人教版五年级下册数学思维训练讲义-第七讲最小公倍数（一）（含答案）

第七讲最小公倍数（一）第一部分：趣味数学小明一直以为学了最小公倍数这种知识枯燥无味，整天和求几和几的最小公倍数这样的问题打交道，真是烦死人，总觉得学习这些知识在生活中没有什么用处。然而，有一件事却改变了他的看法。有一天小明和爸爸一起乘公共汽车去青少年宫。他们俩坐的是3号车，快要出发的时候，1号车正好和他们同时出发，此时爸爸看着这两辆车，突然笑着对他说：“小明，爸爸出个问题考考你，好不好？”小明胸有成竹地回答道：“行！”“那你听好了，如果1号车每3分钟发车一次，3号车每5分钟发车一次。这两辆车至少再过多少分钟后又能同时出发呢？”稍停片刻，小明想了想脱口而出“15分钟”。爸爸听了夸奖道：“答案正确！100分。”“耶！”听了爸爸的话，小明高兴地举起双手。通过这件事小明懂得了一个道理：数学知识在生活中无处不在，学习数学非常有用。同学们，你知道小明是怎么算的吗？解析：因为这两辆车是同时出发的，发车的时间间隔不同，要下次再同时发车，必须求出这两个发车时间的最小公倍数。3和5是互质数，求互质数的最小公倍数就等于这两个数的乘积（3×5＝15）,所以15就是它们的最小公倍数。也就是这两辆车至少再过15分钟同时出发。第二部分：奥数小练例题1两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？思路导航：根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。根据题意：当a1b1分别是1和6时，a、b分别为15×1=15，15×6=90；当a1b1分别是2和3时，a、b分别为15×2=20，15×3=45。所以，这两个数是15和90或者30和45。练习一1.两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？2.两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？3.两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？例题2两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？思路导航：我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷120=3。又因为（甲÷3=a，乙÷3=b）中，3×a×b=120，a和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是3×1=3和3×40=120；当a和b是5和8时，所求的数是3×5=15和3×8=24。练习二1.求36和24的最大因约数和最小公倍数的乘积。2.已知两个数的积是3072，最大公因数是16，求这两个数。3.已知两个数的最大公因数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。例题3甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？思路导航：从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数是60，所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。练习三1.1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？2.甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？3.五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？例题4一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？思路导航：把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。练习四1.用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？2.有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？3.一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？例题5甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？思路导航：甲跑一圈需要600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150秒，丙跑一圈需要600÷2=300秒。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。200、150和300的最小公倍数是600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。练习五1.有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。2.一环形跑道长240米，甲、乙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，至少经过几分钟，二人再次从原出发点同时出发？3.甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？第三部分：数学史话在世界上，中国最早提出了最小公倍数的概念。由于分数加、减运算上的需要，也是在《九章算术》中就提出了求分母的最小公倍数的问题。在西方，到13世纪时意大利数学家斐波那契才第一个论述了这一概念，比中国至少要迟一千二百多年。从中国最小公倍数起源的论述中可以看出，张邱建是中国历史上第一个提出最小公倍数的人。他的最小公倍数与最大公约数关系在“封山周栈”中完美展示，并深入发掘。张邱建的最小公倍数理论同样应用于分数通分。这与“合分术”、“少广术”有本质的区别，也是对“合分术”的发展。国外最小公倍数的起源中古希腊独树一帜，从数论中得到最小公倍数概念并对最小公倍数概念进行应用。如《几何原本》卷，阐述求解两个数最小公倍数的方法命题，提出“两数最小公倍数可以量尽两个数的任意倍数”，所以欧几里得是古希腊提出最小公倍数概念的第一人。

参考答案练习一最大公因数是9,则这数都是9的倍数,同样90也是9的倍数,所以90÷9=1010=2×5，所以2×9=185×9=45

这两个数是9和90或18和45。2.60÷12=5

因为5=1×5

所以这两个数是:1×12=12和5×12=60

两数和是:12+60=72。3.720=2×2×2×2×3×3×5180=2×2×3×3×560=2×2×3×5

所以另外一个数是：2×2×2×2×3×5=240。练习二1.24=2×2×2×3，36=2×2×3×3

最大公因数是：2×2×3=12最小公倍数是：2×2×2×3×3=72

故答案为：12，72。2.3072=12×16×16=16×(12×16)=(3×16)×(4×16)

两个数分别为16、192或48、64。3.两个数的最大公因数是13,最小公倍数是78,两个数的差是78-13=65。练习三1.10,15,20的最小公倍数为60所以当三中路线的车同时发车后、至少要60分钟又有这三种路线同时发车。2.120、100、80的最小公倍数是1200，因此过了1200秒即20分钟他们会在起点相遇。一班每周一都要去看就是每7天看一次，

二班的同学每6天去看一次每6天看一次，

三班的同学每两周去看一次每14天看一次，

“六一”儿童节三个班的同学同一天去看，

那下一次就要隔6、7、14的最小公倍数天，才再次同一天去。

分解质因数：7=76=2×314=2×7最小公倍数：2×3×7=42答：再过42天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家。练习四1.正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126，

所以，至少需要这种长方体木块：

（126×126×126）÷（9×6×7）

=2000376÷378

=5292（块）

2.6、4、3的最小公倍数是12，则大正方体的棱长是12厘米，长用12÷6=2（块），宽用12÷4=3（块），高用12÷3=4（块），此时最少需要用2×3×4=24（块），当大正方体的棱长是24厘米时，24÷6=4（块），24÷4=6（块），24÷3=8（块）；4×6×8=192＜2003.2.7米=270厘米1.8分米=18厘米1.5分米=15厘米

因为270、18、15的最大公约数是：3

3厘米=0.3分米

答：切成的正方体的棱长最大是0.3分米。练习五1.甲乙速度之和：400÷1=400（米/分）甲乙速度之差：400÷10=40（米/分）甲的速度：400+40）÷2=220（米/分）乙的速度：（400-40）÷2=180（米/分）2.240÷