2025年高考数学复习之填空题：函数概念与性质（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题(填空题)：函数概念与性质(10

题)

一.填空题(共10小题)

1.(2024•莆田模拟)己知函数/(x)=logax--(。>0且Z?>0).若/(x)W-1恒成立，则ab

的最小值为.

2.(2024•辽宁模拟)已知函数人龙)的定义域为R,满足人x+l)-乎x)=0,且当xe(0,l］时,/(x)=Q"-京12,

贝U求一〃竽)的值为-

3.(2024・朝阳区校级模拟)若对任意的方>0,不等式(尤-0)/+1+.三0恒成立,则4的最大整数值为.

4.(2024•永州三模)已知函数“X)的定义域为R,f(x)=1,f(x)=2/(y),且对于04i

1

WX2W1,恒有/(尤1)W/(X2),贝行(前为：)=•

5.(2024•子长市校级三模)已知函数无)的定义域为R,满足“龙)=0,/(-x)=-八元)，

当x®0,2］时，f(x)的定义域为R,f(x)=-/+2x+〃，则/(2023)=.

6.(2024秋•三元区校级月考)已知a,b为实数，若不等式|2o?+(4a+6)无+4a+b&2|尤+1］对任意xe［-,,1］

恒成立，则3a+b的最大值是.

7.(2024•三台县校级模拟)已知函数/(x)的定义域为R的奇函数，/(3)=0,对任意两个不等的正实

数a,b都有"①一>0,则不等式/(2X-1)<0的解集为_________.

a—b

8.(2024•织金县校级模拟)已知函数/(无)满足/(x)=/(2-x),且/(x)是偶函数，在［0,1］上有了

(无)=2z-1,则/(5)=.

9.(2024•湖北模拟)己知函数/0)=/0出(4，+28+1+1)-%,若/(2a-l)<f(o+3),则实数a的取

值范围为.

10.(2024•潍坊二模)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式/(x)=.

Q/(1-%)=/(1+x)；

@f(x)至少有两个零点;

③/(X)有最小值.

2025年高考数学复习之小题狂练600题(填空题)：函数概念与性质(10

题)

参考答案与试题解析

一.填空题(共10小题)

1.(2024•莆田模拟)已知函数/(x)=log“-/(〃>0且Z?>0).若/(尤)W-1恒成立，则次?

的最小值为e.

【考点】函数恒成立问题.

【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】e.

【分析】分析可知a>\,求导分析可知，blna=\,由此可得ab=焉，设g(a)=磊,a>l,利用导

数求出函数g(。)的最小值即可.

【解答】解：函数/G)的定义域为(0,+8),

当OV〃V1时，易知/(x)在(0,+8)上单调递减，

则/(a)=loga。一d=1-CLb>0,不合题意；

当a>］时，//(%)=—r---bxb~r=-(-7^----xb),

J')xLnaxKblnaJ

i1

令/(xo)=0,则无o=(限)"

当xE(0,xo)时，f(x)>0,f(x)单调递增，

当xWGo,+8)时，f(x)<0,f(x)单调递减，

则f(X)max=f(X0),

又/(x)W-1恒成立，且/(1)=-1,

则/0)=-1,gpblna=l,

kx0=1

则帅=品

设9(a)=篇，a>l,

易知当(1,e)时，g’(a)<0,g(〃)单调递减,

当(e,+8)时，gr(〃)>0,g(a)单调递增，

则g(〃)min=g(e)=e,即出？的最小值为e.

故答案为：e.

【点评】本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

2.（2024•辽宁模拟）已知函数次龙）的定义域为R,满足火龙+1）-"x）=0,且当xe（0,1］时,/（x）

贝U武=1”义吴）的值为竿.

【考点】函数的值.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

…255

【答案】—.

【分析】根据已知条件分别求出后），渴），…，/（学），相加可得答案.

【解答】解：因为函数/（无）的定义域为R,满足/（x+1）-2/（%）=0,

且当XW（0,1］时，/（%）=,%—4汽2,

所以解）=也A&）3=*,

潟）=尺+1）=2渴）可，

〃|）="|+1）=2渴）=1,

底）="|+l）=2f（|）=2,

煨）=抬+1）=2/弓）=4,

/（当=储+1）=2煨）=8,

f号）=7•号+1）=2〃当=16,

〃苧）=/得+1）=2/号）=32,

所以丁=1+|+1+2+4+8+16+32=

255

故答案为：.

4

【点评】本题考查了函数求值应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

3.（2024・朝阳区校级模拟）若对任意的天＞0,不等式5-々），+1+°20恒成立,则4的最大整数值为2.

【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的最值.

【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑推理；直观想象;

数学运算.

【答案】2.

【分析】分离参数aW芸苧，利用换元法得aW华竽构造函数/«）=华字利用导数研

究其单调性结合隐零点求最小值即可.

xex+l

【解答】解：原不等式等价于a4在x>0时恒成立,

ex-l

令必则上式化为aw吗1

t—1

构造函数f(t)=当竽

则/=t-2-lnt^

(if

(t)=t—2—Int(t>1)=g/(t)=--{->0,

所以g（t）在（1,+°°）上单调递增,

又因为g(3)=1-历3V0,g(4)=2-2/H2>0,

故小oe(3,4)使得g(to)=0,

故/G）在（1,如）上单调递减，在（m，+8）上单调递增,

tg/ntg+ltg(tg—2)+1

即f(t)>/(t)==%-1,

0%一1%-1

所以a^to-1f

又加（3,4）=^to-IE（2,3）,故〃的最大整数值为2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了转化思想，导数的综合运用，属于中档题.

4.（2024•永州三模）已知函数/（%）的定义域为R,f（x）+f（l-x）=1，/（x）=2/（y）,且对于0W元i

11

Wx2Wl,恒有/（xi）W/（冗2）,则=77•

【考点】抽象函数的周期性；函数的值.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算.

1

【答案】—•

16

【分析】由题意可得〃宁）+哈=从而可得/（0）+渴）=］结合/（0）4/（1）=1,可得渴）=.

由此可得当xe&,今时，f（久）=再根据〃忐）=1/（2^4）=1/（2^4）=聂（翳）求解即可。

【解答】解：•••/（>）=1-/（I-x）=1-2/（宁）=2/（贡，

•"(号)+吟=I-/(0)+解)=i

又,：f(0)+f<1)=1，

"⑴-渴)=：，/(I)=1+解)=2哈，

...当xe&,今时，f(x)=

••♦/囱加=2八旃)=4f(旃)=寸靖对=16-

,,』一,1

故答案为：—.

16

【点评】本题主要考查了抽象函数的性质，考查了赋值法、迭代法的应用，属于中档题.

5.(2024•子长市校级三模)已知函数/(x)的定义域为R,满足“x)tf(4-x)=0,/(-%)=~f(x\

当x6[0,2]时，f(x)的定义域为R,f(x)=-^+2x+n,则/(2023)=-1.

【考点】抽象函数的周期性；函数的值.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】-L

【分析】根据函数的奇偶性以及周期性即可代入求解.

【解答】解：-无)=-/(%),故/(无)为R上的奇函数，

(0)—n—0,则/(无)=-X2+2X,

,：f(x)=-/(4-x)=f(x-4),；.T=4,/(x)为周期为4的周期函数，

f(2023)=/(-1)=(1)=-1.

故答案为：-L

【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.

6.(2024秋•三元区校级月考)已知a,b为实数，若不等式|2o?+(4a+6)x+4a+b&2|尤+1]对任意xe[-*,1]

恒成立，则3a+b的最大值是6.

【考点】函数恒成立问题.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】6.

【分析】原不等式可转化为12a(x+1)+黑+加2,令r=x+l,f⑺=2a(?+1)+b,结合对勾函数

的性质可求得-(/)<2,再令3〃+b=M(4〃+Z?)+〃(5Q+Z?),整理可得答案.

13

【解答】解：x1]=>X+1E[-,2],

414,

由12ax(4a+b)x+4〃+b|42|x+l|,得12a(x+1)2+b(x+1)+2〃|《2"+1|,

即12a(x+l)++Z?|W2.

3i

令/=x+l,贝lj正[一，2],即[2〃(r+4)+"W2.

4L

1

令f(/)=2〃(，+/)+/?,

由对勾函数的性质可得t+3[2,f].

因为If(f)l42,即-24fG)<2,

所以「纪m

1—245a+匕42

令3a+b=m(4〃+Z?)+n(5。+/7),

则｛4〈+5九：3,解得｛爪=2

im+n=1in=—1

所以3〃+b=2(4〃+b)-(5«+/?)44+2=6,当且仅当4=-4,Z?=18时取等号，

故3a+b的最大值是6.

故答案为：6.

【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题.

7.(2024•三台县校级模拟)已知函数了(无)的定义域为R的奇函数，/(3)=0,对任意两个不等的正实

数a,b都有*[君)>0,则不等式/(2*-1)<0的解集为(0,2).

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】(0,2).

【分析】先根据条件确定函数单调性，然后画出函数的草图，利用图象解不等式.

【解答】解：不妨设a>b>0,则“砌一，(")>0等价于/Q)>/(&),

：.f(x)在(0,+8)上单调递增，

又函数了(无)为奇函数，••./(X)在(-8,0),(0,+8)上单调递增，

,//(3)=0,：.f(-3)=0,作出/(x)的图象如下：

结合/(x)的图象得不等式/(2厂1)<0=2*-1<-3或0<2'-1<3

则不<-2或

：.20<2X<22,

：.0<x<2,

故答案为：(0,2).

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题.

8.(2024•织金县校级模拟)已知函数无)满足/(x)=/(2-%),且/(X)是偶函数，在［0,1］上有了

(x)=2八1,则/(5)=1.

【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】1.

【分析】由已知结合函数的奇偶性及对称性即可求解.

【解答】解：因为函数/(x)满足/(x)=/(2-%),且/(无)是偶函数，在［0,1］上有/(无)=2T-1,

所以7(5)=/(2-5)=/(-3)=/(3)=/(2-3)=/(-1)=/(1)=2-1=1.

故答案为：L

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及对称性在函数求值中的应用，属于基础题.

9.(2024•湖北模拟)已知函数/(久)=］0。2(4久+2>1+1)-%,若</(a+3),则实数°的取

值范围为(-多4).

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】(-1,4).

【分析】由〃久)=/。出(2工+2-，+2),根据奇偶性、单调性定义及复合函数单调性判断了(x)性质，

再由性质得|2a-l|<|a+3|即可求范围.

【解答】解：由题设/(久)=x定义域为

log2cjx)=log2(2+2T+2),R,

xX

/(-x)=log2(2-+2+2)=/(x),即/(无)为偶函数，

在(0,+8)上，令/=2工+2)+2,且尤1>%2>0,

则ti—12=2%+29—2,2-2』=（2%—2*）（1--A^）,

1

由2%>2不,1-—r—>0,故n>/2,即函数/=2'+2）+2在（0,+8）上递增，

2*1十42

而y=log2f在定义域上递增，故/（x）在（0,+8）上递增，

所以了（2。-1）</Q+3）,可得|2a-1|<|什3|今（2a-1）2<Q+3）2,

整理可得3a2-10a-8<0,

即（3a+2）（a-4）<0,可得一（VaV4.

故答案为:（-1,4）.

【点评】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.

10.（2024•潍坊二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式/（x）=/-2x（答案不唯一）

@f（1-尤）=/（1+x）；

@f（%）至少有两个零点；

@f（x）有最小值.

【考点】函数解析式的求解及常用方法.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】/-2X（答案不唯一）.

【分析】举例二次函数/（无）=7-2x,验证其满足题意即可.

【解答】解：取/（X）=/-2x,其对称轴为x=l,满足dy（l-x）=/（1+%）,

令/（x）=7-2尤=0,解得尤=0或2,满足②/'（%）至少有两个零点，

2

f（X）=x-lx—（尤-1）2-12-1,当尤=1,f（X）min--1,满足③/■（X）有最小值.

故答案为：7-2元（答案不唯一）.

【点评】本题考查函数的对称性，零点问题，属于基础题.

考点卡片

1.函数解析式的求解及常用方法

【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解.

求解函数解析式的几种常用方法主要有

1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等.

【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的

交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法.

【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考.是基础题.

2.奇偶性与单调性的综合

【知识点的认识】

对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是

要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用.在重复一下它们的性质①奇函数/

(尤)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有-X)=小x),其图象特点是关于(0,0)

对称.②偶函数/(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个羽都有-无)=/(尤)，其图象特

点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

参照奇偶函数的性质那一考点，有：

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用/(x)=-/(-%)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用/(%)=/(-x)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反

例题：如果/(x)=凭为奇函数，那么—.

解：由题意可知，/(%)的定义域为R,

由奇函数的性质可知，f(x)=去*=一/(-苫)=>a=l

【命题方向】

奇偶性与单调性的综合.

不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视

这一个知识点.

3.抽象函数的奇偶性

【知识点的认识】

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数

表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.

【解题方法点拨】

①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f(X+J)=f(X)tf(y)，它的原型就是y

=ALT；

②可通过赋特殊值法使问题得以解决

例：f(xy)=f(x)+f(y),求证/(1)=/(-1)=0

令x=y=l,则/(I)=2f(1)=>/(1)=0

令x=y=-1,同理可推出/(-1)=0

③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；

【命题方向】

抽象函数及其应用.

抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种.高考中一般以中档题

和小题为主，要引起重视.

4.抽象函数的周期性

【知识点的认识】

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数

表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.

【解题方法点拨】

①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f(x+y)=/(x)+f(y),它的原型就是y

=kx；

②可通过赋特殊值法使问题得以解决

例：f(xy)=f(x)+f(y),求证/(1)=/(-1)=0

令x=y=l,则/(I)=2f(1)=>/(1)=0

令x=y=-1,同理可推出/(-1)=0

③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；

【命题方向】

抽象函数及其应用.

抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种.高考中一般以中档题

和小题为主，要引起重视.

5.函数恒成立问题

【知识点的认识】

函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的

参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适

当的分离参数能简化解题过程.

【解题方法点拨】

-分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件.

-利用恒成立条件，确定函数的行为.

一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量

【命题方向】

题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力.

关于X的不等式（1+相）尤1r+〃2</+1,对x€R恒成立，则实数机的取值范围是.

解：：（1+机）jc+mx+m<jc+1,对尤CR恒成立，

mx+mx+m<1,

i_、、

X/xE.R,m<f----恒成立，

xz+x+l

,•*J?+%+1—（X+］）2+［之4,

14

A0<,,<X