辽宁省联盟2024-2025学年高二年级上册第一次月考数学试题（含解析）

辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含解

析数学

命题人：

考生注意：

L本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教B版选择性必修第一册第一章〜第二章第2节.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知直线（。一省）%+了+2=0的倾斜角为30°，则。=（）

A.2GC.^~D,O

33

2.若@=（一1,2,-1）3=（1,3,-2）,贝“3+孙（”2B）=（）

A.-29B.-22C.22D.29

3.如果且8C<0,那么直线/x+£y+C=O不经过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.如图，在四棱锥尸—4BCD中，底面4BCD是平行四边形，点£在侧棱PC上，且=若

2

AB=a,AD=b,AP=c，则亚=（）

333333

八2一2〃1一2一2匚1一

C.—a+—b+~cD.——a——b——c

333333

5.已知加为实数，直线（：（〃z+2）x+y—2=0,4:5x+（m-2）j+1=0,贝!]“§〃/2"是"m=-3”的

（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知空间中三点2（0,0,0）,8（1,-1,2）,2,1）,则以45,ZC为邻边的平行四边形的面积为（）

3373r

A.-C.3D.3V3

7.点/（2,—4）到直线/:（1—3加）x+（l—加）y+4+4加=0（加为任意实数）的距离的取值范围是（）

A.[0,5]B,[0,2V5]C.[0,4]D[0,6]

8.在正三棱锥尸—45C中，P/=48=4,点。,£分别是棱PC48的中点，则]万.而=（）

A.-2B.-4C.-6D.-8

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.直线x—y+l=0与直线x-y—l=0之间的距离为行

B.直线x-2〉-4=0在两坐标轴上的截距之和为6

C.将直线N=x绕原点逆时针旋转75°，所得到的直线为j=-V3x

D.若直线/向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线/的斜率为-2

3

10.在正方体48CD-44GA中，能构成空间的一个基底的一组向量为（）

A.AA^,AB,ACB.BA,BC,BD

C.莺，西，西D.ADi,BA1,AC

11.如图，在棱长均为1的平行六面体48CD—/4GA中，AS1，平面48CD,/4BC=60°,P,Q分

别是线段NC和线段4台上的动点，且满足至=%可，屈=（1-力）声，则下列说法正确的是（）

A.当4=g时，尸。〃4。

8.当X=一时,若PQ=xAB+yAD+zAA1(xj,zcR)则x+y+z=O

2

|兀

C.当4=7时，直线尸。与直线Cq所成角的大小为一

36

D.当Xe（O,l）时，三棱锥。-的体积的最大值为"

48

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线/过点2（1,2）,且在歹轴上的截距是在x轴上截距的2倍，则直线/的方程为.

13.在空间直角坐标系。—乎中，已知/（2,2,0）,8（2』,-3）,C（0,2,0）,则三棱锥O-4BC的体积为

14.在棱长为4的正方体48CD-44GA中，点瓦厂分别为棱。的中点，分别为线段

£（14,44上的动点（不包括端点），且ENLFM,则线段九W的长度的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

如图，正方体ABCD-44Gq的棱长为2.

（1）用空间向量方法证明：4G〃平面/CR；

（2）求直线与平面NCR所成角的正弦值.

16.（本小题满分15分）

已知点尸（1,3）,点N（-3,-1）,直线4过点（-2,4）且与直线PN垂直.

（1）求直线4的方程；

（2）求直线l2:2x+y-5=0关于直线的对称直线的方程.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17.（本小题满分15分）

如图，已知平行六面体48CD-

（1）若/5=4,/Q=3,^4'=3,/g/Q=90°,/gW=60°,NZX£4'=60°,求ZC'的长度;

（2）若4B=4D=44=2,NBAD=XBAA'=ZDAA1=60°,求ZC与BD'所成角的余弦值.

18.（本小题满分17分）

如图，四边形48CD是直角梯形，4B〃CD,AB上BC,AB=BC=2CD=2,E为BC的中点,P是平

面48CQ外一点，PA=1,PB=#,PELBD,M是线段PB上一点,三棱锥M—BD£的体积是g.

（1）求证：上4_1_平面4SCD；

（2）求二面角/的余弦值.

19.（本小题满分17分）

如图，在三棱台48C—44G中，AZBC是等边三角形，AB=2AlBi=4,CC1=2,侧棱C。，平面Z8C,

点D是棱AB的中点，点£是棱BBX上的动点（不含端点B）.

(1)证明：平面44143_L平面DCG；

(2)求平面48£与平面NCE所成角的余弦值的最小值.

高二上学期第一次月考试卷-数学

参考答案、提示及评分细则

1.C由题意知直线的斜率为4,所以tan30°=g-。=立，解得.故选C.

33

2.A由G=(—12—1)3=(1,3,—2),得M+B=(0,5,—3)k—23=(—3,—4,3),所以

,+孙卜-23)=-29.故选A.

C

3.C由48〉0且3。<0,可得48同号，氏C异号，所以4。也是异号.令x=0,得^=——>0；

B

C

令歹=0,得x=—±>0,所以直线Zx+与+C=0不经过第三象限.故选C.

A

1—-1—.

4.A因为P£=—£C,所以P£=—PC,根据空间向量的运算法则，可得

23

AE=AP+PE^AP+~PC=AP+-(PA+AC}^-AP+-AC=-AP+~(AB+AD}=-AB+-AD+-AP

33、,3333、>333

—■11-2

,所以/£=—1+—力+―故选A.

333

一（加+2）=---------，

m—2

5.B易知两直线的斜率存在，当4〃4时，则，解得加=±3,由/]〃4推不出加=—3,

2,——

、m-2

充分性不成立；当加=-3时，可以推出4〃，2,必要性成立.故选B.

—.—.-77；ABAC1x(-+-2)+2xl1

6D68公夹角的余弦值为3</团数>=西园=胪+(_1)2+22.J(R+(-2)2+玄i

因此五瓦k夹角的正弦值为sin<AB,AC>=—，故以48,4c为邻边的平行四边形的面积为

2

S=|Zs|-|^c|-sin<AB,AC>=痴x痴x券=36.故选D.

7.B将直线方程（1一3加）x+（l-加）y+4+4冽=0变形为（x+y+4）+（—3x—y+4）加=0,所以

x+y+4=0,x=4./、।।

<_3:+4_0解得J__8由此可得直线/恒过点8(4,-8),所以/到直线/的最远距离为,此

时直线I垂直于AB,A到直线I的最短距离为0,此时直线I经过点4又|/却=J(2-4y+(—4+8)2=2,

所以/到直线/的距离的取值范围是［0,2.故选B.

8.D在正三棱锥尸―A8C中，口=45=4,所以P/=P5=PC=4,^APB=ZAPC=ZBPC=60°,

又赤=无_苏=1■无—万，屋=|■(可+而)=+g屈，所以

__，—.(1___»-A(1-»1-A1___»-»1___»-.1——-1-»—.

AD-PE=\-PC-PA--PA+-PB\=-PC-PA+-PCPB--PA2--PBPA

(2JU2J4422

=-x4x4x—+—x4x4x---x42--x4x4x-=-8.故选D.

4242222—

1+1rr

9.ACD直线x-y+l=O与直线x-y-l=O之间的距离=,故A正确；对

A/1+(T)

x—2y—4=o,令x=0,得y=-2,令歹=0得x=4,所以直线x—2y—4=0在两坐标轴上的截距之

和为2,故B错误；歹=x的倾斜角为45°，绕原点逆时针旋转75°后,所得直线的倾斜角为120°，斜率为-百，

故C正确；设直线/的方程为G+0+c=0,向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得

«(x+3)+Z?(j-2)+c=0,即ot+如+c+3a—26=0,与ox+勿+c=0是同一条直线，所以

3。-26=0,所以左=一q=,故D正确.故选ACD.

b3

10.AC空间的一组向量可以成为基底的充分必要条件是这组向量不共面.选项A中，直线45,ZC

所在的平面是48CD,而幺4与平面48CD相交，所以五《，方，就不共面，故这组向量可以成为基底，

A正确；选项B,互7,前,丽满足函+/=丽，所以这三个向量共面，这组向量不可以成为基底，B

错误；选项c中，直线zq,8〃所在的平面是48。A,而C4与平面48GA相交，所以而，西，函

不共面，这组向量可以成为基底,C正确;选项D中，因为7瓦=就+西="+瓦彳，所以函，凤，就

共面，这组

向量不可以成为基底，D错误.故选AC.

11.ABD由平行六面体48CD—44G2知四边形4BCD是平行四边形，连接5。，当2=g时，P,Q

分别是NC,48的中点，所以P也是的中点，所以PQ〃4。，故A正确；当2时，由A选项

可知PQ=；£>4=—g/Z)+gx4］,又PQ=x/B+y/£>+zJ4(x,y,zeR),所以

当」时,

x=O,y=——,z=—,x+y+z=0,故B正确;a=

3

CC1=BB1,PQ=BQ-BP=^BA1-(BC+CPy1凤-［衿+纪］

=；（方+函）（切—元）_/=；函_；切因为在棱长均为1的平行六面体

/BCD—44CQ中，84,平面Z8CD,/Z8C=60°,所以|西|=|加|=|旅卜1,

BB,-BA=O,BB,-BC=Q,BA-BC=-,所以

2

=；丽;—；瓦配函—；"•函=g,设直线PQ与直线CG所成角为6,则

1

21717r7T

CCS0--..............—Y-=-＞又o,-,所以6=右，即直线PQ与直线cq所成角为故c

国同—xlL」'J

3

错误；过。作。〃〃力4交45于X,可证平面4BCD,所以三棱锥。―BCP的体积

F=|x15CxCPxs1n60^2H=lxLxlx(l-2)xs1n60^x2=2£(l-2)2fl-2+2?_和

-2厂淳

，当且仅当1-2=2,即2=工时取等号，故D正确.故选ABD.

2

12.2x—歹=0或2x+y—4=0设/在x轴上的截距为a,贝1]/在〉轴上的截距为2a,若a=0,贝U过原

点（0,0）,故/的方程为y=2x,即2x—y=0；若awO,贝i"的方程为二+上=1,所以—+—=1,

a2aa2a

所以a=2,所以/的方程为三+1=1,即2x+y-4=0.综上所述，直线/的方程为2x—歹=0,或

24

2x+y-4=0.

13.2由题意得双=（0,2,0）,k=（—2,0,0）,所以反•k=（）,OCLZC,AOC4的面积为

J反（彳@=2,点。,4。都在平面X。上，点8（2,1,-3）到平面工勿的距离3,所以三棱锥O-4BC

的体积为』x2x3=2.

3

14.拽以。为坐标原点，所在的直线分别为x轴、》轴、2轴，建立空间直角坐标系，如

5

图所示.所以£（2,0,0），p（4,4,2）,设M（x,0,4）,N（4/,4）,其中0<x<4,0<y<4,则

丽=（2/,4）,前=（%—4,—4,2）.又丽,闲，所以丽.前=（2/,4）.（》—4,—4,2）=2%—4歹=0,

所以x=2y,又0<x<4,0<><4,所以0<y<2,所以

TW=7（X-4）2+/+（4-4）2=&2y-4）2+y2=j卜_|1+g,所以跖V*=挈，此时y=g,

即线段的长度的最小值为拽.

15.如图，以。为原点，。4。。,。〃所在直线分别为％轴，》轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

Dxyz,则/(2,0,0),C(0,2,0)，4(2,0,2)，G(0,2,2),5(2,2,0),^(0,0,2).

所以4G=(—2,2,0),ZC=(—2,2,0),ZD]=(—2,0,2),B£>=(—2,—2,0).

(、n-AC=0,—2x+2y=0,

(1)证明：设平面/cn的法向量为〃二(x/,z),由<一得《

—2x+2z=0,

n-AD’.1=0,

令x=l,得为=(1,1,1)

因为4G•万=—2xl+2xl+0xl=0,所以4G，万，

又4储仁平面所以4G〃平面/czy

(2)解：由(1),得平面NCR的法向量拓=(1,1,1),

设直线AD与平面NCR所成角为e,则

BD-n|-2x1+(-2)x1+0x1|^^6

sin6*=|cos<BD,n>|=]

BD\-\n\33

所以直线BD与平面ACD,所成角的正弦值为逅.

3

3-(-1)

16.解：(1)因为左,=];二=1,直线与直线PN垂直，所以直线4的斜率为-1,

1—(—3)

又直线4过点(—2,4),所以直线4的方程为y—4=—(x+2),即x+y—2=0.

x-Fy—2=09x=3

(2)由<c,八解得故的交点坐标为(3,-1),

2x+jv-5=0,

因为2(0,5)在直线4：2x+y—5=0上，设幺(0,5)关于乙对称的点为4(见〃)，

77-5

----=1,

m

则《

m72+5c八

—+------2=0,

122

m=-3,

解得《

n=2.

所以直线12关于直线4对称的直线经过点（3,-1）,（-3,2）,

代入两点式方程得巴=土3,即x+2y—1=0,

2+1-3-3

所以直线4：2x+y—5=0关于直线/］的对称直线的方程为x+2〉—1=0.

17.解：（1）AB-AD=0,AB-AAr=4x3xcos60°=6,-AAr=3x3xcos60°=—,

2

因为十二方+赤+五彳，

所以应=\ABI2+Io|2+Zr+2在.茄+22§.Z?+2Z5.ZF=16+9+9+0+12+9=55，

所以国卜卮

（2）因为*=益+诟，曲=初—方=Z?+而一商，

所以次.初=（方+诟＞⑷+亚_码=方.Z?-回,+而./+西F=2X2X2X

cos60°=4，

10分

22o2

因为方+而刀『+228-2D+|AD|=2+2x2x2xcos60+2=12,所以=2百,

2

因为|就『=|Z?+砺—刀『|而|+|2§+2AA'-^D-2AA-AB-2AD-AB

=3x22—2x2x2xcos60°=8>所以卜叫=2^2,

I/——Ai\AC-BD'\4V6

设/C与BD，所成的角为e,则cose=kos（zc,5。）=,鬲=26,收=子,

即ZC与BD'所成角的余弦值为逅.

6

18.（1）证明：如图，连接/£交BD于点E,

因为AB=BC,BE==1=CD,ZABE=/BCD=90°,

所以“BEWBCD,所以ZBAE=ZCBD,

因为ZABD+ZCBD=90°，所以ZABD+ZBAE=90°，

所以N/FS=90°，即

又因为BD上PE,PEcAE=E,PE,4Eu平面P4E,

所以5。，平面上4£,又上4u平面上4£,所以Br>J_R4.

又因为上^+452=1+4=5=必2,所以力_]_45,

又5。cA8=民5£>,<=平面/BCD,

所以上4_L平面48cD.

（2）解：以5为原点，84BC所在直线分别为轴，平行于4P的直线为z轴，建立空间直角坐标系

如图所示，则B（0,0,0）,/（2,0,0）,C（0,2,0）,P（2,0,l）,£（0』,0）,r>（L2,0）,而=（2,0,1）.

设嬴=4而（021）,则两=（240"）,即点附（22,0,2）,

则三棱锥M一BDE的体积厂=gxSBDEx2=^-x^-xlxlx2=y2=^-,解得％=］，

332693

所以M

则,ED=(1,1,0),设平面DEAf的法向量万=(x,y,z),

n-ED=x+y=0,

由<——►42，令x=-2,得平面Z)£A/的一个法向量万=(-2,2,7),

n-EM=-x-y+-z=0,

I33

易知，万5=（0,0,1）为平面40£的一个法向量,

n-AP77历

所以cos<五,AP>=

HR757~57

由图可知二面角M—£>£—/是锐二面角，故二面角M—£>£—/的余弦值是2叵