2024年暑假数学高一升高二题型专练：直线的斜率与倾斜角（6大题型）

专题01直线的斜率与倾斜角（6大题型）

国高频考点题型复Z归级__

【题型1直线的斜率】

【题型2直线的倾斜角】

【题型3斜率与倾斜角的关系】

【题型4利用斜率解决三点共线】

【题型5利用斜率解决直线与线段交点】

【题型6利用斜率模型最值范围问题】

国专项练_____

【题型1直线的斜率】

【典例1】如果直线，先沿X轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位

长度后，又回到原来的位置，那么直线/的斜率是（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】设4a,〃是直线/上任意一点，

则平移后得到点/'（a—2,6+2）,

于是直线1的斜率k=k.=叶：二"=-L

a-L—a

故选：B

【题型训练1】

L若过点（一2,一血和点血4）的直线的斜率等于一1,则实数小的值是（）

A.1B.-3C.3D.-1

【答案】B

【解析】由题意得祟=—1,解得加=一3

故选：B

2.已知直线/经过点4（1,2）,且不经过第四象限，则直线，的斜率4的取值范围是（）

A.（-1,0]B.[0,1]C.[1,2]D.[0,2]

【答案】D

【解析】由图可知当直线位于如图所示的阴影区域内（包括边界）时满足题意，所以直线1

的斜率满足0WAW2

故选：D

3.已知。（。为坐标原点）是等腰直角三角形的彳的直角顶点，点力在第一象限，/4y=15°,

则斜边4?所在直线的斜率为

【答案】3或一乖

【解析】设直线*与x轴的交点为C,(图略)

则N/C〃=180°—//一/月。。=180°-45°-105°=30°,

或//«7=180°-ZA-ZAOC=18Q°-45°-75°=60°.

所以A4s=tan30°=乎或服=tan120°=一木.

4.已知直线/经过点/(I,2)和点庾a,3),求直线)的斜率

①当a=l时，直线)的斜率不存在；

1

②当a#l时，直线)的斜率为UT

故答案为：3或一小

【题型2直线的倾斜角】

【典例2】若过点尸(1—a,1+a)和0⑶2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围

是()

A.(-2,1)B.(-1,2)

C.(―°°,0)D.(一8,—2)U(1,+°0)

【答案】A

【解析】•/过点尸(1-1+。)和。(3,2a)的直线的倾斜角为钝角

•••直线的斜率小于o,即y「T<o.

3-1+a

(a—1)(Q+2)<0

・・-2va<1

故选A.

【题型训练2】

1.已知直线，的倾斜角为a,则与/关于x轴对称的直线的倾斜角为()

A.aB.90°-aC.180°—aD.90°+a

【答案】C

【解析】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为180。-a.

故选：C.

2.已知点“(0,@,点N(l,2⑹，则直线的倾斜角为()

A.30°B.60°C.120°D.135°

【答案】B

【解析】设直线脑V的斜率为k,则人速=叵=百.令直线的倾斜角为则

1-0

tan8=百，:.0=^.

故选：B

3.(多选)下列命题中，正确的是()

A.任意一条直线都有唯一的倾斜角

B.一条直线的倾斜角可以为一30°

C.倾斜角为0。的直线有无数条

D.若直线的倾斜角为。，则sinffe(0,1)

【答案】AC

【解析】任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数

条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.

D中，当a=0°时，sina=0；当a=90。时，sina=l,故D错误.

故选：AC

4.已知点/(2,1),B(3,加，若me-^-1,73-1,则直线的倾斜角的取值范围

为.

【解析】设直线AB的倾斜角为a,

•.•点A(2,1),B(3,m),

k7—m+1—m_i_1I

直线AB的斜率3-2,

即k的取值范围为

tanare

又：ad[o,JI),

0,可Uk"

故答案为：L3JL6)

【题型3斜率与倾斜角的关系】

【典例3】已知直线4的斜率为-的，直线4的倾斜角为直线4的倾斜角的一半，则直线4

的斜率为()

C.V3D.不存在

【答案】C

【解析】由直线1的斜率为一石，设其倾斜角为〃，贝I]tan4=-^,

由直线4的倾斜角为直线乙的倾斜角的一半，设直线4的倾斜角为%,则羽=4,

叱“2人浣量=-百(Gtang+l)向-6)=0,解得tan.当

由倾斜角的取值范围为［°。)，则tan&=6，

故直线4的斜率为6.

故选：C.

【题型训练3】

1.已知直线/的倾斜角。满足120。＜a4135。，贝心的斜率上的取值范围是()

A.-今B.［-73,-1］

_3)

C.＞/3,—1JD.卜8,-1,+«?)

【答案】C

【解析】函数％=tana在(120。,135。］上单调递增，

又tanl2(T=-G，tanl35°=-l,故人的取值范围是(-石,-”.

故选：C

2.(多选)已知直线斜率的绝对值为m，则直线的倾斜角可以为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】BC

【解析】由题意得直线的斜率为十或一小，故直线的倾斜角为60。或120°.

故选：BC

3.若直线/的斜率左6卜6,1),则直线/的倾斜角的取值范围是()

【答案】A

【解析】设直线/的倾斜角为a,其中ce［0,7i),可得％=tantz,

因为Ze卜6,1),即＜tana＜1,

结合正切函数的图象与性质，可得直线/的倾斜角ae

故选：A.

4.已知经过点/(勾2),以一外2加—1)E/0)的直线的倾斜角a的取值范围是(45°,60°),

试求实数必的取值范围.

3m—33

【答案】4＜^4

2—2加一1

【解析】因为尸tana在(45°,60°)上单调递增，所以l＜tana=〃—『一〈事,从

［卬＞0,［欣0,3J—33

而12成3-2欣/或12卬＞3-2卬＞24而，解得4〈成］

3也一33

综上，实数力的取值范围为4〈欣不

【题型4利用斜率解决三点共线】

【典例4】若月（2,3）,8（3,2）,C（g,机）三点共线，则实数力的值为.

9

【答案】5

3—2m—?

【解析】设直线488c的斜率分别为人•金，则由斜率公式，得服=K=—1,kBc=、-

二3

2/、

=--（777—2）.

5

,：A,B,。三点共线，：.kAB=kBC,

29

即一1=一三（勿一2）,解得勿=5.

0乙

故答案为：（9

【题型训练4】

1.若43,1）,6（—2,6）,以8,11）三点在同一条直线上，则实数6的值为（）

A.2B.3C.9D.—9

【答案】C

【解析】由题意得先（=曷，解得6=-9

故选：C.

2.若/（—2,3）,仅3,2）,“g,加）三点不能构成三角形，则实数"的值为（）

51

A.2B.—2C.~D.——

【答案】C

【解析】因为4B,。三点不能构成三角形

所以4（—2,3）,8（3,2）,C（g,加）三点共线，

所以JCAB=JCAC,

3-T3-0

即

23-1

---

-2-

2

13-/775

所以一三=r，解得m=5

0u乙

~2

故选：C.

3.已知2（—1,1）,夙x,2）,。（一2,力是斜率为1的直线上的三点，则x+y=.

【答案】0

9—1v—\

【解析】由题意得F7=-五7=1，解得x=0,y=0,所以x+y=O

x-v1一2十1

故答案为：0

4.若4(2,2),8(a,0),C(0,6)(a6W0)三点共线，求证：1+z=7；

abZ

【答案】证明见解析

【解析】由题意得^Qo,解得R#—311.因为4B,C二点共线，所以左0=A4c.

.0—2b—2—2b—2,,11.

又因为skiB=7,,所以o=~c\o,从而aZ)=2a+2b,所以2(—I—)=1,从

a—z0—2a—2(J—2a)/

【题型5利用斜率解决直线与线段交点】

1.【典例5】己知4(2,-3)、5(2,1),若直线/经过点尸(0,-1),且与线段A3有交点，则

/的斜率的取值范围为()

A.(F,-2]U[2,+⑹B.[-2,2]

C.(-00,-1]u[l,+co)D.[-1,1]

【答案】D-

【解析】过点尸作PCLAB,垂足为点C,如图所示：

设直线/交线段A3于点M,设直线/的斜率为左，且降=于万=-1，^B=—=h

当点Af在从点A运动到点C(不包括点C)时，直线/的倾斜角逐渐增大，

此时-1=%V%<0；

当点/在从点C运动到点8时，直线/的倾斜角逐渐增大，此时。(人4km=1.

综上所述，直线/的斜率的取值范围是

故选：D.

【题型训练4】

1.(多选)直线/过点尸(1⑶且斜率为4,若直线，与线段相有公共点，4-L-4),8(2,-3),

则孑可以取()

A.-8B.-5C.3D.4

【答案】AD

【解析】由于直线1过点尸(1,3)且斜率为k,与连接两点A(T,Y),8(2,-3)的线段有公共

7

点，贝此PA=]，kpB=-6，由图可知，

y)

^e(-co,-6]u时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合.

故选：AD.

2.(多选)若直线/过点户(1,0),且与以4(2,1),以0,4)为端点的线段有公共点，则直

线/的斜率可能是()

1

-2-D

A.B.2C.

【答案】ACD

10=£=—/.由图可知直线，的斜率的取值范围是(一

【解析】由题意得以1,

8,—^3]U[1,+8),

故选:ACD

3.已知点4(2,3),8(—3,-2),若直线/过点?(1,1),且与线段46始终没有交点，则直

线1的斜率k的取值范围是.

【答案】

k\^<k<2

斜率次的取值范围上k\^<k<2

故答案为:k\^<k<2

4.已知力(3,3),8(-4,2),C(0,-2).

(1)求直线26和AC的斜率；

(2)若点，在线段8c(包括端点)上移动时,求直线的斜率的变化范围.

5

【答案】⑴'⑵

【解析】（1）由斜率公式可得直线四的斜9—率3嬴1直线/C的斜率嬴=—下9—一3号5.

-4—3（U—JJ

15

故直线AB的斜率为彳直线AC的斜率为亍

（2）如图所示，」当〃，由6运动到。时，直线组?的斜率由标增大到嬴,所以直线相的斜率

的变化范围是17'3_.

【题型6利用斜率模型最值范围问题】

y-1

【典例6]已知实数x,y满足方程x+2y=6,当1W&W3时，则—的取值范围

X—Z

31

【答案】（一8,——]u[—,+8）

【解析】—的几何意义是过欣X，力，M2,1）两点的直线的斜率.

因为点〃在函数x+2尸6的图象上，且1WXW3,

所以可设该线段为/s,且月（1弓），玖3,?,

「31

kNA~-5,

所以y占-的1取值范围是（-oo-31]U[I-,+00）

31

故答案为：（一00,—5]u[5，+0°）

【题型训练4】一

若a＞垃c〉0,则」必,△，的大小关系为（

1.已知函数f(x)=log3(x+2),)

dbc

卜343c/(a)<f(b)</(c)

cbaabc

c以c)J(a)〈f(b)

cabacb

【答案】B

【解析】作出函数f（x）=log3（x+2）的大致图象，如图所示.

由图象可知，y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a＞垃c〉0,所

以以

abc

故选:B

2.已知点加x,p)在直线/：尸一9+栏上,当[—2,3]时，则出上的取值范围为________.

00X

54

【答案】(一8,——]U[—,+00)

【解析】作出函数F(x)=log3(x+2)的大致图象，如图所示.

y~\~2y——2

-=-——7-的几何意义是过点〃(x,力，M0,—2)的直线的斜率.因为点〃(x,y)

xx—0

v1Q

在直线/：y=—上，且x£[—2,3],所以设该线段为Z8,且4(—2,3),5(3,2).因

E5+W5

52十2445

所以

,3+2--\>-或4-即一的取值范围为

为*二23-O332

(-oo--]o[j,+oo)

54

故答案为：(-8,---]O[―,+℃))

23

3.已知4(3,-1),8(1,2),Plx,力是线段加上的动点，则上的取值范围是.

X

【答案】2]

【解析】因为4(3,-1),6(1,2),2(x,力是线段上的动点，

所以上表示直线OP的斜率.如下图.

X

_1_f)19_n

因为直线。4的斜率为一r=-：,直线。8的斜率为烹=2.

3—031—U

故答案为：2]

4.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以

转化为几何问题加以解决.例如，与J(x—a)2+(y—『)2相关的代数问题,可以转化为点

4》广)与点8(。,6)之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数/(x)=sinx+：,x

cosx+1v4

的值域为____

【答案】

【解析】如图所示：设单位圆。上的一点为尸(cosx,sinx),点A(T-l),5(1,0),

则/。)=包土=表示直线上4的斜率，因为x/o,彳

cosx+1V4

故当P与B重合时，的斜率为了(0)=；

当P与C重合时，E4的斜率最大值为/=1

【专项练】

1.如图所示，若直线4，*4的斜率分别为&，&，%，则()

A.k2<k{<k3B.k{<k2<k3

C.k3<k2<kxD.k3<kx<k2

【答案】A

TT

【解析】设直线4，4，4的倾斜角分别为%，%，%，可得0<%(兀，再由斜

率的定义即可比较用，k2,匕的大小关系.

设直线4,4的倾斜角分别为%，%，%,由图象知:

所以tan%<tanax<0<tana3,即&<《<0</,

故选：A.

2.直线4，4的倾斜角分别为。，夕，贝|“q=尸”是“tane=tan6”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为直线4，4的倾斜角分别为夕，所以2目0,兀）,月耳0,兀），

若tana=tan4,则a=4，

jr

若。=夕=5,贝I]tana,tan尸都不存在，

所以“1=。”是“tana=tan£”的必要不充分条件，

故选：B.

TT3zr

3.已知直线的倾斜角的范围是ae,则此直线的斜率次的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[-1,O）U（O,1]

C.[―l,+oo）D.（-oo,-1]D[l,+oo）

【答案】D

【解析】当直线的倾斜角£力三时，直线的斜率左=tanc,因ee苧，

2144」

jrTTTC）7T

则当a£[—,—）时，tana21,即左21,当。£（—,一]时，tan6Z<-1,即女（一1,

4224

所以直线的斜率k的取值范围是（—,-!]

故选：D

4.若过点尸（-1,0）的直线与以点4（1,2）,3（-2,石）为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范

围为（）

712兀7171八n%2万712%

A.B.C.0,一O--,71D.

143」443吟U~i,~3

【答案】A

【解析】如图所示，设P4的倾斜角为。，总的倾斜角为4，则所求直线的倾斜角的取值

范围为[%£],

易得tana=kPA=丁1"=1，tan°=kPB=~/=一班，

TT27r

又因为04。<乃,04方〈万，所以（/=1，夕=飞-,

所以所求直线的倾斜角的取值范围为py.

故选：A.

5.(多选)设直线/过坐标原点，它的倾斜角为。，如果将/绕坐标原点按逆时针方向旋转

45°,得到直线那么4的倾斜角可能为()

A.。+45°B.a—135°

C.135°-aD.45

【答案】AB

通过图象可知，

当0。Wa〈135。，乙的倾斜角为。+45°；

当135°Wa〈180°时，A的倾斜角为45。+。-180°=。一135°.

故选：AB

6.(多选)已知点4(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线用的倾斜角为45°,则点

P的坐标可能为()

A.(3,0)B.(-3,0)

C.(0,-3)D.(0,3)

【答案】AC

【解析】设x轴上点?E,0)或y轴上点NO,ri).

0+1n+1

由旧名=1,得——7=7-7=1，

m-20-2

得勿=3,27=—3.

故点尸的坐标为(3,0)或(0,-3).

故选：AC

7.若直线1的斜率为“，倾斜角为a,而aG,则"的取值范围是

L64；L3)

【答案】N，o)U%

【解析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出k的取值范围.

【解析】当工<a〈工时，走<tana<1,即且Wk〈l；

6433

当§w