等式与不等式性质（含糖水不等式）（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第04讲等式与不等式性质（含糖水不等式）

（6类核心考点精讲精练）

1他*考情探究，

【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质

2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系

3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围

4,能利用糖水不等式解决不等式的相关问题

核心考点考点4由不等式性质证明不等式

考点5糖水不等式及其应用

考点6多选题踪合

知识讲解

1,等式的性质

性质1如果a=6,那么；

性质2如果a=b,b=c,那么:

性质3如果a=6,那么；

性质4如果a=6,那么；

性质5如果a=b,cw0,那么：

2.比较两个实数大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：

Q_6>0O;

Q_6=0O;

a-b<0o__________

另外，若b>0,则有q>l=a>6；：=loa=b；—<l<=>a<Z?.

bbb

3.不等式的基本性质：

(1)对称性：•

(2)传递性：.

(3)可加性：.

(4)可积性：①;②•

(5)同向可加性：;异向可减性：.

(6)同向正数可乘性;异向异号可乘性：;异向正数可除性：.

(7)乘方法则：(«eN+,n>2).

(8)开方法则：(«eN+,n>2).

(9)倒数法则：;.

4,糖水不等式及其变形

3r„,bb+mbb-m,aa+ma

右实数a,b,c,满足a>b>0,m>0,则一__________,-_____：----,(b—m>0)；-_----；__

aa+maa—mbb+mb

u,S—机>0)(用不等号填空).

b-m

5.对数型糖水不等式及其变形

(1)设〃eN+，且n>\,则有log“+i”<log“+2(〃+l)

(2)设a>b>l,m>0,则有\ogab<\og,a+m(b+m)

(3)上式的倒数形式：设a>b>l,m>0,则有logz,a〉logb+m(a+加)

考点一、由不等式性质判断式子大小关系

典例引领

1.(2024•上海杨浦・二模)已知实数。，b,c,d满足：a>b>0>c>d,则下列不等式一定正确的是(

A.a+d>b+cB.ad>bcC.a+c>b+dD.ac>bd

2.(2024•广东广州•模拟预测)下列命题为真命题的是()

A,若a>b,则+°〉♦B.若。>b,c>d,则。一—c

a+ca

D.若Q>b,则一^->—

C.若〃<b<0,贝1］。2<仍</

a-ba

即

1.（2024•全国•模拟预测）已知x>4则下列不等式正确的是（）

A.\-x<\-yB.x2>y2C.|—1>1D.xz>yz

y

2.（2024•北京丰台•二模）若且则（）

A.———<^z——B.a2b>ab2

〃+1b+1

a+b

C.a1>ab>b2D.a>>b

2

考点二、由不等式关系，求解不等式范围

典例引领

4兀冗

1.（2023高三・全国•专题练习）已知兀-Ti<a-/3<--,求2。-分的取值范围为.

2.（2024•河北石家庄•二模）若实数x,y,z20,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则Af=4x+3歹+5z的取值范

围是■

即时检测

1.（2024高三・全国•专题练习）已知12<”60,15<6<36,则。-6的取值范围是______,f的取值范围

b

是.

2.（23-24高三•安徽,阶段练习）已知1W尤-”2,2<x+y<4,则3x->的最小值_________.

3.（2024・浙江•模拟预测）已知正数a,3c满足小+C2=16,b2+c2=25,则左=1的取值范围

为.

考点三、作差法或作商法比较式子大小关系

典例引领

1.（2024高三・全国•专题练习）已知实数。，6满足求证：a3-b3>a2b-ab2.

2.（上海浦东新•阶段练习）设a>八。，比较二与£的大小

22

ab

1.（2024高三・全国•专题练习）已知为正实数.求证：—+—>6Z+Z7.

ba

2.若a>b>0,求证：aabb>,

考点四、由不等式性质证明不等式

典例引领

1.（2023高三•全国•专题练习）证明命题：“若在A48c中a、b、c分别为角4B、C所对的边长，则

cab„

---<----+----〃

1+C1+6Z1+b

即时性W

H/7+W

1.(1)设m>0,证明：

bb+m

XVz

(2)设％>0,y>o,z>0,证明：1<------+-------+-------<2.

x+yy+zz+x

考点五、糖水不等式及其应用

典例引领

1.（23-24高三上•河南•阶段练习）已知6克糖水中含有。克糖（6>。>0）,再添加加（加>。）克糖（假设全部

溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（）

mma+rna

A.bm>amB.b+m>a+mC.—>—D.------->—

abb+mb

2.（2023•四川凉山•一模）。克糖水中含有6克糖，糖的质量与糖水的质量比为,这个质量比决定了糖水

hmh

的甜度，如果再添加加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为——>-（a>b>0,

a+ma

加〉0).若王=1崎2,x2=log1510,x3=log4520,贝［J

A.xx<x2<x3B.<x3<x2

C.x3<x1<x2D.x3<x2<

即时检测

1.（2023•湖南长沙•长郡中学校考二模）已知实数见仇c满足0<a<6<c,则下列说法正确的是（）

c-ab-aaa+c

1、1

C.7>77\D.ab+c1>ac+bc

a（c-a）b（c-a）

2.（23-24高三•福建龙岩•阶段练习）若。克不饱和糖水中含有6克糖，则糖的质量分数为这个质量分数

a

决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式

2h<£h±二TV!（a>8>0,加>0）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断logs2与log^lO的大小:

aa+m

1〜In2In2+In5InlO】1八。

例如log32=—<=而=logl5io'试比较.3log54的大小（填〃<〃或〃>〃或〃二〃）

考点六、多选题综合

典例引领

1.（2024・湖南长沙•二模）设q,b,c,d为实数，且a>b>0>c>",则下列不等式正确的有（）

cd

A.c<cdB.a-c<b-dC.ac<bdD.------->0

ab

2.（2024•广西•二模）已知实数用b,c满足。>6>c,且。+6+。=0,则下列结论中正确的是（）

A.a+b>0B.ac>be

11/\/.\^2

C.------>-------D.（a—c）（b—c\<—c

a-bb-cI八一

1.（2024•福建龙岩•一模）下列命题正确的是（）

A.若。<6<0,则/AM〉/

B.若〃<b<0,则qc2VBe之

C.若0<a<b<c,则一>—

ab

D.若。<〃<b,则2。+?>2yl~ab

2

2.（2024•江西•模拟预测）已知a<6<0<c<d,则下列不等式一定正确的是（）

aa

A.a+b<c+dB.ac<bcC.ab<cdD.—<—

cd

3.（2024・安徽淮北•一模）已知〃，b,ceR,下列命题为真命题的是（）

A.若a>b>c,贝!JQ+6>CB.若Q〉6〉H，贝！J/,/〉/

cQbb+c

C.若Q<6<C<0,贝!J—>—D.若a>b>c>0,贝—<----

abaa+c

I盘.好题冲关.

基础过关

一、单选题

L（2024・河南•模拟预测）"a>。>0,c>"是"">"〃的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023•吉林长春・一模）若。，b,ceR,且。>6,则下列不等式一定成立的是（）

A.ac>beB.ac1>be1

C.（b-a）c2<0D.（a-b）c2>0

3.（23-24高三上・江苏扬州•阶段练习）设。,b,。为实数，且a〉力〉0,则下列不等式正确的是（

0。ba11

A.ac1>be2B.—>—C.a27>ab>b17D.—>—

abab

4.（2023•山东・模拟预测）对于实数〃,b,。，下列结论中正确的是（）

A.若a>b,则4。2>秘2B.若〃>b>0,则l>工

ab

C.若aV/KO,则D.若a>b,—>—,贝Uabv。

baab

5.（23-24高三上•北京房山•期末）已知b为非零实数，且则下列结论正确的是（）

11ba11

A.a71>b2?B.—>不C.—>—D.—z->-7-

abababab

1H

6.（2023•广东•二模）若♦二百+2后=7“一3二收+5'贝）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

二、多选题

7.（2023,湖南张家界•二模）下列命题正确的是（）

A.若a>b,贝!]4C2>庆2B.若。>例，则

C.若。>6,贝U/〉/D.若同>6,则/>/

三、填空题

8.（2023高三•全国•课后作业）已知O4a+6<1,24"6<3,则b的取值范围是.

9.（2023高三・全国・专题练习）若1<。<3,-4<尸<2,则2&+|川的取值范围是.

10.（23-24高三上•海南海口•开学考试）已知2<y<3,则3x+2y的取值范围是

能力提升

一、单选题

1.（2024・山东聊城•三模）〃〃+6<-2,且外>1〃是1,且6<—1〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024•山东滨州,二模）下列命题中，真命题的是（）

A.若a>6,则QC>beB.若a>b,贝lj//

C.若ac226c2,贝!JaNbD.若a+2b=2,贝！12。+4'之4

3.（2024•陕西铜川•三模）己知6为正实数，则哼<1"是哼<怨"的（）

bbb+\

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

ab八

4.（2024•福建福州•模拟预测）设a,beR,贝<0〃是〃同+同=。〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2024•安徽淮北•二模）已知〃,b£R,下列命题正确的是（）

A.若ab=l,贝|Q+622

B.若贝lja>b

ab

C.若a>6,则ln（a—b）>0

D.若贝[|Q+7>6H—

ba

6.（2024・北京•三模）已知且工〉丁，则（）

A.--------<0B.tanx-tan>0

xy

C.J]—J[<0D.ln|x|-ln|j；|>0

7.（2024・四川成都•模拟预测）已知。，b为实数,则使得“3>b>0〃成立的一个必要不充分条件为（）

A.—>—B.ln（q+1）>ln（6+1）

ab

C.a3>b3>0D.y/a—1>y/b—1

8.（2024高三下•全国•专题练习）记max｛再，/，七｝表示％i，%2，%3这3个数中最大的数.已知。，b,。都是正

实数，M=max|a,-+—,则初的最小值为（）

[QC0]

A.y/3B.y[2,C.3"\/3D.3V2

二、多选题

9.（2024•辽宁•模拟预测）若。力>0,则使"a>b”成立的一个充分条件可以是（）

A.B.|«-2|>|^-2|

C.a2b+b>a+ab2D.ln（^2+1）>ln（62+1）

10.（2024•安徽合肥三模）已知实数a4满足则（）

bb-\

A.一<---B.a+b1>ub

aa-\

C.ab<baD.-2b<log^a—log^b

22

真题感赳—

一、单选题

1.（四川•高考真题）若a>b>0,c<d<0,则一定有

abababab

A.—>—B.—<—C.—>-D.—<-

cdcddcdc

2.（浙江•高考真题）设a,6是实数,则〃a+6>0〃是〃而〉0〃的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（广东•高考真题）设a,匕eR,若网>0,则下列不等式中正确的是（）

A.b-a>0B.a3+b3<0C.a2-b2<QD.b+a>0

4.（上海・高考真题）已知db为非零实数，且则下列命题成立的是

ba

A.a1<b2B.ab2<a2bC.D.—<—

ab

5.(北京・高考真题)已知