2024-2025学年浙江省台州市某中学高二（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省台州市书生中学高二(上)月考数学试卷

一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知点4(2,—3),B(—3,—2)直线1过点且与线段4B相交，则直线/的斜率k的取值范围是()

313

A.(-oo,-4]U[-,+oo)B.(一8,一力U[-,+oo)

C.[一4梳]D.[1,4]

2.。为空间任意一点，若丽=一那+髀+t沃，若4B,C,P四点共面，贝亚=()

111

A.1B-C-D-

Zo4

3.过点4(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.x—y+3=0B.%+y-5=0

C.4x—y=0或％+y—5=0D,4x—y=0或久一y+3=0

4.设直线Z：%+y-1=0,一束光线从原点。出发沿射线y20)向直线Z射出，经，反射后与第轴交于

点M,再次经久轴反射后与y轴交于点N.若而=乎，贝总的值为()

O

321

A.-B.-C.-D.2

二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。

5.已知m：(a-l)x+(2a+3)y-a+6=0,当坐标原点。到直线m的距离最大值时，a=.

三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

6.(本小题12分)

如图，在平行六面体ABCD-AB'C'D'中，AB=4,AD=3,AA'=5,/.BAD=ABAA'=Z.DAA'=60°,

且点尸为8C'与B'C的交点，点E在线段AC'上，且AE=2EC'.

(1)求力C'的长；

=xAB+yAD+zAA',求久，y,z的值.

(3)而与宿所成角的余弦值.

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7.(本小题12分)

已知直线/的斜率为3,纵截距为-1.

(1)求点(2,4)关于直线珀勺对称点坐标；

(2)求与直线I平行且距离为3的直线方程.

8.(本小题12分)

在菱形2BCD中，对角线BD与x轴平行，D(-3,l),4(一1,0),点E是线段4B的中点.

(1)求点8的坐标；

(2)求过点4且与直线DE垂直的直线.

9.(本小题12分)

如图，两个等腰直角△P4C和△ABC,AC=BC,PA=PC,平面P4C1平面ABC,M为斜边力B的中点.

(1)求证：AC1PM；

(2)求二面角P-CM-B的余弦值.

10.(本小题12分)

22

(1)已知直线人：ax—2y=2a—4,l2：2x+ay=2a+4,当0<a<2时，直线h，%与两坐标轴围成一

个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值；

(2)已知直线Z过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于4B两点，如图所示，求△4B。的面积的最小

值及此时直线I的方程.

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11.(本小题12分)

平面直角坐标系中，圆M经过点4(居1),B(0,4),C(-2,2).

⑴求圆M的标准方程；

(II)设。(0,1),过点D作直线内,交圆M于P,Q两点，P,Q不在y轴上.

⑴过点。作与直线。垂直的直线以交圆M于E,F两点，记四边形EPFQ的面积为S,求S的最大值；

(ii)设直线OP,BQ相交于点N,试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.

12.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，平面PCD1平面4BCD,且△PCD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是

矩形，BC=2^/2,M为BC的中点.

(1)求直线PB与平面4MP所成角的正弦值；

(2)求点。到平面4MP的距离.

13.(本小题12分)

如图4,在三棱台力BC-4/忑1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面力(7的4为等腰梯形，且公的

=441=1,D为41cl的中点.

(1)证明：AC1BD；

(2)记二面角Ai-AC-B的大小为d8£百刍时，求直线A4i与平面所成角的正弦值的取值范围.

◊5

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参考答案

l.A

2.C

3.0

4.B

6.解：(1')--AC=AC+CC=AB+AD+A47,

又ZB=4,AD=3,AA'=5,/.BAD=^BAA'=^.DAA'=60°,

---?2-->2-->2---*2-->-->-->---7--->----)

・・.4C'=AB+AD+44'+2(245-AD+AB-AAf+AD-AA'}

=42+32+52+2x(4x3x1+4x5x1+3x5x=97,

AC,=A/97；

(2)由题意，可得加=加+黄二界—轲

=^(AB+AD++ZT)=

11

xy=z=飞

⑶由丽=前一相

可得|而|二J(AD-AB)2=JAD2-2AB-AD+AB2

=J9+16-2x4x3xI=713,

又丽•宿=(AD-AB)■(AB+AD+研

-->-->-->2--»---i-->2-->--»--»----i

=AD-AB+AD+AD-AA-AB-AB•AD-AB-AA

111119

=3x4x-+9+3x5x--16-4x3x-4x5x-=—―,

乙乙乙乙乙

丽

故cos<BD,AC'》—-----Z---_______2___1971261

一I画砌一gxF2522'

则而与前所成角的余弦值为-1吵坐.

7.解：已知直线1的斜率为3,纵截距为-1,则方程为：y=3x-1,

(1)设点(2,4)为点4贝必关于直线/的对称点坐标为4(。力)，

则直线A4'与直线Z垂直，贝林44•的=—1，即"x3=—1①,

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且44的中点(亨，号)在直线I上，所以号=3x号—1②，

联立①和②，解得a=l，b=卷，

所以点(2,4)关于直线1的对称点坐标为《食

(2)设所求的直线为匕因为直线Y与直线1平行且距离为迎，

又因为直线/方程为：y=3x-l,即3久-y-l=0,

所以可设直线厂的方程为：3%-y+c=0,

利用两平行线间的距离公式得：

J；4=闻,解得c=9或—11,

所以与直线/平行且距离为四的直线方程为：3x-y+9=0或3%-)/-11=0.

8.解:(1)••・四边形4BC0为菱形,BO〃x轴,•••4C1久轴，可设

\AD\=\CD\,:.J(-3+I)?+(1-0)2=忒-3+1)2+(l-t)2,

解得：t=0(舍)或t=2,C(-l,2).

A,C中点坐标为(—1,1),

由于。(一3,1),且(-1,1)是B,D中点，B点坐标为(1,1),

(2)2(—1,0),由中点坐标公式得E(0,与，

又D(-3,1),kDE=

则过点4且与直线DE垂直的直线斜率为：6,

:•所求直线方程为：y-6x+6,即6尤一y+6=0.

9.(1)证明：取AC中点D,连接MD,PD,如图，

又M为4B的中点，所以MD〃BC,又力C1BC,则MD1AC,

又△P4C为等腰直角三角形，PA1PC,PA=PC,

所以PD1AC,又MDnPD=D,MD,PDu平面PMD,

所以AC1平面PMD,又PMu平面PMD,

所以AC1PM；

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(2)解:由(1)知，PD1AC,又平面P4C1平面ABC,

平面PACC平面力BC=AC,PDu平面PAC,

所以PD1平面4BC,即PD,AC,DM两两互相垂直，

故以。为原点，~DA,DM,而为x、y、z轴正方向，

建立空间直角坐标系，如图，

设4c=2,则4(1,0,0),5(-1,2,0),C(-1,0,0),P(0,0,l),

所以而=(1,0,1),CM=(1,1,0),

设元=Q,y,z)为平面PCM的一个法向量，由£_L而，nlCM,

则有［而硬=x+y=0,令z=L§Pn=(-1,1,1),

取平面BCM的一个法向量为温=(0,0,1),

则cos(m,n)===+=号，

\m\•|n|7J3

由图可知，二面角P—CM-B的平面角为钝角，

故二面角P-CM-B的余弦值为-圣

10.解:(1)由于直线dx—2y=2ci—4,

当久=0时，y=2—a,即直线h和y轴交于点A(0,2—a),

由于直线％：2%+a2y=2a2+4,

当y=0时，x=a2+2,即%与久轴交于点。(小+2,0),

易知：A和，2均经过定点(2,2),即两直线交于点8(2,2),

如图所示：

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x22

则四边形ABC。的面积S=SAA0B+BOC=,*(2-a)2+x(a+2)x2=(a—|)+半N容

即当a=：时，S=^-,

L4,min

所以四边形的面积最小时，a=|.

(2)由题意设直线l的方程为?+(=l(a>0,b>0),所以(+W=L

由基本不等式可得三+122O,当且仅当3=4，即a=6,b=4时等号成立，

ab7abab

所以ab>24.

所以△力B。的面积S=^ab4X24=12,

即△力B。的面积的最小值为12,此时直线/的方程为R3=1,即2久+3y-12=0.

所以△AB。面积的最小值为12,此时直线/的方程为2x+3y-12=0.

1L解：①设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=7-2,

,(A/3—a)2+(1—6)2=r2(a=0

则,(0-a)2+(4—6)2=r2,解得b=2,

2

,(-2-a)+(2—6)2=r2b2=4

所以圆M的标准方程为#+(y-2)2=4；

(n)设直线。的方程为y=kx+1,Bp/cx-y+1=0,

则圆心(0,2)到直线人的距离心=慌;?=J

所以IPQI=22三=2

(i)若k=0,则直线已斜率不存在，

则|PQ|=2®\EF\=4,

则S=||EF|-|PQ|=4后

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若k*0,则直线L得方程为y=—a+1，即％+ky-k=0,

K

k

则圆心(0,2)到直线的距离d2=下百，

所以附=25一号=2带兽,

则S=1|FF|-\PQ\=2J4k2,即：“=2；1^霁¥

=2&+君七=2；12+/+&+2±2『2+］心噎+F=7,

当且仅当/=2，即卜=±1时，取等号,

综上所述，因为7=陷＞44，

所以S的最大值为7；

(九)设PQiM，Q(x2,y2),

联立｛；=k^~+\—4,消y得(/+1)/-2日一3=0,

2女—3

则+%2=应"工7562=后工7,

直线。P的方程为y=3，

人1

直线BQ的方程为y+4,

人2

'y=—x

联立y=Mx+4,解得久=WS?

,X2

n।_2^14%I%2_4yi%2_4(Zcxi+1)尤2_4kxiq+4%2_—6%i—2%2

人-%i3%i+%2-3%i+%2-3%i+%2—3%i4-%2-3%i+%2

所以N段鞋■「2),

所以点N在定直线y=—2上.

12.解：(1)如图,取。C中点为。，2B中点为G,连接OG,

由题设可知，OP_L平面力BCD,

故以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

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贝IJO(OOO),尸(0,0,避)，71(272-1,0),

8(2",1,0),M(也1,0),

设平面/MP的一个法向量为元=(x,y,z)f

尸Z=(2避1,-避)，PM=(m,1,一避),

^.,(PA-n=0_r/p,f2V2x—y—=0

则由｛而刀=O'可用I送X+y—&=o;

令y=1,可得x=避，y=^/3,

故平面4MP的一个法向量为7=(裾,1,4)，

记直线PB与平面力MP所成角为a,而=(2避,1,一避)，

所以sina=|cos(P5,n)|=|篇司=加言语=今

故直线PB与平面力MP所成角的正弦值为座；

(2)如图，平面PC。1平面4BCD,四边形2BCD是矩形,

因为四边形ABCD是矩形，所以BC1CD,AD1CD,

又平面PC。C平面ABC。=CD,BC,ADu平面ABC。,

所以AD1平面PCD,BC1平面PCD,

故401PD,BC1PC,

在直角△PCM中，PC=2,CM=",贝i]PM=y/6,

在直角△ABM中，AB=2,BM="，贝IjAM=

在直角△PCM中，PD=2,AD=2避，贝！jPA=2避，

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贝！I有PM?+AM2=PA2,即力M1PM；

同理可求得4。=3,MO=y/3,

设点。到平面4Mp的距离为h,

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由Up—/