第28讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第28讲空间几何体的结构特征、表面积与体积（7类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第9题,5分柱体体积的计算2023年天津卷，第8题,5分锥体体积的有关计算证明线面垂直2022年天津卷，第8题,5分柱体体积的有关计算求组合体的体积2021年天津卷，第6题,5分锥体体积的有关计算球的体积的有关计算2020年天津卷，第5题,5分球的表面积的有关计算2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握几何体的有关特征，掌握不同几何体的表面积与体积的计算公式。2.能掌握不同几何体的展开图的特征。3.具备数形空间思维，会计算空间几何体中的最短路径问题。4.会解外接球，内切球与棱切球问题。【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出几何体，求解几何体的表面积。体积与球的相关问题。知识讲解知识点一.构成空间几何体的基本元素—点、线、面1.空间中，点动成线，线动成面，面动成体．2.空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．知识点二.简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1.棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．知识点三.简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1.圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2.圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4.球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．知识点四.组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．知识点五.表面积与体积计算公式1.表面积公式表面积柱体为直截面周长锥体台体球体积公式体积柱体锥体台体球知识点六.空间几何体的直观图1.斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系．（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于O'x'，O'y（3）画出对应图形．在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去x'轴、y注：直观图和平面图形的面积比为242.平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．考点一、空间几何体的结构特征1.（·北京·高考真题）如图，在正方体ABCD−A1B1C1A．3个 B．4个C．5个 D．6个2.（2007·安徽·高考真题）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）.①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.

1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）碳60（Co）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（

）.A．12 B．14 C．18 D．202.（2023高三上·广西·学业考试）如图、以矩形ABCD的边AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（

）A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球3.（2024·福建泉州·模拟预测）要使正方体ABCD−A1B1C1D14.（24-25高三·上海·随堂练习）连结正三棱柱的6个顶点，可以组成个四面体．考点二、空间几何体的表面积1.（24-25高三上·安徽·开学考试）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（

）A．44π B．46π C．48π D．50π2.（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AB=1，BC=3

A．26π+5π B．3π+5π C．11π1.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA,PB,PC两两垂直，且母线长为A．2π B．26π C．62.（2024·福建福州·模拟预测）已知圆锥SO的底面半径为1，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥SO截成上､下两部分，若截得小圆锥的体积为324π，则圆锥A．4π B．2π C．2π D．3.（24-25高三上·河南·开学考试）已知圆锥的高与底面半径之和为3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（

）A．25π B．25+4π 4.（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BCA．4 B．10+42 C．12+42 考点三、空间几何体的体积1.（2023·天津·高考真题）在三棱锥P−ABC中，点M,N分别在棱PC,PB上，且PM=13PC，A．19 B．29 C．132.（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为mm，升量器的高为mm．1.（2024·全国·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2r2−2.（2023·全国·高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA3.（2023·全国·高考真题）在正四棱台ABCD−A1B14.（2023·全国·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．考点四、几何体的直观图1.（2024·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中D'是B'C'的中点，且A'DA．2 B．2 C．22 2.（2024·四川成都·模拟预测）如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与x'轴和

A．82 B．122 C．241.（2022高三·全国·专题练习）下图中小正方形的边长为1，四边形ABCD为某图形的直观图，则该图形的面积为（

）A．7528 B．7524 C．2.（2022·全国·模拟预测）如图，在水平放置的平面α上画一个边长为2的等边三角形，在斜二测画法中线段AC的长为.3.（23-24高三上·贵州黔西·阶段练习）如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的平面图形OABC4.（2023·辽宁锦州·模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示，O'A'=3C'B'

考点五、几何体的展开图1.（·广东·高考真题）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（

）A．1+4π4π B．1+2ππ C．1+2π2π2.（·北京·高考真题）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°1.（2022·全国·高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若A．5 B．22 C．10 D．2.（2024·陕西西安·模拟预测）如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（

）

A．AB∥HG B．CG⊥BH C．3.（2022·江苏连云港·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（

）A．72π24 B．73π244.（2024·全国·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为α的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为β的扇形，则当β−α的值最大时，A．1 B．2C．π2−1 考点六、最短路径问题1.（24-25高三上·广东·开学考试）圆锥顶点A，底面半径为1，母线AB=4,AB的中点为M，一只蚂蚁从底面圆周上的点B绕圆锥侧面一周到达A．0 B．255 C．452.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知某圆锥的轴截面是顶角为α的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为β的扇形，则当α−β最小时，A．1 B．2 C．π2−1 1.（2019高三·全国·专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为43

A．153 B．3235π27 C．2.（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB

A．3 B．732 C．1563.（23-24高三上·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为O1，O2，母线AB=1（点A位于上底面），且BO2A．1 B．3 C．2 D．54.（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=考点七、球相关问题1.（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和4A．100π B．128π C．144π D．192π2.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤A．18,814 B．274,8141.（2022·全国·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A．13 B．12 C．332.（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为A．3π B．4π C．9π3.（2021·全国·高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC,A．212 B．312 C．244.（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πrA．26% B．34% C．42% D．50%1．（23-24高三下·天津南开·阶段练习）三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（

）A．27−9π4cm3 B．27−7π42．（2024·天津·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1A．23 B．23 C．423．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，O为四边形ACC1A1A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．2:34．（2024·天津滨海新·二模）如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之比（

）A．32，65 B．54，54 C．32，35．（2023·天津河北·一模）一个体积为43A．18 B．27 C．36 D．546．（2024·四川宜宾·二模）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E､F分别为棱PA和PB中点，则四棱锥A．25 B．37 C．381．（2024·天津·三模）已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1A．3 B．2 C．33 2．（23-24高三下·天津·阶段练习）如图，正方体ABCD−A1B1A．43 B．1 C．8+2393．（2024·天津武清·模拟预测）四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA⊥AB,A．四棱锥P−ABCDB．四棱锥P−ABCDC．在△PAC中，当AM⊥D．四棱锥P−ABCD4．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知AB，CD分别是圆台上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A．283 B．323 C．145．（2024·天津·二模）天津包子是一道古老的传统面食小吃，是经济实惠的大众化食品，在中国北方，在全国，乃至世界许多国家都享有极高的声誉.某天津包子铺商家为了将天津包子销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让天津包子走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为4cm的圆柱体和球缺（球的一部分）组成的单独包装盒，球缺的体积V=π3R−ℎℎ2A．198π3 B．196π3 C．172π36．（23-24高三下·天津·阶段练习）如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90∘,AB=(1)求证：DF//平面ABE(2)求平面ABE与平面BEF的夹角的余弦值；(3)求三棱锥F−1.（2023·全国·高考真题）已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=A．22 B．32 C．422.（2