2024-2025学年湖南省株洲市世纪星高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省株洲市世纪星高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x−3>0}，B={x|x2−5x+4>0}，则A∩B=A.(−∞,1) B.(−∞,3) C.(3,+∞) D.(4,+∞)2.已知复数z=21+i，则|zA.22 B.1 C.23.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA，记CA=m,CB=A.12m−12n B.24.已知函数f(x)=3−x−2x，则当x<0时，f(x)有(

)A.最大值3+22 B.最小值3+22 C.最大值3−25.已知两直线l1：3x−4y+4=0和l2：6x+my−2=0，若l1//lA.−8 B.8 C.92 D.6.函数f(x)=cos(x+π4A.1+22 B.2 C.7.某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是(

)A.19 B.29 C.138.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=AC=BC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，O为PB的中点，则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为(

)A.62

B.63

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：(a2+a+1)x−y+2=0，其中a∈R，则A.直线l过定点(0,2)

B.当a=−1时，直线l与直线x+y=0垂直

C.当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等

D.若直线l与直线x−y=0平行，则这两条平行直线之间的距离为10.如图，设E，F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱DC上两点，且A.三棱锥D1−B1EF的体积为定值

B.异面直线D1B1与EF所成的角为60°

C.D1B11.已知函数f(x)=ln(−x),x<0e−x,x≥0，若关于x的方程m−f(x)=0有两个不同的实数根，则实数A.1 B.2 C.12 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(2,4,5),b=(4,x,y)，分别是直线l1、l2的方向向量，若l113.直线kx−y+3−2k=0过一个定点，则该点坐标为______．14.“a=2”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+(a+1)y−2=0平行”的______条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l经过点A(1,2)，求满足下列条件的直线方程(要求把直线的方程化为一般式)：

(1)直线l与直线x2−y3=1平行；

(2)直线l与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4；

16.(本小题15分)

长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成六组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]，得到频率分布直方图(如图)，观察图中信息，回答下列问题：

(1)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率．17.(本小题15分)

函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)18.(本小题17分)

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且a=7,c=1,A=2π3．

(1)求b及△ABC的面积S；

(2)若D为BC边上一点，且AD=119.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45°，四边形ABCD是梯形，AD⊥AB，BC/​/AD，AD=2，PA=BC=1．

(1)证明：平面PAC⊥平面PCD．

(2)若点T是CD的中点，点M是PT的中点，求点P到平面ABM的距离．

(3)若点T是CD的动点，PT上是否存在一点M，使得PT⊥平面ABM，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案1.D

2.C

3.B

4.B

5.A

6.C

7.C

8.B

9.ABD

10.AD

11.ACD

12.18

13.(2,3)

14.充分不必要

15.解：(1)设直线l的方程为x2−y3=C为常数，代入点A(1,2)得C=−16，

所以直线l的方程为x2−y3+16=0，即3x−2y+1=0；

(2)设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，则1a+2b=1①，12ab=4②，

由①②解得，a=2，b=4，故直线l的方程为x2+y4=1，即2x+y−4=0；

(3)①若直线的截距为0，设直线的方程为y=kx，将点16.解：(1)x−=45×0.1+55×0.26+65×0.2+75×0.3+85×0.08+95×0.06=66.8，

所以本次考试成绩的平均分约为66.8；

因为成绩在[40,70)的频率为(0.01+0.026+0.02)×10=0.56，

成绩在[40,80)的频率为0.56+0.03×10=0.86，

所以第71百分位数位于[70,80)，

设其为x，则0.56+(x−70)×0.03=0.71，

解得x=75，所以第71百分位数为75．

(2)第5组的人数为：50×0.008×10=4人，第6组的人数为：50×0.006×10=3人，

所以至少有1人成绩优秀的概率17.解：(1)由函数f(x)的部分图象可知A=2，34T=1112π−16π=34π，

所以T=π，所以ω=2πT=2，所以函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)，

又f(π6)=2，所以2×π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，

解得φ=π6+2kπ,k∈Z，由|φ|<π2可得φ=π6，

所以f(x)=2sin(2x+π6)；

(2)将f(x)向右平移π4个单位，得到y=2sin(2(x−π4)+π6)=2sin(2x−π3)，

18.解：(1)由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，

整理得7=b2+1+b，即b2+b−6=(b+3)(b−2)=0，

因为b>0，解得b=2，

所以S△ABC=12bcsinA=12×2×1×3219.(1)证明：由PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

得PA⊥AB，PA⊥CD，PB

与底面ABCD所成角为∠PBA=45°，

所以三角形PAB为等腰直角三角形，AB=AP=1，

又由四边形ABCD是直角梯形，BC/​/AD，可知AB⊥BC，

所以△ABC为等腰直角三角形，而BC=1，故AC=2，

在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AD，垂足为E，

则四边形ABCE为正方形，可得AE=BC=CE=1，

所以DE=1，在等腰直角三角形CDE中，CD=2，

则有AC2+CD2=2+2=4=AD2，所以DC⊥AC，

又因为PA⊥DC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

所以DC⊥平面PAC，因为DC⊂平面PCD，

所以平面PAC⊥平面PCD；

解：(2)以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z

轴，

建立如图所示的空间直角坐标系：

则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，C(1,1,0)，

因为T是CD中点，M是PT中点，所以T