第17讲 三角函数的图像与性质（教师版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第17讲三角函数的图像与性质（10类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第7题,5分求含正弦(型)函数的值域和最值由正弦(型)函数的周期性求值2023年天津卷，第6题,5分求正弦(型)函数的最小正周期求正弦(型)函数的对称轴及对称中心求含cosx的函数的最小正周期求cosx(型)函数的对称轴及对称中心2022年天津卷，第9题,5分求sinx型三角函数的单调性，求含sinx(型)函数的值域和最值，求正弦(型)函数的最小正周期，描述正(余)弦型函数图象的变换过程2020年天津卷，第8题,5分结合三角函数的图象变换求三角函数的性质2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握三角函数的图像与性质，能够利用图像解决三角函数的定义域与值域问题2.能掌握三角函数的奇偶性与对称性问题3.具备数形结合的思想意识，会借助三角函数图像，解决平移与伸缩变换问题4.会解三角函数解析式，会根据三角函数的图像特征解决三角函数含参问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查三角函数图像特征与三角函数的周期性与对称性问题。知识讲解知识点一.三角函数的图像1．五点法作图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图：(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(k∈Z))值域[－1，1][－1，1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数函数的最值最大值1，当且仅当x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z时取得；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z时取得；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z时取得无最大值和最小值单调性增区间：[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)；减区间：[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z)增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)增区间(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)周期性周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π对称性对称中心(kπ，0)，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z对称轴x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴零点kπ，k∈Zkπ＋eq\f(π,2)，k∈Zkπ，k∈Z3.常用结论（1）函数y＝sinx与y＝cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线．（2）正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期．正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．（3）三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．（4）对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数．知识点二.三角函数的平移与伸缩变换1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点x－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径3.两种变换的区别（1）先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．(2)变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．4.两种变换的注意点（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．（2）由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．（3）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．5．简谐运动的有关概念与规律（1）相关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ（2）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．（3）由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．考点一、三角函数的定义域1.（2024·浙江金华·模拟预测）若集合A=xsinx+π6A．A B．B C．∅ D．A∪B【答案】B【分析】借助三角函数的性质与对数函数的性质可计算出集合A、B，即可得解.【详解】由sinx+π6即A=x由lnx+π6即B=x−π故A∩B=B.故选：B.2.（2022高三上·河南·专题练习）函数fxA．(1,π2)∪(π2,4) B．(1,【答案】B【分析】由对数的真数大于零，二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得结果.【详解】要使fx有意义，需满足x−1>0解得1<x<4且x≠π所以定义域为(1,π故选：B．1.（22-23高三·全国·对口高考）函数y=16−A．[−4,4] B．−4,C．[−4,−π)∪(0,π【答案】D【分析】列出使函数有意义的不等式组求解即可.【详解】y=16−x2lg(sinx)解得x∈[−4,−π故选：D2.（20-21高三上·江苏镇江·阶段练习）函数y=lnA．π6,1 B．−1,π6 C．【答案】A【分析】由对数真数大于零和根式被开方数大于或等于零得不等式组，解不等式，取交集，得到函数的定义域.【详解】由题知，3−2x−x由3−2x−x2由2sinx−1≥0解得，π6当k=0时，由−3<x<1,π6≤x≤当k=1时，区间−3,1和13π6当k=−1时，区间−3,1和−11π所以函数的定义域π6故选：A.3.（2022高三·全国·专题练习）函数fxA．0,3 B．xx<3且C．0,π2∪π2【答案】C【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解．【详解】解：由3−xx＞0cos∴0<x<3且x≠π∴函数fx=lg故选：C．4.（2024高三·全国·专题练习）函数y＝sinx−2sinx−【答案】{x|x≠【详解】由sinx≠cosx，得tanx≠1，即x≠π4＋kπ，k∈所以函数y＝sinx−2sinx−5.（2020高三·全国·专题练习）函数y=lnsinx【答案】x|2kπ<x≤【分析】首先根据题意得到sinx>0【详解】由题知：sinx>0cosx≥12解得：2kπ<x≤π3+2kπ所以函数的定义域为x|2kπ<x≤故答案为：x|2kπ<x≤【点睛】本题主要考查三角函数的定义域，同时考查了对数函数的定义域，属于简单题.考点二、三角函数的值域与最值问题1.（2024高三·全国·专题练习）若x，y满足x24+y2【答案】3【分析】利用三角换元求解二元变量的最值即可.【详解】设x=2cosθ,y=sin因此2x+y=223sinθ+φ∈−3,3，所以当故答案为：3.2.（2024·江苏·模拟预测）在梯形ABCD中，AB//CD,DA=DB=DC=1，则该梯形周长的最大值为【答案】17【分析】设∠BAD=α,α∈0,π2，在△ABD和△BCD中，分类利用余弦定理求出AB,BC【详解】设∠BAD=α,α∈0,则∠BDC=α,∠ADB=π在△ABD中，由余弦定理得A=2−2cos所以AB=2cos在△BCD中，由余弦定理得B=2−2cos所以BC=2sin则AB+BC=2cos因为α∈0,π2，所以α则当sinα2=14所以梯形ABCD周长的最大值为94故答案为：174【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”；（2）利用余弦定理实现“角化边”.求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.1.（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数y=Asinx−ππ7π5πωx+φ0ππ3π2πA030-30根据表中数据，求：（1）实数A，ω，φ的值；（2）该函数在区间3π4【答案】（1）A=3，ω=2，φ=π3；（2）最大值是3，最小值是【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解A，ω，φ的值即可.（2）首先根据（1）知：y=3sin2x+π【详解】（1）由表可知ymax=3，则因为T=5π6−−π6=π，T=因为函数图象过点π12,3，则3=3sin所以π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，解得又因为φ<π2（2）由（1）可知y=3sin因为3π4≤x≤5π因此，当2x+π3=11π6当2x+π3=5π2所以该函数在区间3π4,5π2.（2021·浙江·高考真题）设函数fx（1）求函数y=f（2）求函数y=f(x)fx−π4【答案】（1）π；（2）1+2【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得y=1−sin（2）由三角恒等变换可得y=sin【详解】（1）由辅助角公式得f(x)=sin则y=[f(x+所以该函数的最小正周期T=2π（2）由题意，y=f(x)f(x−=2=2由x∈[0,π2]所以当2x−π4=π2考点三、三角函数的值域与最值求参数1.（21-22高三上·辽宁大连·阶段练习）已知y=fx是奇函数，当x<0时，fx=cosx+sinx+a【答案】−【分析】根据题意，得到f(−π3)=−f(【详解】因为y=fx是奇函数，且f(π又因为当x<0时，fx可得f(−π解得a=−12−32故答案为：−12.（2024·山东济宁·三模）已知函数f(x)=(3sinx+cosx)cosx−12A．[π6,π2) B．[【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3当x∈[−π4,m]时，2x+且正弦函数y=sinx在[π2,4π3得π2≤2m+π所以实数m的取值范围是[π故选：D1.（2023·四川自贡·一模）函数fx=a−3A．5π12 B．π3 C．π【答案】B【分析】首先根据区间的定义以及fx的有界性确定b的范围，然后再利用正切函数的单调性得到fx的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出【详解】∵x∈−π6,b，根据函数f(x)在x∈−所以2b<π2，即b<π4，根据正切函数则f(x)=a−3tan2x∴f−π6则tan2b=33，∵2b∈−π∴ab=4×π故选：B.2.（2024·河北石家庄·二模）已知函数y=2sin(x−π4)在区间[0,a],[0,a+π【答案】3π【分析】当x∈[0,a]时，x−π4∈[−π4,a−π4]【详解】当x∈[0,a]时，x−π4∈[−π4因为函数y=2sin(x−π4而2sin(−π4)=−1又因为2sin(−π所以a−π4≥π2a≤5π故答案为：[33.（2023·四川成都·模拟预测）当x∈π6,m时，函数f(x)=A．π9,7C．π9,5【答案】D【分析】解法一：画出函数的图象，由x的范围求出3x+π3的范围，根据解法二：由x的范围求出3x+π3的范围，根据y=cos【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由x∈π6,m因为fπ6=要使fx的值域是−1,−32即m∈2解法二：由题x∈π6,m由y=cosx的图象性质知，要使fx则π≤3m+π3故选：D.

4.（2024·山东·模拟预测）若函数fx=cosx−φ+sinx+【答案】π6（答案不唯一，满足φ=【分析】利用和（差）角公式化简，再判断sinφ+12【详解】因为f==cos若sinφ+12=0，则cosφ=±32，所以f所以sinφ+则fx=sin依题意可得sinφ+即sinφ+3cos所以φ+π3=故答案为：π6（答案不唯一，满足φ=5.（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习）已知函数fx=cosx+φφ>0在区间0,φ上的值域为−1,【答案】11【分析】根据三角函数值域的知识求得φ.【详解】依题意，函数fx=cosx+φφ>0由于0≤x≤φ,φ≤x+φ≤2φ，所以2φ=2π此时11π12≤x+11π12≤11π6所以φ=11π故答案为：11考点四、三角函数的周期性1.（2024·上海·高考真题）下列函数fx的最小正周期是2A．sinx+cosxC．sin2x+cos【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，sinx+cosx=对B，sinxcosx=对于选项C，sin2对于选项D，sin2x−cos故选：A．2.（2024·江苏盐城·一模）函数fxA．6π B．3π C．2π3【答案】A【分析】化fx【详解】由题意，得fx所以fx的最小正周期2故选：A.1.（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）函数fxA．π2 B．π C．2π 【答案】A【分析】根据二倍角公式化简，利用周期公式计算，即可结合函数图象的变换求解.【详解】fx由于函数y=cos2x的最小正周期为y=cos2x是将y=cos2x在y下方的图象沿着故选：A2.（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin2x+πC．y=sin2x+cos【答案】B【分析】利用诱导公式化简，再结合三角函数的性质判断A、B，利用辅助角公式化简，再结合三角函数的性质判断C、D.【详解】对于A：y=sin2x+π对于B：y=cos2x+π对于C：y=sin2x+cos对于D：y=sinx+cos故选：B3.（2024·湖北荆州·三模）函数f(x)=tanA．π B．π2 C．π3 【答案】B【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果【详解】由周期公式得T=π故选：B4.（2023·广东·一模）已知函数f(x)=tanaa2+1x+φ(a>0)【答案】1【分析】根据正切函数周期公式求解即可.【详解】依题意T=π整理得a2−2a+1=0，解得故答案为：1.5.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fn=2sinA．2025 B．2025+C．2026+2 D．【答案】B【分析】由周期性可得f1【详解】由f得f4k+m所以f1所以f故选：B.考点五、三角函数的单调性1.（2024·福建泉州·一模）已知函数f(x)的周期为π，且在区间π6,πA．f(x)=sinx−πC．f(x)=sin2x−π【答案】C【分析】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可.【详解】因为函数f(x)的周期为π，所以当ω>0时，对正、余弦函数来说，ω=2当x∈π6,因为y=sinx在故选：C2.（2024·全国·模拟预测）函数fxA．kπ−πC．kπ−7【答案】D【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间.【详解】fx=−3cos∴kπ故函数fx的单调递增区间为k故选：D．1.（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，以π为周期，且在区间(πA．y=sinx B．y=cos2x C．【答案】B【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间(π【详解】对于A，y=sinx的最小正周期为π，在区间对于B，y=cos2x的最小正周期为π，在区间对于C，y=−tanx的最小正周期为π，在区间对于D，y=sin2x不是周期函数，在区间故选：B2.（2024·全国·二模）已知函数fx=cos2π3−2x，【答案】−【分析】利用整体代换法求出余弦函数的单调递减区间即可.【详解】由题意知，f(x)=cos由2kπ≤2x−2π令k=−1，得−2π3≤x≤−π6即函数f(x)的单调递减区间为[−2π故答案为：[−3.（2024·四川成都·模拟预测）若函数f(x)=sin(ωx)(ω>0)在0,πA．0,12 B．(0,2) C．0,1【答案】D【分析】由已知结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】函数f(x)=sin(ωx)(ω>0)在当x∈0,π4时，ωx∈0,π故选：D4.（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)A．(1,2] B．23,43 C．【答案】B【分析】由π2+2kπ【详解】f(x)=sin令π2+2kπ≤ωx+π所以f(x)在1ω因为f(x)在区间π2,π即ω≥23+4kω≤43+2k故选：B．5.（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数fx=sin2x+φ（0<φ<π）向左正移φA．π3 B．π2 C．π6【答案】B【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案.【详解】函数fx=sin2x+φ向左平移当x∈0,π2∵fx+φ所以−π2+2k可得φ=−π又0<φ<π，∴φ=故选：B.考点六、函数的奇偶性与对称性1.（2024·河北承德·二模）函数fxA．x=π3+C．x=5π12【答案】C【分析】利用三角恒等变换得fx【详解】fx所以2x−π3=π2故选：C.2.（2024·陕西·模拟预测）已知函数f(x)=2cosx⋅cosA．关于直线x=2π3对称 C．关于(π12,12【答案】A【分析】利用三角恒等变换公式化简函数f(x)，再结合余弦函数的图象性质逐项判断即得.【详解】f(x)=2=cos对于A，f(2π3)=cos对于B，f(5π6)=cos对于C，f(π12)=cos(−对于D，f(−π12)=cos(−故选：A1.（2024·贵州毕节·三模）已知函数f(x)=2sinπ3−2ωx(ω>0)的最小正周期为π【答案】x=5π12【分析】求出ω，求出f(x)即可求出对称轴方程.【详解】因为函数f(x)=2sinπ3所以2π2ω=π，所以令π3−2x=π所以x=5故答案为：x=52.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数Fx=sinx+φ【答案】3【分析】根据函数为偶函数得F−x=Fx【详解】函数Fx所以F−x=Fx所以sinφ即sinxcosφ所以cosφ3=0又0≤φ≤2π，所以φ=故答案为：3π3.（2024·湖北·三模）设函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)对任意的x(x∈R)均满足【答案】1【分析】由两角和的正弦公式先进行化简，再利用条件可得f(x)为偶函数，可求得φ的值，代入求解即可.【详解】因为f(x)=sin又因为f(−x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即φ+π4=∴φ=π所以tanφ=tan(故答案为：1.4.（2024·四川眉山·三模）若fx=2cosx+φ+【答案】2π【分析】根据fx=2【详解】依题意，fx当2cos此时cosφ=−12故答案为：2π5.（23-24高三下·吉林通化·期中）已知三角函数fx=sinωx+φω>0,φ∈0,π2的图象关于【答案】π【分析】由周期计算ω，代入对称中心算φ.【详解】函数fx=sin则有T2=π2，得T=π又函数图象关于φ,0对称，则fφ=sin3φ=0故答案为：π36.（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数fx=cos2x−φ，则“φ=πA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】当φ=π2+kπk∈Z时，代入可得f【详解】函数fx=cosfx=cos则fx当fx为偶函数时，φ=k故“φ=π2+kπ，故选：D.考点七、三角函数比较大小1.（2024·山东日照·三模）已知a=22sin14°+cos14°，b=sin61°，A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c【答案】A【分析】利用辅助角公式化简a，再利用正弦函数的单调性即可比较出大小.【详解】因为a=2b=sin61°，c=32=sin故选：A.2.（2024·河南·三模）设a=−lnsinA．a<c<b B．c<b<a C．a<b<c D．c<a<b【答案】A【分析】利用正余弦函数及对数函数的单调性分别判定a,b与c的大小即可.【详解】因为y=sinx在0,π又y=lnx定义域上单调递增，所以而y=cosx在0,π2上单调递减，所以故选:A1.（2024·云南·模拟预测）已知函数fx为R上的偶函数，且当x1,x2∈−A．c<b<a B．b<c<aC．a<b<c D．c<a<b【答案】C【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.【详解】当x1,x2∈−∞又有fx为R上的偶函数，所以fx在由于我们有log2即log23>0.5而a=flog123=f−log故选：C.2.（2024·山东临沂·二模）若实数a，b，c满足a=2sinπ12，bA．a<b<c B．b<c<a C．a<c<b D．b<a<c【答案】A【分析】首先判断a<1，1<b<2，且c=log310【详解】因为a=2sin又b3=7，则b=37，且因为3c=10，所以所以c>b>a.故选：A3.（2024高三·全国·专题练习）已知α，β为锐角，且α+A．sinα>sinβ B．cosα<sinβ【答案】B【分析】根据给定条件，构造函数f(x)=x+cos【详解】由α+β−π2>令函数f(x)=x+cosx,0<x<π2，求导得f'而α,β为锐角，则π2−β也为锐角，原不等式等价于f(α)>f(π所以sinα>sin(故选：B4.（2024·全国·模拟预测）已知a=sin815，b=ln3A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a【答案】A【分析】根据正弦函数和对数函数单调性，结合临界值12可比较出a,b大小关系；构造函数fx=lnx−2x−1【详解】∵815π6=815∵32=94=2.25∵25=2×3∵f'x=1∴f32>f1=0综上所述：a>b>c.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性比较大小的问题，解题关键是能够根据数字特征，采用构造函数的方式，将问题转化为函数单调性的求解问题.5.（2024·安徽马鞍山·三模）已知角α∈0,π4A．sinα B．cos(π−α) C．【答案】A【分析】结合诱导公式对已知式子进行化简，然后结合三角函数的性质判断各式的大小，结合中位数的概念即可判断．【详解】因为角α∈0,所以sinα∈0,22，cosπ−α=−所以0<sinα<cos按照从小到大的顺序排列时，前3个数为cosπ−α，sinα则中位数为sinα（或sin其中当0<x<π2时构造单位圆⊙O，如图所示：

则A1,0，设∠POA=x∈0,π过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T，由ATOA=tanx，得由图可知S△OPA即12即sinx<x<故选：A．考点八、由图像确定三角函数的解析式1.（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，若∀x∈RA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先求出函数的周期T=6，再据此得到m=3l,l∈N【详解】方法一：因为f0所以φ=πf12=cosω而ω>0，所以k是非负整数，又由图象可得12−0≤T综上，只能k=0,ω=π所以fx的最小正周期为T=而由fx+m=−fx，可知fx=−f所以2m=6l,l∈N∗，即方法二：设函数的最小正周期为T，由于sinπ6=12从而由fx+m=−fx故选：C.2.（2024·四川·模拟预测）已知函数fxA．当x∈2π3,B．fx在区间πC．fx的最小正周期为D．fx的图象关于直线x=【答案】D【分析】先由函数图象得到函数解析式，A选项，整体法求解函数的值域；B选项，整体法求解函数单调性；C选项，利用2πω=【详解】由图可知，f0又因为0<φ<π2，所以φ=π所以ω=2，即fx对于A：当x∈2π3,π，对于B：x∈π4,由于y=sinz在z∈π所以fx在π对于C：fx的最小正周期为2对于D：当x=π3时，2x−π所以fx的图象关于直线x=故选：D．1.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数fx的图象向左平移π

A．π6,π3 B．3π2【答案】C【分析】由fx的图象，棱台三角函数的性质求得f(x)=2sin(2x−【详解】由函数fx的图象，可得3T4=5π所以f(x)=2sin(2x+φ)，又由f(5可得5π6+φ=因为φ<π，所以φ=−π所以g(x)=2sin2x+解得−π所以函数gx的单调增区间是−故选：C.2.（23-24高三下·天津南开·阶段练习）已知函数fx=2sinωx+φω>0,①函数fx的最小正周期是π②函数fx在3③函数fx的图象关于直线x=④将函数fx的图象向右平移π24个单位长度后关于⑤当x∈π,5A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据函数图象求出fx【详解】由图像可知34T=π3−所以2πω=将B−π24,−2代入所以φ−π6=−π2+2kπ又因为φ<π2，所以φ=−当x∈3π4,π时，4x−π3当x=11π24时，4x−π3=3π2，将函数fx的图象向右平移π24个单位长度后得到fx−π24当x∈π,5π4时，4x−π3综上③④说法正确，故选：C3.（2024·广东汕头·三模）已知A，B，C是直线y=m与函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的图象的三个交点，如图所示．其中，点A(0,2)A．φ=π4 C．f(x)的图象关于(π,0)中心对称 D．f(x)在【答案】B【分析】根据给定条件，可得f(x)=2sin(ωx+3π4)，进而求得【详解】由f(0)=2sinφ=2，得sinφ=22，而于是f(x)=2sin(ωx+3π4)，显然由A点横坐标xA=0，即ωxA+解得x1=3π2ω，x2=2π对于A，φ=3对于B，f(π对于C，f(π)=2sin(2π对于D，当x∈[0,π2]时，3π4≤2x+3又3π8∈(0,π2故选：B【点睛】思路点睛：给定f(x)=Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定4.（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图，点Aπ6,2，B在fx的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形ACBD为平行四边形，且面积为2π3，则ω=【答案】3−2【分析】设Bx0,−2，由四边形ACBD为平行四边形，可得x0−π6=π3，由T2【详解】由四边形ACBD为平行四边形可知，AC=2，设Bx0,−2所以x0−π解得ω=3，则f(x)=4sin将点Aπ6,2即sinπ2+φ=1所以π2+φ=2kπ+π6，k∈所以f(x)=4sin故fπ36=4故答案为：3；−225.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<

【答案】2+【分析】由图象得到f0=1，并结合0<φ<π可得φ，再结合图象得到f7π【详解】由f0=1得sinφ=12又0<φ<π，故φ=由f7π12=0得所以7π12ω+设fx的最小正周期为T，则12T<得127<ω<187．又故ω+φ=2+5故答案为：2+考点九、三角函数的平移与伸缩变换1.（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数fxA．函数fx的最小正周期是B．函数fx在区间πC．函数fx的图象关于点−D．函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x【答案】B【分析】根据三角恒等式对已知函数进行化简得fx【详解】fx=2=sin2x+cos2x−1=2当x∈π8,又y=sinx在[π2,因为f(−π8)=2sin将y=2sin2x的图象向右平移π8个单位得到y=2故选：B．2.（2024·陕西安康·模拟预测）将函数f(x)=4sinx+3cosx的图象向右平移φ个单位长度得到函数A．35 B．45 C．−3【答案】A【分析】根据辅助角公式，结合三角函数平移的性质即可求解.【详解】因为f(x)=4sinx+3cos因为f(x)=4sinx+3cos所以φ=α，所以sinφ=故选：A.1.（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数fx=3sinx+cosx的图象向左平移φ个单位长度得到【答案】2【分析】把f(x),g(x)都化为y=Asin(x+θ)形式，然后结合图象平移变换知识得出【详解】由已知f(x)=3sinx+cosx=10又g(x)=2sinx+22cosx=10α,β都为锐角，且cosα<cosβ要把f(x)的图象向左平移φ个单位长度得到gx的图象，则φ=2cosφ=cos[2故答案为：222.（2020·天津·高考真题）已知函数f(x)=sin①f(x)的最小正周期为2π；②fπ2是③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为f(x)=sin(x+π3)f(π2)=将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.3.（2022·天津·高考真题）已知f(x)=1①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在[−π③当x∈−π6,π④f(x)的图象可由g(x)=12sin以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为f(x)=12sin2x，所以f(x)的最小正周期为令t=2x∈−π2,π2，而y=12sint在−π2,π2由于g(x)=12sin(2x+π4)=12故选：A．4.（2022·浙江·高考真题）为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数A．向左平移π5个单位长度 B．向右平移πC．向左平移π15个单位长度 D．向右平移π【答案】D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为y=2sin3x=2sin3x−π15故选：D.5.（2021·全国·高考真题）把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sinA．sinx2−C．sin2x−7π12【答案】B【分析】解法一：从函数y=f(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到y=f2x−π3，即得解法二：从函数y=sinx−π【详解】解法一：函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到y=f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，应当得到根据已知得到了函数y=sinx−π令t=2x−π3所以ft=sin解法二：由已知的函数y=sin第一步：向左平移π3个单位长度，得到y=第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin即为y=f(x)的图象，所以fx故选：B.考点十、三角函数的平移与伸缩变换求参1.（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=sin(4x+φ)|φ|<π2，先将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数A．12 B．−12 C．3【答案】C【分析】根据三角函数的图象变换，得到g(x)=sin2x−π3+φ，由gx的图象关于y轴对称，求得【详解】先将函数f(x)=sin(4x+φ)的图象向右平移得到y=sin再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)=sin因为函数gx的图象关于y轴对称，所以−π3又因为|φ|<π2，所以φ=−π所以fπ故选：C．2.（2024·四川攀枝花·三模）将函数y=sin2x−A．2+π12 B．2+π6 C．【答案】A【分析】由半角公式可得函数y的解析式，再由题意可得y=−cos【详解】因为y=sin由题意可得函数为y=−cos即y=−cos(2x−2m)的图象与y=ksin设P(x,y)为y=−cos则该点关于π6,0对称的点Q（所以y=−cos由题意可得，两函数图象上的最高点也关于π6所以12k=1，则又cos(2x−2m)=−所以2m=π解得m=π因为m＞0，所以m的最小值为π12所以(m+k)min故选：A．1.（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数fx=cosωx+φω>0的图象向左平移π2个单位后得到gxA．π6 B．π4 C．π3【答案】B【分析】依题利用平移变换得到方程cos(ωx+π2ω+φ)=sin【详解】依题意，gx=cos(ωx+π又cos(−π4ω+φ)=0即得则得−kπ+π4+φ=故选：B.2.（2024·江西景德镇·三模）函数fx=cosωxx∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数fxA．725 B．1625 C．−9【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得【详解】由x∈0,π得因为函数fx在0,π内恰有两个对称中心，所以3π又fπ=cosωπ=1，所以将函数fx的图象向右平移π3个单位得到函数即gx因为f=3所以cos4α+故选：A3.（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数f(x)=3sin2x−π3−4cos2x−π3，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若A．−35 B．35 C．−【答案】C【分析】利用辅助角公式化简f(x)，根据图象的平移变换可得g(x)的表达式，再结合题意利用正弦函数的对称性可得x1【详解】f(x)=3sin其中φ为辅助角，sinφ=45则g(x)=fx+当x∈0,π2时，2x−φ∈[−φ,π−φ]因为x1，x2是关于x的方程g(x)=a在所以2x因此sinπ2+故选：C．4.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=sinωx+π3+cosωx−π6(ω>0)，将f(x)图象上所有的点的横坐标缩短到原来的A．1 B．3 C．5 D．7【答案】A【分析】利用三角恒等变换得到f(x)=2sinωx+π3，结合伸缩变换得到g(x)=2sin【详解】因为f(x)==sin又将f(x)图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数g(x)所以g(x)=2sin当x∈0,π12又因为g(x)在0,π所以π2<ω故选：A．5.（2024·上海·三模）设a>0，已知函数fx=lnx2+ax+2的两个不同的零点x1、x2，满足【答案】5【分析】根据x1−x【详解】令fx=0，故lnx故x2+ax+1=0，由题设有a−4>0a−4故fx将fx图象向右平移mgx整理得到：gx因为gx为偶函数，故g所以x2故(5−2m)x=−(5−2m)x对无穷多个x恒成立，故5−2m=0，故m=5故答案为:51．（2024·云南·二模）函数f(x)=sinA．π B．π2 C．π3 【答案】A【分析】由周期公式直接求解可得.【详解】由周期公式得T=2故选：A2．（2024·河北保定·三模）将函数fx=sin2x−π3的图象向左平移A．sin2x B．−sin2x C．sin【答案】C【分析】由正弦型函数的图象变换直接求得答案.【详解】将函数fx=sin得到函数gx故选：C.3．（2024·广西·二模）把函数fx=cosA．y=cos5x+1 C．y=cos5x−1 【答案】A【分析】由图象平移变换写出解析式后判断.【详解】由题意新函数解析式为y=cos故选：A．4．（2024·上海·三模）若函数fx=asinx−3cos【答案】2【分析】根据fπ3=0求得a=1，再用辅助角公式化简f【详解】由题意fπ3=a所以fx又sinx−π3∈−1,1故答案为：2.5．（2024·上海·三模）函数y=tan(−x+π【答案】π【分析】利用函数y=tan【详解】因为y=tanx的最小正周期为所以函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期为所以函数y=tan(−x+π故答案为：π.6．（2024·青海西宁·模拟预测）将函数y=4sin9x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=fx的图象，则fx【答案】2π3/23【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得fx=4sin3x，结合【详解】由题意知，fx则fx的最小正周期T=f7故答案为：2π37．（2024高三·全国·专题练习）设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0,ω>0)．若f(x)在区间π6,π2上具有单调性，且【答案】π【分析】由题意画出函数图象，结合图象即可求解周期.【详解】不失一般性，设f(x)在区间π6结合图象得T4=π故答案为：π.1．（2024·四川成都·三模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数fx=Asinωx+φ（A>0，①函数fx的图象关于点π②函数fx的解析式可以为f③函数fx在π12,④若把fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向右平移πA．①③ B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【分析】根据图象求出函数表达式，对于①，由代入检验法判断；对于②，由诱导公式检验；对于③，由整体代入法求值域检验；对于④，由平移、伸缩变换法则验算即可判断.【详解】由图可知A=2,3T4=且2×π3+φ=又因为φ<π，所以只能所以fx对于①，fπ6=2对于②，fx=2sin对于③，当x∈π12,13π24时，从而函数fx在π12,13π对于④，若把fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向右平移则所得函数是f32x−综上，正确的编号是②③.故选：B.2．（2024·天津南开·二模）已知函数fx=sin2x+φ（A．fB．fx的图象向左平移πC．fx在πD．f【答案】D【分析】根据fπ6−x=fx，即函数f【详解】根据题意，fπ6−x=fx即2×π12+φ=所以φ=π3，则f0fx的图象向左平移πg(x)=fx+而g(0)=sinx∈π6,2πf=sin故选：D3．（2024·重庆·三模）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,−π2A．−29 B．29 C．−【答案】D【分析】先由图像以及题意求出f(x)的解析式，从而得fθ=sin【详解】由图可知A=1,f0=sinφ=3故f(x)=sin(ωx+π故由图4π3ω+π3由图4π3−0<T又ω>0，结合①②可得ω=12，故所以fθ故f2θ+5π故选：D.4．（2024·四川自贡·三模）函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示，A．函数f(x)的最小正周期是πB．函数f(x)的图象关于点5πC．函数f(x)在−πD．函数f(x)的图象向右平移π6后，得到函数g(x)的图象，则g(x)【答案】C【分析】A选项，根据M、N关于点C对称得到C点横坐标，从而得到最小正周期T=π；B选项，根据f(x)的图象关于点−π6,0对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出ω=2πT=2，将π12,A代入解析式求出【详解】A选项，点M、N关于点C对称，故xC设fx的最小正周