人教版六年级下册数学思维训练讲义-第三讲圆柱与圆锥（二）（含答案）

第三讲圆柱与圆锥（二）第一部分：趣味数学巧算谷垛体积亮亮是个肯动脑、爱学习的好孩子。星期六,爸爸带亮亮去乡下的爷爷家玩,正好赶上收谷子的时候,整个打谷场上到处都是一堆一堆的稻谷垛。亮亮感到很新鲜,拉着爸爸的手,绕着这些谷垛走了一圈又一圈,听爸爸讲小时候打谷子的故事。走到一个谷垛前,爸爸突然问:“亮亮,你看看,这个谷垛是什么形状的啊?”“这个谷垛啊,上头尖,下面圆,好像是……”亮亮想了想,叫道,“对了,几何课上老师讲过,这种叫做圆锥体。”爸爸接着又问“那你还记得圆锥体的体积计算公式吗?亮亮眨眨眼,说:“当然记得了,圆锥体的体积,等于π乘底面圆的半径的平方,再乘高,最后除以3。”“不错不错”爸爸称赞道,又指着旁边另外一个谷垛,说,“那你知道这个谷垛的体积怎么计算吗?亮亮仔细一看,奇怪啊,别的谷垛的顶上都是尖的，这个谷垛的顶上怎么是平平的呢?这是什么形状啊?他只好说:“我没学过这种形状的体积公式。”爸爸笑了,说:“傻小子,你都学过圆锥了。你看看,这个谷垛本来应该是个圆锥体的,可是现在,它的顶部被横着削了一刀,可削去的还是个圆锥啊。”“啊,我明白了!”亮亮说,“那就是大圆锥的体积减去小圆锥的体积了,对不对?”“哈哈，儒子可教!这种形状叫做圆台,计算它的体积,就是通过圆锥体积相减得到的。”第二部分：习题精讲例题1：把底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块,表面积增加了80平方厘米。求这个圆柱体的体积。分析：把圆柱体沿底面直径竖直切成两块,表面积要增加两个长方形的面积,长方形的长是圆柱的底面直径,宽等于圆柱的高。因此,可以根据增加的表面积求出圆柱的高,再求圆柱体的体积。圆柱体的高:80÷(2×10)=4(厘米)；圆柱体的体积:3.14×(10÷2)²×4=314(立方厘米)答:这个圆柱的体积是314立方厘米果以,练习1：1.把底面直径是8厘米的圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块,表面积增加了112平方厘米，求这个圆柱体的体积。2.把一个底面半径为6厘米、高为10厘米的圆柱体,沿底面直径竖直切开后,表面积增加多少平方厘米?3.把一个高为7.5分米的圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块,表面积增加了75平方分米,求这个圆柱体的体积。4.有一根圆柱体的木料,如果按如图1所示：切成4块,那么表面积会增加288平方厘米，如果按如图2所示，切成4块,那么表面积会增加169.56平方厘米。这根木料的体积是多少立方厘米?例题2：一段圆柱体木料,如果截成两个小圆柱体,它的表面积增加9.42平方厘米；如果沿着底面直径截成两个半圆柱体,那么它的表面积将增加100平方厘米，求原来圆柱体的表面积。分析：我们知道,圆柱体的表面积=侧面积十底面积×2。圆柱体截成两个小圆柱体后,增加的9.42平方厘米就是两个底面的面积和；沿着直径截成两个半圆柱体,增加了两个“直径×高”的面,增加100平方厘米,因此,直径×高×2=100,而圆柱体的侧面积=直径×π×高,所以,侧面积=100÷2×π100÷2×π+9.42=157+9.42=166.42(平方厘米)答:原来圆柱体的表面积是166.42平方厘米练习2：一段圆柱体木料,如果截成两个小圆柱体,那么它的表面积增加6.28平方厘米，如果沿着直径截成两个半圆柱体,那么它的表面积将增加75平方厘米，求原来圆柱体的表面积。2.有大、小两种不带盖的圆柱形水桶,它们表面积的和是5433平方分米,小桶和大桶的用料面积的比是1:2,小桶的底面周长是62.8分米,大桶的底面周长是94.2分米。求大、小两个桶的侧面积各是多少?3.把一根高为10分米的圆柱锯成完全相同的两部分,表面积比原来增加了16平方分米,这根圆柱原来的体积是多少立方分米?例题3：已知一个圆锥的底面半径和高都等于一个正方体的棱长,这个正方体的体积是216立方分米。求这个圆锥的体积。分析：不妨设圆柱的底面半径为r,则正方体的体积为r³=216，那么,圆锥的体积为：1/3×πr²×r=226.08(立方分米)答:这个圆锥的体积为226.08立方分米练习3：1.一个圆柱体比一个圆锥体的体积大1200立方厘米,圆柱体的底面积是400平方厘米,比圆锥体的底面积小100平方厘米,圆柱体的高是18厘米,则圆锥体的高是多少厘米?2.一个圆柱体底面积是5平方分米,把它削成一个最大的圆锥,削去部分的体积是6立方分米。求这个圆柱体的高。3.两个正方体的体积之差是1200立方厘米,如果以每个正方体的一面为底,加工成最大的圆锥,那么加工成的两个圆锥的体积之差是多少立方厘米？例题4：皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中．皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为60厘米．皮球有2/3的体积浸在水中（下图）。问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？分析：皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高．这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度．解：球的体积：＝288π（立方厘米）．水桶的底面积：π×302＝900π（平方厘米）．练习4:1.在一只底面半径为15厘米的圆柱形水桶里有一个直径为10厘米的圆柱形钢材浸没在水中,当钢材取出后,桶里的水面下降了2厘米,这段钢材长多少厘米?2.有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶,里面有一段底面半径是5厘米的圆柱体钢材浸没在水中。当钢材从水中取出后,桶里的水下降2厘米。这段钢材长多少厘米?答:这段钢材长32厘米3.有一只长方体的玻璃缸,长8分米、宽5分米、高4分米,里面的水深是3.5分米，如果放入一个底面直径为3分米,高为3分米的圆柱体铁块,那么缸里的水会不会溢出来?例题5：一个边长是20厘米的正方体玻璃缸中装着水,水中浸没了一个底面直径为12厘米、高为5厘米的铁质圆锥体和一个底面直径为8厘米、高为5厘米的铁质圆柱体，当圆锥体和圆柱体都从桶中取出后,桶内水将下降多少厘米?分析：我们知道,铁质圆锥体圆柱体浸没于水中,都排开一定体积的水,它们的体积和就等于总排开水的体积。答案：铁质圆锥体的体积与铁质圆柱体的体积和为练习5：1.一个底面直径是6厘米的圆锥形金属铸件,放进棱长15厘米的正方体容器的水中,这个铸件全部被水浸没,容器中的水面比原来升高1.2厘米，求这个圆锥体的高。(精确到0.1厘米)2.如图所示,一个圆柱形玻璃杯内盛有水,水面高4厘米，玻璃杯的底面直径是12厘米,在这个玻璃杯中放进底面直径是8厘米的圆柱形铁块后,水面没有淹没铁块，这时水面有多高?3.如图所示,在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了个实心圆柱体,容器内盛有m升水时,水面恰好经过圆柱体的上底面，如果将容器倒置那么圆柱体有8厘米露出水面，已知圆柱体的底面积是正方体底面积的1/8，求实心圆柱体的体积。第三部分：数学史哥德巴赫猜想200多年前，德国的数学家哥德巴赫发现每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和，数学家欧拉表示同意，这个猜想被称为“哥德巴赫猜想”，人们把这个猜想比喻为“数学皇冠上的明珠”，1966年，我国数学家陈景润在“哥德巴赫猜想”的研究上取得了更加显著的进展，轰动的国内外数学界。参考答案：练习1：1.2.3.4.练习2：1.124.03平方厘米2.1+2=3小桶的表面积：5433÷3=1811（平方分米）大桶的表面积：1811×2=3622（平方分米）小桶侧面积：1811-3.14×（62.8÷2÷3.14）2=1497（平方分米）大桶侧面积：3622-3.14×（94.2÷2÷3.14）2=2915.5（平方分米）3.练习3：1.2.3.练习4：1.10÷2=5(厘米),15²×3.14×2÷(5²×3.14)=18(厘米)2.3.14×20²×2÷(3.14×5²)=32(厘米)3.由于铁块能完全浸