2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路：利用导函数研究函数的隐零点问题（典型题型归类训练）（学生版+解析）

专题09利用导函数研究函数的隐零点问题

（典型题型归类训练）

一、必备秘籍

1、不含参函数的隐零点问题

已知不含参函数/（光），导函数方程/'（x）=o的根存在，却无法求出，设方程/'（%）=0

的根为则有：

①关系式r（x°）=o成立；②注意确定/的合适范围.

2、含参函数的隐零点问题

已知含参函数/（x,。），其中。为参数，导函数方程/'（尤,。）=0的根存在，却无法求

出，设方程/'（%）=0的根为/，则有

①有关系式/（与）=0成立，该关系式给出了不，a的关系；②注意确定/的合适范围，

往往和々的范围有关.

3、函数零点的存在性

（1）函数零点存在性定理：设函数/（九）在闭区间可上连续，且那么

在开区间（。力）内至少有函数/（九）的一个零点，即至少有一点后€（。涉），使得

/（%）=。,

①若/（。）/。）＜0,则/（%）的零点不一定只有一个，可以有多个

②若/（。）/。）＞0,那么/（£）在［凡可不一定有零点

③若/（x）在&句有零点，则/（a）/修）不一定必须异号

⑶若/（%）在［凡句上是单调函数且连续，则在（。））的零点唯

二、典型题型

1.（23-24高二下•福建福州•期中）已知函数〃x）=21n；+",aeR.

⑴讨论f（x）在区间［"］上单调性；

⑵若了（无）4双工+4-1恒成立，求实数”的取值范围.

X

2.(2024・四川泸州•三模)已知函数/(尤)=axe*-1(。＞0),

⑴讨论函数/(x)的零点个数；

(2)若I/(X)|＞尤+xlnx恒成立，求函数/(元)的零点%的取值范围.

3.(23-24高二下•天津•期中)已知函数=-x-a,g(x)=x2-2x,aeR.

⑴求函数y=〃-x)的导数；

⑵若对任意的玉e[l，e],X2e[l,2],使得〃占)*(%)成立，求。的取值范围；

⑶设函数妆x)=〃x)-lnx,若在区间(O,e)上存在零点，求a的最小值.

4.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=ln(l+x)—7=

(1)求曲线＞=”尤)在(0,f(0))处的切线方程；

⑵若xe(-U),讨论曲线y=/(尤)与曲线y=-2cos无的交点个数.

3.（2024•全国,模拟预测）已知函数〃x）=〃ze"T-Irtr+lnm—1.

⑴当加=1时，讨论函数“X）的单调性；

⑵若函数“X）有两个不同的零点，求实数〃，的取值范围.

4.（23-24高三下•河南信阳•阶段练习）已知函数〃尤）=巴手一。1nt

（1）当。=-1时，求不等式〃x）4e*+l的解集；

（2）若/（尤）>。（a>0）,求实数”的取值范围.

5.(23-24高三下•北京•开学考试)已知函数/(x)=aln(尤—l)+(a+2)x+l,a^Q.

(1)讨论的单调性；

⑵设g(x)=/(x+l)+2sinx-4x-4,xe(0,-7i],求证：当a=l时，y=g(x)有且仅有两个

不同的零点.

6.(23-24高三下•北京海淀•开学考试)已知函数/(x)=e*-or+sinx-l.

(1)当。=1时，求在点(0/(0))处的切线方程；

(2)若函数在(0,+功上单调递增，求实数。的取值范围；

⑶当lWa<2时，讨论函数g(x)=(尤-2)/(%)零点的个数.

专题09利用导函数研究函数的隐零点问题

（典型题型归类训练）

一、必备秘籍

1、不含参函数的隐零点问题

已知不含参函数/（光），导函数方程/'（x）=o的根存在，却无法求出，设方程/'（%）=0

的根为则有：

①关系式r（x°）=o成立；②注意确定/的合适范围.

2、含参函数的隐零点问题

已知含参函数/（x,。），其中。为参数，导函数方程/'（尤,。）=0的根存在，却无法求

出，设方程/'（%）=0的根为/，则有

①有关系式/（%）=0成立，该关系式给出了5,a的关系；②注意确定为的合适范围，

往往和a的范围有关.

3、函数零点的存在性

（1）函数零点存在性定理：设函数/（X）在闭区间&句上连续，且/（a）/（，）＜0,那么

在开区间（。力）内至少有函数/（九）的一个零点，即至少有一点后€（。涉），使得

/（%）=。.

①若/（a）/3）＜0,则/（X）的零点不一定只有一个，可以有多个

②若〃。）/0）＞0,那么“X）在［凡可不一定有零点

③若/（x）在&句有零点，则/（a）/修）不一定必须异号

⑶若/（%）在句上是单调函数且连续，则/（a）/（〃）＜0n/（x）在（。））的零点唯

二、典型题型

1.（23-24高二下•福建福州•期中）已知函数〃x）=21n；+",aeR.

⑴讨论“力在区间［Le］上单调性；

⑵若了（无）4双工+4-1恒成立，求实数”的取值范围.

X

【答案】⑴答案见解析；

⑵(-8,2］

【分析】(1)先求导函数，结合指数函数的单调性分区间讨论即可；

(2)分离参数，构造新函数利用导数研究其单调性与最值结合隐零点计算即可.

.、斗即、“、,r(\21n%+〃x2-a-2\nx

【详解】(1)由/(%)=-------^>ff(x)=---------.------，

XX

在x«l,e］时，21nx£［0,2］,

若〃<0=2-〃一21nx20,即/(%)在区间［l,e］上单调递增；

若QN2=2—a—21nxK0,即/(力在区间［l,e］上单调递减；

右0<1<2,令r(%)>0=>x<e"令/(%)<0=>%>e2*

可知”无)在］l，e2J上单调递增，在1e2,ej上单调递减；

综上所述:aWO时，〃上在区间口,可上单调递增;

a22时，”X)在区间［l,e］上单调递减；

(10(1--、

0<。<2时，在l,e2上单调递增，在e2,e上单调递减.

(2)根据题意可知2心'+"<xe'+--l^a<尤2^+1-龙一21nx恒成立，

XX

g(x)=x2ex+l-x-21nx(x>0),

则/⑴=(2%+%2,一止^=(x+2)—一,

x\xJ

令力(元)=尤21—i(x>o)n”(尤)=(尤2+2不产>0,

则h(x)定义域上单调递增,易知M。)v0v力⑴，

即比£(0,1),使得右优)=君e%-1=0,

即%£(0,%)时，gz(x)<0,此时g(x)单调递减，

X«%+00)时,gr(x)>0,此时g(x)单调递增，

则g(%)Ng(x0)=飞+］—(ine殉+Ind)=2—In］=2,

所以a«2,即.£(—8,2］

2.(2024•四川泸州•三模)已知函数/(x)=axe“—1(a>0),

⑴讨论函数的零点个数；

⑵若恒成立，求函数的零点/的取值范围.

【答案】(1)1;

(2)(0,-).

e

【分析】(1)求出函数/(元)的导数，利用导数探讨单调性，进而求出零点个数.

(2)由(1)的结论，按。<彳<%/>苫。分段讨论给定不等式，构造函数并利用导数探讨单

调性建立不等式求解即得.

【详解】(1)函数f(x)=axe'-l的定义域为R,求导得/食)=“e'(x+l),而。>0,

由广(幻<0得X<-1,由尸(x)>0得x>-l,因此函数在(e,-l)上递减，在(-1,口)递

增，

一11

又当x<0时，力>)<0恒成立，/(0)=-l<0,/(-)=ea-l>0,因此函数/(x)在(0,«»)存在

a

唯一零点，

所以函数了。)的零点个数是1.

(2)由(1)知函数f(x)存在唯一零点/e(0,+8),且%e*。-1=0,

①当尤eg,%)时，f(x)<0,由|f(x)|>x+xliu得：—axex+1>x+xlnx,即

_ae*H-----1_lux>0,

x

设g(x)=—Qe"H-----1—lux,求导得g'(x)=—Qe*———<0,

XXX

gO)在(。,%0)上单减，贝lJg(x)〉g(Xo)=—〃e"+L—l—lnXo=—l-liUoN。，解得

%e

②当[%,+8)时，由I/(%)|>x+xlnx得：orex-l>x+%lnx,BP---1-lnx>0,

x

设7/(%)=ae*------1—hvc,求导得/2'(%)=ae*H—五---,而are"—1>0,

XXX

则/⑴>0,力(幻在[犬0，小)上单增，则〃(%)之〃(％)=〃蟆----1-1叫=-1—1叫>0,解得

工0

0<XQ<一,

e

综上得％的取值范围是(0」).

e

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就

要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

3.(23-24高二下•天津•期中)已知函数〃x)=xe*—x—a,g(x)=jC-2x,GGR.

⑴求函数y=〃r)的导数；

(2)若对任意的玉e[l，e],使得了(占)*优)成立，求。的取值范围；

⑶设函数/7(x)=〃x)-lnx,若在区间(O,e)上存在零点，求a的最小值.

【答案】⑴》—'+屁一'+1；

⑵(Yo,e-1]；

(3)1.

【分析】(1)求出函数『(-x),再结合复合函数求导法则求导即得.

(2)求出函数/1)在[l,e]上的最小值，g(x)在[1,2]上的最大值，再由给定恒成立建立不等

式求解.

(3)求出函数九(x),由〃(x)=0分离参数，构造函数p(x)=xe*-尤-Inx,利用导数探讨值

域即可得解.

【详解】(1)函数=-无一。，则/(-x)=-xef+x-4,

x-xx

由y=-xe~+x-a9求导得y'=-e+xe~+1,

所以函数y=/(-X)的导数是y=-e-v+xe-x+1.

(2)函数/(x)=xe“—x-a,求导得/'(x)=(x+l)e*-l,xe[l,e],

2<x+l<l+e,e<e'<ee,贝!]2eW(x+l)e'W(l+eg，,>0,

函数〃尤)在[1,e]上单调递增，于是/(x)e[e-l-a,ee+1-e-«].

22

Xg(x)=x-2x=(x-l)-l,则g(尤)在[L2]上也是单调递增，g(x)G[-l,0],

由对任意的玉e[Le],X2e[l,2],使〃xj2g(xj成立，等价于"(%)京，

因此e-1-〃20,解得aWe-l,

所以实数〃的范围是(-8,e-1].

(3)依题意，/z(x)=XQX-x-\nx-a,由7?(x)=。，得xe"-x—lnx=a,

令p(x)=xe"-x-lnx,xG(0,e),求导得

，/、%%11/八%x+1(x+l)(xe%-1)

p\x)=ex+xex-1——=(x+l)ex-----=-----------

xx

令小)=疣一,xe(0,e),求导得/(%)=]+屁”>0,即函数4。)在(0,e)上单调递增，

显然以0)=-1<。,廉l)=e-l>0,则存在唯一的瓦使得夕小)=0,即/1。-1=0,

玄1,

即e()=—,x0=-lnx0,贝U当O<%<%o时，式工)<0,夕(%)<0,当/<%<匕时，

q(x)>0,p'(x)>0,

函数p(x)在(。，%)上单调递减，函数0(无)在(Xo，e)单调递增,

因此p(x)min=P(x°)=/e'。-x0-lnx0=l-x0+x0=l,

当0<%<不时，令夕(x)=xe*-x,求导得夕'(X)=(x+l)e*-1,

令y=(尤+l)e*-l,当0<尤<与时,y'=(x+2)e'>0,即函数”(x)在(。,%)上递增，

<p'(x)><p'(0)=0,函数w(x)在(0,%)上递增,0(x)>0(O)=O,

于是当0<x<x()时，p{x}=xel-x-lnx>-Inx,而函数y=Tnx在(0,%)上递减，值域为

(-lnx0,+co),

因此当0<x4无。时，函数p{x}无最大值，值域为[1,+8),函数p(x)在(0,e)的值域为[1,+co),

要使力(无)在(0,e)存在零点，则心1,所以。的最小值为L

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地,已知函数y=f(x),xe[a,可,y=g(x),xw[c,d]

①若％e[a,6],V%e[c,d],总有/(xj<g(x2)成立，故/(x)1rax<g(x)1nto；

②若看e[a,6],Hr2e[c,d],有了(％)<g(w)成立，故/(天心<g(x)1rax;

③若玉句,HX2e[c,6/].有〃％)<g(w)成立，故"比11Vg(x)111ax；

④若看e[a,6],HX2e[c,<r/],有〃为”8伍)，则/(元)的值域是g(%)值域的子集.

4.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(x)=ln(l+x).

(1)求曲线y=/(尤)在(0,7(。))处的切线方程；

(2)若xe(-U),讨论曲线>=/(尤)与曲线y=-2cosx的交点个数.

3

【答案】(1):尤-1;

(2)2.

【分析】(1)求导，即可根据点斜式求解方程，

(2)求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性,

结合最值求解.

【详解】(1)依题意，((”=占+冒]，故-(°)=|，

而〃0)=T，故所求切线方程为y+i=M，BPy=jx-l.

(2)In(1+x)—/=-2cosx,In(1+x)+2cosx—/=0,

令g(%)=In(1+x)+2cosx——J—,

Vl+x

11_3113

=-------2sinx+—(1+J;)2,令〃(%)==-----2sinx+—(1+x)5

13--

//(%)=----------~2cosx——(1+x)2

(1+x)4

/兀5

①当尤e1-1,万时，COSX>0,(1+X)2>0,(1+X)2>0'

.•.〃(%)＜0,；./7(%)在(-1，3上为减函数，即g'(x)在口I"上为减函数,

111111

又g'(o)=l+—>0,g'(l)=——2sinl+--22<—―2-sinl+-<l-2x-=0,

222

・•・g'(x)在(0,1)上有唯一的零点,设为看,即g'伉)=0(0〈飞＜1).

；.g(x)在(-1,%)上为增函数，在［毛弓)上为减函数.

▽g(O)=2-l>O,gIn玛+2cos

，g(x)在(-1,天)上有且只有一个零点，在［如今上无零点;

(jr57rii3

②当匕'7时，<(%)<^^-1+](1+%户<o,g(尤)单调递减,

又=++2＜山4_百＜0，

Y⑺在。片］内恰有一零点；

③当x’BM时’〃⑴一二7一28一和+工为增函数,

・•・g'(x)单调递增，又g'(兀)＞。赭［彳)＜°,所以存在唯一天寸不可闻伉尸。,

当尤已［豆""时，8'(*)<°名(*)递减；当xe(x(),7i)时，g<x)>O,g(x)递增，

g(x)Wmax,gC(“<0,

，g⑺在玲兀］内无零点•综上所述，曲线y=〃x)与曲线y=-2co&x的交点个数为2.

【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数

求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新

的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两

种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数

往往是解题的关键.

三、专项训练

1.(2024,四川•模拟预测)已知函数〃x)=axe'-1尤2_羽在士.

2e

(1)讨论函数〃尤)的单调性；

(2)当x>0时，求证：/(x)>lnx--1x2-l.

【答案】⑴答案见解析；

⑵证明见解析.

【分析】(1)利用导数，进行分类讨论即可求出单调性.

(2)先对证明式子进行化简，再令新函数gabxei—inr-x+KxAO),求解函数g(x)的

单调性和最小值即可.

【详解】(1)函数“X)的定义域为R,/'(元)="+1乂*-1).

因为。7，所以Ov—Ve。，由尸(x)=。得x=—1或x=V2.

eaaa

①当《Wave时，-l<lnL42,

ea

所以尸(x)>0^>x<-l^<x>ln—,

aa

则在(f,T)上单调递增，在(T,ln£|上单调递减，在卜+8)上单调递增；

②当a=e时，r(x)=(x+l)(et+1-l)>0,则在(―)上单调递增；

111

③当〃〉6时，In—<—1,所以—(％)>0=>%<In—或vOnln—<xv—1,

aaa

则“X)在1-8,InJ上单调递增，在-1)上单调递减，在(T+⑹上单调递增.

综上，时，“X)在(-叫-1)上单调递增，在11,InJ上单调递减，在卜上

单调递增；a=e时，〃x)在(e,y)上单调递增；

4>e时，在卜0InJ上单调递增，在卜上单调递减，在(T+8)上单调递增.

(2)/(x)>Inx-g/_1等价于以©“-lnx-%+120(x>0).

当%>0时，xex>0,

则当〃2、时，axQx>xex-2(x>0),即证axe"-Inx-x+1>xex~2-lax-x+1>0(x>0),

e

令g(x)-xe"-2-Inx-x+l(x>0),则=(x+1)卜/_J_).

而无+l>0,^h(x)=e-2--,

x

因为函数y二/凡丁二―g在区间(0,+“)上都是增函数，

所以函数M%)在区间(。,+。)上单调递增.

・・・/2(1)=」一1<0,/2(2)=g>0,.•.存在/€(1,2),使得力(％0)=0,

e2

1_

即e*°~=—,x0—2=—hr%,

%

当xe(O,x。)时，g[x)<0,则g(x)在(0,飞)上单调递减,

当xe(Xo，+co)时，g<x)>0,则g(x)在(如+oo)上单调递增,

-22,nJb

所以g(x)min=g(x0)=xoe'°-lnxo-xo+l=xoe^~-1=xoe~-1=0,

所以g(x)20,即axe1-lux-x+l>xex~2-Inx-x+l>0(x>0),

所以/(无)21nx-gx2T.

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性的问题，要先对证明式进行等价转

化，构造新函数g(x)=xeA2_inr—x+i(x>0),在求g(x)的单调性过程中，根据零点存在

定理找到g'(x)的隐零点％,最后再求g(x)的最小值即可证明.

2.(2024•全国•模拟预测)己知函数〃x)=lnx-e'(eR),且/(x)在点(1,〃功处的切线

的斜率为l-e.设函数〃尤)的最大值为限

(1)求f的值;

(2)求证：k<-2；

⑶若不等式e*Jln(2x)+2N租，求实数〃，的最大值.

【答案】(1〃=1;

⑵证明见解析；

(3)2.

【分析】(1)根据题意，求导可得尸(可，再由导数的几何意义即可得到结果；

(2)根据题意，将函数最值问题转化为隐零点问题，然后求导得最值，代入计算，即可证

明；

(3)根据题意，令g(x)=e25-ln(2x)+2,x«0,4w),将不等式问题转化为最值问题,结

合函数的单调性以及零点存在定理，转化为零点问题，再结合(2)中的结论，再由导数的

应用代入计算，即可得到结果.

【详解】⑴因为〃x)=hiLeH(reR),

所以广⑺三一把比，

所以尸(1)=1—君=1—e,即时=6,所以yL

(2)证明：由(1)可知,/(x)=lnx-e\且f(x)的定义域是(0,+助,

所以((x)=1-e，，

令Mx)=^_e\贝。"(力=_二_1<0,

XX

所以/7(力在(0,+8)上单调递减，

即尸(x)在(0,+8)上单调递减,且r(1)=1-e<0,

咱=2工>0,

由零点存在定理可得叫使得/%)=0,即十七。=01啄=%,

且当彳€(0,飞)时，f^x)>0；当xe(xo，+co)时，f'(x)<0,

所以/'(x)在(。，天)上单调递增，在(如心)上单调递减，

所以函数的最大值上=/(毛)=1叫一e'。=一4一e'。=一不一十,y=-1x+在上单

调递增，所以k<-2.

(3)令g(%)=■+&-In(2x)+2,%£(0,+oo),

所以短(x)=2e2，+J」，

X

令加(x)=2e2x+*--,则加(x)=4e2x+i+-y>0,

所以〃z(x)在(0,+8)上单调递增,

k

所以g'（x）在（0,+8）上单调递增，且g'2+->0,

k

当x30时，2e2z12e&,±-+oo,

所以当尤—0时，g'（x）fro,

g］，使得g'（xj=。，

由零点存在定理可得，

即2e2w+t__=0,即2%+左=-111(2%),

即2玉+111（2玉）=-左，

且当xe（O,占）时，g'（x）<0；当尤«菁,y）时，g'（x）>0,

所以g（无）在（0,芯）上单调递减，在（/内）上单调递增，

所以函数g（x）的最小值为gG）=e2>Jln（2占）+2.

由（2）知，一左=Xo+e*=lne*+e*,

所以Ine-+e*=2玉+ln（2号），

设〃（r）=t+lntJ>0,所以〃'«）=1+工>0,

所以〃（。在（0,+“）上单调递增，

所以e'0=2无—即不）=ln（2X］）,

所以2玉+左=-ln（2x1）=-x0,

所以g（x）的最小值g（%）=e2>&-ln（2芯）+2=1%—尤0+2=%—尤0+2=2.

又不等式e?x+丘-In（2x）+22加，

所以〃?W2,所以机的最大值为2.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数最值问题以及函数零点问题，难度较

大，解答本题的关键在于将隐零点问题转化为函数的最值问题.

3.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃=-Inx+lnm-1.

（1）当772=1时，讨论函数“X）的单调性；

⑵若函数/（%）有两个不同的零点，求实数〃2的取值范围.

【答案】（1）/（力在（0,1）上单调递减，在。,入）上单调递增

(2)(0,1)

【分析】(1)当机=1时，求得广⑺=f-L结合/'(x)的单调性和/'⑴=0,进而求得

ex

函数/(X)的单调区间；

(2)求得(=设e(x)=*_J(x>0),求得"'(x)>0,得到尸(x)在(0,+功

上单调递增，得出存在X。€(0,+8)使得/伍)=0,得至lJlnm=TnXo-毛+1,转化为

--21nxo-xo<O,设函数g(无)=工-2曲-尤，利用导数求得g(x)在(0,+")上单调递减，

入0%

结合g(l)=0,求得X。的取值范围为(1,+8),再设Mx)=・(x>l),利用导数求得函数〃(X)

的单调性与最值，即可求解.

【详解】(1)当机=1时，函数”x)=《一成一1,可得尸(x)=《-L

eex

由函数/⑴=:一在(0,+8)上单调递增，且r(1)=0,

所以当xe(o,l)时，r(x)<0,当xe(L+e)时，f'(x)>0,

故/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+。)上单调递增.

(2)由函数/(x)="je£T-lnx+lnm—1,可得尸(x)=理-一4(x>0),其中根>0,

当机>0时，设°(x)=^--，(x>0),贝！J°'(尤)=^-+[>0,

exex

所以「(无)在(0,+。)上单调递增，

且当X.0时，当X-+QO时，广(%).+8,

所以由零点存在定理得存在唯一的X。e(0,+8)使得「(不)=0,即工=,

m

即1所=-1!«0-毛+1,且“X)在(0,5)上单调递减，在(尤0,+8)上单调递增.

当X.0时，当X—+8时，”x)f+8,

因此要使函数“X)有两个不同的零点，则只需/(x0)="日T-lnx°+Inm-1<0,

即---21nxo—x0<0,

%

设函数g(x)=g-21nx-x,贝l|g伉)<0,

1o

则g<x)=-?-:-1<0在(O,+e)上恒成立，所以g(x)在(0,+8)上单调递减，

而g(l)=O,故由g(毛)<0得尤0>1,故X。的取值范围为(1,+8),

市1弘_1为

而一=xe%0=」一,

m0e

设函数4月=也">1),则%)=0'+1)>0,

ee

所以/7(X)在(1,+8)上单调递增，故/?(*)的值域为(1,+8),所以'Al,故0<1,

m

所以实数"?的取值范围为

【点睛】方法技巧：已知函数零点(方程根)的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方

法：

1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定

参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；

3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结

合求解.

结论拓展：与e*和In无相关的常见同构模型

①ae"4Z>ln6oe"lne"WblnZ?,构造函数〃x)=xlnx或g(x)=xe%

②上<二=7^工<二，构造函数=T匚或g(x)=J；

③e"±a>6±ln6oe“±lne”>b±inb,构造函数/(x)=x±lnx或g(x)=e，土北

4.(23-24高三下•河南信阳•阶段练习)已知函数〃耳=5手卜。血.

(1)当a=T时，求不等式/(X)We*+1的解集；

⑵若〃尤)>。(。>0)，求实数。的取值范围.

【答案】⑴律

(2)0,ee

\7

【分析】(1)根据定义域可化简函数，构造新函数尸(x)=/(x)-e，T,即求尸(x)40的解

集即可，而田(无濡=砥1)=0,所以解集为1}.

(2)引入隐零点初，利用导数得到在(0,5］上单调递减，在(％,+8)上单调递增，最

后得到。的范围.

【详解】(1)"⑺的定义域为(0,+8)

「•当〃=一1时，/(x)=ex+—+lnx,

111r_1

令/（尤）=-1=二+lru--l（尤＞0）,歹'（无）=——+二=2^.

当0＜*＜1时，F'（x）＜0,尸⑺在（0,1）上单调递减，当x＞l时，F（x）＞0,尸（无）在（1,+动

上单调递增，所以尸⑺上尸⑴=0,

则不等式“X）Ve、+1的解集为{1}.

x

a—xex\xe—a]

(2)当〃>0时，/(%)=-cAwc-------a[nx(x>0),

xx

7z(x)=xex-a(x>0),“(%)=(尤+l)e*>0恒成立，

则无⑺在(0,+8)上单调递增，又/i(o)=-。<0,

/z(a)=Q(e°—1)>0,存在唯一的九o£(0,〃)使力(%)=0,且。=%«与,

〃x1八

---e-alwc,0<x<x0

所以/(%)=<x

a[

ex----41nx,x>x

x0'

当0＜尤＜/时，f（x）=--e'-a\wc,由/'（无）=一二一e'＜0,

%XX

则〃尤）在（。,即上单调递减，

当尤＞天时，/（x）=eJ---flln.x,由尸（x）=e，，+=,（分开考虑导函数符号）

%XX

当尤＞/时，＞=d-?在区,+8）上单调递增，则

Xx0%。

所以当X＞无。时，r（x）=e＜£+/＞0,所以“X）在（无o,+8）上单调递增,

所以/（x）z，（龙0），

由题意贝!]/(%)=e%---alwco=-alwco>a^O<xo<-,

xoe

,则y'=(x+l)e*>0在(0,j上恒成立,

设y=xe*

所以y=xe"在（0」|上单调递增，此时。=/e与£0,1-ee1、,即。目0e

e

Ie)7

（乙）

综上所述，实数。的取值范围为I。,卜.

\7

【点睛】