2025年高考数学复习之填空题：一、二次函数及方程、不等式（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：一、二次函数及方程、

不等式（10题）

一.填空题（共10小题）

x+y>2,

x-y<2,则z=y-x的最大值为.

（y<2,

'X+2y-1<0+3

2.（2024•古蔺县校级模拟）已知尤,y满足约束条件2久+y+1>0,则一的取值范围为___________.

-2y+3>0x+2

3.（2024•普陀区校级三模）已知集合4={0,1,2,3,4},8={x|-/+2无+3>0},则ACB中的元素个

数为.

4.（2024•浦东新区校级模拟）若关于x的不等式-5x+m^0的解集为R,则实数m的取值范围

是•

5.（2024•石家庄模拟）已知集合〃={尤|/-2x-3<0},N={x\x2-ax<Q,xEZ].若集合MAN恰有两个

元素，则实数。的取值范围是.

%+2y—2<0

6.（2024•巴宜区校级三模）若入、y满足约束条件k-2y-240,则z=x+5y的最大值

,3x—2y+6>0

为.

7.（2024•浦东新区三模）已知全集。=凡集合A={尤*-3x+220},则I=.

8.（2024•永嘉县校级模拟）函数/（x）=7-4ax+2a2上有一个动点p,定点A（0,-1）,则|AP|的最小

值是.

9.（2024•长宁区校级三模）已知集合4={0,1,2},B={4?-3xWl},则AC2=.

10.（2024•安阳三模）已知集合A={x\-?-2x+a>0],B=R,若AAB=0,贝Ua的取值范围

是

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：一、二次函数及方程、

不等式（10题）

参考答案与试题解析

一.填空题（共10小题）

X+y>2/

x-y<2,则z=y-x的最大值为2.

{y<2,

【考点】简单线性规划.

【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】2.

【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，当直线过点（0,2）时，z取得最大值，最大值为2.

故答案为：2.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

rx+2y-1<03

2.（2024•古蔺县校级模拟）已知x,y满足约束条件2x+y+lN0,则^^—的取值范围为（-2,4].

-2y+3>0x+2

【考点】简单线性规划.

【专题】转化思想；数形结合法；直线与圆；不等式；直观想象；数学运算.

【答案】（-2,4].

【分析】作出不等式组表示的平面区域，设々=密，/表示点（x,y）与点（-2,-3）连线的斜率,

观察图像计算可得取值范围.

x+2y—140

【解答】解：作出不等式组2支+y+lNO表示的平面区域，如图所示:

—2y+3>0

设k=祟，则人表示点（无，>）与点尸（-2,-3）连线的斜率,

又kpA=-2+1=%

所以-2W4,

V+3―

即---的取值范围为（-2,4].

x+2

【点评】本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题.

3.（2024•普陀区校级三模）己知集合4={0,1,2,3,4）,8={x|-/+2尤+3>0},则ACB中的元素个

数为3.

【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算.

【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算.

【答案】3.

【分析】求解一元二次不等式解得集合B，再求AA8,即可求得其元素个数.

【解答】解：由-/+2x+3>0,得所以8={x|-l<x<3},

AAB={0,1,2},故中的元素共有3个.

故答案为：3.

【点评】本题主要考查交集的定义，属于基础题.

4.（2024•浦东新区校级模拟）若关于x的不等式rm2-5x+m<0的解集为R,则实数m的取值范围是

,51

（-八，一引.

【考点】由一元二次不等式的解求参数.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】（一8,—1].

【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.

【解答】解：当加=0时，不等式为-5xW0今x>0,显然不符合题意；

当wiWO时，因为关于x的不等式MU2-5x+加W0的解集为R,

所以有卜<°m<

（4=（-5）2—4m2<02

所以实数”的取值范围是（—8,—1],

故答案为：（一8,-1.

【点评】本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题.

5.（2024•石家庄模拟）己知集合知={小2-2x-3<0},N={x|/-"家0,xGZ}.若集合MAN恰有两个

元素，则实数。的取值范围是{°任>2}.

【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算.

【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】{a|a>2}.

【分析】先求出集合再对。分情况讨论，求出集合N,结合集合MCN恰有两个元素求解即可.

【解答】解：集合用={尤|/-2『3<0}=凶-1<尤<3},

①当a=0时，N={尤-ax<0,xeZ}={x|x2<O}=0,此时MCN=0,不符合题意，

②当a>0时，N={x|/-ax<0,xEZ}=[x\O<x<a,xEZ],

若集合MCN恰有两个元素，则。>2,

③当a<0时，N={X\J?-ax<0,xEZ}—[x\a<x<0,xGZ],

若aW-1,则MAN={x|-l<x<0,xeZ）=0,不符合题意，

若-l<a<0,则AfCN={x[a<x<0,x£Z]—0,不符合题意，

综上所述，实数。的取值范围是{a|a>2}.

故答案为：{a|a>2}.

【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题.

（X+2y-2<0?

6.（2024•巴宜区校级三模）若天、y满足约束条件x—2y-2W0,则z=x+5y的最大值为—.

3x—2y+620〜

【考点】简单线性规划.

【专题】对应思想；数形结合法；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

13

【答案】y.

【分析】画出可行域，将z=.t+5y变形为＞=-1+',平移直线可得到点A处取得最大值，计算点A的

坐标，代入求解即可.

【解答】解：作出可行域如图所示：

将z=x+5y变形为y=-^+

在图中作出过原点的直线产Y，

可知当直线平移到点A处时，z=_r+5y取最大值，

所1d；6==°（），得r/

即A（—1,卞.

片匚“I_,仁313

所以zmax--1+5X

13

故答案为：—.

【点评】本题考查了简单的线性规划，作出可行域是关键，属于基础题.

7.（2024•浦东新区三模）已知全集。=凡集合A={x|/-3x+220},则:=（1,2）

【考点】一元二次不等式及其应用；补集及其运算.

【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】（1,2）.

【分析】先求出集合4然后结合集合的补集运算即可求解.

【解答】解：因为U=R,集合A={x|f-3x+220}={x|x22或尤W1},

则彳=(1,2).

故答案为：(1,2).

【点评】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题.

8.(2024•永嘉县校级模拟)函数/(x)=/-4ax+2/上有一个动点p,定点A(0,-1),则|AP|的最小

&口遮

值是T-

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】y.

【分析】设点尸的坐标，求出|AP|的表达式，由二次函数的性质可得|AP|的最小值.

【解答】解：设尸(x,y),可得y=/-4QX+2〃2,

可得|4尸|2=/+(y+1)2=/+(/_4QX+2〃2+1)2=X2+[2(〃-X)2+1-x2]

》/+(1-02=元4_/+]=(x2-i)2+1>I，

所以|4P|2亭.

V3

故|AP|的最小值为三.

V3

故答案为：y.

【点评】本题考查二次函数的性质的应用，属于中档题.

9.(2024•长宁区校级三模)已知集合4={0,1,2},B={x|x3-3x^1},则A28={0,1}.

【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算.

【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】{0,1}.

【分析】由已知结合集合交集运算即可求解.

【解答】解：因为集合4={0,1,2},B={x|?-3x^l},

则ACB={0,1}.

故答案为：{0,1}.

【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.

10.(2024•安阳三模)己知集合A={x|-7-2x+a>0},B=R,若ACB=0,则a的取值范围是』必

W-1}.

【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算.

【专题】集合思想；判别式法；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据AC2=0得A=0，即不等式-/-2x+a>0无解，利用AWO求解即可.

【解答】解：集合A={R-f-2x+a>0},B=R,

若AnB=0,则A=0,

所以不等式-x2-2x+a>0无解，即x?+2x-。<0无解，

所以A=4+4〃WO,解得-1,

所以a的取值范围是-1).

故答案为：

【点评】本题考查了集合的运算与应用问题，是基础题.

考点卡片

1.交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与8的交集，记作AAB.

符号语言：AnB={x|x6A,且底8}.

AC2实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算性质：

①②AC0=0.③④AH3UA,AP\BQB.⑤AnB=AQAUB.⑥AClB=0,两个

集合没有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联

合命题.

2.补集及其运算

【知识点的认识】

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作

U.(通常把给定的集合作为全集).

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简

称为集合A的补集，记作CuA,BPCuA={x\x&U,且娓A}.其图形表示如图所示的Venn

【解题方法点拨】

常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法.

【命题方向】

通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、

值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现.

3.二次函数的性质与图象

【知识点的认识】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变

量的变化而变化.它的一般表达式为：y=ax1+bx+c(ci#O)

【解题方法点拨】

二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有

可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物

线的焦点、准线和曲线的平移.

这里面略谈一下他的一些性质.

①开口、对称轴、最值与X轴交点个数，当40(<0)时，图象开口向上(向下)；对称轴x=-枭

最值为：/(—/);判别式4=62-4ac,当△=()时，函数与x轴只有一个交点；△>◊时，与x轴有两

个交点；当时无交点.

②根与系数的关系.若△》()，且XI、尤2为方程y=a/+b尤+c的两根，则有尤i+x2=—，，xi*x2-

③二次函数其实也就是抛物线，所以/=2py的焦点为(0,1),准线方程为>=-与含义为抛物线

上的点到到焦点的距离等于到准线的距离.

④平移：当y=a(x+b)2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a(x-1+b)2+c；

【命题方向】

熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得

取得，这也是一个常考点.

4.一元二次不等式及其应用

【知识点的认识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是a^+bx+cX)

或ax2+bx+c<0(a不等于0)其中「2+法+(?是实数域内的二次三项式.

特征

当△=%2-4ac>0时，

一元二次方程af+fex+cn。有两个实根，那么a/+6x+c可写成a（x-xi）（x-X2）

当△=/?2-4ac=0时，

一元二次方程°7+厩+°=0仅有一个实根，那么m2+版+<:可写成a（x-xi）2.

当△=?-4ac<0时.

一元二次方程a/+fcv+c=O没有实根，那么ajr+bx+c与x轴没有交点.

【解题方法点拨】

例1：一元二次不等式d<x+6的解集为.

解：原不等式可变形为（尤-3）（x+2）<0

所以，-2<x<3

故答案为：（-2,3）.

这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成^^bx+cVO的形式；然后应用了特征

当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解.

【命题方向】

①一元二次不等式恒成立问题：

一元二次不等式a^+bx+cX）的解集是R的等价条件是：a>0且△<0；一元二次不等式av2+Z?x+c<0的

解集是R的等价条件是：。<0且△<（）.

②分式不等式问题：

I，>0=/（尤）（%）>0；

。（久）

~~~（x）・g（x）<0；

。（无）

g⑶IgO）丰o;

f。）（久）•。（久）wo

。㈤IgO）丰o-

5.由一元二次不等式的解求参数

【知识点的认识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是a^+bx+cX）或

ajT+bx+c<0（a不等于0）其中a^+fec+c是实数域内的二次三项式.

特征

当△=/??-4ac>0时，

一元二次方程（U^+fcr+cuO有两个实根，那么a/+6x+c可写成a（x-xi）（尤-X2）

当△=/?2-4ac=0时，

一■元二次方程。/+以+。=0仅有一■个实根，那么cu^+bx+c可写成°（%-xi）~.

当△=/-4ac<0时.

一元二次方程a^+bx+c=O没有实根，那么a^+bx+c与x轴没有交点.

【解题方法点拨】

例1：一元二次不等式/<x+6的解集为.

解：原不等式可变形为（尤-3）（x+2）<0

所以，-2<x<3

故答案为：（-2,3）.

这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成a?+bx+c<o的形式；然后应用了特征

当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解.

【命题方向】

一元二次不等式a^+bx+cX）,

-设定一元二次不等式的解，并根据解的形式建立不等式.

-求出根，结合数轴分析区间.

-通过区间分析，确定参数的取值范围.

设a,b,c为常数，若不等式a^+bx+c>Q的解集是（-3,2）,则不等式ax2-bx+c<0的解集是（）

解：不等式ax2+fer+c>0的解集是（-3,2）,

可得-3,2是方程a/+法+c=o的两根，且a<0,

（b

-3+2=—bc

则｛「°，解得一=1,一=-6,

-3x2=-aa

Ia

不等式aj?-bx+c<0整理可得x2—9+>0,

即/-x-6>0,

解得尤>3或x<-2,

所以不等式数2-bx+c<o的解集为(3,+8)U(-8,-2).

6.简单线性规划

【知识点的认识】

线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型.简

单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解可以用数形结合方法求出.我们高中阶

段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜

率的最值.

【解题方法点拨】

1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.

Zz

2.在通过求直线的截距工的最值间接求出z的最值时，要注意：当人>0时，截距工取最大值时，z也取最

bb

zzz

大值；截距工取最小值时，Z也取最小值；当匕V0时，截距工取最大值时，z取最小值；截距三取最小值时，

bbb

Z取最大值.

【命题方向】

%+2y>8

例：若目标函数z=;c+y中变量x,y满足约束条件0WXW4.

,0<y<3

(1)试确定可行域的面积；

(2)求出该线性规划问题中所有的最优解.

解：⑴作出可行域如图：对应得区域为直角三角形48C,

其中B(4,3),A(2,3),C(4,2),

则可行域的面积s=-AB=^xlx2^1.

（2）由z=x+y,得＞=-天+2,则平移直线y=-x+z,

则由图象可知当直线经过点A（2,3）时，直线y=-x+z得截距最小，

止匕时z最小为z=2+3=5,

当直线经过点B（4,3）时，直线y=-x+z得截距最大，

此时z最大为z=4+3=7,

故该线性规划问题中所有的最优解为（4,3）,（2,3）

这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示

出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值.

题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域

典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线＞=日+分为面积相等的两部分，则左的值是（）

7343

A.—B.—C.—D.—

3734

44

分析：画出平面区域，显然点（0,-）在已知的平面区域内，直线系过定点（0,结合图形寻找直线

33

平分平面区域面积的条件即可.

解答：不等式组表示的平面区域如图所示.

3x+y=4\fy/

13(1.1)

4

'43

广〃+亏

A4A

由于直线丁=丘+可过定点（0,因此只有直线过A3中点时，直线丁=丘+可能平分平面区域.

15

因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点。-).

22

.4、t-15,57

当〉=丘+与过点(-,-)时，-=一+一，所以左=5.

•3222233

答案：A.

点评：二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.

注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也

可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.

题型二：求线性目标函数的最值

X——3