2024-2025学年山东省淄博市某中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省淄博实验中学高三(上)月考数学试卷(10月

份)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

2

1.已知集合a={x|log2(x+1)<2},B={x|2x-5x-3<0},则2UB=()

1

A.{x\--<x<3}B.{%|-1<%<3]

i

C.{x\--<x<3}D.{x\x<3}

2X+2~x

2.函数f(X)=g(尸不I一工)的图象大致为()

3.下列说法中，正确的个数为()

①样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度

②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好

③随机变量f服从正态分布N(162),若p(f<3)=0.8,贝iJP(l<f<3)=0.3

④随机变量X服从二项分布B(4,p),若方差D(X)=|,则P(X=1)=言

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.在平面直角坐标系中，已知点P(3,4)为角a终边上一点，若cos(a+夕)=，，pe(0,")，贝!Js讥/?=()

»一4一6遂r>4-6避「4+6/p.6招一4

'-15-'15"-15-'15

5.2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引

导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有()

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A.102种B.105种C.210种D.288种

6.已知函数f(2久+1)为奇函数，+2)为偶函数，且当久e(0,1］时，/(%)=Iog2x,则/((二)=()

A.2B.-2C.1D.-1

7.设a=备，b=lnl,O3,c=e0-03-l,则下列关系正确的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

8.若函数/(%)=(%2-2^/2%+a)sin(ax-^)(a>0)在［0,4］上有3个零点，贝心的取值范围是()

A.B.(0为C.U［2%D.［君)U(2,第

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知0<a</?<|-,且3cosa+JI^cos/?=3,3sina—yfl^sin/3=2,贝！|()

A.cos(tx+S)=普B.sin(a+/?)

C.tan(2a+20)=|D./?e(黄)

10.已知定义在［0,+8)上的函数y(x)满足当xe［0,2］时，/(%)=傕?■七;［2，当x>2时，满足

f(x)=meR(zn为常数)，则下列叙述中正确的为()

A.当爪=点寸，/(3)=1

B.当久e［4,6］时，/⑶的解析式为f(x)=｛然柘甯，/晨£

C.当m〉1时，4mx>zn/2(%)在［0,+8)上恒成立

D.当0V血<1时，函数/(%)的图象与直线y=2mn~1,nEN*在［0,2用上的交点个数为2n一1

11.设数歹!1｛。九｝满足。九+i=。九+4,%=3,记数列｛鼠二y｝的前几项和为S小贝女)

33

A.an+i>anB.。2023<5+2023万

2023

c.sn<1D.02023>|+(|)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若(。出一宠)63>0)的展开式中含x的项的系数为60,则a2+b的最小值为.

13.已知:函数人%)是定义在R上的可导函数，当x20时,［。)>/'(—久)，若g(x)=/(x)+/O,且

对任意xe有1］,不等式g(ax+1)Wg(x-2))恒成立，则实数a的取值范围是.

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14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡

片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选

一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡

片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

设函数/（久）=—X2+ax+Inx｛aGR）.

（1）若a=l,求函数/（久）的单调区间；

（2）设函数/（X）在白引上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）

16.（本小题15分）

记5„为数列｛陶的前几项和，已知Sn=当+*+1,n€N*.

（1）求ai+a2，并证明｛an+即+1｝是等差数列；

（2）求S2n.

17.（本小题15分）

如图，在四边形ABCD中，AB1AD,3AB=4BC,sin乙4cB=?,DC=2.

（1）求ND4c的大小；

（2）求△4CD的面积的最大值；

⑶若COSNADC=监求AaDC的面积.

18.（本小题17分）

第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办.为了普及全运知识，某大学举办了一次全

运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派

一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视

作初赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为Pi、P2、

P3,假定Pl、P2、P3互不相等，且每人能否闯关成功相互独立.

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(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，「1=%2=枭3=)求该小组初赛胜利的概率；

(2)已知1>P1>P2>P3,若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、

丙谁先派出；

(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得

一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他

在复赛中前两道题答对的概率均为a,第三道题答对的概率为。若他获得一等奖的概率为:，设他获得二等

奖的概率为P,求P的最小值.

19.(本小题17分)

已知函数/=aex-x-a{aGR),其中e是自然对数的底数.

(1)当a=-l时，求0。)=/CO-cos?%在［0,兀］上的值域；

(2)当0<aWl时，讨论/(久)的零点个数；

(3)当a21时,证明：sinx>xlnx—f(x).

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参考答案

1.5

2.C

3.C

4.D

5.C

6.A

7.C

8.D

9.BD

1Q.ABD

11.ACD

12.2"

13.[-2,0]

14.^

15.解:(1)当Q=1时，/(%)=-%2+%+Inx,/(%)的定义域为(0,+8),

f⑸=-2%+1+-=,

令((%)>0,则2%2—%—1<0,解得0<%V1,

令/'(%)<0,贝1]2%2一第一1>0,解得久>1.

・•・函数/(%)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8).

(2)令/(%)=—X2+ax+Inx=0,则。=%一等.

令g(x)=x-哈其中xG[1,e],

则“(x)=1=—=/+'—

X2x

令"(%)>0,解得1<%<e,令“(%)<0,解得%<1.

・・.g(%)的单调递减区间为区1)，单调递增区间为(1冏，

9(X)min=。(1)=L

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又g$=e+Jg(e)=e~~^函数/(%)在ge]上有两个零点,

・・.。的取值范围是(1，T.

16.解：(1)当几=1时，Si=a[=£+I?+1,解得的=4,

2

当九=2时，S2=cii+a2=y-+2+1,解得口2=2,

所以+效=6；

证明：由=当+泳+1,得2s九=a九+2层+2,贝lj2szi+i=(1Tl+i+2(n+1)2+2,

两式相减得2册+1=an+1-an+4n+2,则册+i+an=4n+2,

令b九=a九+1+a九=4几+2,则历=6,bn+1—bn=4,

所以｛即+1+即｝是以6为首项，以4为公差的等差数列；

(2)当?1为偶数时,Sn=(的+效)+(。3+。4)+…+(。九-1+。九)=6+14+...+(4n—2)

n

=1(6+4n-2)=n24-n,

则S2九=4九2+2n.

BC

17.解：⑴在△ZBC中，由正弦定理得

sinz.BACf

2Q21

因为348=4BC,sinzXCB=f,所以sin/BAC=7X1=4,

343，

TT

因为481AD,所以NB4c为锐角，可得NB4C=%,

TTTT

所以NZMC=5—NBAC=§；

(2)在△ACD中，DC=2,

由余弦定理得DC?=4=XC2+AD2-2AC-AD-cos^DAC=AC2+AD2-AC-AD>AC-AD,

整理得454。<4,当且仅当47=AD=2时取等号,

所以SAACD=.ADsin^DAC<|x4x^=V3.

当AC=AD=2时，AaCD的面积取得最大值避；

(3)因为COSNADC=*，所以sin乙4DC=(*)=.(舍负).

H

可得sin/ACD=sin(zCXD+N/WC)=吟乂*吾乂号=306圾

在MCD中，由正弦定理得正标=各务5,即卡=靖方解得皿=理之

所以SMDC=JDC.ADsin^ADC=劣x2x*必x乎=6#了火,即△2。。的面积为函1/1.

乙乙33Vy

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18.解：(1)设事件4表示该小组获胜，

印“八3,12,11123

WW=4+4X3+4X3X2=^

所以该小解组初赛胜利的概率为H，

(2)若依次派出甲乙丙进行闯关，设派出的人员数目为Xi，

则X的可能取值为1,2,3,

则P(Xi=1)=pi，

P(X1=2)=(l-pi)p2>

P(Xi=3)=(l-pi)(l-p2)，

此时E(XI)=pi+2(1—p0p2+3(1—pi)(l—P2)=P1P2-2PLp2+3,

若依次派出丙乙甲进行闯关，设派出的人员数目为X2，

则X的可能取值为1,2,3,

则P(X2=1)=P3,

P(X2=2)=(1-P3)P2，

P&=3)=(1一「3)(1-P2)，

此时5(X2)=P3+2(1—p3)p2+3(1—p3)(l—p2)=P2P3—2p3—P2+3,

所以

E(X1)—E%)=P1P2—2pi—P2+3—(p2P3—2p3—P2+3)=P1P2—2pi—p2P3+2p3

=P2(PLP3)—2(PLP3)=(P1-P3)(P2—2),

因为1>P1>P2>P3，

所以PLP3>0，P2—2<0,

所以E(X1)<E(X2),

所以要使初赛派出人员数目的期望较小，先派出甲.

(3)由题意可得W=a2b,b=康，

O-1O

则p=a2q_b)+C^a(l_Q)b=a2+2ab—~=a2+

令p=/(a)=a2+—--,0<a<1,

则［(a)=2a=嗓^=(2a-D(4：2+4a+l),

)、)4a24a24a2

1

令/'(a)=Ona=-,

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所以当0<a时，/⑷<0,/⑷为减函数，

当片a<1时，/⑷>0,/⑷为增函数，

所以/(叽讥=6)=、+>|=|，

所以P的最小值为•!.

O

x2x

19.解：(1)当a=—1时，0(%)=—e—x+sin%,“(%)=—e—l+sin2xf

—1<sin2x<1,•••(p'(x)=—ex—l+sin2x<-ex<0,

•••9(%)在［0加上单调递减,

又9(0)=-1,0(兀)=-en一冗,

•••8(%)在［。,兀］上的值域为［一］一",一1］.

(2)/(%)=aex—x—a(fi<a<1),

令/'(%)=aex—l—0得%=—Ina,

当久V-仇a时,/'(%)<0,/(%)单调递减；

当%>一仇a时，(。)>0,/(%)单调递增，

・••/(%)>f(—lna)=1+Ina—a,

当a=1时，1+Ina—a—0,

・・・/(%)>0,则"%)在(-8,+8)上有且仅有1个零点；

当0<a<1时，令丁(a