2024-2025学年重庆某中学高二（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆外国语学校高二（上）月考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

\.~AB+~BC-CA^（）

A.2CAB.ACC,6D.2AC

2.关于百分位数，下列选项错误的是（）

A.一组数按照从小到大排列后为：%2,xn,计算得：入80%=17.2,则这组数的80%分位数是

x17

B.一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数

C.一组数据的某些百分位数可能是同一个数

D.第50百分位数就是中位数

3.已知正方体4BCD-&B1C1D1中，点E为上底面4Ci的中心，^AE=AA±+xAB+yAD,则久、y的值分别

为（）

1111

A.x=1,y=1B.%=1,y=2C.x=-,y=2D.%=-,y=1

4.已知直线/的方向向量是Z=（3,2,1）,平面a的法向量是£=（一1,2,-1）,贝〃与a的位置关系是（）

A.I1aB.1//aC.l//a^lcaD.1与a相交但不垂直

5.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛

同学抽到不同主题概率为（）

,5

A-6BtClDl

6.将边长为2的正方形441010（及其内部）绕。Oi旋转一周形成圆柱，如图，^AOC=120°,4公内当

=60°,其中当与C在平面44100的同侧，则异面直线BjC与A41所成角的大

小是（）

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

7.正三棱锥P-A8C的侧面都是直角三角形，E,尸分别是48,BC的中点，贝UPB与平面PEF所成角的正弦为

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8.在四棱柱ABC。一月IBICIDI中，底面4BCD是正方形，侧棱A4i1底面4BCD已知力B=1,A4i=8，E

为线段力B上一个动点，则。止+CE的最小值为()

A.B.2+-\/2C.V^+lD.41。

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.关于空间向量，以下说法正确的是()

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若对空间中任意一点。，有而=抄+观+次，则P,A,B,C四点共面

C.设｛a,6,c｝是空间中的一■组基底，则｛a+b,b+c,c+a｝也是空间的一■组基底

D.若五i<0,则<2,1>是钝角

10.对于概率的基本性质，下列选项正确的是()

A.如果事件力与事件B互斥，那么PQ4B)=PQ4)+P(B)

B.如果事件4与事件B互为对立事件，那么PQ4)+P(B)=1

C.如果4CB,则PQ4)<P(B)

D.P(AUB)=P(X)+P(B)—P(4nB)

11.在棱长为1的正方体ABC。-48停1。1中，已知E为线段BiC的中点，点F和点P分别满足布=2瓦笃，

司二时,其中九Me[0,1],则下列说法正确的是()

A.当4=2-1时，三棱锥P-EFD的体积为定值

B.当〃=义时，四棱锥P—4BCD的外接球的表面积是当

Z4,

C.PE+PF的最小值为宇

D.存在唯一的实数对(尢〃)，使得EP1平面PDF

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是.

13.已知空间向量2=(1,0,1),b=a-b=3,则向量2与刃的夹角为.

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14.在棱长为2的正方体4BCD-力道道道1中，E,5分别为棱的中点，G为棱&Bi上的一点，且公

G=4(0<4<2),则点G到平面小第的距离为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在空间直角坐标系。一盯z中，0(0,0,0),4(1,0,0),5(1,2,0),C(0,l,2),点P满足而=4前.

(1)求点P的坐标(用4表示)；

(2)若OP1BC,求2的值.

16.(本小题12分)

一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分.在试卷命题时，设计第一道题

使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为P、劣、J,且每题答对与否相互独立.

L4

(1)当P=争寸，求考生填空题得满分的概率;

(2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求P的值.

17.(本小题12分)

某电视台为宣传安徽，随机对安徽15〜65岁的人群抽取了几人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？

统计结果如图表所示:

回答正确的回答正确的人数占

组号分组

人数本组的频率

第1组[15,25)a0.5

第2组[25,35)18X

第3组[35,45)b0.9

第4组[45,55)90.36

第5组[55,65)3y

(1)分别求出a，6，x,y的值；

(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人？

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18.(本小题12分)

已知直三棱柱2BC—4/15中，侧面A41B1B为正方形，AB=BC=2,E,F分别为AC和的中点，D为

棱4B1上的点，BF1公当.

(1)求异面直线。E与Bf1的夹角；

(2)若力iBi=4BR,求平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的夹角的正弦值.

19.(本小题12分)

如图，已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别为AD,BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角

A-EF-C的大小为60°,点M在线段48上.

(1)若M为4B的中点，且直线MF与直线瓦4的交点为。，求。A的长，并证明直线。D〃平面EMC；

(2)是否存在点M,使得直线。E与平面EMC所成的角为60°,若存在，求此时二面角M-EC-F的余弦值，若

不存在，说明理由.

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参考答案

1.D

2.2

3.C

4.C

5.4

6.C

7.C

8.D

9.ABC

10.BD

11.ABD

12.0.2

13弓

14等

15.解：⑴因为4(1,0,0),C(0,l,2),

所以前=(-1,1,2),

因为而=兀而，

所以方=~OA+AP=OA+XAC=(1,0,0)+2(-1,1,2)=(1-A,A,2A),

所以点P的坐标为(1一儿儿2㈤.

(2)因为丽=(-1,-1,2),OP1BC,

所以丽•丽=0,即一1*(1一；1)-1*；1+2*2；1=0,

解得4=2

16.解：(1)设考生填空题得满分、15分、10分为事件4B、C,

则考生填空题得满分的概率P(4)=|x|xj=-^.....(4分)

oZ4-1Z

1Q1111

(2)P(B)=Px|xj+px|xi+(l-P)x|x1.....(7分)

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1Q1Q11

P(C)=Px|x|+(l-P)x|x|+(l-P)x|x1.....(10分)

由P(B)=P(C)得P......(12分)

17.解：(1)由频率表中第4组数据知，

第4组总人数为高=25,

U.DO

由频率分布直方图知n=5=100,

un.nu?z1ny.u

•••a=100x0.01x10x0.5=5,

b=100x0.03x10x0.9=27,

1818八c

x=-------------=—=()9.

100x0.020x1020'

=-------3------_3n2

)v100x0.015x10=15=

(2)第2,3,4组回答正确的共有18+27+9=54人.

利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：

第2组：普x6=2人，

第3组：舍x6=3人，

第4组：言x6=1人.

18.解：(1)因为三棱柱ABC-4181cl为直三棱柱，

所以BBilAB,A\BJIAB,

因为BF

所以BF1AB,

又BBiCiBF=B,BBi，BFu平面BBiCC

故481平面BBiQC,

又BCu平面B&CiC,

贝MB1BC,

以点8为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设Bj,。=a(0<a<2),

贝D(a,0,2),E(l,l,0),尸(0,2,1),

所以反=(l-a,l=(0,2,1),

故丽•丽=2—2=0,

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所以DE1BF,

故异面直线DE与BF的夹角为90。；

(2)由(1)可知，4B1平面BBiCiC,

故平面BBiCiC的一个法向量为方=(1,0,0),

因为力iBi=4BiD,

-1

则比£)=1,

所以D80,2),

..-->[--»

故DE=G，1,_2),EF=(—1,1,1),

设平面。EF的法向量为元=(x,y,z),

(n-DE=0+y-2z=0

则nlb•丽=0'即尼龙+y+z=0'

令z=1,则％=2,y=1,

故蔡=(2,1,1),

所以|cos(碗>|=黑="：1+1=半

故平面8B1C1C与平面DFE所成的二面角的夹角的正弦值为‘1—谭)2

19.解：(1)因为直线MFu平面力BFE,

故点。在平面4BFE内也在平面力DE内，

所以点。在平面4BFE与平面ADE的交线上，

延长FM交E4的延长线于。，

因为4。〃8尸，M为48的中点，所以△0AM也△F8M,

所以。M=MF,AO=BF,所以点。在瓦4的延长线上，且力。=2,

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连接OF交EC于N,因为四边形CDEF为矩形，所以N是OF的中点，

连接MN,因为MN为△DOF的中位线，所以MN〃。。，

又因为MNu平面EMC,平面EMC,

所以直线。。〃平面EMC.

(2)由已知可得，EF1AE,EF1DE,AECDE=E,AE,DEu平面ADE,

所以EF1平面ADE,

又EFc平面ABFE,

所以平面48FE1平面ADE,

取4E的中点H为坐标原点，以AH,DH所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

所以E(-L0,0)，。(0,0,4)，C(0,4,®F(T4,0),

所以说=(1,0,4)，无=(1,4,避)，

设M(l,t,0)(0<t<4),则加=(2/,0),

设平面EMC的法向量方=(x,y,z),

,[m-EM=0,