福建省宁德市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

高三半期考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．函数的最小正周期为（）A．4 B． C．8 D．3．在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知复数，则的虚部为（）A． B． C． D．105．在梯形中，，与交于点，则（）A． B．C． D．6．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若的图象关于点对称，则的最小值为（）A． B．C． D．7．已知，则的最大值为（）A． B． C． D．8．若，则的值可以为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若与分别为定义在上的偶函数、奇函数，则函数的部分图象可能为（）A． B． C． D．10．如图，在中，，，点，分别边，上，点，均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（）A．的面积为B．C．先增后减D．的最大值为11．已知向量，，满足，，，，则（）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．________．13．已知，函数在上单调递增，则的最大值为________．14．已知函数，，若与的零点构成的集合的元素个数为3，则的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，的面积为，求．16．（15分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求的取值范围．17．（15分）已知函数．（1）将化成的形式；（2）求在上的值域；（3）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求不等式的解集．18．（17分）已知函数，满足，．（1）若为上的增函数，求的取值范围．（2）证明：与的图象关于一条直线对称．（3）若，且关于的方程在内有解，求的取值范围．19．（17分）若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点．（1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．（2）对任意，函数，都满足①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点．②若，证明：当时，．参考数据：，．

高三半期考数学试卷参考答案1．C因为，，所以．2．D函数的最小正周期．3．B若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必不属于六畜；若甲的生肖不属于六畜，则甲的生肖一定不是马．故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的必要不充分条件．4．A因为，所以的虚部为．5．A因为，所以，且，所以．6．A依题意可得．因为的图象关于点对称，所以，即，所以的最小值为．7．D因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立．故的最大值为．8．B因为，，且，所以，所以，所以的值可以为．9．AC因为与分别为定义在上的偶函数、奇函数，所以，，所以，则为奇函数，其图象关于原点对称，故选AC．10．ACD取的中点，连接，则，且，所以的面积为，A正确．过作，垂足为，设与交于点，由等面积法可得，则．由，得，则，所以，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，B错误，C，D均正确．11．BC，A错误．建立平面直角坐标系，不妨假设，，设，则，，代入，整理得，所以点在以为圆心，为半径的圆上．因为该圆经过坐标原点，所以的最大值为，B正确．因为，所以点在圆内，因为，，所以的最小值为，的最大值为，C正确，D错误．12．．13．因为，所以，又，所以，所以，解得，则的最大值为．14．令，得，令，得．设，，则在上单调递增，在上单调递减，所以．当时，，所以结合，的图象（图略）及，得的取值范围是．15．解：（1）因为，所以，2分因为，，所以，4分所以．6分又，所以．7分（2）因为，所以，9分所以，12分解得．13分16．解：（1），2分所以．3分因为，所以曲线在点处的切线方程为，即．6分（2）在上单调递增．8分因为，9分所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，11分所以，13分解得，故的取值范围为．15分17．解：（1）1分．4分（2）由，得．5分当时，取得最小值，最小值为；6分当时，取得最大值，最大值为．7分故在上的值域为．8分（3）由题意可得，11分则不等式即为，得，13分解得，即不等式的解集为．15分18．（1）解：因为为上的增函数，所以恒成立，2分因为，3分当且仅当，即时，等号成立，4分所以，即，的取值范围为．5分（2）证明：因为，，所以，7分所以，9分则与的图象关于直线对称．10分（3）解：因为，所以由（2）知，即．12分由（1）知，当时，为上的增函数，所以，即．13分设，则，当时，，当时，，14分所以，又，，所以．16分故的取值范围是．17分19．证明：（1）由，得，则，1分解得，所以只有1个偶点，且偶点为0，所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．3分（2）由题意得对恒成立，4分所以存在常数，使得．5分令，得解得．6分①