2023-2024学年广西示范性高中高一年级下册期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年广西示范性高中高一下学期期末考试数学试卷❖

一、单选题：本题共9小题，每小题5分,共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各对角中终边相同的是（）

A*和?D.华吟

c•苧呼

2.对于aeR，下列等式恒成立的是（)

A.tan(7r+a)=tan(27r—a)B.cossina

C.cos(—a)=—cosaD.sin(37r—a)=sina

3.在△48。中，角4,月,。对边为Q,b,c,且2c-=b+c,则△48。的形状为（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

4.已知sin(a=I，贝ijcos(2a—学)=()

AlBTD-4

5.如图，在△48。中,AD=2DC)右BA—~ct，B(i=b>则Bl5=()

2.

A.才+2号B.下+C.+D.—a+

oo

7T\7T

x+-\,xE--,0的值域是()

(3

-11\/3V3

A.B.字】D.-----.1

5」5万2，

7.如图，△406的斜二测画法的直观图是腰长为3直的等腰直角三角形，“轴经过AE的中点，则

\AB\=（）

B'

A.6B.3\/6C.12D.6A/6

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8.设a,b为两条不同的直线，a,0为两个不同的平面，则下列命题正确的是()

A.若。〃。,〃/a,贝!]a〃b

B.若0/a,〃/a,aUU0,则0〃a

C.若a〃0,a(Za,则a〃户

D.若a〃仇〃/a,贝!j〃/0

9.如图，在三棱柱71bBic1中，E,F,G,H分别为BBi，CCX,小耳，4G的中点，则下列说

法错误的是()

C.EG,FH,441三线共点D.NEGBi=NFHCi

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

10.下列各组向量中，能作为基底的是()

A.瓦=(0,0),届=(1,-2)B.瓦=(2,—3),否=(51)

C.瓦=(3,5),谡=(6,10)D.e?=(-1,2),谡=(5,7)

7T

11.已知函数/(/)=-2sin(2a；+s)(—7T<?<0),将函数/(为图象向右平移l个单位长度后所得的函数

图象过点尸(0,2),则函数/⑶=—2sin(2x+⑴满足()

A.信。)是/⑺的一个对称中心B.在区间上单调递增

C./=-37r是/(2)的一条对称轴D.在区间―一57,r一方27r上单调递减

OOo

12.已知△ARC的内角/、B、C所对的边分别为a、6、c,下列说法正确的是()

A.若sinA〉sinB,则4〉_B

B.若川+昭―02〉0,则△ABC一定是锐角三角形

C.若acosB—bcosA=c,则△AB。一定为直角三角形

D.若acos4=bcosB,则△48。一定是等腰三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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13.已知向量定=(%—2),了=(1,3)，若记上了，则沙=.

14.已知角a的终边经过点(1,272)，则sin(2a+§=

15.在△48。中，内角力,B,C的对边分别为a,b,c,/为锐角，tanBcos(7=1—sinC,△46。的

面积为2,则△ABC的周长的最小值为.

7T

16.已知函数/(2)=2。。§2工—2\/9sin/cos;r—a,若不等式/(工))0对任意的①C0,—都成立，则实数a

的取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题12分)

4

已知sinO=E，。为第二象限角.

5

⑴求sin2。的值；

⑵求cos0—的值.

18.(本小题12分)

已知1=(1,0),b=(2,1).

(1)当先为何值时，卜方—日与3垂直？

⑵若林=21+33，后苫=1+机3且&B、C三点共线，求加的值.

19.(本小题12分)

△ABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcosA=ccosA+acosC

⑴求/;

(2)若a=4,求△ABC面积的最大值.

20.(本小题12分)

在正方体48。。—481Goi中，£为棱场6的中点，/为棱。Qi的中点.

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(2)求异面直线EF与AOi所成角的大小.

21.(本小题12分)

某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分

工调查测量并绘图，完成两个任务的研究.

(1)小王获得了以下信息：

⑶教学楼AB和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；

b.在步道8。上有一点测得M到教学楼顶/的仰角是45°，到体育馆楼顶。的仰角是30°;

C.从体育馆楼顶C测教学楼顶/的仰角是15°；

d.教学楼N3的高度是20米.

请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度CD.

A

BMDND

(2)小李获得了以下信息：

a.体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米；

6.大屏幕的高度是2米；

C.当观众所站的位置N到屏幕上下两端尸，。所张的角NPNQ最大时，观看屏幕的效果最佳.

请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点N的位置.

22.(本小题12分)

如图，在正方体48co—小耳。1口中，E为DDi的中点.

⑴求证：平面/EC；

(2)CG上是否存在一点凡使得平面平面BROi?若存在，请确定点尸的位置；若不存在，请说明

理由.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】根据终边相同的角的集合形式即可判断各选项.

【详解】对于ag=47T—其终边与一J的终边相同，与J的终边不相同，/错；

227r27r27r7T

对于3,早=8TT—等，其终边与―?的终边相同，与一可的终边不相同，B错;

333J

对于C,T117f=27T—g77r,其终边与的77r终边相同，C对；

对于。，迎=67+列，其终边与列的终边相同，与5的终边不相同，D错.

3336

故选：C

2.【答案】D

【解析】【分析】根据诱导公式化简即可.

【详解】对于/，tan(7r+a)=tana,tan(27r-a)=tan(-a)=-tana,故N错误；

对于3,cos—a)=cos(2n-=cos(—£—a)=cos(^+a)=—sina,故B错误；

对于C,cos(-a)=cosa,故C错误；

对于Z),sin(37T-a)=sin(7r—a)=sina,故Z)正确.

故选：D.

3.【答案】B

【解析】【分析】先根据二倍角公式化简COS21,根据余弦定理化简得到c2=a2+M即可得到答案.

【详解】因为2c•0^9=6+C,

所以2c♦1"+c,gpc+ccosA=b+c,

所以ccos4=b，

在△46。中，由余弦定理：cos/J+c-2,

2bc

代入得，c•''：----=b，即/+。2—Q2=2〃，

2bc

所以c2=a2+P

所以△ABC直角三角形.

故选：B

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4.【答案】D

【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可.

故选：D.

5.【答案】C

【解析】【分析】根据瓦方=点记，前=百4+彳方,前=瑟—瓦?即可求解.

O

【详解】因为40=2。。，所以4方=点记，

O

所以加=51+起=2+115=/+:（阮—即）=;才+:了.

故选：C.

6.【答案】A

7T

【解析】【分析】由X的范围，可得x+w的范围，结合余弦函数的性质进而求出函数的值域.

O

7T7T

【详解】因为ze--,0,所以C+QC-

/O6'3

7T-IF7T

因为函数1=cos/在一工,0上递增，°，3上递减,

6J[3

▽（TT\_V^门一i7r_1所以cos(c+1-1

cosI——I——-—,cosU—1,cos———,e2J

\67232

即ge11.

故选：A.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查投影与斜二测画法，属于基础题.

先将直角坐标系中的原图作出，再比对直观图与原图直接求出即可.

【解答】

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由题意得△/o口的原图如图所示，其中。为的中点，且|。川=3班，

|。。=空逑义2=6，

所以|AD|=J|04『+=3遍,故|4引=2|AD|=6遍.

故选：D.

8.【答案】C

【解析】【分析】根据题意，结合线面平行的判定与性质，以及面面平行的判定与性质，逐项判定，即可

求解.

【详解】对于/中，若a〃佻〃/a,则a〃伉。与6相交或异面，所以N错误

对于3中，若。〃a,6〃a,aU0,6U0,则0〃a或a与。相交，所以3错误；

对于C中，若a〃仇aUa,根据面面平行的性质，可得a〃0,所以C正确；

对于。中，若于/0,b〃a,则〃/0或6U0,所以。错误.

故选：C

9.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查空间中的共面、共点问题及直线与直线的位置关系，属于中档题.

根据空间中的共面、共点及直线与直线的位置关系相关定理判断即可.

【解答】

解：选项4如图，

第7页，共15页

p

连接£RGH.

GH是△4历。1的中位线，，GH//B.C,.

■:B'E"CiF,且BiE=GF,.♦.四边形BiEFG是平行四边形，

:.EFHB'Ci，：.EF//GH,,-,E,F,G,X四点共面，故/、3正确；

对于选项C,如图，延长EG,尸〃相交于点P.

■.PeEG,EGu平面ABBA，

Pe平面

:PeFH,FHC^ACCiAi，

e平面4CG4，

•.•平面ABBAn平面4CG4=44，

：.PEAAX,.-.EG，FH,441三线共点，故C正确；

对于选项。，•.•EBi=FCi，当时，NEGB#/FHCi，故。错误.

故选D

10.【答案】BD

【解析】【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可.

【详解】只要两个向量不共线，即可作为基底向量

对于/,因为胃=(0,0),谡=(1,一2),所以Ox(-2)-0义1=0,则瓦，五共线，故/不符合；

对于3,因为瓦=(2,—3),谡=K1),所以2x,—(―3)义：=3壬0,则则瓦，属不共线，故3符合;

4，42

对于C,因为胃=(3,5),e^=(6,10),所以左=2H，则则瓦，段共线，故C不符合；

对于。，因为百=(—1,2),谡=(5,7),所以一1x7—2x5=-17#0,则则瓦，谡不共线，故。符合;

故选：BD.

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11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查三角函数图象的平移变换，考查正弦型函数的图象与性质，属于中档题.

根据三角函数图象的平移变换可得平移后的解析式为沙=-2sin(2;r-g+s),由P(0,2)在其图象上可求

8=磊故/⑵=-2sin(2一力,由可以判断4结合正弦函数的单调性可以判断8、D,

7T7T7T

/=一7时，2rc可以判断。.

662

【解答】

解：将函数/⑶图象向右平移:个单位长度得到沙=-2sin2。—看)+s=—2sin(2x—g+—的图象,

又其图象过点P(0,2),所以2=—2sin(—5+9),得sin(―g+()=—1.

.4TT7T7T

因为一7T<g<0,所以--—<——+,

OOO

7T7T7T

所以_Q+9=_W，解得9=一/，

所以/⑶=—2sin(2c-')

对于小/t)——2疝(2*力力=。，

所以信，°)是/⑶的一个对称中心，故/正确；

，一7T7T7T7T

对于8,XE—,—时，2x——E,

63J6|_62

7r\pzr7T

2力一又在区间上单调递增，

(6/163J

(7T\7T7T

所以/Q)=—2sin(2c—g)在区间上单调递减，故8错误；

,7T,7T7T

对于C,力=一K时，2a;——=——,

662

7T

所以力=-W是/(/)的一条对称轴，故C正确;

57r生7T■U7T37r

对于，xe,2x---e

~~6'~~36___

■

117T3%'3/

因为c—2小

不一一万

所以。=2sin(2力-在区间——,——上单调递增,

\6/63

第9页，共15页

所以/⑶=—2sin(2c—在区间—萼,―,上单调递减，故。正确.

\6/163」

故选ACD.

12.【答案】AC

【解析】【分析】根据正弦定理结合已知可得a〉b，即可得出N;8根据余弦定理只能得出C为锐角，无

法判断/、3的情况；根据余弦定理角化边，结合已知整理，即可判断C、。项.

【详解】对于/项，由正弦定理，=&可得，'空>1，所以a〉b，所以4〉8,故/项正

smAsmBbsmB

确；

对于3项，由余弦定理可得cosC=>+—一<”〉0,所以。为锐角，但无法判断4月角，故8项错误；

2ab

对于。项，由余弦定理COSB=浸十°2—"以及cos」=•+2—02,代入已知整理可得，a2=c2+62,

2ac2bc

所以△力一定为直角三角形，故C项正确；

对于。项，由余弦定理COSB"以及cos若=：+。2一层,代入已知整理可得，

2ac2bc

(a2-62)(a2+62-c2)=0,所以於—解=0或后+y一,2=0,所以△48。为等腰三角形或直角三角形,

故。项错误.

故选：AC.

13.【答案】6

【解析】【分析】根据向量垂直列方程，由此求得歹的值.

【详解】因为向量才=("—2),7=(1,3)，W了，

所以才•了=沙一6=0,解得沙=6.

故答案为：6.

14.【答案】—；

【解析】【分析】根据诱导公式、二倍角的余弦公式及三角函数定义求解.

【详解】因为角a的终边经过点(1,2班)，

所以c°sa=/4，

27

所以sin(2a+—7r)=cos2a=2cos2a-1=--1=-

299

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故答案为：—（7

15.【答案】4+2^2

【解析】【分析】

本题考查同角三角函数关系，两角和与差的正弦公式、三角形面积公式，基本不等式求最值，属于中档题.

7T7T

由三角恒等变换公式求得。=5或3+。+3+5=汗，然后分情况讨论，结合面积求得质=4,利用基

本不等式即可求解.

【解答】

sin

解：由tanBcosC=1—sinC,得...-cos。=1—sin。，sinBcosC+cosBsinC=cosB,

cosB

71"7F7T"

sin（B+C）=cosB=sin（B+-）,故或j3+C+5+w=7r,

7T"71-7T

若28+。=万，则8+。<]，A>-,不合题意，

7T1._________

所以。二5,S/\ABC=、ab=2,ab=4,△AB。的周长为a+b++〃,

因为a+b+，Q2+1》2y/ab+V2ab=4+2，万（当且仅当a=b=2时取等号），

所以△45。的周长的最小值为4+2%/2,

故答案为4+2^2.

16.【答案】（—00,—1]

【解析】【分析】首先逆用两角和差公式化简函数表达式，从而原题条件等价于2cos（2/+,）+12a恒

成立，构造函数求出表达式左边的最小值即可得解.

【详解】由题意/（力）=2cos之力—2Vsin力cos1—a=cos2x—\/3sin2x+1—a=2cos+1

7T

—a》0,对任意的ce0,-都成立，

即2cos（2x+—j+12Q对任意的力E7T

0,-都成立,令9（立）=2cos（2/+g+1,

7T7T7T47r

而对任意的①eo,-,有2力+可£

乙OOO

7T7T/7T\

所以当2c+可=7F,即立=3时，g（c）min=g（可）=—2+1=—1,

OO\O/

所以Q<~1.

综上，实数〃的取值范围为（-00,-1].

故答案为：（-00,-1].

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4

17.【答案】解：(l)・.・sinJ=p,。为第二象限角,

5

3

5

424

则sin2。=2sin0cos0=2x-x

525；

7T7T7T

(2)cos(8----)=cos0cos—+sin0sin—

666

3V3414-373

—x1—X——------,

525210

【解析】本题考查三角函数的同角公式、二倍角公式以及两角差的余弦公式，属于基础题.

(1)根据同角三角函数结合已知得出cos。，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案;

(2)根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.

18.【答案】解：⑴

a=(1,0),b=(2,1),

ka—b—(k—2,—1)»

又那一万与3垂直，得2(k—2)—1=0,即卜=3

⑵

Al^—2a+3b—(8,3)>B6—a+mb=(1+2m,m),

-.-A，B、C三点共线，.•.加〃月H，

则8m—3(1+2加)=0,解得：m=|.

【解析】【分析】(1)先利用向量坐标运算求出卜万-6与日的坐标，再利用垂直可求公

(2)先利用向量坐标运算求出彳友A5，利用向量平行可求m.

19.【答案】解：(1)根据正弦定理及2bcos4=ccosZ+QCOS。，

得2sin3cosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB.

•/sinB^O,cosA=1.

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,47T

*/0<A<7r,4=可.

o

7T

(2)由(1)知A=w，又Q=4,

o

由余弦定理得16=62+c2-26ccos7T-,

o

即b2+c?—be=16，

'：62+c22bc，

：,2bc—beW16,即beW16,

当且仅当b=c=4时取等号.

二.S/\ABC=-besinA=—x6cWx16=4A/3•

.S^ABC的最大值为4y/3.

【解析】本题主要考查正余弦定理的应用，三角形面积公式，是中档题.

(1)由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案；

(2)由余弦定理结合基本不等式可求得be<16,再利用三角形面积公式求得答案.

20.【答案】⑴连接耳鼻，

•.•E为棱BiCi的中点,尸为棱。1G的中点，」.EF/ABiOi

•.•正方体ABC。-/.BBi=DD\,BBWDD\

二四边形BBpDiO是平行四边形，BD//BXDX,

：.BD//EF,BD,EF确定一平面.

二E、F、B、。四点共面；

⑵由⑴得〃为Di

N40181或补角为异面直线M与所成角，

7T

在△40161中，ADI=DjBi=BiA,ZADiBi=-

o

7T

二异面直线即与ADI所成角为示

【解析】【分析】(1)根据三角形中位线定理和平行线的传递性，可证EJ7/BO,即可推证结论；

(2)由直线间的平行关系，可得异面直线即与所成角就是角乙4。14.

本题考查点共面，关键要对确定平面的条件要熟练掌握;考查空间角，空间角用几何法求，要体现作、证、

算三步骤.

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21.【答案】解：⑴

由题意知48=3"=20，ABLBM，由勾股定理得4儿f=7二I港=20班，

且可知AAMC=180°-45°-30°=105°.

AACM=15°+30°=45°。Z,CAM=180°-105°-45°=30°,

由正弦定理可得生2=坐二今MC=200CD=20sin30°=10,

sin45°sin30°

则体育馆的高度CD为10米.

4