第04讲 函数的概念及其表示（教师版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第04讲函数的概念及其表示（7类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第15题,5分函数与方程的综合应用根据函数零点的个数求参数范围已知方程求双曲线的渐近线2023年天津卷，第15题,5分根据函数零点的个数求参数范围2021年天津卷，第9题,5分根据函数零点的个数求参数范围2020年天津卷，第9题,5分根据函数零点的个数求参数范围函数与方程的综合应用2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分及以上【备考策略】1.理解、掌握函数的概念，能够判断相同函数2.能掌握函数解析式的就发以及分段函数的求值与不等式等问题3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像，分析最值与值域问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式，要求函数值与取值范围等.知识讲解知识点一.函数的概念1.定义函数两集合A、B设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A2.函数的有关概念（1）函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．知识点二.分段函数的定义定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，函数有不同的解析式，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数因其特点可以分成两个或多个区间及其相应的解析式，分段函数是一个函数．分段函数的定义域是各段x取值集合的并集．考点一、函数关系的判断1.（2024高三·全国·专题练习）若函数y=fx的定义域为A=x0≤x≤2，值域为B=A． B．C． D．【答案】D【分析】由函数定义判断即可得.【详解】由函数定义可排除C，由值域为B=y只有D选项为定义域为A=x0≤x≤2，值域为故选：D.2.（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断.【详解】根据函数图象可知：函数图象具有对称性，故C错误；对于A：由等边三角形可知：线段AP的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误；对于D：由圆可知：线段AP的长度不会是线性变化，故D错误；对于C：由正方形可知：线段AP的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确；故选：B.1.（22-23高三·全国·对口高考）已知函数f(x),x∈F，那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数有.【答案】0或1.【分析】根据题意转化为x=1与y=f(x),x∈F的图象的交点个数，结合函数的定义，即可求解.【详解】由集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数，即为直线x=1与y=f(x),x∈F的图象的交点个数，当1∈F时，此时，两个函数的图象有且仅有一个交点；当1∉F时，此时，两个函数的图象没有公共点，所以集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数为0个或1个.故答案为：0或1.2.（湖南·高考真题）给定k∈N∗，设函数f:N∗→N∗(1)设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为；(2)设k=4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为．【答案】正整数16【分析】(1)n=k=1，题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故f(1)的值是一个正整数；(2)k=4，且n⩽4，与条件“大于k的正整数n”不适合，故f(n)的值在2、3中任选其一，求出所有可能的组合数即可得不同函数的个数．【详解】(1)∵函数f:N∗→N∗(2)∵函数f:N∗→又n≤4时，2≤f(n)≤3，故n≤4时，f(n)∈{2，3}，即f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的取值可能是2或3，则共2×2×2×2＝24∴不同的函数f的个数为16.故答案为：正整数；16．3.（23-24高三上·上海闵行·期中）设曲线C与函数f(x)=324x3(0<x≤t)的图像关于直线y=3x【答案】(0,【分析】设l是f(x)=324x3(0<x≤t)在点Mt,324t3处的切线，进而根据题意得直线l关于y=3【详解】设l是f(x)=324x因为曲线C与函数f(x)=324x所以直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线如图所示直线y=3x与x=a的角为π6，所以l

所以l的方程为l:y=故联立方程得y=33(x−t)+则(x−t)(x2+xt+t2所以t=所以t的取值范围为(0,2故答案为：(0,4.（22-23高三上·上海静安·期中）已知函数y=f(x)的定义域为{a,b,c}，值域为{−2,−1,0,1,2}的子集，则满足f(a)+f(b)+f(c)=0的函数y=f(x)的个数为（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【分析】对fa、fb、fc【详解】解：分以下几种情况讨论：①当fa、fb、fc全为0②当fa、fb、fc中有两个为−1，一个为2③当fa、fb、fc中有两个为1，一个为−2④当fa、fb、fc三者都不相等时，可分别取值为−1、0、1⑤当fa、fb、fc三者都不相等时，可分别取值为−2、0、2综上所述，满足条件的函数y=fx的个数为1+3+3+6+6=19故选：D.考点二、相同函数的判断1.（全国·高考真题）与函数y=x有相同图象的一个函数是（

）A．y=x2 C．y=alogax，其中a>0,a≠1 【答案】D【分析】选项A图象为折线判断错误；选项B图象上无原点(0,0)判断错误；选项图象为无端点射线判断错误；选项D可化为y=x与函数y=x有相同图象判断正确.【详解】选项A：y=x选项B：y=x2x选项C：y=a选项D：y=logaa故选：D2.（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数fxA．fx=(C．fx=3【答案】C【分析】由同一函数的定义依次判断选项即可.【详解】解：函数fx=x，定义域为选项A中fx=(选项B中fx=x选项C中fx=3x3选项D中ft=t故选：C.1.（2020·天津·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．y=x+1与y=x2+xx C．fx=∣x∣与gx=n【答案】D【分析】对于A：由定义域不同,即可判断；对于B：由定义域不同，即可判断；对于C：由对应关系不同，即可判断；对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数.【详解】对于A：y=x+1的定义域为R，y=x2+x对于B：fx=x2(对于C：fx=∣x∣，对于对于D：fx=x定义域为R,故选：D2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列选项中表示同一函数的是（

）A．fx=B．fx=xC．fx=D．fx=【答案】D【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有一个不相同，函数即不是同一函数，由此一一判断各选项，即得答案.【详解】对于A，fx=x0的定义域为故二者不是同一函数；对于B，fx=x的定义域为R，与gx故二者不是同一函数；对于C，fx=x−2023故二者不是同一函数；对于D，gx=x故二者为同一函数，故选：D3．（2023高三·全国·专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（

）A．fx=x，gx=C．fx=−2x3，g【答案】B【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.【详解】对于A，函数fx的定义域为R，函数g对于B，因为gx=x2=对于C，fx=−2x3对于D，函数fx的定义域为{xx∈R，且x≠3}，函数所以这两个函数不是同一个函数.故选：B.4．（22-23高三·全国·课后作业）以下四个命题：①当n=0时，函数y=x②函数y=x2和③若定义域为R的函数y=fx是奇函数，则f④已知函数y=fx在区间a,b上的图象是一段连续曲线，若fa⋅fb>0其中，真命题的个数为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】判断n=0是函数y=xn的图象形状，判断①；根据函数y=x2和y=elnx【详解】当n=0时，函数y=x0,定义于为故此时函数图象为直线y=1上挖去点(0,1)，①错误；函数y=x2的定义域为R，函数y=e故函数y=x2和y=e若定义域为R的函数y=fx是奇函数，则f(−0)=−f(0)，则f0=0函数y=fx在区间a,b上的图象是一段连续曲线，若f不妨取fx=x2−3x当fx=x2−3x故真命题的个数为1，故选：A考点三、函数解析式的求法1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x+1)=x−4，则【答案】x【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得fx【详解】令x+1=t(t≥1)，则x=于是有f(t)=(t−1)2−4=故答案为：x2.（2024高三·全国·专题练习）已知fx满足2f(x)+f(−x)=3x，求f【答案】f(x)=3x【分析】列方程组法求函数的解析式.【详解】对于任意的x都有2f(x)+f(−x)=3x，所以将x替换为−x，得2f(−x)+f(x)=−3x，联立方程组：2f(x)+f(−x)=3x2f(−x)+f(x)=−3x，消去f(−x)，可得f(x)=3x1.（2024高三·全国·专题练习）已知fx为二次函数且f0=3，fx+2−f【答案】x【分析】根据条件设二次函数为fx【详解】设fx∵fx+2∴fx+2∴4a=4又f0∴fx故答案为：x2.（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数fcosx=A．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】B【分析】由二倍角公式结合换元法求出函数解析式即可求解.【详解】因为f所以fx则f1所以f(f(1故选：B.3.（安徽·高考真题）若f(sinx)=2−cosA．2−sin2x B．2+sin2x C．【答案】D【分析】首先利用二倍角公式化简求出fx，再利用二倍角变形即可求得f(【详解】∵fsin∴fx=1+2x故选：D4.（湖北·高考真题）已知f(1−x1+x)=A．f(x)=x1+xC．f(x)=2x1+x【答案】C【解析】令1−x1+x【详解】令1−x1+x得x=1−t∴f(t)=1−∴f(x)=2x故选：C．【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.5.（2024·四川·模拟预测）已知fx为定义在R上的单调函数，且对∀x∈R,ffxA．3ln2 C．3−ln2 【答案】B【分析】根据题意，设fx−ex=t，用ft求【详解】设fx−e所以ft=e设gx=x+lnx(x>0)，易知所以et=2，即故fx=e故选：B．6.（23-24高三下·重庆·阶段练习）设fx是定义在R上的单调增函数，且满足f−1−x+fx=−7，若对于任意非零实数x都有f【答案】2021【分析】利用赋值法求解，令t=fx+1fx+3−x−1x【详解】令t=fx+1令x=t，则t=ft+1ft而f−1−x+fx=−7，则f−1−则−1=fx即fx因此fx+3−x=0或当xfx+3=1时，当fx则f2024故答案为：2021【点睛】方法点睛：求解抽象函数解析式问题的方法：（1）若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解；（2）若无法推知函数模型，一般结合赋值法，通过解方程（组）法求解．其中，方程或者是已知的，或者是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的．考点四、分段函数求值1.（山东·高考真题）设fx=2A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据分段函数的解析式，先计算f(2)的值，再根据其大小范围代入相应的解析式中求得答案.【详解】f(2)=log故ff故选：C2.（2024·上海·高考真题）已知fx=x,x>01,x≤0【答案】3【分析】利用分段函数的形式可求f3【详解】因为fx=x故答案为：3.1.（2022·浙江·高考真题）已知函数f(x)=−x2+2,    x≤1,x+1x−1,    x>1,则【答案】37283+3【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.【详解】由已知f(12)=−所以ff(当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤−x2+2≤3当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+1x−1≤31≤f(x)≤3等价于−1≤x≤2+3，所以[a,b]⊆[−1,2+所以b−a的最大值为3+3故答案为：3728，3+2.（2021·浙江·高考真题）已知a∈R，函数f(x)=x2−4,x>2x−3+a,x≤2,若【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.【详解】ff6=f故答案为：2.3.（23-24高三下·辽宁丹东·开学考试）已知函数fx=12【答案】45/【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为fx所以f2020故答案为：44.（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数f(x)=2x,x<0sin(2x+【答案】2【分析】判断所在区间，再代入计算即得.【详解】依题意，f(π所以f[f(π故答案为：25.（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数fx=2x−1,x≤0【答案】0【分析】根据分段函数解析式进行求值.【详解】依题意，fx所以f=log故答案为：06.（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数fx=log31−x【答案】6【分析】根据分段函数的解析式，代入自变量，化简求值.【详解】f−2=log所以f(−2)+flog故答案为：67.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设fx=ax,x≥0logax2+a【答案】23【分析】根据f2=4求出a=2，从而fx【详解】∵fx=ax,x≥0logax2+a∴f−2故答案为：2，3.考点五、分段函数的应用1.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sinπA．−1 B．0 C．12 【答案】D【分析】结合函数的周期性和正弦函数值解出即可.【详解】由题意知f2024故选：D．2.（2022·北京·高考真题）设函数f(x)=−ax+1,    x<a,(x−2)2,    【答案】0（答案不唯一）1【分析】根据分段函数中的函数y=−ax+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a<0不符合条件，a>0时函数y=−ax+1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y=(x−2)2的最小值，根据定义域讨论可知−a2+1≥0【详解】解：若a=0时，f(x)={1(x−2)2,x<0若a<0时，当x<a时，f(x)=−ax+1单调递增，当x→−∞时，f(x)→−∞，故若a>0时，当x<a时，f(x)=−ax+1单调递减，f(x)>f(a)=−a当x>a时，f∴−a2+1≥0解得0<a≤1，综上可得0≤a≤1；故答案为：0（答案不唯一），11.（2018·浙江·高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=x−4,x≥λx2−4x+3,x<λ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是【答案】(1,4)(1,3]∪(4,+∞)【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得x≥2x−4<0或x<2x2−4x+3<0，所以2≤x<4或1<x<2当λ>4时，f(x)=x−4>0，此时f(x)=x2−4x+3=0,x=1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x−4=0,x=4，由f(x)=x2−4x+3在(−∞,λ)上只能有一个零点得点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2.（2024·天津·二模）设a∈R，函数fx=1x−a+1+a,x<ax2−2【答案】0,【分析】对不同情况下的a分类，然后分别讨论fx相应的零点分布，即可得到a【详解】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”，即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个.当a≤0时，只要x≠a+1，就有x2故fx在a,+∞上至多可能有1个零点，从而在当a>3时，有x2所以fx在a,+而若1x−a+1+a=0，则只可能x=a−1a−1故fx在R上至多可能有1个零点，从而在0,+当0<a<3时，解1x−a+1+a=0可得到x=a−1a−1从而x=a−1a−1确为f再解方程x2−2a+1可得两个不同的实数根x=a+1±a而fa=a故x=a+1+a3−a确为fx而当且仅当a2−3a+1≥0时，另一根x=a+1−a3−a是条件为fx在区间0,+∞内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：a−1解得a∈0,当a=3时，验证知fx恰有两个零点53和综上，a的取值范围是0,3−故答案为：0,【点睛】关键点点睛：本题的关键在于需要分较多的情况讨论，不重不漏、细致讨论方可得解.3.（2024·北京西城·二模）已知函数fx=x2+2x,x<−2①若函数g(x)无零点，则a的一个取值为；②若函数g(x)有4个零点xi ( i=1【答案】−  1【分析】①结合函数fx的图象，函数g(x)无零点，即y=f(x)与y=a的图象无交点，所以可得到a的一个取值；②由图象对称，即可算出x【详解】画函数fx①函数g(x)=f(x)−a无零点，即f(x)−a=0无解，即y=f(x)与y=a的图象无交点，所以a<0，可取a=−1；②函数g(x)有4个零点，即f(x)−a=0有4个根，即y=f(x)与y=a的图象有4个交点，由x1、x4关于x2、x3关于所以x1故答案为：−1；−2.4.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=−1x,x<0ex−2,x≥0【答案】2【分析】设fx1=fx2=t，可得【详解】设fx1=fx2=t，即−1所以x1=−1t，令gt则g'所以当t∈0,2时，g't当t∈2,+∞时，g'所以当t=2时，gt取得最小值，为g即x2−x故答案为：2ln5.（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数fx=1,x<0x2【答案】x【分析】根据题意,先将f1−【详解】f1−x2当x<−1时,f1−x2当−1≤x<0时,1=1−x2当x>1时,x2当0≤x≤1时,x2+1=1−所以方程f1−x2=fx故答案为:xx=考点六、分段函数不等式1.（2024·江西南昌·二模）已知fx=−A．(−∞,2) B．(−∞,3) C．【答案】B【分析】分别在x<0,x≥0条件下化简不等式求其解可得结论.【详解】当x<0时，不等式f(x)<2可化为−x所以x2+2x+2>0，可得当x≥0时，不等式f(x)<2可化为log2所以x+1<4，且x+1>0，所以0≤x<3，所以不等式f(x)<2的解集是(−∞故选：B.2.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=x+3,x<14xA．−32,1C．−1,12 【答案】A【分析】首先将不等式化为12fa2+2<f3−【详解】由题意，得函数fx在R上单调递增．由f得12fa所以12fa从而不等式转化为fa所以a2+3故选:A．1.（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=cosx+xA．0∪1,+∞C．0,1 D．−【答案】D【分析】根据给定条件，借助导数判断函数单调性，并分段求解不等式即得.【详解】当x≤0时，f(x)=cosx+x22求导得ℎ'(x)=1−cosx≥0，则函数ℎ(x)，即f'函数f(x)在−∞,0上单调递减，而f(0)=1，当x≤0时，不等式fx当x>0时，f(x)=x3+3x2−3=(x−1)(x+2)所以不等式f(x)≥1的解集为−∞故选：D2.（2024·北京东城·二模）设函数fx=1,x<1x2,【答案】1−【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求ff12；分2x<1、【详解】由题意可知：ff因为f(x)<f(2x)，当2x<1，即−12<x<1当2x≥1x<1，即x∈解得x>12或x<−1当x≥1，即x≥1或x≤−1时，则2x=2x综上所述：不等式f(x)<f(2x)的解集是−∞故答案为：1；−∞3.（2024·湖北·一模）已知函数fx=x+1,x≤0lnx+1【答案】−【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果.【详解】当x≤0时，fx=x+1≤1得x≤0当x>0时，fx=lnx+1≤1综上：fx≤1的解集为故答案为：−∞4.（22-23高三上·北京·阶段练习）已知函数fx=12x,x≤01−3x,x>0，则ff−1【答案】−5−【分析】根据分段函数解析式，先求出f−1，即可得解，证明函数fx是R上的减函数，再解关于【详解】解：由fx=1所以ff因为y=1且当x=0时，y=1所以函数fx是R则f2即为2a2−3<5a故答案为：−5；−15.（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数fx=log14x,x>02【答案】−1,【分析】对a分类讨论，结合指数对数函数单调性解不等式即可.【详解】当a>0，fa>12即当a≤0，fa>12即故实数a的取值范围是−1,1故答案为：−1,6.（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知函数fx=2-12【答案】1,+∞【分析】分别在条件3x-1>0，3x【详解】当3x-1≤0时，即x≤0时，f3x-1=2-123x即当x≤0当3x-1>0时，即x>0时，f3x-1=123x所以不等式f3x-1故答案为：1,+∞.7.（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数fx=21−x−2,x≤11−log【答案】[−1,1]∪[【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数以及对数函数性质，分段解不等式，即可得答案.【详解】当x≤1时，fx≤2即21−x当x>1时，fx≤2即1−log2x−1故满足fx≤2的x的取值范围是故答案为：[−1,1]∪[考点七、分段函数的值域与最值1.（23-24高三下·江西吉安·期中）已知函数fx=sin12x+πA．1e B．e C．e2 【答案】C【分析】利用三角函数及对数函数的性质计算即可.【详解】易知x≤2π3时，12又y=log所以2π3<x≤c时，而−1<−ln2π3<0则c=e故选：C2.（2024·北京西城·一模）已知函数fx=x2+x,−2<x<0A．116 B．18 C．14【答案】A【分析】运用二次函数的性质求得−2<x<0的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.【详解】当−2<x<0时，f(x)=x2+x=x+1220≤x<c时，f(x)=−x单调递减，所以−由题意f(x)存在最小值，则−c≥−14，解得0<c≤1故选：A1.（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数fx=x2【答案】2【分析】由题意得出函数y=x2+ax【详解】当x≥0时，y=−x因为fx的最小值为-1，所以函数y=x2则−a2<0故答案为：2.2.（23-24高三下·北京西城·开学考试）设定义在−1,3函数fx=1−x2,x∈−1,a,ax−1,x∈a,3.当a=0【答案】0,1∪−1【分析】当a=0时，分别求出各段上函数值的范围后可得函数的值域，若fx的最大值为1，则可就−1<a<0、0<a≤1分类讨论后可得实数a【详解】因为1−x2≥0，故−1≤x≤1当a=0时，fx当x∈−1,0时，fx=1−x2，故当a=0时，fx的值域为0,1若fx的最大值为1，则a≠0，又−1<a≤1，故−1<a<0或0<a≤1若−1<a<0，当x∈−1,a时，fx∈0,1−因为−1<a<0，故a2−1<0<1−若0<a≤1，当x∈−1,a时，fx∈0,1，当因为fx的最大值为1，故3a−1≤1，即a≤23综上0<a≤2故答案为：0,1∪−1；3.（23-24高三上·北京朝阳·期末）设函数fx=1−x2,x∈−1,12x−a−2,x∈1,3，当a=0【答案】43（答案不唯一）【分析】当a=0时，f(x)=1−x2,x∈[−1,1]2x−2,x∈(1,3]，分别求解两部分函数最大值，然后求出函数f(x)【详解】当a=0时，f(x)=1−当x∈[−1,1]时，x2∈[0,1]，有1−x即当x=0时，y=1−当x∈(1,3]时，y=2x−2∈(0,4]，即当x=3时，y=2x−2有最大值4；综上，当x=3时，f(x)=1−当a≤1时，函数y=2x−a−2在(1,3]上单调递增，则fx当1<a<3时，函数y=2x−a−2在若函数f(x)无最大值，则21−a−2>23−a当a≥3时，函数y=2x−a−2在若函数f(x)无最大值，则21−a−2>f0综上，当f(x)无最大值时，a>52，故实数a的一个取值为故答案为：4；3（答案不唯一）4.（2024·全国·模拟预测）若函数fx=x2−2，x>a【答案】1（答案不唯一）【分析】分a<0，a≥0两种情况分类讨论可求得【详解】当x≤a时，fx=x3−2≤a3要使fx的值域为R，需a3−2≥−2，即a≥0若a≥0，则当x>a时，fx=x2−2>则a3−2≥a2−2可取a的一个值为1，答案不唯一，满足a=0或a≥1的数都可以．故答案为：1(答案不唯一)．5.（2023·上海青浦·一模）已知函数y=x2−2x+2 , x≥0【答案】−【分析】先求解出x≥0时fx的值域，然后根据a=0,a>0,a<0分类讨论x<0时fx的值域，由此确定出【详解】当x≥0时，fx=x当a=0且x<0时，fx此时fx∈−当a>0且x<0时，fx由对勾函数单调性可知fx在−∞,−所以fxmax=f若要满足fx的值域为R，只需要3a−2a≥1当a<0且x<0时，因为y=x,y=ax均在所以fx=x+ax+3a在−∞,0上单调递增，且x→0所以此时fx∈−∞,+综上可知，a的取值范围是−∞故答案为：−∞6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数fx=x2−3x,x≤3A．−94,−C．−∞,−9【答案】C【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.【详解】因为函数y=x2−3x在区间−所以当x=32时，函数y=x又因为函数y=log3x所以当x>3时，log3综上可得函数fx=x因为∃x0∈R所以−94≤10m+4m2故选：C.1．（2022·全国·模拟预测）已知函数fx=2A．1 B．−1 C．−72 【答案】B【分析】利用函数fx的解析式可求得f【详解】因为fx=2故选：B.2．（20-21高三上·天津红桥·期末）设函数fx=xA．0 B．3C．1 D．2【答案】C【解析】将自变量代入对应的分段函数中，即可求得答案.【详解】由题意得f(0)=02+2=2故选：C3．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知函数fx=logA．2 B．12 C．14 【答案】B【分析】根据自变量所在的范围代入解析式求解即可.【详解】∵fx∴f1则ff故选：B.4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数f1−x=1−A．1x−12−1C．4x−12−1【答案】B【分析】利用换元法令t=1−x，代入运算求解即可.【详解】令t=1−x，则x=1−t，由于x≠0，则t≠1，可得ft所以fx故选：B.5．（2024·山东泰安·二模）已知函数fx=2x+1−8,x≤1A．−1 B．−3 C．−5 D．−7【答案】D【分析】根据函数解析式，当m≤1时m无解，当m>1时解得m=7，即可求解.【详解】由题意知，当m≤1时，f(m)=2得2m+1=−4，又当m>1时，f(m)=4log得log12(m+1)=−3，即m+1=8所以f(6−m)=f(−1)=2故选：D6．（22-23高三·全国·对口高考）给出下列四组函数：（1）fx=x，（2）fx=x−2，（3）fx=1（4）fx=lg其中相同的函数有（请在横线内填序号）．【答案】（3）（4）【分析】由函数定义域可判断（1）；由函数对应法则可判断（2）；由反函数的概念可判断（3）；由对数函数的运算法则可判断（4）.【详解】（1）中，fx=x的定义域为x∈R，g两个函数定义域不同，所以不是同一函数；（2）中，fx=x−2，两个函数对应法则不相同，所以不是同一函数；（3）中，fx=1（4）中，fx易知两函数是相同函数.故答案为：（3）（4）7．（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数fx=x2+1,x≤0【答案】(−∞,−1]∪(0,1]【分析】分别讨论x≤0和x>0两种情况，代入不同的解析式，求得各自解集，综合即可得答案.【详解】当x≤0时，f(x)=x2+1≥2，解得x≤−1或当x>0时，f(x)=−x+3≥2，解得x≤1，所以0<x≤1，综上：自变量x的取值范围为(−∞,−1]∪(0,1]1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（

）A．fx=x2，gxC．fx=1，gx=x【答案】D【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.【详解】对于A中，函数fx=x2的定义域为R，所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；对于B中，函数fx=x−1的定义域为R，gx所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；对于C中，函数fx=1的定义域为R，与gx所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；对于D中，函数fx=x可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数,故D正确；故选：D.2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数fx=ex+A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能【答案】D【分析】根据题意，应用特殊值法说明即可.【详解】例如x1=−1,x符合题意，此时x1例如x1=x符合题意，此时x1例如x1=−1符合题意，此时x1综上所述：x1故选：D.3．（2024高三·全国·专题练习）设x∈R，定义符号函数sgnx=A． x=  xsgnx B． 【答案】D【分析】去掉绝对值符号，结合函数新定义逐项比较即可求解.【详解】对于选项A，  xsgnx=x,x≠0对于选项B，   xsgnx=x,x≠0对于选项C，  xsgnx=x,x≠00,x=0对于选项D，xsgnx=x,x>00,x=0−x,x<0故选：D.4．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式（1）已知fx+1=x+2x，则（2）已知fx是三次函数，且在x=0处的极值为0，在x=1处的极值为1，则fx（3）已知f(x)的定义域为x|x≠0，满足3fx+5f1x=（4）已知函数fx+1是偶函数，且x<1时fx=x2−4x，则【答案】x2−1,x≥1−2x2【分析】（1）第一空可用换元法设t=x+1，从而（2）第二空先设函数表达式并求导，进一步由题意可列出方程组d=0c=0（3）构造函数方程组即可求解；（4）由题意得fx=f2−x，注意到x>1【详解】（1）设t=x+1，则代入原式有ft故fx（2）设fx=ax由题意得f0=0f'0所以fx（3）用1x代替3fx+5f由3fx+5f1x=（4）由函数fx+1是偶函数，可得fx图象关于直线所以fx设x>1，则2−x<1，所以f2−x=2−x因为fx=f2−x，所以f故答案为：x2−1,x≥1；−2x2+5．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数fx=x−ax【答案】−【分析】本题根据已知条件给定的零点个数，对参数a分类讨论并结合函数图象即可求解.【详解】①当a=0时，f(x)=x−1,x＞0ex,x≤0，由于x≤0时此时f(x)只有一个零点，所以a=0不符合题意；②当a＜0时，f(x)=x+，由于x≤0时，ex+(−a)＞0，x＞0时，此时在0,+∞上有f(x)min=2−a−1，要使③当a＞0时，f(x)=x−，由于函数y=x−ax−1在0,+要使f(x)有两个零点，只需函数y=e当0＜a≤1时，综上所述，实数a的取值范围是−1故答案为：−16．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=x2+4x+1,x≤0,log【答案】7【分析】设f(x)=m，则f(f(x))=−1等价于f(m)=−1，作出函数f(x)的图像，由图可知f(m)=−1有3个根，再根据f(x)=m结合函数的图象得出交点的个数，即得到结果.【详解】令y=0，则f(f(x))=−1，设f(x)=m，则f(f(x))=−1等价于f(m)=−1，则函数y=f(f(x))+1的零点个数问题即为f(f(x))=−1解的个数问题．二次函数y=x2+4x+1，其图像开口向上，过点(0,1)，对称轴为x=−2由题意得f(x)=x2+4x+1,由图可知f(m)=−1有3个根，当t>0时，log2t=−1，即当t≤0时，t2+4t+1=−1，即则对于f(x)=12，当log2当x2+4x+1=1对于f