高考数学专项训练：平面解析几何（解析版）

专题八平面解析几何

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

22

1.（2024重庆名校联盟联考，2）已知双曲线会-会=1（6〉0）的焦距为8,则该双曲线

的渐近线方程为（）

A.y=±-xB.y=±3%C.y=±g%D.y=±—

33

【答案】C

分析】结合焦距定义与渐近线方程定义计算即可得.

【详解】由题意可得2&2+加=8,解得。=2（负值舍去），

则该双曲线的渐近线方程为y=±半》=±73%.

故选C.

2.（2024河北石家庄质量检测三，2）已知圆C]：/+丁2=1和圆

22

C2:x+j-6x-8y+9=0,则两圆公切线的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可

得公切线条数.

【详解】圆G：/+y2=i的圆心为G（Q0）,半径弓=1,圆+6x—8y+9=0

的圆心G（3,4）,半径马=4,

则|GQ|=’32+42=5=1+G,故两圆外切，则两圆公切线的条数为3.

故选C.

3.（2024湖南长沙雅礼中学综合测，2）圆心在y轴上，半径为1,且过点（1,2）的圆的方程

是

A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1

C.(x-l)2+(y-3)2=lD.x2+(y-3)2=1

【解析】因为圆心在y轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为(03)，

则圆的方程为无2+(y—疗=1,又点(1,2)在圆上，所以1+(2—4=1,解得b=2,所

以所求圆的方程为V+(y—2)2=1.故选A.

4.(2024黑龙江部分学校三模，5)已知抛物线C:;/=8x焦点为产，准线为/,点A在

。上，直线Ab交y轴于点5,且#=2丽，则点A到准线/的距离为()

A.4B.5C.6D.8

【答案】D

【分析】求出焦点产的坐标，设出A,8坐标，利用衣=2丽的西=6,结合抛物线的

定义即可得解.

【详解】由抛物线C:/=8x,可知E(2,0),准线/的方程为x=—2,

设4(%,%),5(0,%)，因为赤=2丽，所以(2-石，一%)=2(-2,%)，所以罚=6,

由抛物线定义知，点A到准线/的距离为石+々=6+2=8.

故选D.

5.(2024重庆名校联盟联考，6)长为2的线段A3的两个端点A和8分别在X轴和>轴上滑

动，则点A关于点8的对称点M的轨迹方程为()

22722272

AX-,K1nK上工,y1ny上厂1

A.------1------=1B.------1-----=1C.--------1-------=ID.-------1------=1

4242164164

【答案】D

【分析】设出A、8、M点坐标，由题意可得A、8两点坐标间的关系，用/点的横纵坐

标替换A、8点坐标代入计算即可得.

【详解】设4(%,0)、3(0,%),M(x,y),

则有x+Xi=。，y+0=2%,即％=-x,y2=—,

222

由题意可得X；+£=4,即（_'2+2I=4,即工+工=1.

1164

故选：D.

22

6.（2024东北三省三校模拟，6）已知双曲线孑-3=1（">°'匕>°）的左>F2，点、P

ab

在双曲线的右支上，/为△PF1R的内心，记△PR/,APF2I,的面积分别为Si,

So

S2,S3,且满足51=52+=，则双曲线的离心率是（）

3

A.V2B.V3C.2D.3

【分析】根据双曲线的几何性质，内切圆的性质，方程思想，即可求解.

【解答】解：设△PER的内切圆半径为厂，

则S2=—|PF3|r,S2=—|PF2|r>S3——\F\Fi\r—cr,

262

•••S1-S2=2-（|PF1|-|PF4|）r=^

SoSo

又S1=S2+」，：.S1-S5=—^-,

33

.3.

・・ar——cr,・・e=3,

3

故选：D.

7.（2024重庆检测，7）当点P（—1,0）到直线/：（3X+l）x+（；l+l）y—（4X+2）=0的距

离最大时，实数/l的值为（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.

【详解】直线/：（32+l）x+（2+l）y-（42+2）=0,

整理得4(3x+y-4)+(x+y—2)=0,

j3x+y-4=0x=l

可得＜„

由x+y-2=0

U=1

故直线恒过点A（L1）,

点尸(—1,0)到4(1,1)的距离da=J(—1—1)2+(0—1)2

故左帖二匕9=工

1+12

直线/：（32+l）x+（；l+l）y—（4/l+2）=0的斜率左=一匕+二1

X+1

故—％±LL=-1,解得2=1.

2+12

故选：B.

8.（2024江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校,8）已知双曲线工-汇=1,。为坐标

36

原点，P,。为双曲线上两动点，且OPLOQ,则薪产+志甲=（）

11

A.2B.1C.-D.-

36

【答案】D

【分析】设OP直线方程为y=kx,OQ直线方程为y=—,且设尸（七,％）,Q（%，%），

k

将直线分别与双曲线联立，求出玉2,%2,92,%2,再利用两点间的距离公式即可求解.

【详解】由题意设OP直线方程为y=区，。。直线方程为、=-Lx,

k

设尸（七，％），。（%2，%）

2、.2

X卷=142

626k2

则3

2-e'

」=履

X2

6k2

3226

同理＜2k1-Vy--2左2—1'

1

y=——x

'k

2

cr,,1l-k12k2—1

以y=y97~亍

|OP|26+6k2\OQ|26+6左2

k-+l=’.故选D.

即----7+----7

|0P|2\0Q\26+6426

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.（2024重庆八中适应性月考，9）已知双曲线C过点且渐近线为厂=±缶，则

（）

22

A.C的方程为土—匕=1

36

B.C的离心率为2叵

3

c.直线1=冲+3（加€11）经过。的一个焦点

D.。的两条渐近线的夹角的正切值为2夜

【答案】ACD

【详解】若C的焦点在x轴，2=0,又?—?=1，则。2=3万=6,°2=9,

aab

6622

若。的焦点在y轴，：=应，又:―二=1,贝匕2=一3,舍；故c的方程为工―匕=1,

ba2b136

故A正确；

所以。的离心率为e=6,故B错误;

直线x=7町+3过。的右焦点（3,0）,故C正确;

V2-(-V2)

C的两条渐近线夹角的正切值为=2a,故D正确.

1+A/2-(-A/2)

故选ACD.

10.（2024江苏省扬州中学模拟，9）设椭圆C：!=1的左、右焦点分别为月、K,尸是

2516

C上的动点，则下列结论正确的是（)

3

A.椭圆C的离心率e=§

B.|尸耳|+|「闾=5

C.面积的最大值为12

D.归司的最小值为g

【分析】对于A,由椭圆方程及离心率概念可得；对于B,由椭圆定义户盟+卢工|=2。可判

断；对于C、D,由椭圆图形的结构特征和性质可得.

【详解】对于A,由椭圆方程得。=5,6=4,所以c=J7万=3，

3

所以离心率为e=不，故A对；

对于B,由椭圆定义可知归耳|+|尸囚=24=10,故B错；

对于C,由椭圆图形的结构特征及性质可知当尸位于椭圆上顶点或下顶点时，

△尸耳鸟面积取得最大，最大值为S=；x2cx6=bc=12,故C对；

对于D,由椭圆性质可知。-。4户周4。+°,所以|尸盟的最小值为2,故D错.

故选：AC.

11.(2024湖南长沙、浏阳重点校联考，11)已知直线经过抛物线。：丁2=2°%(0＞0)的焦

点且与C交于A、5两点(其中|AF|＞忸司)，与。的准线交于点D,若|AB|=8,

则下列结论正确的为()

A.P~~B.|AF|=6

C.忸。|=3忸同D.尸为AD中点

【答案】BD

【解析】

3

【分析】由抛物线的焦点坐标可求出P的值，可判断A选项；设直线A3的方程为x孙+'，

将该直线方程与抛物线的方程联立，设加＞0,根据|4科=8结合韦达定理，求出m的值，

求出点A的纵坐标，求出|AF|,可判断B选项；求出点8的纵坐标，求出忸。|、忸同，可

判断C选项；计算出|4司、耳，可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为抛物线C:y2=2px(〃>0)的焦点则六|，可得

2=3,A错;

对于B选项，如下图所示:

若直线A3与龙轴重合，则直线A3与抛物线C只有一个交点，不合乎题意,

设直线AB的方程为x=my+^,由A选项可知抛物线C的方程为y2=6x,

_3

2

设点4(%,%)、5(%，%)，联立'x—my+g可得,2_6町_9=0,A=36(m+l)>0,

/=6x

由韦达定理可得%+%=6根，%为=一9,

不妨设机>0,由图可知％>0,

++=7M2

|AB|=玉+X2+3=myt+-1+my2(%+%)+6=6m+6=8,则m=^~,

%+%=20,

所以，<%%=—9，解得％=3j§，则石=也%+2=2,

%〉0J-

393

所以，|A司=%+—=—+—=6,B对;

11222

9

对于c选项，由B选项可知，y2~

出,3

x=——y+—3

直线A5的方程为x=3y+。，联立<3x=——

2,解得，2,则

3-23

X=——y=—3』

2

所以，忸司=%+g=+3=—1+3=2，

忸胃=1+[走]/6+3词=4,则忸D|=2忸同，C错；

VV3J

对于D选项，因为口目=}+1#].|-3^-0|=6=|AF|)则歹为AD的中点，D对.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

12.(2024黑龙江部分学校三模，13)已知圆C：(x-l)2+(y-4)2=r2(r>0),

A(—3,0),3(—1,0),若C上存在点P,使得NAPB=90°,则厂的取值范围为.

【答案】[4,6]

【分析】把NAPB=90°转化为圆上的点，进而得出两圆位置关系求参即可.

【详解】因为点4(—3,0),5(—1,0),而点尸满足NAPB=90°，则点P的轨迹是以线段

A8为直径的圆M(除点A,8外)，圆M：(%+2)2+/=1(#0),半径4=1,

又点P在圆C：(x-l)2+(y-4)2=r2(r>0)±,圆C的圆心C(1,4),半径为r,

|CM|=7(-2-l)2+4=5,

依题意，圆M与圆C有公共点，因此卜—+{，即卜—[<5Kr+l,解得

4<r<6.

13.(2024广东广雅中学适应性考试，13)设抛物线。：/=2川5>0)的焦点为产，准线为

/.斜率为指的直线经过焦点产，交。于点A,交准线/于点8(A,3在无轴的两侧)，若

|AB|=16,则抛物线C的方程为.

【答案】/=8x

【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得到直线/的方程，从而求出8点

坐标，再联立直线与抛物线方程，求出A点坐标，再由距离公式得到方程，解得即可.

【详解】抛物线。：产=2内（0>0）的焦点为口1^,0],准线方程为x=-点，

依题意直线/的方程为y=6]》-,

令x=-^■可得y=-6p,即,一（一外”），

3（3

又A,B在无轴的两侧，所以与=5°,则%=百〃，所以

所以抛物线C的方程为y2=8x.

14.（2024福建南平模拟，14）椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常

被用来制作精密的光学仪器的部件.椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动180。形

成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全

部反射到另一个焦点处.从椭球面镜的焦点片射出的两条光线，经椭球面镜上的两点

反射后汇聚于焦点尸2,若3祠=2而，且|A耳|=2|4引，则椭球面镜的轴截面椭圆的离

心率为.

【答案】g

5

【分析】利用焦半径三角形的性质，即椭圆的几何定义，结合已知的线段比，就可以得到三

边关系，从而利用勾股定理得到直角三角形，再解三角形即可得离心率.

【详解】

设椭圆的长轴长为2°,焦距为2c,短轴长为2"Ag|=2f,

^\AF}\=2\AF2\=4t,\BF2\=3t,

由椭圆的定义得闾=2a=6t,\BF}\+\BF2\=2a=6t,

所以忸耳|=3/,因为|A4|=4f,忸耳|=3力AB|=|A&|+忸闾=57,所以4耳，5耳,

又忸制=|%|=3/,所以8为椭圆的短轴端点.

\BE\3,

设。为椭圆的中心，因为cosN^BE=上蒋=二=1—2smZOBF,

\AB\52'

所以sin/O3"=*，又在Rt^OB鸟中，OB±OF2,\OB\=b,\OF2\=c,

.\OF\

所以忸£|=J8+c?=a，所以sin/OBF=—2亍

2\BF2\

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(2024江苏省扬州中学模拟，16)已知椭圆C:=+马=l(a>b>0)的离心率为不，长轴

a~b~Z

的左端点为A(-2,0).

(1)求C的方程；

(2)过椭圆C的右焦点的任一直线/与椭圆C分别相交于两点，且4〃,4"与直线》=4,

分别相交于。，E两点，求证：以。E为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.

【分析】(1)由离心率，及顶点坐标得椭圆的方程；

(2)设〃(占,乂)，N(x2,y2),将直线方程与椭圆方程联立，求得0(4,2)，E(4,4)，由

垂直关系利用数量积等于零，求得圆与X轴的交点.

f1

【解析】(1)由题可得一=a=2,得b=6,

a2

22

所以椭圆C的方程：—+^=1；

43

(2)椭圆右焦点坐标为(L。)，由题直线斜率不为零，设直线/方程为1=根丁+1,

设“(%,%),N(%2，%)，

x=my+l

由题’联立方程组优+匕,2,消去工得(3机2+4)y2+6my-9=0,

=1

143

,

所以％+%=3［m一?：+44，3m工+4

AM:y=^-(x+2),得。(4,国三)，同理，AN:y=^-(x+2),得E(4,&1),

玉+2%+2X?+29+2

设X轴上一点尸亿0),贝I］丽=(4T，2),同理得:而=(4r且、)，

x1+2x2+2

黑聋D+黄+2）

PDPE=(4T,

因为(国+2)(%2+2)=(myl+3)(my2+3),

丽*”+丽II焉而…户中能索H―。

得：Z—4=±3,即/=1或/=7,

所以以。E为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为（1,0）,（7,0）.

16.（2024重庆南开中学质量检测，17）已知“为圆/+/=9上一个动点，MN垂直x轴，

垂足为N,。为坐标原点，AQV/N的重心为G.

（1）求点G的轨迹方程；

（2）记（1）中的轨迹为曲线C,直线/与曲线。相交于48两点，点。（0,1）,若点H（6,0）

恰好是AABQ的垂心，求直线/的方程.

._2xo

户〒

【分析】（1）设6（用丁）,加（X0，阳），根据6为A。仰的重心，得彳，代入

丁=迎

I-3

焉+y：=9,化简即可求解.

（2）根据垂心的概念求得勺=6,设直线/方程，与椭圆联立韦达定理，利用

得一177•二一=一1，将韦达定理代入化简即可求解.

解析】（1）

设6（%,丁）,加（毛,%）,则N（%o,O）,因G为AQV/N的重心,

_2x0

X=~T3，

故有：＜,解得小=3,%=3）；,代入x；+y；=9,化简得二+产=1,

v=A24-

-3

丫2

又升为。0,故孙W0,所以G的轨迹方程为、+产=1（肛。0）.

（2）因〃为AABQ的垂心，故有

又的2=6^=—9，所以勺=石，故设直线/的方程为y=6x+加（机#1）,

2

与亍+V=1联立消去y得：13x2+8V3mr+4m2—4=0»

由△=208—16机2>0得<13,

设4（%,乂）,3（*2，%），则=-8：加,苞々=

所以4%%2+百（加一1）（尤1+%2）+根2-根=0,

所以4（4根2一4）一24根（加一1）+13（相2一根）=。，化简得5根2+11加—16=0,

解得机=1（舍去）或加=与（满足A＞0）,故直线/的方程为丁=其弋.

JJ

2

17.（2024广东广雅中学适应性考试,17）已知椭圆C：5+y1（。〉人＞o）的离心率为

a

且过点卜2,、行卜

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）设过点P（T,O）且斜率不为。的直线/与椭圆C交于A,8两点.问：在x轴上是否

存在定点Q,使直线Q4的斜率%与QB的斜率质的积为定值？若存在，求出该定点坐标；

若不存在，请说明理由.

【分析】（1）结合离心率的定义，将卜2,君）代入椭圆方程计算即可得；

（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理表示交点横坐标的关系后，结合斜率公式表

示出斜率之积后可得3x；-24=0时，W，计算即可得解.

【解析】（1）

22[

因为椭圆C:j+]=l（a〉心〉0）的离心率为：，所以（=5,即a=2c,

_22

所以b=所以椭圆C的方程为jy+*=l，

因为椭圆过点卜、后），所以43

C2,命+彳j解得=2,

故/=4c2=8，b2=3c2=6，

22

所以椭圆C的标准方程为上+匕=1；

86

（2）假设存在定点。（％,0）.设B（x2,y2）,

易知直线/的斜率显然存在，且不为0,设其方程为丁=左（无+4）,

（22

土+匕=1

联立椭圆方程与直线方程，得彳86,消去y并整理，

y=左（1+4）

得（3+4左2）+3242%+64k2-24=0,

匚匚232k26442—24

物以M+/=---------7，=---------Z—

123+4k2123+4左2

23

由A=（32用4（3+4阴（64左2—24）>0,解得左2<“且左w0,

Xy2M玉+4）左伍+4）-以/+4（玉+工2）+16]

月广以--------------------------------------------7-------------------X----------------2-

玉一/X2-Xo石一/X2-Xo石九2一（玉+%2）X0+九0

,,64左2—24128左2

k-----------------5---------------------7+16、

__3+483+48J_24左2

—64左2—24~32P1―64k2+32k/+3需一24

---------+------Vxo+xo

3+4左23+4左2°°

____________24__________

64+32/+4x；+3^24'

则当3焉-24=0时，秘2为定值，此时/=±2拒.

所以存在定点。（土20,0）,使直线QA的斜率匕与QB的斜率k2的积为定值.

18.(2024山东齐鲁名校联盟检测，19)已知抛物线C:y2=4x的焦点为尸，以点尸为圆

心作圆，该圆与x轴的正、负半轴分别交于点H,G,与C在第一象限的交点为P.

(1)证明：直线尸G与C相切.

(2)若直线与C的另一交点分别为M,N,直线MN与直线PG交于点T.

(i)证明：17Ml=4|77V|；

(ii)求APNT的面积的最小值.

【分析】(1)根据题意，表示出直线PG的方程，然后与抛物线方程联立，由△=()即可证

明；

(2)(i)根据题意，设直线P厂的方程为x="+l,与抛物线方程联立，即可得到点N,”

的坐标，从而得到直线尸”的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点M的坐标，再结合

相似三角形即可证明；(H)由条件可得S—立“再由研网代入计

算，即可证明.

【解析】(1)由题意知厂(1,0),

设尸(",2.(n>0),则忸同=1+1,

所以=所以G(—〃2,O),

所以直线PG的斜率为，，方程为y=L(x+/)

nnv7

y——(x+〃2),0o

联立方程，)得y-4〃y+4〃2=0,

。2=4x,

因为△=()，所以直线PG与C相切.

(2)

(i)设直线Pb的方程为％=9+1，

1_1：；可得丁—40—4=o,则yy=-4,又因为P(1,2〃)，所以N1，,—2

由＜pN

n

由(1)知，点〃(rr+2,6),直线尸H的斜率为f,方程为y=—〃(、—«2-2),

/=4羽

由＜2\得y2H—y—4/z2—8=0,由丫?加=—4"2—8,

y=-n\x-n-2,n

得M\"2-\——+4,-2n--

\nn

作NE工PG,垂足为E,则EN〃PM,直线EN的方程为了=—"x—*2

n

y=一〃„2

n解得力1,一

将直线£N与尸G的方程联立，得《

2

n'

A4,-4H--I,所以闲=4函,

所以函=,PM=+

nnnn)

由相似三角形的性质可得17Ml=4177Vl.

(ii)由(i)知17Ml=4|77V|,所以|研=4|坦，故S^NTM3SAPNE