2024-2025学年云南省昆明市高三（上）摸底数学试卷（含答案）

20242025学年云南省昆明市高三(上)摸底数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合A={x|l<%<3},B={x|(x-2)(%-4)<0},则/nB=()

A.(2,3]B.[1,2)C.(一%4)D.[1,4)

2.已知命题p：3zec,z2+1<0,贝Ijp的否定是()

A.VzEC,z2+1<0B.Vz6C,z2+1>0

C.3zGC,z2+1<0D.3zGC,z2+1>0

3.正项等差数列的公差为d,已知a1=4,且a3-2,劭三项成等比数列，则d=()

A.7B.5C.3D.1

4.若sinl600=m,则sin40°=()

A.—2mB.—2mV1—m2C.—2mV1+m2D.2mV1—m2

5.已知向量五二(1,2),|五+b|=若bl(b—2方)，则cos位,5)=()

6.函数/(%)=ln(A^TT+k%)是奇函数且在R上单调递增，贝味的取值集合为()

A.{-1}B.{0}C.{1}D.{-1,1}

7.函数f(x)=3s讥(3X+>0,若/(乃</(2兀)对％6R恒成立，且/O)在49］上有3条对称轴，则

8.设椭圆E：福+A=l(a>6>0)的右焦点为F,过坐标原点。的直线与E交于4B两点，点C满足#=

|正，若布•云=0,而•钟=0,贝UE的离心率为()

A—B—Q—£)—

A.9B.7。5U-3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.数列{an}的前n项和为%,已知%=kl一2n(keR),则下列结论正确的是()

A.{厮}为等差数列B.{%J不可能为常数列

C.若{an}为递增数列，贝味>0D.若{Sn}为递增数列，贝瞌>1

10.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试，考后分另U以％=0.8%1+2。、%=。*75刀2+25的方式赋

分，其中与,冷分别表示甲、乙两班原始考分，%，均分别表示甲、乙两班考后赋分.已知赋分后两班的平

均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则()

A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高

B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高

C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数

D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高

11.已知函数"%)及其导函数尸(%)的定义域为R,若+1)与/(%)均为偶函数，且/(—1)+/(1)=2,则

下列结论正确的是()

A.f(l)=0B.4是1(久)的一个周期

C.f(2024)=0D.f(x)的图象关于点(2,1)对称

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.曲线/(X)=ex-x在x=0处的切线方程为.

13.若复数z=4(1+sind-"罗)+is讥8(0<6<兀)在复平面内对应的点位于直线y=x.L,贝U/l的最大值

为.

14.过抛物线C：必=3久的焦点作直线/交c于a,B两点，过4B分别作/的垂线与x轴交于M,N两点，若

\AB\=12,则|MN|=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

记△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知a—26+2ccosA=0.

(1)求角C；

(2)若AB边上的高为1,△ABC的面积为苧，求AABC的周长.

16.(本小题15分)

如图，PC是圆台OiG的一条母线，AABC是圆。2的内接三角形，48为圆G的直径，4B=4,4C=2，2

(1)证明：AB1PC；

(2)若圆台Oi。2的高为3,体积为7兀，求直线与平面P8C夹角的正弦值.

17.(本小题15分)

已知函数/'(%)=Inx+ax.

(1)若/(%)<0在X£(0,+8)恒成立，求a的取值范围；

(2)若a=l,g(©=/(靖)—，(乃，证明：g(x)存在唯一极小值点X。66,1),且以沏)>2.

18.(本小题17分)

动点M(%y)到直线匕：y=久与直线G：y=-V3久的距离之积等于"且|y|<.记点M的轨迹方程

为r.

(1)求「的方程；

(2)过r上的点P作圆Q：*2+(y—4)2=1的切线PT,T为切点，求|PT|的最小值；

(3)已知点G(0,§,直线八丫=左久+2(卜>0)交厂于点4,B,「上是否存在点C满足襦+区+岳=6?若

存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.

19.(本小题17分)

设ziCN,数对(a”时)按如下方式生成：(的,编)=(0,0),抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，

若即>时,则(%i+i，6n+1)=(%+1,%+1),否则(。"+1，%+1)=(册+1,—);当硬币的反面朝上时，若

bn>an,贝！J(an+i，g+i)=(a.+1,6n+1),否则(c1n+i，6“+i)=(a”6n+1),抛掷n次硬币后，记与=刈的

概率为七.

(1)写出(口2，无)的所有可能情况，并求B，Pz；

(2)证明：｛匕一基是等比数列，并求分；

(3)设抛掷几次硬币后厮的期望为品，求扁-

参考答案

1.71

2.5

3.C

4.0

5.C

6.C

1.B

8.D

9.AC

1Q.ACD

11.ABD

12.y=1

13.72-1

14.8/3

15.解:(1)由a-2b+2ccosA=0,根据正弦定理得sinA—2sinB+2s讥CcosA=0,

将sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC代入，整理得sbi4(l—2cosC)=0,

因为46(0㈤，可得sinA〉0,所以l—2cosC=0,即cosC=(结合Ce(0,?r),得C=最

(2)因为△48C的48边上的高九=1,所以S-BC=：由=?，解得c=缨.

由C=*得SMBC=3岫力吗=}解得ab=*

根据余弦定理c?-a2+b2-2abeos]=得a?+人2_仍=$即①+b?-3ab=

可得(a+b)2=3ab+|=y,所以a+b=号三

因止匕，△ABC的周长a+6+c=—y-+—y-=2V-3"

16.解：(1)证明：因为PC是圆台。1。2的一条母线，所以PC与。1。2的延长线必(司

相交，//'

所以P,C,。1，。2四点共面，/

连接。1。2，02C,0止，则。1。2J_平面4BC,

因为4Bu平面48C,所以。1。21力B,

因为△ABC是圆。2的内接三角形，48为圆。2的直径，所以4C1BC,

因为28为圆。2的直径，AB=4,AC=2AA2,

22

所以BC=y/AB-AC=272=AC，所以AB102C,

因为。1O2n02C=02,所以AB1平面。1O2CP,

因为PCu平面。1。2cP,所以481PC；

(2)因为圆台。1O2的高为3,体积为7兀，设圆3的半径为r,

-1

2

则U=-x3TTx(4+2r+r)=7兀，解得r=1,

因为圆面。1〃圆面。2，圆面。1n平面。102cp=。/,圆面。2rl平面01。2cp=。2。,所以0止〃。2。,

由⑴知,02B,02C,。2。1两两互相垂直，

则以。2为坐标原点，02B,02C,。2。1所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，如图，

则4(-2,0,0),5(2,0,0),C(0,2,0),P(0,l,3),

所以丽=(4,0,0)，BC=(-2,2,0).CP=(0,-1,3)>

设平面PBC的法向量为元=(x,y,z),

则g巴-2久+2y-0,令z=],得％=3,y=3,所以元=(3,3,1),

(n-CP=-y+3z=0

设直线与平面PBC的夹角为。，

则S讥a=|cos(通，元>|=繇=3=智,

所以直线与平面PBC夹角的正弦值为蟆1

17.解：(1)对/(%)=Inx+a%求导，得/(%)=|+a,

若a>0,当久>0时，>0,则1(%)>0,/(%)单调递增，/(%)不可能恒小于等于0,

若Q<0,令尸<)=0,则：+a=0,解得<=

当0<%<-;时，/'(%)>0，/(%)单调递增；当久>一;时，f'(x)<0,/(%)单调递减，

所以/(%)在％=处取得最大值，f(-=ln(-i)-1,

要使/(%)40恒成立，即解得。工一；，

故a的范围为(—8,—3；

(2)证明：当a=l时，^(x)=ex—Inx,

因为y=e",y=-：在(0,+8)上单调递增，所以,(%)在(0,+8)上单调递增，

又9%)=V-^—2<0，/(1)=e-1>°，

故存在％oE(1,l),使得“(%O)=O,即蜻。一2=0,

且当OV%V%o时，“(%)<0；当％〉&时，g'(%)>0,

故g(%)存在唯一极小值点&e0,1),

因为e%o--=0,即仇%0=-%o，

%o

x

故g(%o)=e%°—lnx0=e°+xQ,

因为%°EG，1),且丫=e%+》在G，l)上单调递增，

所以0(%o)>96)，即+%。>e2+

1q

又e2>5，故g(%o)>2.

18.解：(1)根据M(x,y)到直线匕：y=与直线%：y=-Cx的距离之积等于I，

可得吟咧.吟到=[,化简得|3/—y2|=3,

结合|y|<C|x|,可得37—y2=3,整理得?=i,即为曲线「的方程；

(2)设P(x,y),可得|PT|=JPQ2_/=J/+(y_4)2_12=J1y2_8y+16=J乳y一3尸+4,

根据点P在曲线「：乂2_?=1，可知yeR,所以当y=3时，|PT|最小值为2；

(3)将直线&y=kx+2(fc>0)与37—y2=3消去y,整理得(3—fc2)%2—4kx—7=0,

设A(%i，yi),8(%2，丫2)，C(%o，y。)，

则％1+%2=^~j2f可得力+、2=k(X]+%2)+4=券^+4・

,4k

%1+%2+%0=0"°=一寸

假设存在点c,满足襦+而+屈=6,则4,可得

Q_.,,、—-4k2'

7i+y2+y0=3x-

Vo=4-(为+y2)=^2

由于C（x°,yo）在曲线3/-V=3上，所以3（—煞）2—（言$2=3,

化简得19k4—661+27=0,gp(fc2-3)(19/c2-9)=0,解得或1=3,

由于/=16必+28（3—必）>0,解得1<7且1力3,所以卜2=1左2=3不符合题意，舍去.

_4k_/19

“3产4:gpc(_/T93

{-4k3、4，4，

综上所述，存在点c（-集,-|）,使得刀+南+岳=丁

19.解：（1）当抛掷一次硬币结果为正时，（的,瓦）=（1,0）；

当抛掷一次硬币结果为反时，（的,瓦）=（0,1）;

当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，（a2,&2）=（2,1）；

当抛掷两次硬币结果为（正,反）时，（。2,2）=（1，1）；

当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，m2，与）=（L1）；

当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，@也）=（1,2）.

21

・•・P1=0,02=1=/・

（2）证明：由题知，|%11bzi|41,

当册>bn,且掷出反面时，有（。九+1，%+1）=（an,bn+1）,此时册+i=bn+1,

当%l<bn,且掷出正面时，有（。九+L%+I）=（an+1,bn）,此时册+i=bn+1,

ill1

Pa

Pn+1=2（n>bn）+^P（an<如）=,[P（an>bn）+P{an</>„）]=-（l-Pn）,

•■>Pn+1一百=-5（匕一E），

•••班一刍是以BW=V为首项，4为公比的等比数歹U,

•••4-一扔*

••・4=»"（一扔工

（3）设由1>如与与<“的概率均为册，

由(2)知，<2„=^(1-^)=1[1-(-1)"]，

111

由题思得E1=lx—+0x-=—,

若an>bn,则an=bn+1,

当下次投掷硬币为正面朝上时，an+1=an+l,

当下次投掷硬币时为反面朝上时，册+1=即，

^an=bn,则下次投掷硬币为正面朝上时，an+1=an+1,

当下次投掷硬币为反面朝上时，an