.4D.5

,匕=/c=lnl.l,则（）

8.设…。［-1

A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

二、选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知不等式〃V+云+°<0的解集为｛x；<x<>1卜贝!J（）

A.a>c>0B.b<—2a<0

D.||-2>-+r

10.已知乂口N（2,9）,则（）

A.E（X）=2B.O（X）=3

c.P（X>8）>P（X<-1）D.P（X<-l）+P（X<5）=1

11.如图，在平行六面体ABCD-A4G2中，已知AB=A。=44,=1,ZA.AD=ZA,AB=ZBAD=60°,E

为棱CG上一点，且率=2的，则（）

B.直线8。与AC所成角的余弦值为亚

6

C.平面D.直线3。与平面ACG4所成角为：

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在口43c中，已知而.恁=9,sinB=cosAsinC,SaABC=6,P为线段AB上的点，且

CA^~CBy21

CP=^|=|+J71=1,则1+亍一5的最小值为

13.已知抛物线C:;/=2x的焦点为产，若C上存在三点斗弓巴，且歹为口今鸟鸟的重心，贝!）口4£月三边

中线长之和为.

14.在〃维空间中（"22,”eN）,以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为〃维坐标

其中q€｛0,1｝（144“k2.定义：在〃维空间中两点（1,/,…当）与他也，…也）的曼哈顿

距离为％-白|+包-可+…+|?-品|.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取

两点间的曼哈顿距离，则E（X）=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题13分）

在公差不为。的等差数列｛&J中，％=1,且%是为与q4的等比中项.

（1）求｛斯｝的通项公式；

（2）若2=2%,c„=anb„,求数列｛1｝的前〃项和S,.

16.（本小题15分）

已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且a：b:c=2:3:4.

⑴求cosA；

（2）若点。为4B的中点，且=求AABC的面积.

17.（本小题15分）

如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，例=3,且441底面

ABCD,点P、。分别是棱8片,£）2的中点.

⑴在底面ABC。内是否存在点M,满足平面CP。？若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说

明理由;

⑵设平面CP。交棱明于点T,平面CPT。将四棱台A8CD-A8C2分成上，下两部分，求CT与平面

CDDG所成角的正弦值.

18.（本小题17分）

3f2

已知4（0,3）和2（3,彳）是椭圆「：3+5=1上两点，。是坐标原点.

2ab

⑴求椭圆「的离心率；

（2）若过点P的直线/交「于另一点B,且口482的面积为9,求直线/的方程：

（3）过0A中点C的动直线与椭圆「有两个交点M,N,试判断在丫轴上是否存在点T使得前.而40.若存

在，求出T点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由.

19.（本小题17分）

已知函数f（x）=x（2-lnx）

⑴讨论函数的单调性；

⑵求函数/（X）在卜2,/（r））处切线方程;

2

(3)若〃x)=7"有两解X],X2,且玉<%,求证：2e<X1+x2<e.

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高三数学试卷解析版

注意事项：

1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交..

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合M={x|0Vx<4},则MCN等于（）

x0<x<^

A.

C.D.1x|0<x<5j

【答案】B

【详解】集合",N在数轴上表示如图所示:

也州口

11I■>

O145x

3

由图可得McN=

故选：B.

2.已知复数2满足(l+2i)z=3-4i,贝！|国=()

A.V3B.V5C.3D.5

【答案】B

3-4i(3-4i)(l-2i)3Yi-4i-8=_]_

【详解】由题意知,

l+2i-(l+2i)(l-2i)5，

所以|z|=J(_iy+(_2)2=V5.

故选：B

3.已知向量3=（2,尤）,b=（x,2）,若方_L0-方），则尤=（）

A.2B.0C.1D.-2

【答案】A

【详解】力=（2,尤），B=（X,2）,

则b=-2,2-x）,

三_L一五），

则2（x-2）+x（2-x）=0,

化简得V—4X+4=0,即（x-2）2=0,

解得x=2.

故选：A.

4.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长

方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有曲（。="1）个小

球，第二层有（〃+1）伍+1）个小球，第三层有（〃+2乂。+2）个小球..…依此类推，最底层有辰个小球,共有

〃层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168,则该垛积的第一层的小球个数为

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】设各层的小球个数为数列屹九｝,

由题意得卬=她的=(a+DS+1),%=伍+2)仍+2),…=(a+w-IXb+n-l),

22

因为“="i,可得q=b(b+i)=b+b,a2=(b+1)(/?+2)=b+3b+lx2,

%=3+2)3+3)=62+56+2x3,…%=S+6)(6+7)=/+136+6x7,

则跖=7户+496+(1x2+2x3+…+6x7)=7^+496+112,

因为前7层小球总个数为168,所以7从+496+112=168,即/+76-8=0,

解得6=1或6=-8（舍去），

所以“=6+1=2,可得漏=2,即该垛积的第一层的小球个数为2个.

故选:B.

5.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边

的高，则不同的种植方法共有（）

A.20种B.40种C.80种D.160种

【答案】C

【详解】一侧的种植方法有C：A；=20x2=40种排法，

另一侧的种植方法有A；=2种排法

再由分步计数原理得不同的种植方法共有40x2=80种排法,

故选:C.

6.如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物

线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端尸到江面的距离为100m,且A8=^CZ）=550m,则顶端P

到桥面的距离为（）

图①图②

A.50mB.50V2mC.55mD.55行m

【答案】A

【详解】以P为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知3（275,-100）,

设抛物线方程为尤2=-2外5>0）,。[二方,fj，其中/z为点尸到桥面的距离,

[2752=-2xl00p,

则\（275丫，解得h=50m.

%

全桥面

/=======二=8江面

故选：A

7.将函数g(x)=cos,x+"(oeN*)的图象上所有点的横坐标变为原来的;，纵坐标变为原来的2倍,

得到函数，(x)的图象，若，(x)在上只有一个极大值点，则。的最大值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【详解】由题可知=2cos^+^(«eN*),

当0<%<巴时，—<2(z>x+-<6971+-,

2121212

7[

贝I]由y=2cos%的图像可得2兀<①兀+在<4兀,

解得2点3347事

因为N*,所以。的最大值为3.

故选：B.

8.设。=匕°」一1,力=:，c=\nl.l,则()

A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

【答案】A

【详解】构造函数〃x)=lnx+Jx>0,贝丫?)=：一：,尤>0,

令尸(x)=0时，可得x=l,

当0<x<l时，r(x)<0,单调递减；

当x>l时，r(x)>°-/(x)单调递增.

所以函数/(X)在X=1处取最小值"1)=1,所以lnx>l-g,(x>0且尤71),

可得lnl.l>l-S=:，所以c>b；

再构造函数g(x)=eJ：-,-l-lnx,x>1,可得g'(x)=e^-j,

因为x>l,可得e'i>l,-<1,所以g'(x)>0,8(%)在(1,+8)上递增,

x

所以g(x)>g⑴=。，可得eLi-l>lnl.l,即所以a>c,

综上可得：b<c<a.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知不等式ad+笈+0<0的解集为{%<x<>11,贝1J（）

A.a>c>0B.b<—2a<0

；4+；b+c)(4〃+2Z7+c)>0

C.D.\-+t\-2>-+t

【答案】BCD

（详解】由题意可得-和t为方程加+云+c=0的两根,

t

且。>0/>1,所以：“，即6=；+a=c>0,故A错误;

1C

-xt=—

Ja

X-+r>2J--r=2,当且仅当％=1等号成立，因为％>1,所以万<-2。<0,故B正确;

tVr

(a4+2Z?+c](4"+2Z?+c)=-u——61—F[1+4,4i——F+Cl

=%5-2Q+/J>0,故C正确；

因为++且;+f>2,

所以1+~Z>（），即1~2>}+t，故口正确.

故选：BCD.

10.已知乂口N（2,9）,则（）

A.矶X）=2B.D（X）=3

C,P(X>8)>P(X<-1)D.P(X<-l)+P(X<5)=1

【答案】AD

【详解】由X〜可得E（X）=〃=2,Z）（X）=b2=9,故A正确；B错误;

对于C,利用正态曲线的对称性可知，尸（XV〃-。）=尸（X2〃+（T）,

且「（XW〃+b）>尸（X2〃+2（T）,贝IJP（X>〃+2<r）<P（X（〃一（T）,

所以尸（XN8）<P（XV-1）,故C错误；

对于D,利用正态曲线的对称性可知，尸（XV〃-b）=P（XN〃+b）,

可得「（XV〃+b）+P（XV〃一（r）=尸（XV〃+b）+P（XW〃+<T）=l,

所以「（XVT）+P（XW5）=1,故D正确.

故选：AD.

11.如图，在平行六面体中，已知AB=AO=44）=1,Z^AD=AB=ZBAD=60°,E

为棱CG上一点，且空=2的，则（）

A.BD、=®B.直线8。与AC所成角的余弦值为如

6

c.AE，平面80。gD.直线3。与平面ACG4所成角为，

【答案】ABD

---»—»»—»—»—►—»—*—►—»—»—►—►—►I

【详解】不妨设AB=a,AD=b,A4j=c,则|〃|=|匕1=1。1=,b=8,。。.

对于A,因BD]=BD+DDX=b-a+c,

222

故BDX\=(b-a+c^=31+忸/+|c|+2^-a-b+b-c-a-c)

=3+2x(—5]=2,故BD1=后,故A正确；

对于B,因BD、=—a+b+c,AC=a+b，贝!J|AC|=+b)?=V3，

AC-BD1=(〃+B)•+b+c)

=-\a^+a'b+a-c-a-b+\b^+b-c=+—+1+—=1,

设直线BDI与AC所成角为夕,则cos0=峪•叫=下二=半，故B正确；

\AC\-\BDt\V3XV26

_________Of_____

对于C,因AE=AG+C［E=a+b——c,DD{=c,

—►一一2-一一一一_2一121

\E-DD=(a+b——c)'C=a-c+b-c——|c|2=—+------=—^0,

X332233

即与不垂直，故不与平面瓦)2片垂直，故c错误；

对于D,因3。=/?—a，AC=a+b,AA^=c,

因而=(B—3).日+垃=0,丽•福=@—Z)G=o,

则有3。_LAC,8。_L明，因ACc惧=A,AC,招1平面ACQA,,故BD1平面ACC^,

即平面ACGA的法向量可取为〃=Z?-a，又BD［=—a+b+c,

设直线BDX与平面ACQA所成角为。，

因/西=(B-%).(-Z+B+")=l,|n|=1,|西|=0，

-►I1I、/2JTjr

则sin°=|cos〈，8£)i〉|=---,因。£(0,彳］,故。=:，故D正确.

lx72224

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在口45。中，已知而•衣=9,sinB=cosAsinC,SaABC=6,尸为线段AB上的点，且

7?^CACBy21

。尸=、网+y两，则十+—―5的最小值为______.

\CA\\CB\4xy2

【答案】—

3

［详解］由已知cosAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

即sinAcosC=0,

又在口45。中，A,Ce(0,7i),

71

则sinAw0,cosC=0,即C=,,

所以破花:回+西./+/靠=1^:9,

即国=3,

6,所以国=4,

又^QABC

所以CP=x^+y^=^cA+lcB

|CA|\CB\34'

则?c?-c5)+h-1-^jcp=o,

济西+5

即3福+]而+产=j,

34

又点P在线段4B上，则1一:一5=0,即4x+3y=12,且x>0,y>0,

所以5+"q+g»+3y)TV6

V

当且仅当：=§,即x=3面-6,y=12-4"时等号成立,

4x3y

故答案为：好.

3

13.已知抛物线C:/=2x的焦点为F,若C上存在三点几?上，且尸为口勺打△的重心，则口片4A三边

中线长之和为

【答案】|9

【详解】如图:

依题意E、,。],设々（X],yj,心伍,〉2），名（鼻，力），

因为尸为口6打£的重心，所以土t芋五=；,即%+%+%=|.

1

由抛物线的定义可知出刊=西+—，所以边心片的中线长为山山=司

2

同理可得边6舄和边的中线长分别为山同=；|月刊隹c|=；e司=；卜+；

乙乙\乙J乙乙\乙

所以口46△三边中线长之和为3（%+%+苫3+9]=9.

故答案为：!9

14.在〃维空间中（"22,“eN）,以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为〃维坐标

（〃”出,…,/）,其中qe｛O,l｝（lViV〃,ieN）.定义：在〃维空间中两点（qg,…,乙）与他也，…也）的曼哈顿

距离为k-仿|+包-可+…+\an-刈.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取

两点间的曼哈顿距离，贝iJE（X）=.

【答案】—

【详解】对于5维坐标（％,%，/，%，%），其中卬€｛0,1｝。4区5,，€2.即弓有两种选择（14区5,，€]^）,

故共有25种选择，即5维“立方体”的顶点个数是25=32个顶点；

当丫=左时，在坐标（q,%，%，为，%）与（A也也也怎）中有左个坐标值不同，即有左个坐标值满足a产伪，剩

下5-k个坐标值满足4=〃，

则满足X=k的个数为/=C1-24.

2§

「kQ4「k

所以P（X=A）尢一=4^(左=123,4,5).

on

故答案为：—.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题13分）

在公差不为0的等差数列｛/J中，4=1,且生是为与人的等比中项.

（1）求的通项公式；

⑵若b,=2册，cn=a„b„,求数列｛%｝的前"项和Sn.

【答案】⑴氏=2〃-1

/、c6〃一5-2”+110

⑵S，，=、-2,+或

【详解】(1)设｛可｝的公差为d(dw。)，因为％是电与％4的等比中项,

所以a；=/%，即(％+4d)~=(%+d)(%+134),

整理得6p=2a储.

又q=l,dwO,所以d=2,

则an=%+(n-1)d=2n-l.

(2)由(1)可得a=2。”=产一，c“=a"b”=(21>227,

则S"=lx2i+3x23+5x25+...+(2"l)""一5,

4S„=lx23+3x2s+5x27+--+(2n-l)-2w@,

2,!+1

①-②得—3S“=2+2x03+2‘+…+22„-I/⑵L1).2

32+1

c2-2"A八.-I106/7-5c2,+l

=2+2x--------------(2n-l-22,,+1=-----------------22"+1

1-4v733

we6〃-5c2”+i10

则S,=3--2"+1.

16.(本小题15分)

已知AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a：b:c=2:3:4.

⑴求cosA；

(2)若点。为4B的中点，且CO=JHL求AABC的面积.

7

【答案】(1)[

O

(2)3715

【详解】(1)设a=2k,b=3k,c=4k,k^。，

^22_29左2+16%2—4左2_7

则由余弦定理得cosA="十。—〃

2bc2x3h4Z-8

7

(2)在ElACf)中，cosA=g,AD=2k,CD=V10,

8

由余弦定理得CZ)2=AZ)2+Ac2-2AZ).ACcosA,

7

即10=4/+9Y-2x2h3h—,解得k=2,

8

又sinA=Vl-cos2A=,

8

故。=4/=6,c=8,Sn.„r=-Z?csinA=-x6x8x—=3V15.

aABC228

17.(本小题15分)

如图，已知四棱台A8CO-A用G2的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，例=3,且44J底面

ABCD,点P、。分别是棱8片,。2的中点.

⑴在底面ABC。内是否存在点满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说

明理由；

⑵设平面CP。交棱明于点T,平面CPT。将四棱台ABCD-A与G2分成上，下两部分，求CT与平面

CDRG所成角的正弦值.

【答案】⑴存在点M噂吊,。)

(八9匹

767

【详解】(1)

因A4t，底面ABC。，且ABC。是正方形，故可以点A为坐标原点，

分别以AB,AD,44t所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则C(4,4,0),2(4,0,0),B、(2,0,3),D(0,4,0),Q(0,2,3),Q(2,2,3),

33

因点P、。分别是棱2为、的中点，则尸(3,O,2,Q(O,3,；),

—3—3

CP=(-l,-4,-),CC=(-4,-l,-),

假设在底面内存在点M(。也0),使得平面CPQ,则*44,

——►—►911

C1M-CP=2-^-4(Z?-2)--=0

则m=(〃—2力—2,—3),由<,解得<

——►—►9

QM-CQ=-4(a-2)-(b-2)--=0

故存在点M(E，工,0),满足平面CP。；

(2)按照(1)建系,设点T(0,0,0(04/43),

依题意，C,尸,T,。四点共面，故必有3=4万+〃质,

一丸一4"=—45

334

BP(-4,-4,Z)=2(-1,-4,—)+,则得，,—4A—//=—4解得

33

-Z+-Ll=t12

尸

122y

12—.—►

即T(0,o,y),又CC]=(-2,-2,3),CD=(-4,0,0),

n-CC1=-2x-2y+3z=0

设平面CDD]C]的法向量为n=(x,y,z)，则,

n-CD=-4x=0

一一►12

故可取〃=(0,3,2).因CT=(-4,-4,y),

24

-12+—

9A/767

设CT与平面CDD£所成角为6,则sin。=gs口CT,拓口卜_______5__

32+^x713767

即CT与平面mG所成角的正弦值为嚼.

18.(本小题17分)

3，2

已知4(0,3)和尸(34)是椭圆「二+2=1上两点，O是坐标原点.

2ab

(1)求椭圆r的离心率;

(2)若过点尸的直线/交「于另一点2,且口42尸的面积为9,求直线/的方程：

(3)过。4中点C的动直线与椭圆「有两个交点M,N,试判断在丫轴上是否存在点T使得丽.而40.若存

在，求出T点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】⑴；

(2)x-2y=0或3x-2y-6=0

,「3-

⑶存在，一

6=3

=922

【详解】（1）由题意得02，解得2,椭圆方程为：工+匕=1.

2+^=14=12129

2

Ub2

3-—1

(2)心2_L则直线A尸的方程为y'—7x+S,即x+2y—6=0,

3k一52

"=J（。一3『+0一目=竽，由⑴知0噌+方=1，

2x9_1275

设点B到直线AP的距离为“，则法二丁，

~2~

则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移经好单可，

5

此时该平行线与椭圆的交点即为点B,

设该平行线的方程为：x+2y+C=0,

则詈:竽,解得C—,

土+匕=1[x=0X=P

当C=6时，联立｛129,解得｛2或｛3,

尤+2y+6=0〔，=一3卜=一5

即3（0,-3）或（一3,-1）,

当8（0,-3）时，此时直线/的方程为y、x-3,即3尤-2y-6=0,

当时，此时勺=；，直线/的方程为y=gx,即x-2y=0,

[H+

当C=-18时，联立，129得2y2-27y+117=0,

%+2y-18=0

A=272-4x2x117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.

综上直线/的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.

22

（3）椭圆方程为：土+二=1.

129

若过中点C[0,|]的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：>=依+|,

设〃（玉,%）,"（%2，%），7（°，。，

3尤2+4/=36

由—3