一元一次方程

人教版数学七年级一元一次方程

知识点一、方程的概念

定义：含有未知数的等式叫做方程注意：（1）含有未知数；方程是一个等式；（2）方程中的未知数可以是x,也可以是其他字母；（3）如果等式（a-1）x-2=0中，x是未知数,a为已知数，那么我们把这个方程叫做关于x的方程；（4）方程中所含的未知数不一定是一个，含两个或两个以上的未知数的等式也叫做方程；（5）a+b=b+a中虽有字母，但不是方程；（6）方程一定是等式，但等式不一定是方程。例1.已知下列式子：知识点二、一元一次方程的概念定义：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.注意：（1）任何一个一元一次方程经过化简整理都可以化为ax+b=0的形式，其中a,b为常熟，且a≠0；（2）判断一个方程是不是一元一次方程，首先应将原方程化简，整理成一般形式，然后作判断，特别注意“a≠0”这个条件。知识点二、一元一次方程的概念知识点二、一元一次方程的概念知识点三、方程的解与解方程方程的解：

使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.

⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.知识点三、方程的解与解方程知识点四、等式的性质(1)等式的性质1：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c(2)等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么例1、下列说法正确的是（

）A．等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式；B．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C．等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式；D．一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；例2、（利用方程的解求字母的值）知识点五、利用等式的知识解方程

方程两边同时加（或减）同一个数（或式子），使一元一次方程左边是未知项，右边是常熟；

方程两边同时乘（或除）同一个不为0的数，使未知项的的系数化为1，从而得出方程的解。知识点五、利用等式的知识解方程知识点五、利用等式的知识解方程知识点六、系数化为1内容：在方程等号两边同时除以未知数的系数，使方程变形为“x=c(c是常数)”的形式法则：等式的性质2注意：未知数的系数含有字母时，应讨论系数是不是等于0.知识点七、合并同类项

把方程中的含有未知数的同类项合并，使方程变得简单，更接近x=a的形式。法则：系数相加，字母及字母的指数不变。注意：（1）合并同类项，要记住未知数及其次数不变，且把方程中含未知数的项与常数项分别合并；（2）合并同类项的实质是根据乘法的分配率，把同类项的系数相加，起到化简方程的作用。知识点七、合并同类项知识点八、移项定义：把等式一边的某项变号移到另一边，叫做移项；依据：等式的性质1目的：把含有未知数的项移到方程一边，其他项移到方程的另一边注意：（1）在方程的同一边交换位置不叫移项，此时项的符号也不能变；（2）通常把未知数的项移到=的左边，常数项移到=的右边。步骤：1、移项2、合并3、系数化为1知识点八、移项知识点九、去括号概念：把方程中的括号去掉的过程依据：乘法分配率法则：（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同（2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反知识点九、去括号知识点十、去分母方程中有分母时，应根据等式的性质2，在方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，约去分母的过程叫做去分母。注意：（1）去分母时，方程两边最好乘所有分母的最小公倍数；（2）去分母时，每一项都要乘最小公倍数，特别是不含分母的项，一定不能漏乘。知识点十、去分母知识点十一、解一元二次方程的一般步骤1.

去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2.去括号(按去括号法则和分配律)3.移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4.合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=).知识点十一、解一元二次方程的一般步骤知识点十二、用方程思想解决实际问题的一般步骤1.审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系2.设：设未知数(可分直接设法，间接设法)3.列：根据题意列方程4.解：解出所列方程5.检：检验所求的解是否符合题意6.答：写出答案(有单位要注明答案)知识点十二、用方程思想解决实际问题的一般步骤例1、兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？知识点十三、常见的应用题类型行程问题（相遇、追击、航行），劳力调配问题，工程问题，销售问题，比赛中的积分问题，按比例分配问题，数列规律问题，分段计费问题等注意：(1)设未知数时，必须要有单位；(2)设未知数可直接设（求什么设什么），也可以间接设，还可以设辅助未知数；(3)列方程解决实际问题时，求出解后要注意验证所求的解是否符合实际问题的情景，若符合，则说明这就是所要求的解；若不符合，则说明这个问题无解。知识点十三、常见的应用题类型例2、鸡兔同笼问题

一养殖户共养鸡、兔120只，而兔与鸡的腿数之和为280只，问该户养鸡兔各多少只？知识点十三、常见的应用题类型例3、和差问题甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人？知识点十三、常见的应用题类型例4、和倍问题商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克?知识点十四:行程问题1、基本量：速度、时间、路程2、基本量之间的关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间基本问题：（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度例1、相遇、追击问题(1)甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。①慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？②两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

例1、相遇、追击问题(2)甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9米，乙每秒钟跑7米．①当两人同时同地背向而行时，经过__________秒钟两人首次相遇；②两人同时同地同向而行时，经过__________秒钟两人首次相遇．

例2、相遇、追击综合问题某班学生列队从学校到一个农场去参加劳动,以每小时4千米的速度行进.走完1千米时,一个学生奉命回学校取一件东西,他以每小时5千米的速度跑回学校,取了东西后又立即以同样的速度跑步追赶队伍,结果在距农场1.5千米的地方追上队伍.求学校到农场的距离。例3、多次往返问题甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？例3、多次往返问题甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？例4、航行问题某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。知识点十五：工程问题工作量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作量÷工作时间工作时间＝工作量÷工作效率完成某项任务的各工作量的和＝总工作量=1例1、一件工作，单独做，甲队10天完成，乙队15天完成．现在两队合作，_____天可以完成．例2、一项工程，甲队独做需要12天完成，乙队独做需要15天完成，两队合作4天后，剩下的由乙做，还要几天完成？例3、一水池有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是进水管，丙是出水管，甲单独开放需6小时注满一池水，乙单独开放需10小时注满一池水，丙单独开8小时放完一池水，若三管同时打开需多久可以注满水池？例4、某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，这一天有几个工人加工甲种零件？知识点十六：市场经济、打折销售问题例1、一件服装标价500元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装进价为多少元？例2、(2006•遵义)某商店将一件商品的进价提价20%后，又降价20%以96元出售，则该商店卖分析：出这件商品的盈亏情况是（）例3、（2004•襄阳）一杯可乐售价1.8元，商家为了促销，顾客每买一杯可乐获一张奖券，每三张奖券可兑换一杯可乐，则每张奖券相当于多少钱？例3、（2004•襄阳）一杯可乐售价1.8元，商家为了促销，顾客每买一杯可乐获一张奖券，每三张奖券可兑换一杯可乐，则每张奖券相当于多少钱？例4、某书店开展学生优惠售书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折计算，超过200元的部分按八折优惠，某学生第一次去购书付款72元，第二次去购书享受八折优惠，他查看了买书的定价，发现两次共节省34元，求学生第二次购书实际付了多少元?知识点十七、方案选择问题例1、某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）．若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元．（1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式）．（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？（3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？知识点十八、和、差、倍、分问题例2、某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的。问每个仓库各有多少粮食？知识点十八、等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝r2h②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc例3、在一个内径(内部直