三角函数概念与诱导公式【10类题型】-2025年高考数学复习重难点突破（新高考专用）

专题4-1三角函数概念与诱导公式

近5年考情

考题示例考点分析考点要求

2023年甲卷，第14题,5分三角函数概念与诱导公式考点

(1)三角函数基本概念

分析：掌握正弦、余弦、正切等

2022年浙江卷第13题,5分(2)任意角的三角函数

基本定义，理解其在单位圆上的

(3)同角三角函数的基本

几何意义。诱导公式是重点，需

关系

2021年甲卷第8题,5分熟练记忆并应用，解决复杂角度

(4)诱导公式

的三角函数值问题。

模块一k热点题型解读(目录)

【题型1】等分角的象限问题......................................................1

【题型2】三角函数的定义......................................................3

【题型3】对sina,cosa,tana的知一求二问题.....................................4

【题型4】弦切互化求值..........................................................5

【题型5］sina±cosa与sinacosa的关系............................................6

【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数....................6

【题型7】诱导求值与变形(给值求值问题).......................................7

【题型8】扇形弧长与面积的计算.................................................8

【题型9］割圆术...............................................................10

【题型10】象限与三角函数正负的辨析...........................................11

模块一核心题型•举一反三

【题型1］等分角的象限问题

基础知识

如何确定角一5GN）终边所在象限

n+

（X

法1分类讨论法：利用已知条件写出。的范围（用上表示），由此确定一的范围，在对左进行分类

n

（X

讨论，从而确定一所在象限。

n

法2几何法：先把各象限分为〃等份，再从x轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、

（X

二、三、四...则。原来是第几象限的角，标号为几的区域即角一终边所在的区域。

n

1.（多选）如果a是第三象限的角，那么。可能是下列哪个象限的角（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知々是第二象限角，则（）

（

A.£n是第一象限角B.sin|1>0

C.sin2（z<0D.2a是第三或第四象限角

【巩固练习1】（多选）如果2夕是第四象限角，那么，可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

a

【巩固练习2】已知sina>0,cosa<0,则§的终边在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【巩固练习3】（2024•高三・湖北黄冈•期中）若角a满足c=^+^（keZ）,则&的终边一定在（）

36

A.第一象限或第二象限或第三象限

B.第一象限或第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上

D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上

【题型2】三角函数的定义

基础知识

一\任意角的三角函数

（1）定义：任意角a的终边与单位圆交于点尸（X，y）时，则sine=y,cosa=x,tana=-（x^O）.

（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点PP（x，y）是角a终边上异于顶点的任一点，设点尸到

原点。的距离为厂，则sina=）,cosa=—,tana=—（%0）

rrx

二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法

1、已知角a的终边上一点P的坐标，求角a的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。

2、已知角a的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角a有关的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离（带参数），根据已知三南函数值及三角函数的定义建立方程，求出

未知数，从而求解问题。

3、已知角的终边所在的直线方程（y=Ax，左力0）,求角的三角函数值

方法：先设出终边上一点尸（a,Aa）,awO,求出点。到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，

注意。的符号，对。进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角a的三角函数值

【注意】不要忽略角的终边在坐标轴上的情况

3.已知P（-3,4）为角a终边上一点，则sina+cosa=.

4.（2024•山东青岛•一模）已知角d终边上有一点p]tan：兀,2sin[-[兀则cosd的值为（）

A.；B.--C.-且D.巫

2222

【巩固练习1】（2024•江西・二模）已知角a的终边经过点贝!|cosa=（）

A.逅B.立C.72D.正

332

【巩固练习2】如果角a的终边在直线y=2x上，则sm"+2c°s”=（）

3sina-cosa

【巩固练习3】在平面直角坐标系中，角。的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终

c\

边经过点P—,且sintz=［x,则X的值可以是（）

A.±72B.±1C.0D.±2

【巩固练习4】已知角a的终边经过点尸（l,2sinc）,贝Usina的值不可能是（）

A.也B.0C.一且D.g

222

【题型3】对sina,cosa,tana的知一求二问题

基础知识

1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2a+cos2«=1求解

2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sina±cosa,sina・cosa建立联系

sina

3、知切求弦：先利用商数关系得出sina=tana・cosa或cosa=tana,然后利用平方关系求解

5.若sina=一百,贝!Jtana=.

6.已知夕£（0,兀）冈11夕=以九夕，则sin6cose=（）

A.一0B.--C.gD.0

2乙

【巩固练习1］已知asina=|,则cose等于（）

【巩固练习2］若。£I0,—tang=：,贝（|sin。一cos6=

【巩固练习3】（2023年全国甲卷真题）设甲：sin2a+sin2/7=1,乙：sina+cos尸=0,则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【题型4]弦切互化求值

「核心•技巧77

1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值.常见的结构看：

(1)sina,cosa的二次齐次式(如asin2a+bsinacosa+cccWa)的问题常采用“切”代换法求解；

(4sina+Z;cosa)

(2)sina,cosa的齐次分式(如csina+dcoscj的问题常采用分式的基本性质进行变形.

sina

2、切化弦：利用公式tana=cosa,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切的时候，采用此技巧.

7.已知sina+cosa=3cosatana,则cc^atana：()

332

A.--B.—C.—

555

8.若tan9=2,贝!Jsin<9(cos，一sine)=.

9.已知角6的大小如图所示，则1+s蜉=()

cos2”

【巩固练习1］已知tan&=2,则巴(~a)+3sina=________

4cos<z—sina

【巩固练习2】已知tan6=2,贝Usin26+3cos?6=

1

【巩固练习3]已知tan0=2,则的值是

sin26+cos29

【题型51sinaicosa与sinacosa的关系

/核心•技巧/

对于sina~\~cosa,sina一cosa,sinacosa这三个式子，知一可求二：(sina±cosa^二1±Isinacosa

10.（多选题）已知sina-cosa=@,0<cr<7i,则下列选项中正确的有（）

5

A.sina-cosa--B.sina+coscz=—

55

-15

C.tana+-------=一D.sin。』

tana35

11.已知a为第三象限角,sina-cosa=——，贝！!tan2a=()

3

A.一撞B一侦「2蓬n2百

5335

7

【巩固练习1】已知cosA+sinA=A为第四象限角，则tanA等于（)

125125

A.B.C.D.

512y12

【巩固练习2】（多选题）已知°£（0,兀），sina+cosa,则下列结论中正确的是（

5

32V10

A.sin2&=——B.COS6Z-Sin6Z=

55

4

C.cos2a=一D.tana=-3

5

【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数

法心•隹，

一、诱导公式

公式--•二三四五六

71n

角2左万+a(kGZ)〃+a—(Xn-a---a----FOL

22

正弦sincr一sina-sinasinacosacosa

余弦cosa一cosacosa一cosasina-sina

正切tanatan夕-tana-tana

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

二、把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

任意负角任意正角0〜2兀的

利用诱导公式利用诱导公式二I锐角三I

的三角函的三角函角的三角

1数三或一数函数或四或五

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了

12.点尸(sin2022°—cos2022°,sin2022°cos2022°)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

■■一，jsina----cos-------\-atan(^-cr)

【巩固练习1】已知a为第三象限角，/⑶(2)[2J、=

tan(-a—%)sin(—a—%)

・一一.一，4一…2sin(K-a)-3tan(3ii-a)

【巩固练习2】已知sin(a+7u)=—,且sinacosa<0,贝(J---------:-----;-------;---------=

54cos(a-7i)

【巩固练习3】已知角。的顶点在原点，始边与1轴的非负半轴重合，终边经过点尸（3,y）,且

4

tancr=——.

3

sin(兀-a)+2cos(兀+a)

(1)求sina+cosa的值;(2)求.「3「3工的值.

sin-Tt-a-cos—Tt+a

12J12.

【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题）

核心•技巧

（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任

意角的三角函数化成锐角三角函数.

(2)通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.

(3)等可利用诱导公式把的三角函数化

A.一还2721

B.C.

3333

兀471

14.已知sina+则cosa

356

34

AB.C.

-4555

ng,则sin12aq71

15.已知cosCtH-----

66

【巩固练习1】已知cos[a+?-)=二，则sin(0+7)=()

4334

A.B.C.D.

555

【巩固练习2］若=则cos(5+tz］等于()

A.—叵B.叵C.--D.

333

【巩固练习3】已知sin+=＞贝Ucos［夸■_2a］=_____二

【题型8】扇形弧长与面积的计算

核心•技巧

一、扇形弧长与面积的爰茶公式

已知扇形的半径为R,圆心角为。

弧长公式：i=e-R

11,

面积公式：s=—iR=—eN

22

二、应用弧度制解决问题的方法

（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

16.（2024・四川南充•三模）如图，圆。内接一个圆心角为60。的扇形A3C,在圆。内任取一点,

该点落在扇形A3C内的概率为（）

7T

17.（2024・辽宁抚顺・三模）已知圆锥的底面圆的半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为5的扇形,

则该圆锥的母线长为（）

57

A.-B.3C.-D.4

22

18.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形0。截去同心扇形所得部分，已知A£）=lm，弧

2

AB=jm,弧CD=^m,则此扇环形砖雕的面积为m.

19.若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是.

【巩固练习1】已知扇形的周长为20cm,则当扇形的圆心角扇形面积最大.

【巩固练习2]（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的

杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，A8是以。为圆心，04为半径的圆弧，C是

rr）2

的中点，。在AB上，CDLAB.“会圆术''给出A3的弧长的近似值s的计算公式：S=+当

OA

Q4=2,NAO5=60。时，s=()

D

9-3月9-4百

--2--2

【巩固练习3】下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环A8CD已知AB=2TI，

AD=3.且该扇环ABCD的面积为9兀，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为.

19thAsianGames

Hangzhou2022

【题型9】割圆术

核心•技巧

割圆术其核心思想是通过不断倍增圆内接正多边形的边装，使正多边形的周长无限接近圆的周长，

进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具

体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、正二十四边形等，直至边数无法再增，

此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。

20.《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合

体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正〃边形等

分成"个等腰三角形（如图所示），当〃越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用

割圆术的思想，可得到sin5。的近似值为（）

21.我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以

至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正

3072边形，用正多边形的面积逼近