2025年高考数学复习之解答题：集合（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题(解答题)：集合(10题)

—.解答题(共10小题)

1.(2024•苏州模拟)设S为空间直角坐标系E中的一个非空闭凸集，即SW0,且若尤,yeS,则对任意ke[0,

1]有kx+(1-左)疾乱且对任意的yeCES,都存在e>0,使得{xCE|y-x<e}UCES,这里同为线段a

的长度.称TuR的下确界或最大下界为6斤，定义为小于等于在T中的所有数的最大实数，如果不存

在这样的实数，则记为-8.己知若。为闭集，则CE。为开集.

(1)设点w(0,1,0),S={(%,y,0)|0<x3<y<y[3x],证明：S为非空闭凸集，并求讥-x\.

XES

(2)证明：对任意存在唯一的一个元eS,使得|y—羽=—x|；

xes

(3)证明：对任意y《ES,存在非零向量p以及实数c>0,使得对任意xCS,都有：p-y^p'x+c.

2.(2024•台州模拟)设A,B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x,按照某种确定的对

应关系力在集合2中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的尤对应不同的y；同时B中的每一

个元素y,都有一个A中的元素尤与它对应，则称/：A-B为从集合A到集合8的一一对应，并称集合

A与8等势，记作彳=耳.若集合A与8之间不存在——对应关系，则称A与8不等势，记作Z4月.

例如：对于集合人="*,8={2川〃6N*},存在——对应关系y=2x(xCA,y£B),因此Z=反

%2y2==

(1)已知集合C={(x,y)|W+y2=l},D={(x,y)|一+—=1},试判断C=O是否成立？请说

43

明理由；

(2)证明：

①(0,1)-(-00,+OO);

②N**{x\xcN*}.

3.(2024•景德镇模拟)设X,y是非空集合，定义二元有序对集合XXy={(尤，y)|xCX,匹卜}为X和F

的笛卡尔积.若RUXXK则称R是X到Y的一个关系.当(x,y)eR时，则称x与y是R相关的，

记作xRy.已知非空集合X上的关系R是XXX的一个子集，若满足VxCX,有则称R是自反的：

若Vx,yEX,有xRy,则yRx,则称R是对称的；若Vx,y,zEX,有xRy,yRz,则xRz,则称R是传递

的.且同时满足以上三种关系时，则称R是集合X中的一个等价关系，记作〜.

(1)设乂={1,2,3,4,5,6},R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(2,2),(2,5),(3,2),

(4,2),(4,4),(5,5)},A={1,2,3},B={4,5,6),求集合尸={y|xeA,xRy}^Q={x\yEB,

xRy}；

(2)设R是非空有限集合X中的一个等价关系，记X中的子集印R=｛yeR尤ex,xRy｝为x的R等价类,

求证：存在有限个元素MWX,使得X=uni=l[xi]R,且对任意方？，[刈|RA[切?=6G,JG｛1,2,…,

«));

(3)已知数歹U｛/y｝是公差为1的等差数列，其中瓦一，依N+,数列｛.｝满足与=鸵，其中

°n~L狂an

mWO,前”项和为8(尤N+).若给出«上的两个关系&=｛((m,n),(p,q))e(其x悔)|笔&=

am-t-(zn

黑判和/?2=｛((m,71),(P，q))6(嚼X壮)|沿鬻C｛四｝,ieN+),请求出关系R=K1AR2,判断

R是否为N?上的等价关系.如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出N?中所有

等价类作为元素构成的商集合N?/〜.

4.(2024•马鞍山模拟)已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果Vx,疾5,总有x+y,x-y,x-y£S,

x

则称S是数环.设尸是数环，如果①尸内含有一个非零复数；②Wx,yeF且y=0,有-6F,则称尸是

'y

数域.由定义知有理数集Q是数域.

(1)求元素个数最小的数环S；

(2)证明：记Q(W)=｛a+g6|a,bGQ｝,证明：Q(遮)是数域；

(3)若Fi,尸2是数域，判断乃U尸2是否是数域，请说明理由.

5.(2024•重庆模拟)设集合S、T为正整数集N*的两个子集，S、T至少各有两个元素.对于给定的集合

S,若存在满足如下条件的集合T：

①对于任意a,beS,若aWb,都有abeT；②对于任意a,beT,若a〈b,则一eS.则称集合T为集

a

合S的“K集”.

(1)若集合Si=｛l,3,9｝,求Si的“K集”71；

(2)若三元集S2存在“K集”乃，且乃中恰含有4个元素，求证：1WS2；

(3)若$3=｛xi,xi,初｝存在"K集"，且求〃的最大值.

6.(2024•顺义区一模)给定正整数设集合A=｛ai,ai,,,,,an].若对任意i,户｛1,2,…，n],

ai+aj,可两数中至少有一个属于A,则称集合A具有性质P.

(I)分别判断集合｛1，2,3｝与｛-1,0,1,2｝是否具有性质P；

(II)若集合A=｛1,a,b｝具有性质尸，求a+6的值；

(III)若具有性质尸的集合B中包含6个元素，且1B8,求集合艮

7.（2023•南阳模拟）已知集合，={x|xW-3或x叙2},B={x|l<x<5},C={x\m-l^x^2m].

(1)求ACB,(CRA)UB；

(2)若BCC=C,求实数机的取值范围.

8.(2023•福建二模)一个由实数构成的集合M称为“幸运集”，若它满足以下性质：

(1)对每个无，yE.M,x^y,数x+y,孙均不是0且恰好有一个是有理数；

(2)对每个xCM,/是无理数，求幸运集中元素个数的最大可能值.

9.(2023•顺义区二模)已知实数集A={ai,ai,•••,an]定义(p(A)={aiaj\ai，@WA,i为}.

(I)若4={-2,0,1,2},求(p(A)；

(II)若隼(A)={0,-6,-8,-12,12,18,24},求集合A；

(III)若A中的元素个数为9,求cp(A)的元素个数的最小值.

10.(2023•东城区模拟)对非空数集4B,定义A-B={x-巾CA,y&B],记有限集T的元素个数为⑺.

(1)若4={1,3,5},2={1,2,4},求|A-A|,\B-B\,\A-B\；

(2)若|A|=4,AUN*,B={1,2,3,4},当|A-为最大时，求A中最大元素的最小值；

(3)若囿=圜=5,|4-用=0-目=21,求|A-目的最小值.

2025年高考数学复习之小题狂练600题(解答题)：集合(10题)

参考答案与试题解析

一.解答题(共10小题)

1.(2024•苏州模拟)设S为空间直角坐标系E中的一个非空闭凸集，即SW0,且若x,年5,则对任意长［0,

1］有kx+(1-左)y&S,且对任意的yeCES,都存在e>0,使得{尤6比-尤<e}=CES,这里圈为线段a

的长度.称TuR的下确界或最大下界为。疗，定义为小于等于在T中的所有数的最大实数，如果不存

在这样的实数，则记为-8.已知若。为闭集，则CE。为开集.

(1)设点w(0,1,0),S={(%,y,0)|0<x3<y<V3x］,证明：S为非空闭凸集，并求讥力w-x\.

XES

(2)证明：对任意y《ES,存在唯一的一个元eS,使得|y—羽=讥/ly—x|；

XES

(3)证明：对任意y《ES,存在非零向量p以及实数c>0,使得对任意xCS,都有：p-y^p'x+c.

【考点】元素与集合的属于关系的应用.

【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；集合；数学运算.

【答案】⑴证明见解答，讥=今1

(2)证明见解答；

(3)证明见解答.

【分析】(1)先用定义证明S为非空闭凸集，然后确定llw-xll的最小值为］即可；

(2)利用凸集的定义，分存在性和唯一性两方面证明；

(3)直接根据几何意义，通过几何直观以及内积的性质证明.

【解答】证明：(1)由于(0,0,0)eS,故SW0.

由于对任意(xo,yo,0)GCES,有y()V筮或、()>遮%0或XO<O,故可取

'］3I±

小讥Q(就一出),久o—J就一4(蛭-Vo)),y0<球

£=H(y0-V3%0),y0>瑞，y0>V3x0'

x

-4o^yoNxQx0<0

-x22

则在\\(x,y,z)-(x0,y0,0)11=o)+(7-7o)+<£时，首先有—

222x_x222

7(%-x0)+(y-yo)+z<£,k-xolV(o)+(y-yo)+z<s>故：

如果M)V瑞，就有y-加W|y—Vol<£W4(端一Vo)，且久一刈)2Tx—*ol>—£2-久o+

［谓一'(谓一Vo).

11

故+](瑞一%)，久3>就一4(端一小)，所以

31x11<0,

y-x<y0+4(o-%)-就+/(舄一%)=2(为一舄)

从而(羽y,z)ECES；

如果yo〉B%o，就有y—y0之Ty—y°l>一£之一4(y°一遮%°)，且%—％o工1%-％ol<£<4(、()一

V3%0).

11

故y>y。-4(y0一百万。)，x<%0+^(y0-V3%0)>所以

y-V3x>y0-1(y0-V3x0)-V3%0一苧(为-V3x0)=(y0-V3x0)>0，

从而(x,y,z)ECES.

如果X0<0,就有久—Xo<\x-Xo\VEV—2%O，故X<2%O<0.

从而(%,y,z)GCES.

综上，有｛(x,y,z)EE\(x,y,z)-(xo,yo,0)<e｝UCES,故S是闭集.

由于对a,Z?20,左€[0,1],设(p⑺=攵/+(1-女)户-Qka+(1-女)力3,贝!J

“⑺=3(1-k)?-3(1-k)(ka+(1-k)t)2=3(1-k)(？-(ka+Cl-k)t)2)=k(1-k)

(t-a)((2-左)t+ka).

故只要依(0,1),就有<pG)在[0,上递减，在[。，+8)上递增，故叩(b)2(p(a)=0,即左/+

(1-k)b3^(ka+(1-k)b)3.

显然，当长｛0,1｝时，有％/+(i-k)庐=(3+(1-左)8)3.

故无论如何都有％/+(1-%)/2(3+(1-k)b)3.

故若(xi,y\,0),(X2,”，0)ES,kE[O,1],贝U

3

ky±+(1-fc)y2Nkxf+(1-fc)%2N(K+(1-fc)x2)，ky1+(1-fc)y24k•->j3x1+(1-fc)-

A/3%2=V3(/c%i+(1—k)x：2),kx\+(1-%)x2W0+0=0.

故(fcn+(1-k)X2,kyi+(1-^)yi,0)GS,所以S是凸集.

综上，S是闭凸集.

由于对％=(",v,0)ES,有故

\\w-x\\=y/u2+(v-l)2=J@2+/)+(3—1)2+春)一(

2j2-u-2-1(v-l)-1=+I(V3u-v)>=

而对%o=(苧，*，O)eS,有||卬一&11=息+壶=.

故讥/||w-x||=亍

xes乙

i

（2）设〃=根据〃=讥/y-%的定义，对任意正整数〃，讥fy-％+彳不是y-%的上界，从

XESXESXESn

1

而可取xnES,使得y—x<infy—%

nXESn

那么xne｛xeE\y-x^l｝f所以｛皿｝是有界序列.

从而该序列一定有一个收敛子列｛%欹｝,记%欹7总由于S是闭集，故元es.

1

在II、-V讥川丫一刈+丁两边同时取极限就得到||y-五||<inf\\y-x\\.

XESnkxes

根据〃=inf\\y-%||的定义及元eS^infWy-x\\<||y-x||,所以||y一五||=m/||y-x||.

xesxesxes

假设对不相等的xi,X2ES有||y-=||y-gll=讥/lly-％11，由于xi，xz,y互不相同，而三角形

XES

的中线长一定小于与该中线具有公共端点的两条边中的较长边的长度，故根据几何意义有||y-%寇||

<max（\\y-xr\\,\\y-x2\\）<inf\\y-x\\.

xes

而第I：.£s,这与讥/||y一%||的定义矛盾，所以这样的元是唯一的.

2XES

（3）

设元如（2）所说，过元作y-元的法平面a,如果存在，ES,使得/和y在a的同侧（不包括/本身），

则。至岫元和一确定的直线上的投影」满足—V||y-列=讥力<一刈,而S是凸集,故怎S,这

xes

与讥f||y-%||的定义矛盾.

XES

所以S中每个点都在a上或在a的不包含y的一侧，从而对任意x€S,y-x在y-元上的投影不小于|y-x\,

从而有（y-x）-（y-x）>|y-x|2.

所以取p=y—元，c—\y—x|2,就有（y-恒成立，即p・y》p・x+c.

【点评】本题考查了向量加法法则的几何应用，平面向量数量积的几何意义，解答本题的关键点在于利

用几何意义与向量结合，从而得到相应的代数结论.同时，本题的（2）小问的证明过程使用了结论：

炉中的有界序列必定有收敛子列，这是（2）结论背后的本质，难以规避，属于难题.

2.（2024•台州模拟）设A,8是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素无，按照某种确定的对

应关系了,在集合8中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的无对应不同的y；同时8中的每一

个元素y,都有一个A中的元素尤与它对应，则称力A-B为从集合A到集合8的一一对应，并称集合

A与2等势，记作了=瓦若集合A与2之间不存在---对应关系，则称A与B不等势，记作彳力万.

例如：对于集合4=汽*,B={2a|”eN*},存在——对应关系y=2x(xeA,y&B),因此彳=正

久2-y2==

(1)已知集合C={(x,y)*+/=1},D={(x,y)|—+—=1},试判断C=0是否成立？请说

43

明理由；

(2)证明：

①(0,1)=(-8,+00);

②N*中{x\xGN*}.

【考点】元素与集合关系的判断.

【专题】新定义；集合思想；分析法；集合；数据分析.

【答案】(1)成立，理由见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据新定义判断即可；

(2)①取特殊函数满足定义域为(0,1),值域为R即可利用其证明；

②设A=N*,B={4xUN*},假设了=巨，利用反证法得证.

【解答】解：(1)设尸(尤o,yo)eC,Q=(x,y)eD,令f=2二)'

^=加。，

则c与。存在一一对应，所以集合乙=方.

1

(2)①取函数y=汝荏兀(X—2),其中尤(0,1),yE(-8,+oo),两个集合之间存在一一对应，故

(0,1)=(-8,+00).

备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为(0,1),值域为R即可，

ri1(1

---2,05,ln2x,05，

如：y二=12或丫=2等均可，

—Y+2,7T〈XVI.-2%),亍<xVI.

\x-l2v-ITLvCZ72

②设A=N*,B={x|xCN*},

假设4=8,即存在对应关系/：Af3为一一对应，

对于集合8中的元素{1},{2},{1,2},至少存在一个xeA(xWl,且xW2)与这三个集合中的某一个

对应，所以集合A中必存在娓/(%).

记。={xeA|x时(尤)},则£)三4,故D6B,

从而存在ae4,使得/(a)=£>；

若a&D,贝!|aS/(a)—D,矛盾；

若a《D,则aC/(a)=D,矛盾.

因此，不存在A到2的——对应，所以彳力互

【点评】本题考查集合的应用，考查理解能力和分析能力，属于难题.

3.(2024•景德镇模拟)设X,y是非空集合，定义二元有序对集合XXy={(x,y)|xCX,匹卜}为X和¥

的笛卡尔积.若RUXXY,则称R是X到y的一个关系.当(x,y)CR时，则称尤与y是R相关的，

记作己知非空集合X上的关系R是XXX的一个子集，若满足VxeX,有尤&,则称R是自反的：

若Vx,yEX,有xRy,则yRx,则称R是对称的；若Wx,y,zGX,有xRy,yRz,则xRz,则称R是传递

的.且同时满足以上三种关系时，则称R是集合X中的一个等价关系，记作〜.

(1)设乂={1,2,3,4,5,6},R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(2,2),(2,5),(3,2),

(4,2),(4,4),(5,5)},A={1,2,3},B={4,5,6),求集合P={y|x€A,xRy}^Q={x\yEB,

xRy}-,

(2)设R是非空有限集合X中的一个等价关系，记X中的子集印R={yexwex,xRy}为x的R等价类，

求证：存在有限个元素无iCX,使得X=U“i=1㈤R,且对任意iWj,㈤尺d[芍]尺=巾(z>>6[1,2,…，

〃});

(3)已知数歹(]{』}是公差为1的等差数列，其中瓦力1—,在N+,数列{词满足勾=螃，其中

ai#0,前"项和为防(〃CN+).若给出辑上的两个关系&={(⑺，n),(p,q))6(嚼x嚼)|衿察=

黑豹和R2={((m,m，(p,q))e(Mx悔)|需翳e{&},ieN+],请求出关系R=R1CR2,判断

LLTJILinifiILtj

R是否为N?上的等价关系.如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出N章中所有

等价类作为元素构成的商集合辑/〜.

【考点】元素与集合关系的判断.

【专题】综合题；整体思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】(1)P=[2,3,4,5,6},。={1,2,4,5)；

(2)证明见解答；

(3)R-{((m,n),(p,q))ExN+)\m+n=p+q,mp+nq为奇数},R是Nl上的等价关系,

证明见解答.

【分析】(1)结合所给定义，分别求出x=l,2,3时对应的y的值，y=4,5,6时对应的尤的值；

(2)结合所给定义中的自反性、对称性与传递性，借助反证法可得：Vx,y€X,总有印R=[y]R或印R

A[y]R=0,即可得证；

(3)借助等差数列的性质计算可得数列{即}为等差数列，结合题目所给条件借助反证法可得=

结合所给定义及奇偶性的讨论即可得解.

【解答】解：(1)由「={y|xeA,xRy],A={1,2,3},

R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(2,2),(2,5),(3,2),(4,2),(4,4),(5,5)},

当x=l时，有y=2,3,4,6,当x=2时，有y=2,5,当尤=3时，有y=2,

有P={2,3,4,5,6},

又2={4,5,6},Q—{x\yeB,xRy},

当y=4时，有x=l,4,当y=5时，有x=2,5,当y=6时，有x=l,

则。={1,2,4,5}；

(2)证明：因为R是X中的一个等价关系，由自反性可知》6印对故㈤R不为空集.

若[尤]RC[y]RW0,不妨假设ze[x]RCl[y]R,所以必有xRz与yRz,由自反性可知yRz即zRy,

再由传递性可知xRy.V«e[A]R,则xRm而尤Ry,BPyRx,

于是由传递性有yRa,故V°e[y]R,所以印

同理可证明[y|RU[x]R,所以[x]R=[y]R.

综上所述，Vx,yCX,总有印R=[y]R或印KC[y]R=0.

任取xiex构成又任取x2eCx[xi]R构成MR,

再任取构成[%3]R,…,

以此类推，因为X是有限集合，结合上述结论可知必存在有限个元素x,WX(i=l,2,?n),

n

使得X=U[Xi],其中卬]RA㈤R=0gj)；

i=lR

?1k.

(3)证明：因为瓦Wl—『％EN+,所以;----W——,

kbr-l2

11

故V〃EN+,----=-----+n—1W0,所以加必存在.

bn-lb±-l

11

由题意可知当时，有■;-------------=1,

如一1

1

整理即：匕=2—彳」，

Dn-1

将“=等i代入得：%1=2_

n“九

即劭+1+劭一1=2诙，所以数列｛斯｝为等差数列，设其公差为d,

显然加3CLp—CLn

当m+n=p+q时，,成立.

ctm+anQp+Qq

当机+〃#p+q时，因为加力1,—1,即数列｛斯｝不为常数列，

an

aaaaaaaa

..m~qp~n(.m~q^~(.p~n)(<2m+tln)—(ctp+dg)

贝nil〃根即+〃q,所以==~-~~~=77~~T=1,所以dm

CLm+CLnCLp+CLq++(0771+“71)_(。召+“q)

-dq—Ctm^Cln,BP〃〃+〃q=0.

.。2

由一=b]今d=a2一0]=(^i—l)^i-

a1一

而斯+〃夕=2〃1+("+q-2)d=ai«n+q-2)(/?i-1)+2)=0,因为〃1WO,所以(几+q—2)(瓦—1)+2=

2

0=打一1

n+q—2.

7一

而瓦-1W--T9显然此方程无解，所以。〃+的#0,与题意矛盾，

K

综上所述只有M+〃=p+q.所以Ri=｛((zn,n),(p,Q))exN^)\m+n=p+q).因为7np+因=

mp+nq

°i+a了叫由于数列｛即｝不为常数列，

当初+收为偶数时，"尸史｛册｝,

当mp+nq为奇数时，---7np+迎=gmp+nq+iE｛4｝,

22

故预?+的为奇数.所以&=｛((M，8)，(P，q))E(N?xN?)17np+nq为奇数),

R=&八&=｛((M，几)，(P，q))E(N：xJV+)|m+九=p+q,mp+nq为奇数｝,

而仍升的为奇数，所以啊?与阳一奇一偶，所以机，n,p,q三奇一偶或两奇两偶,

又m+n=p+q,所以机，n,p,q不可能三奇一偶，

故如p均为奇数，n,q均为偶数或机，p均为偶数，n,q均为奇数.

m,p为奇数或pn,p为偶数

所以R=｛((m，九)，(p,Q))e(Af+xN+)\m+n=p+q,n,q为假数lLi,q为奇数

当｛；=；时，((机，〃)，(m,〃))GR,所以7?是自反的；

当((m,n),(p,q))GR,将加，〃与p,9取值对调，

则((p,q),(m,几))GR,所以R是对称的；

当((m,〃)，(p,q))ER与((p,q),(r,s))GR,即小+〃=p+q=r+s,

其中机，p,r为奇数，n，q,s为偶数或M,p,r为偶数，n,q,s为奇数,

所以（（m,〃），（r,s））GR,所以R是传递的.

综上所述，R是评上的等价关系，

其中N?/~={（zn,几）E+n=2/c+Lm三i（bmod2）,kEN+,ie{0,1}}.

【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于难题.

4.（2024•马鞍山模拟）已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果Vx,yES,总有x+y,x-y,x*yESf

x

则称S是数环.设厂是数环，如果①尸内含有一个非零复数；②Wx,yeF且y=0,有-6尸，则称尸是

y

数域.由定义知有理数集Q是数域.

（1）求元素个数最小的数环S；

（2）证明：记Q（W）={a+g6|a,bGQ）,证明：Q（遮）是数域；

（3）若为，乃是数域，判断乃U尸2是否是数域，请说明理由.

【考点】元素与集合关系的判断.

【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】（1）S={0}；

（2）证明过程见解析；

（3）F1UF2不一定是数域，理由见解析.

【分析】（1）根据数环的概念求解；

（2）根据数域的概念证明；

（3）FIUF2不一定是数域，举反例说明即可.

【解答】解：（1）S是数环，所以集合S非空，即S至少含有一个复数，

取a&S,则a-a=0eS,

而显然{0}是一个数环，故5={0}；

（2）证明：显然0,1£Q（V3）,对任意a1+瓦be。（b），a2+b2y/3eQ（V3）.ai,b\,ai,teGQ,

由O是数域知，（的+±（a2+。2百）=（的±42）+（Jh土b2）V3eQ（g），（的+^iV3）•（a2+

八6、,」以八、一八，卜、牝+%遮a1a2-3&1&2arb2-bra2r-

⑦百）=（的。2+3瓦玩）+（a/?+瓦）5CQ（旧），=al_3b，+a，_3b，V3e

Q电）,

故Q（遮）={a+V3fo|a,bEQ］是一个数域；

（3）FIUF2不一定是数域，理由如下：

取&=Q(遮)={a+V3b|a,6eQ},F2=(2(V2)={a+y[2b\a,bGQ),

则百eQ(b),V2eQ(V2),但遮•加=乃6(2(旧)uQ(V^),

故BUR不是数域，

而若H,R是数域，且乃仁政，则为口乃=尸2是数域.

【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于中档题.

5.(2024•重庆模拟)设集合S、T为正整数集N*的两个子集，S、T至少各有两个元素.对于给定的集合

S,若存在满足如下条件的集合T：

①对于任意a,beS,若aWb,都有abeT；②对于任意a,b&T,若a〈b,则'eS.则称集合T为集

a

合S的“K集”.

(1)若集合S1={1,3,9},求Si的“K集”71；

(2)若三元集S2存在“K集”乃，且72中恰含有4个元素，求证：1WS2；

(3)若S3={xi,XI,■■■,Xn}存在"K集"，且求"的最大值.

【考点】元素与集合关系的判断.

【专题】综合题；集合思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】⑴T={3,9,27}；

(2)证明见解答；

(3)4.

【分析】(1)根据定义直接求解；

(2)利用反证法推矛盾即可证明；

(3)设结合(2)的结论推出xi=l不成立，结合定义和尤1W1得“W4即可求解.

【解答】解：(1)若S1={1,3,9),由题意可得，1X3,1X9,3X9GT,即3,9,276T,此时1,y,

27

6S],满足题意，

91

2727

假设集合T中还有第四个元素为则由题意可知：若£<3,即丁>9,则工£51，所以不成立；

若/>3,则：ESi，所以/=3或9或27,矛盾.故集合T中无四个元素，所以集合7={3,9,27).

(2)设集合S2={〃1,〃2,。3},不妨设

假设1WS2,即。1=1,则且。2,43,a2c13ET,

由②知二£S2，注意到IV察V的，故有」=①即的=今，所以$2={1,。分，

。202a2

故a2a3=堵£7，即a2f^ET，因为集合T中有4个元素，故设7={。2，堵，境，£},

，则华>a|,所以半

由②可得:若t<a2《$2,矛盾;

若力〉。2，26s2,则工=1或〃2或道，所以£=〃2或嫌或成，与集合元素的互异性矛盾,

假设错误，故WS2.

(3)S3=｛%>…，xn1之N*,Xr,%2，…，xnEN*,不妨设lWxi〈X2<…V%,

XoX-nX-ntXi

所以％1X2ET,X2XnET,XlX2<X2Xn,故-----=一GS3，同理可得一GS3(1<t<J<H),

X±X2%iXi

若%1=L与(2)类似得S3=｛L%2,好，…，域T｝，从而必有无2，尹一3£7,

..J

对任意的1-3,有%/=—X^£$3，即短，•••%2n-4^39所以2〃-4W〃-l,即〃W3.

x2

若"1,即"2,1<^7<xn,故瓷=/_、=X"-2,=犯’资="

XX

1尤11xr%1%1%1

所以%2=无/，%3="；，***/Xj2-1=1，工打—,即S3—｛%i，%/，,,,,｝，从而必有工半，X：,

…，短1TeT,

,xj

对任意的3W/W2九-1,必有％/=TES3，即蝮，者，…％尹一4^$3，所以2〃-4W九，即〃W4.

X1'

综上，得〃W4,又〃=4时，有5=｛2,4,8,16｝,T=｛8,16,32,64,128｝符合题意，

所以w的最大值为4.

【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题.

6.(2024•顺义区一模)给定正整数〃N3,设集合A=｛m,a2,an].若对任意i,je｛l,2,,,,,n),

ai+aj,勾两数中至少有一个属于A,则称集合A具有性质P.

(I)分别判断集合｛1,2,3｝与｛-1,0,1,2｝是否具有性质P；

(II)若集合A=｛1,a,b｝具有性质尸，求a+6的值；

(III)若具有性质P的集合B中包含6个元素，且163,求集合2.

【考点】元素与集合关系的判断；数列的应用.

【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算.

【答案】(I)集合｛1,2,3｝不具有性质P,集合｛-1,0,1,2｝具有性质尸.

(II)-1.

、1132112

(III){—2,—1/0,1/2},{—L一工,0/1/]},L可，-0，3fI)'{-3,-2,

—1/0/1/2｝或｛—2，—1/—2，0，2f1｝，

【分析】(I)根据性质P的定义，即可判断两个集合是否满足.

(II)根据性质尸的定义，首先确定。6｛1,〃，b],再讨论1+Z?是否属于集合｛1,0,b｝,即可确定Z?

的取值，即可求解.

(ni)首先确定集合5中有o,并且有正数和负数，然后根据性质尸讨论集合中元素的关系，即可求解.

【解答】解：(I)集合{L2,3}中的3+3=6任{1,2,3),3-3=0直1,2,3),

所以集合{1,2,3}不具有性质产，

集合{-1,0,1,2}中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合{-1,

0,1,2),所以集合{-1,0,1,2}具有性质产；

(II)若集合A={1,a,。}具有性质P,记m=相〃%{1,a,b},则m21,

令ai=aj=m,则2相£{1,a,b},从而必有0e{l,a,b},

不妨设〃=0,则4={1,0,b],Z?W0且bWl,

令的=Laj=b,则{1+41-Z?}A{1,0,分#0,且{1+4b-1}A{1,0,Z?}W0,后0且二WL

以下分类讨论：

①当1+加{1,0,。}时，若1+8=0=匕=-1,止匕时，A={1,0,-1}满足性质产；

若1+6=1=8=0,舍；若l+b=b,无解；

②当1+於{1,0,切时，则{1-4b-1}C{1,0,b],注意6W0且bWl,可知Z?无解；

经检验A={1,0,-1}符合题意，

综上a+b=-1；

(III)首先容易知道集合3中有0,有正数也有负数，

不妨设3={-从，-bk-\,…，-bi,0,ai,•••,ai],其中左+/=5,0<ai<---<ab0<Z?i<---<

bk,

根据题意{m-a/,…,ai-1-ai]Q{-bkf-bk-i,…,-b\],

且{从-bl,bk-1-b\,…，bi-b\]^{a\,ai,…a/},从而(鼠Z)=(2,3)或(3,2),

①当(怎Z)=(3,2)时，{to-b\,加-历}={。1,ai},

并且{-加+加，-Z?3+Z?2}={-bi,-历}今加=Z?i+Z?2,ai-aiE{ai,42}今。2=2QI,

由上可得(历，bi)=(to-bi,fo-b2)=(〃2,ai)=(2ai,ai),并且/?3=Z?i+/?2=3m,

综上可知8={-3m,-2tzi,-ai,0,a\,2示1}；

②当Qk,Z)=(2,3)时，同理可得5={-2QI,-a\,0,a\,2ai,3m},

据此，当5中有包含6个元素，且1EB时，符合条件的集合5有5个，

11Q7117

分另U是{—2,—1,0,1/2},{-1，—0，2f1，2)f{-W，—W，0，3f可，1}/{-3，—

2,—1/0,1f2}或{—楙，—1/—0，1)•

【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题.

7.(2023•南阳模拟)己知集合4={尤|尤W-3或无三2},B={x|l<x<5},C={x\m-l^x^2m}.

(1)求AAB,(CRA)UB；

(2)若8CC=C,求实数机的取值范围.

【考点】交、并、补集的混合运算.

【专题】集合思想；定义法；集合.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据交集、补集和并集的定义计算即可；

(2)由8CC=C知C&B,讨论机的取值情况，求出满足条件的机取值范围.

【解答】解：(1)集合A={x|xW-3或无三2},B={x|l<x<5},

；.AnB={x|2Wx<5},

CRA={X|-3<x<2},

(CRA)UB={X|-3<x<5}；

(2)'：BDC=C,：,CQB,

又C={冲nTWxW2m},

①当C=0时，-1>2〃2,解得优<-1;

m—1<2m

m-l>l,2<m<|；