高考数学复习：平面向量及其应用全章综合测试卷（基础篇）解析版

第六章平面向量及其应用全章综合测试卷（基础篇）

参考答案与试题解析

选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（2023•全国•高一专题练习）下列说法正确的个数是（）

（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；

（2）零向量没有方向；

（3）向量的模一定是正数；

（4）非零向量的单位向量是唯一的.

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解.

【解答过程】对于（1）,温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，

对于（2）,零向量的方向是任意的，故（2）错误，

对于（3）,零向量的模可能为0,不一点是正数，故（3）错误，

对于（4）,非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，

故选：A.

2.（5分）（2023下•重庆•高一校联考阶段练习）100+用-①-3）=（）

A.9a.+9bB.9a+lib

C.lld+9bD.lid+11b

【解题思路】根据数乘向量的运算律化简求解即可.

【解答过程】根据向量运算公式可知，10（a+6）-（a-6）=10a+106-a+=9a+11b.

故选：B.

3.（5分）（2023下•广东佛山•高一校考期中）如图，在△力BC中，4。点E是CD的中点.设襦=窗

CB=b,则丽=（）

E

ADB

2T1T21T1T2T1T2T

Abbcb+b

-a-----a---a-

36B.3663D.63

【解题思路】根据向量的线性运算即可求得答案.

【解答过程】由题意在AABC中，AD点E是CD的中点，

故丽=-AE=-1（4C+^4D）=|C4-|AD

1一1―.1—,1一一

^-CA--AB^-CA--{CB-CA）

2626

3636

故选：A.

4.（5分）（2023上•江苏南通・高三校考阶段练习）已知非零向量定3满足同=2b同，且五1（34+3）,

则之与前勺夹角为（）

717127r

A.B.C.D.

633

【解题思路】根据数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解.

【解答过程】解：因为石1（32+3）,

所以江•（3a+b）=3\a\2+d-b=0,

设a与另的夹角为o,

所以8$8=晶=最需V3

2，

所以。=

6

故选：D.

5.（5分）（2023上•全国•高三专题练习）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,4=会a=,,

b=^2,则此三角形的解的情况是（）

A.有一解B.有两解

C.无解D.有解但解的个数不确定

【解题思路】运用正弦定理计算出sinB,结合a>b有sin4>sinB,计算出B即可得.

【解答过程】由号=段，得sinB=W=4=a

smAsmBaV32

又a>6,故B只能为锐角，即B=?

34

故该三角形只有一解.

故选：A.

6.(5分)(2023上•新疆乌鲁木齐•高三校考阶段练习)设向量五=(1,2),3=(—3,5),3=(4,%),若五+B=

GR),贝奴+支的值为()

A.--B.—C.--D.—

2222

【解题思路】利用平面向量的坐标运算可得出关于4、%的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得结果.

【解答过程】因为五+3=/ia：aeR),即(―2,7)=4(4,x),所以，解得2=一5x=-14,

因止匕，A+%=-

故选：C.

7.(5分)(2023•陕西安康•校联考模拟预测)已知向量五=(3,-4)花=(一2,根),'=(2,1),若0+3)1落

则TH=()

A.-2B.2C.-6D.6

【解题思路】利用向量加法和数量积的坐标表示求解即可.

【解答过程】由题意可得a+b=a,m-4),

因为@+司13所以0+司々=2+6-4=0,解得巾=2,

故选：B.

8.(5分)(2023上•北京•高二清华附中校考期中)在△ABC中，sinB=&sin4,NC=105。)=百+1,

则△ABC的面积为()

A.—B.V3-1C.—D.V3+1

22

【解题思路】应用正弦定理进行边角互化，得b=V5a,再应用余弦定理出COSNC,进而得到a,b,利用同角

三角函数关系求出sin/C,应用三角形面积公式S=[absinC即可求得.

【解答过程】由sinB=&sin4根据正弦定理得：b=<2a,

又NC=105°,c=V3+1,则

cosl05°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°—sin60°sin45°

_1V2_V3V2_V2-V6

―2222-4

1--------------------V2+V6

sinl05°=—(cosl05°)2=-----------

ca2+b2-c2a2+2a2-4-2^372-^6

coszc=-------——=----------------=--------,

2ab2y/2a24

解得a=VL则6=2,

111V2+V6V3+1

SAABC=5absmNC=--V2-2------------=-―--

LL41L

故选：c.

多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2023下•四川遂宁•高一射洪中学校考阶段练习）下列命题中错误的有（）

A.起点相同的单位向量，终点必相同；

B.已知向量四II而，则四边形ABC。为平行四边形；

C.若孙/另花〃落贝妆〃演

D.若2=b,b—c,则N=

【解题思路】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论.

【解答过程】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误；

四边形4BCD中，AB||CD,则4B〃CD且AB=CD,四边形ABCD为平行四边形，B选项正确；

当另=6时，满足勿/另是〃己但不能得到处"，C选项错误；

由向量相等的条件可知，若a==泊则a=泊D选项正确.

故选：AC.

10.（5分）（2023上•湖南长沙•高三校考阶段练习）已知向量出B满足恒+2同=\a\,a-b+a2=0且同=2,

贝U（）

A.\b\—2B.a+b—0C.|a—2b|=6D.a.-b—4

【解题思路】由区+2同=@,b+b2=0,又1•3+浸=0且同=2,得同=2,d-b=-4,可得

cos（2,1）=谕j||=一1,（a,b）-Tt,有2+B=0,幅一2同=6,可判断各选项.

【解答过程】因为忖+2b\=\a\,所以怔+2司2=|m2,即必+4港方+4岸=浮，整理可得2-b+b2=0,

再由a不+之2=。，且同=2,可得小=岸=4,所以同=2,a-b=-4,A选项正确，D选项错误；

cos（a,b）--^|||=-1,即向量出石的夹角值,同=n，故向量出3共线且方向相反，所以2+另=0,B选项

正确；

|a-2b\=J（a—2fa）=y/a2—4a-b+4b2=V4+16+16=6,C选项正确.

故选：ABC.

11.（5分）（2023上•黑龙江大庆•高三校考期末）已知d=（t,-2）,3=（-4,t）,贝。（）

A.若“1，则t=±2V2

B.若21b,贝！|t=0

C.怔―司的最小值为2

D.若向量2与向量3的夹角为钝角，贝亚的取值范围为(0,+8)

【解题思路】利用向量平行垂直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的结论.

【解答过程】已知2=(t,-2),3=(-4/)，

若力/3，则/=—2x(―4)=8,解得t=±2四，A选项正确；

若江1区,贝展j=-4t-2t=0,解得t=0,B选项正确；

2-6=(t+4,-2—t),|n-+44+(—2—t)2=，2(t+31+2,

当t=-3时，忖一同有最小值VLc选项错误；

当t=2&时，a=(2V2,-2),b=(-4,2V2),b=-V2a,

向量d与向量1的夹角为180。，D选项错误.

故选：AB.

12.(5分)(2023下•山东青岛•高一统考期中)在AABC中，三个内角4BC所对的边分别为a,b,c,若asin§^=

fosinX,a+c=43b,则下列结论一定正确的为()

TT

A.B=-B.a:c=2:1

3

C.AaBC为直角三角形D.a-.b=1：V3

【解题思路】由asin等=6sin4利用正弦定理求得角B,再根据a+c=^b,利用余弦定理求得a,c

的关系逐项判断.

【解答过程】解：因为asin^C=bsin4

由正弦定理得sin4cosm=sinBsinX,

因为4Be(0,Tt),

化简得cos(=2sin^cosp

则sin0=3-=

2226

所以故A正确；

由余弦定理得力2=a2+c2—2accosB,

=（a+c）2—2ac—2accosB,

即（篝^=（a+c）2—3ac,即2a2—Sac+2c2=0,

解得a=2c或a—~c>

当a=2c时，b=V3c,则b?+c2=a2,a:b=2:V3,

当a=|c时，b=yc,则Z?2+a2=c2,a-.b=1:V3,故BD错误，C正确，

故选：AC.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（2023下•海南僧州•高一校考阶段练习）下列各量中，向量有：③⑤⑥.（填写序号）

①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度.

【解题思路】根据向量的概念判断即可.

【解答过程】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.

故答案为：③⑤⑥.

14.（5分）（2023上•江苏扬州•高三统考阶段练习）已知在AABC中，AB=3,AC=2,zBXC=60°,P为

线段4C上任意一点，则丽•丽的取值范围是[一四.3].

【解题思路】设丽前，0<m<1,得到丽•丽=4（m-丁一2，求出取值范围.

【解答过程】设丽=小前，0<m<1,则而=万+荏=（巾一1）前+京，

故而•PC=[（m-1）JC+AB]-mAC=m（m-1）ZC2+mAB-AC

-4m（jn-1）+m|XB|-\AC\cosz.BAC—4m2—4m+3m

-117

因为OWmWl,所以一；—

888

故一卷”(m.)_、W3,PBPCE[-^,3].

故答案为：[-总3]

15.（5分）（2023上•上海长宁•高三校考阶段练习）已知在A/WC中，E为4C的中点，。是线段BE上的动

点，若而=%荏+、前，则马+工的最小值为8.

xy

【解题思路】根据三点共线可得x+2y=l,利用“1”的技巧及均值不等式求解.

【解答过程】如图，

因为历=%荏+、而，E为4C的中点，

所以而=x荏+2y荏，

因为三点共线，所以x+2y=1（久>0,y>0）,

2+工=（%+2>）6+9=4+丝+'24+2隹•土=8,

xyxyy]xy

当且仅当"=二即％=;,丫=;时等号成立，

xy2,4

故2+工的最小值为8.

xy

故答案为：8.

16.（5分）（2023上•全国•高三专题练习）落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之

一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A,B,

C处测得其顶点尸的仰角分别为30。，60°,45°,且AB=BC=75米，则滕王阁的高点。P=15回米.

C

【解题思路】设。P=h,h>0,表示出。4。昆。。，利用cos/OBC=-cosNOBA结合余弦定理列方程求解.

【解答过程】设。P=h,h>0,

则。力=靠『.,08=黑『曰儿℃=靛=%.

由NOBC+Z.OBA=IT得cos/OBC=-cosZ.OBA,

222

|+752-h2(fh)+75-(V3h)

由余弦定理得EQM

2X75X争2X75X争i

解得h=15V15,即0P为15后米.

故答案为：15V15.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（2023•江苏•高一专题练习）如图，。是正六边形2BCDEF的中心，且a=a,OB讥方=3.在

以4B,C,D,E,F,。这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：

（1）与五相等的向量有哪些？

（2）3的相反向量有哪些？

（3）与^的模相等的向量有哪些？

【解题思路】根据相等向量、相反向量、向量模长的概念，结合图形进行分析求解即可.

【解答过程】（1）由相等向量定义知：与五相等的向量有丽，而，丽.

（2）由相反向量定义知：B的相反向量有反，无，万，丽.

（3）由向量模长定义知：与5的模相等的向量有方，而，而，历，丽，赤，丽，丽，丽，市，

AO,AB,两AF,FA,FE,EF,ED,DE,DC,^D,CB,BC.

18.（12分）（2023上•山东德州•高三校考阶段练习）设向量优3满足同=|同=1,且恒

⑴求石与石的夹角；

⑵求口+3司的大小.

【解题思路】（1）平方忸-2b\=旧计算得到cos。=—|,得到答案.

（2）确定恒+33=J（a+3b）\计算得到答案.

【解答过程】（1）设1与3的夹角为。（0W8Wn）,

|a—2b\=I（a—2b）=Ja2—4a.-b+4b2=V7,贝！］|由2—4⑷.同cos。+4同=7,

将㈤=\b\=1代入得1-4cos0+4=7,cosd=故”詈；

(2)\d+3b\=J(五+31)2=Va2+6a-b+9h2=^|3|2+6\d\•|h|cos0+9|h|2

将同=也|=1代入得+3b|=Jl+6x(—1)+9=夕,故|2+3bl=夕.

TT

19.(12分)(2023下•吉林长春•高一校考阶段练习)已知平面向量a=(l,£),b=(2x+3,—x)(xeR)

(1)若213,求尤的值：

(2)若五|防,求「一同

【解题思路】(1)直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解；

(2)先通过向量平行的坐标公式求出久，再通过向量的坐标运算求模.

【解答过程】(1)-.-alb,

■•­a-b=2x+3—x2=0,

解得x=3或%=—1；

⑵a||b,

■■■—x=(2久+3)x,即2/+4x=0解得x=0或x=-2,

当％=0时，a=(1,0),b-(3,0),a—b=(—2,0),|a-b|=2；

当x=-2时，a=(1,-2),/)=(—1,2),a—b=(2,—4),|a—=V4+16=2>/5,

\a-b\=2或恒一同=2V5.

20.(12分)(2023•全国•高三专题练习)如图所示，一条河两岸平行，河的宽度AC=Bkm,一艘船从河

边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程力B=2km,行驶时间为0.2h.已知船在静水中的速

度正的大小为|苏|,水流的速度它的大小为|记|=2km/h.求：

⑴同；

(2)船在静水中速度区与水流速度正夹角的余弦值.

【解题思路】(1)由题意得曰=百+石，结合已知利用余弦定理可求解;

(2)由(1)结合余弦定理可求出cos〈宣,可).

【解答过程】(1)•.•河的宽度4C=Wkm,AB=2km,

...si山BC/=争.ZBC=60。.

如图，设合速F=云，v；=OF,船在静水中的速度说=而，则曰=说+记,

由题意可得历|=—=10(km/h),且NEOF=4ABe=60°,

又|司=2km/h,.,.在△EO尸中，由余弦定理可得

________________________________]

|说|=y/OE2+OF2-2xOExOFxcos60°=100+4-2x10X2x-=2VH(km/h)

N2

(2)由(1)知EF=2VH,OE=10,OF=2,

由余弦定理可得cos"'=翳瑞V21

141

二•cos〈说，五）=cos（180°—乙OFE）=—cosZ-OFE=—.

21.（12分）（2023下•广西钦州•高一校考期中）如图，在△ZBC中，BC=4BD,AC=3CE,BE与AD

（2）若/M=mAB+nAC,求zn+九的值.

【解题思路】（1）由BC=4BD得出前=工前-L轮,然后可得而=三厢+工前；根据AC=3CE得出前=

4444

|xc,然后根据族=标-布即可用荏，前表示出丽;

（2）根据4M,。三点共线得出前=苧说+（而,然后根据平面向量基本定理得出爪=3小根据8,

M,E三点共线得出前=女同+生F尼，然后即可根据平面向量基本定理求出左的值，进而得出m+n的

值.

【解答过程】(1)因为BC=4BD,所以前=工就=工(前-荏)=工前一工荏,

44'744

所以诟=荏+而=存+工前一工四=2四前.

4444

因为2C=3CE,所以族=|前,

所以床=荏—荏=|万_四.

(2)因为A,M,。三点共线，所以祠=2而=如说+4