北师大版高考数学总复习：利用空间向量求空间角与距离

课时作业提升（四十八）利用空间向量求空间角与距离

A组夯实基础

1.（2018・临沂调研）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-AiBiCi,CA^CCi

=2CB,则直线与直线A3夹角的余弦值为（）

J5

解析:选A不妨设CB=1,则8(0,0])，A(2,0,0),Ci=(0,2,0),3(0,2,1),

.•.松尸(0,2,-1),丽=(一2,2,1).

，不；、BCi-ABi0+4-1/

cos<BC1,AB1>=―—,A/SX3=5'

|BCi|-|ABi|"xs

2.已知正四棱柱ABC。一A向GA中，AAi=2AB,则CO与平面BOG所成角的正弦

值等于()

A2B亚

A.33

C.乎D.|

解析：选A设A5=l,则AAi=2,分别以凉i,LhCi,成）的方向为1轴，y轴，z

轴的正方向建立空间直角坐标系.如图所示:

则0(0,0,2),C1(O,1,O),5(1,1,2),C(0,1,2).5B=(1,1,0),DCI=(0,1,-2),5c=(o,i,o),

设〃=(%,y,z)为平面5Z)G的一个法向量，

n-DB=0ffx+y=O,

则1即取〃=(一2,2,1).

一[y—2z=0.

ln-DCi=0

设C。与平面BOG所成角为0,则sin6="四=:，故选A.

\n\\DC\

3.在正方体A8CQ—A/ICLDI中，点E为的中点，则平面4ED与平面ABC。所

成的锐二面角的余弦值为()

A.3B.

C当D.半

解析：选B以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A一孙z,

设棱长为1,则4(0,0,1),41,0,£),£>(0,1,0),

.•.布=(0,1,-1),病=0,0,一£).

设平面AiEZ)的一个法向量为〃i=(x,y,z),

厂z=0,x=l,

A]Dm=0,解得卜=2,

：.有<即＜1八

x—22=0,

AiEni=0、z=2.

•**n\=(1,2,2).

•・•平面ABC。的一个法向量为w2=(0,0,1).

22

cos<H1,〃2〉

即所成的锐二面角的余弦值为京2

4.(2018•郑州模拟)在长方体ABC。一AiBiGQi中，AB=2,BC=AAX=\,则。Ci与平

面AiBCi所成角的正弦值为.

解析：以。为原点，分别以D4,DC,。。所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直

角坐标系，设〃=(x,y,z)为平面45cl的法向量,Z)i(0,0,1),4(1,0,1),5(1,2,0),C(0,2,1),

・・・&=(0,2,-1),A2=(—1,2,0).

则n-AiB=O,n-AiCi=O,

12y-z=0,

即J'.,c令Z=2,则y=l,x=2,

【一x十2y=0,

于是i=(2,l,2),LhCi=(0,2,0).

设所求线面角为a,则sina=|cos〈”，z5jCi>|=1.

答案：|

5.已知单位正方体ABCD—AiBiGd,E,5分别是棱BiG,GA的中点.试求：

(1MA与所所成角的大小；

(2)AF与平面BEBi所成角的余弦值.

解：建立如图所示的空间直角坐标系，得A(l,0,l),8(0,0,1),Z)i(l,1,0),£(0,0),

2，1,01.

(1)因为助1=(0,1,-1),EF=(J,0),

(0,1,-1)@,0)]

所以cos〈AZ)i,EF〉—i——g,

V2xf2

即ADi与EF所成的角为60°.

(2)M=(J,-1,1),由图可得，函=(1,0,0)为平面BEBi的一个法向量，设AF与平面

BEBi所成的角为仇

—_(1,。)(或T,1)12、历

贝Isin^=|cos(84,FA)\=----------/=1,所以cos

即A尸与平面BEBi所成角的余弦值为

6.如图所示的多面体是由底面为A5C。的长方体被截面AEG尸所截而得到的，其中

A5=4,BC=2,CG=3,BE=1.

,C)

(1)求B尸的长;

(2)求点C到平面AECiF的距离.

解：(1)如图，以。为原点，DA,DC,。下分别为坐标轴建立空间直角坐标系.

则A(2,0,0),8(2,4,0),C(0,4,0),£(2,4,1),G(0,4,3),

设尸(0,0,z),由亦=比1得：(一2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2.

.\F(0,0,2)..\BF=(~2,-4,2),

...|丽=2就，即8尸的长为2#.

(2)设“1为平面AECF的法向量，显然”1不垂直于平面ADF,故可设“j=(x,y,l).

ni-AE—0,[0Xx+4Xy+l=0,

一

^m-AF=0,2Xx+0Xy+2=0,

4y+l=0,

1贝In\=

—2x+2=0.

又公i=(0,0,3),设Gi与"i的夹痢为a,

—4、国4A/33

.•.点C到平面AEG尸的距离为d=|CG|cosa=3义喙一=畤一

7.如图，三棱台ABC—AllG中，侧面4场54与侧面4cle4是全等的梯形，若4A

±AB,A\ALA\C\,且AB=2AiBi=4AiA.

⑴若db=2加i，AE=2EB,证明：DE〃平面BCCiS；

(2)若二面角G-A41-B为争求平面AiBiBA与平面GBBC成的锐二面角的余弦值.

(1)证明：连接AG,BCi,梯形4GCA,AC=2AlCi,

易知：ACiOAiC^D,AD=2DCi,

又赢=2诵，则DE//BC1,

BCi平面BCC®DEC平面BCC®

可得：OE〃平面BCGS.

⑵解：侧面ACCA是梯形,AiA±AiCi,

=>A41±AC,AiA-LAB,

TT

则NBAC为二面角Ci—AA—B的平面角，ZBAC=^.

台△ABC,△AiBiG均为正三角形，

在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系,

不妨设441=1,则AiBi=ACi=2,

AB=AC=4,故点Ai(O,O,l),C(0,4,0),2(25，2,0),囱(小，1,1).

设平面4由1区4的法向量为m=(尤i,yi,zi),则有:

m-AB=Q,p\/§xi+yi=0,

'=>r,',今机=(1,-y/3,0),

33xi+yi+zi=0,

设平面C1B13C的法向量为〃=(X2,>2,Z2),则有：

HCB=0,［小仞一丁2=0,

„.CR,=0-3y2+z2=0，

1

\-

cos/4

llnl

故平面ArBiBA与平面G5BC所成的锐二面角的余弦值为"

B组能力提升

1.(2017•全国卷III)如图，四面体ABC。中，△ABC是正三角形，△AC。是直角三角形,

ZABD=ZCBD,AB=BD.

D

A

(1)证明：平面AC。_L平面ABC；

(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,

求二面角D-AE-C的余弦值.

(1)证明：由题设可得△A3。丝△CB。，从而AD=CD.

又△ACD是直角三角形，

所以NAOC=90°.

取AC的中点。，连接。。，BO,

则DO±AC,DO=AO.

又因为△ABC是正三角形，ikBO-LAC,

所以NDO8为二面角D-AC-8的平面角.

在RtAAOB中，BO2+AO2=AB2,

又AB=BD,所以8。2+。。2=8。2+4。2=482=8。2,故/。。8=90°.

所以平面ACD_L平面ABC.

(2)解：由题设及(1)知，。4,0B,0。两两垂直,

以0为坐标原点，醇的方向为x轴正方向，|殖|为单位长度，建立如图所示的空间直

角坐标系O-xyz,

则41,0,0),8(0,0),c(-1,0,0),0(0,0,1).

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的义，

从而E到平面ABC的距离为。到平面ABC的距离的g,

即E为的中点，得电,坐，目，

故石=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),嬴=[-1,坐,

设〃=(%,y,z)是平面OAE的法向量，

-x+z=0,

raAD=0,

则<i

m—%+¥>+呼=。,

^n-AE=0,

1,坐,1).

可取n=

FW,AC=0,

设机是平面AEC的法向量，则<

"•AE=0,

同理可取机=(0,—1,小)，

则cos〈n,m>=瑞=岑

所以二面角D—AE—C的余弦值为，.

2.(2017•全国卷II)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=^AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PO的中点.

(1)证明：直线CE〃平面B42；

(2)点〃在棱PC上，且直线与底面ABC。所成角为45。，求二面角AB—D的

余弦值.

(1)证明：取B4的中点工连接BF.

因为E是尸。的中点，所以EF//AD,EF^AD.

由NBAD=NA8C=90。得BC//AD,

又乐以EFJLBC,

四边形BCEF是平行四边形，CE//BF.

又BF平面PAB,CE&平面PAB,故CE〃平面PAB.

(2)解：由已知得以A为坐标原点，Q的方向为x轴正方向，|矗|为单位长度,

建立如图所示的空间直角坐标系A一孙z,贝想(0,0,0),3(1,0,0),C(l,l,0),P(0,1,小)，PC

=(1,0,f),油=(1,0,0).

设M(x,y9z)(0<x<l),贝1J

BM=(x—T,y,z),PM=(x,y—1,z~y[3).

因为BM与底面ABCD所限的再为45°,

而〃=(0。1)是底面ABCD的法向量，

所以|cos(BM,n)|=sin450,而可争有=与

即(x—l)2+y2—z2=0.①

又“在棱PC上，设前=7无，则

x=A,y=19—②

1也

X=1尸1—2，

由①②解得1y=l,(舍去)，或jy=l,

水

〔z=_2产2，

所以Mj—乎，1,乎)，从而Q/=(i—乎,

设m=(XO,yo,Z0)是平面的法向量，则

即[加

mAM=0f2-，5)xo+2yo+zo=O,

Uo=O,

m-AB=0f

所以可取》i=(0,―乖,2).

mnV10

于是{m,n)

cos~\m\\n\~5

因此二面角Af—AB—。的余弦值为^

3.如图，四棱锥P—ABC。的底面ABC。是平行四边形，底面ABC。，E4=3,AD

=2,AB=4,ZABC=6Q°.

(1)求证：8C_L平面mC；

PF

(2)E是侧棱PB上一点，记丽=2(0<k1),是否存在实数2,使平面ADE与平面PAD

所成的二面角为60。？若存在，求出力的值；若不存在，请说明理由.

(1)证明：因为8C=AD=2,AB=4,

所以AC=yjAB-+BC2-2ABXBCXcosZABC=2小,

5CBC2+AC2=AB2,所以BCJLAC.

又P4J■底面ABCD,