北京某中学2024-2025学年高三年级上册数学统练三（含答案）

试卷编号：11156

北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练三

班级：学号：姓名：成绩：

一、选择题共10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

L在复平面内，复数z满足iz=3-4i,则z的虚部为()

(A)3i(B)-3i(C)3(D)-3

2.已知｛b„｝是等比数列,若岳=3,氏=27,则b4的值为()

(A)9(B)-9(C)+9(D)81

3.已知函数/(尤)的导函数r(x)的图象如图所示,则/(x)的

极小值点为()

(A)无1和无4(B)无2(C)x3

5.已知实数a>b>c,abc,0,则下列结论一定正确的是()

(A)v->—(B)ab>be(C)—<—(D)ab+be>ac+b2

bcac

6.设a,5是非零向量,则+b\=⑷-\b\''是"a，的()

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

7.已知函数/(%)=Acos(2x+3)(A>0,\(p\<兀)是奇函数,且=-1,将/(九)的图象上

所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,所得图象对应的函数为g(x),贝lj()

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(A)g(x)=sinx(B)g(x)=-sinx(C)g(x)=cos(尤+j)(D)g(x)=cos(尤-/)

8.荀子《劝学》中说：“不积蹉步,无以至千里;不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的

过程,每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为。，甲同

学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.〃天后，甲同学的知识储备量为

(1+2%)na,乙同学的知识储备量为(1-2%)na,贝1|甲、乙的知识储备量之比为2时需要经

过的天数约为()

(参考数据:lg2a0.3010,1g102x2.0086,lg98x1.9912)

(A)15(B)18(C)30(D)35

9.若数列他“}满足%=2,'"I+S"=2n+3,贝u$8+麴的值为()

斯+1

(A)9(B)10(C)11(D)12

10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站

天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索

运动物体追踪技术,设计了如下实验：目标尸在地面轨道上做匀速直线运动;在地面上相

距7m的A,8两点各放置一个传感器,分别实时记录A,B两点与物体P的距离.

科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距

离时间”函数图象分别如曲线a,b所示.h和t2

分别是两个函数的极小值点.曲线。经过(O/o),

(fi,n)和Q2,"),曲线6经过(t2,r2).己知r/i=r2t2,

r\=4m,ti=4s,并且从f=0时亥!］至！Jt=攵时刻

P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知,

P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P

的速度大小分别为()

...6V13,6V13,公、23行/心23g/

(A)y,——m/s(B)―,——m/s(C)―,——m/s(D)―,——m/s

二、填空题共5小题。

11.已知集合A={-1,1,3},5={2,2。-1},AC8={1},则实数a的值为.

12.函数/(x)=底=I-(4x-3)°的定义域是.

13.已知命题p:3x6R,ax2+2ax+1<0,若命题p为假命题，则实数a的取值范围

是.

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14.已知等边三角形ABC的边长为4,E,F分别是AB,AC的中点，则说•说=;

若M,N是线段BC上的动点,且\MN\=1,则说•丽的最小值为.

15.已知函数/(x)=2[sinx]+3[cosx],其中[x]表示不超过x的最大整数.例如：[1]=1,[0.5]=0,

[-0.5]=-1.给出以下四个结论：

①吟)=★；

②集合｛yeR|y=/(x),xeR｝的元素个数为9;

③存在aeR,对任意的xeR.W/(a-x)=f(a+x);

④若/(x)>x+a对任意尤e[0,22恒成立,则实数a的取值范围是(-汉三-2加

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.等差数列[a,,｝中，首项的=1,且°2+2,的,处-2成等比数列.

(1)求数列｛a,,｝的通项公式；

(2)求数列(―!—)的前n项和Sn(?76N*).

17.已知函数/(x)=26sin5cos5-2cos2奉

(1)求/(f)的值；

(2)求函数/(%)的单调递减区间及对称轴方程.

18.已知AABC中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,JLft2+c2=a2-2bcsinA.

(1)求A的大小；

(2)若D是边AB的中点,且CO=2,求c+2也人的取值范围.

19.已知函数/(无)=a(x+[-2)-(y%2-Inx).

(1)求/(x)的图象在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)讨论/(x)的单调区间.

20.已知/(x)=(2x-l)eflx-x在x=0处的切线方程为x+y+b=0.

(1)求实数a,b的值；

(2)证明：f(x)仅有一个极值点x0,且y(x0)<-今；

(3)若g(x)=(mx-l)emx-尤,是否存在m使得g(x)2-1恒成立,若存在,请求出m的取

值范围;若不存在,请说明理由.

21.有穷数列…，斯(W>2)中，令S(p,q)=ap+ap+i+…+%(1<pWqWn,p,q€N*),

当p=q时规定S(p,q)=ap.

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(1)已知数列-3,2,-1,3,写出所有的有序数对(p,q),且p<%使得S(p,q)>0;

(；2)已知整数列做,…,斯,几为偶数.若S(i,孔-i+1)(i=1,2,•,•,满足：当i为奇数

时,S(i,〃—i+1)>0;当i为偶数时,S(i,〃—i+1)v0.求M+㈤+…+&I的最小值；

(3)已知数列〃1,〃2,…，〃〃满足S(lM>0,定义集合4={i|sa+l,m>o,i=1,2,…，〃—

1}.若A={fi,i2,…，加}(%eN*)且为非空集合,求证：S(l,n)>ai]+能+…+

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北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练三答题纸

班级：学号：姓名：成绩：

一、选择题共10小题。

题号12345678910

答案

二、填空题共5小题。

11..12..13.

14.,.15..

三、解答题共6小题。

16.

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17.

北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练三第6页（共10页）

18.

北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练三第7页（共10页）

19.

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20.

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21.

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北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练三参考答案

1.(2024门头沟一模2)D

2.A

由题得其=①,为=3x27=81,而①二①•/>0,则/?4=9.

3.D

4.(2024海淀高一上期末4)C

5.D

由题可知,。黄0/彳0,c彳0,A项中，若4>b>c>0,则与〈旦，故A项错误;B项中,

bc

若a>0>b>c,贝!]<0,bc>0,故v6c,故B项错误;C项中，若a>0>6>c,则

!>故C项错误;D项中,ab+0c>ac+人2ab-ac>b2-be=>a[b-c)>b(b-c),

因为〃>。>c,abcW0,贝！|。一c>0,故ab+be>+肥正确,故D项正确.故选D.

6.(2018东城二模理5)A

7.(2023通州高三上期中9)A

由题意可知夕=会+kit(kGZ),Mv兀，所以w=]■或w=

由/(苧)=-1=Acos(苧+3)=-1,

因为A>0,所以cos(苧+.)v0,

所以(p-—食,A=1,即f(x)—cos(2x—£)=sin2x,

故g(%)=sinx.

8.(2024丰台高一上期末9)B

9.B

由S„+l-Sn=an+l及S"1+—=2〃+3得S“+1+Sn=(2M.+3)(5„+1-S„),即S„+1+Sn=

(2〃+3)S“+i-(2"+3)5.,即(〃+2)S“=(w+l)S,+i,所以々r=%M即[々yl为常数

n+1n+Z[n+I)

歹！J,又与■二与二1,所以)=1,即S"=〃+l,所以S8=9,$7=8,〃8=S8-$7=1,

z2n+1

所以Sg+lg=10-

10.B

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11.1.

由题可得2。-1=1,即2。=2,解得a=l.

12.[y,^-)U+oo).

13.[0,1).

因为TXGR,ax2++140”为假命题,所以其否定“Vx6R,ax2+2ax+l>0”为真

命题,当〃=0时,显然成立；当〃W0时,ax2+lax+1>0恒成立,贝"<“>°’解

4〃2-4。<0,

得0vav1.综上,实数a的取值范围是［0,1）.

14.(2023大兴高三上期中14)2;

EF-EA=(EA+AF)-EA=KA2+AF-EA=27+2x2x

cos120°=2;若M,N是线段BC上的动点，且\MN\=1,

不妨设N点相对M更靠近B点,设|8N|=t(0<f<3),

---A--->--->--->--->--->---►---A--->--->

EM-EN=(EB+BM>(EB+BN)=EB2+(BM+BN)-EB+

BM-BN=22+2(t+t+l)cos120°+(f+l)f=产-f+3=

(/-4)2+皆■，当f=:时，前.前取最小值,且为牛.

15.(2021东城高三上期末(改编)15)①④.

16.(1)因为+2,。3,。4-2成等比数列，所以访=(02+2)(。4-2),

即3+2d)2=3+d+2)31+3d-2),解得d=2,所以斯=2"-1.

(2)因为=1----F••■H----------,

所以Sn=1x3+3x5+…+(2n-1)x(2n+1)

=lx(1-f+5+，"+—T-2^TT)=1(1-2^TT)=H

17.(2015朝阳高三上期中理15)

(1)f(x)=2乃sin不cosq-2cos21=V3sinx-cosx-1=2sin(x-：)-1.

222o

/(1)=2sin1-l=0.

(2)由2®+2<x-<2女兀+冬得2左兀+孕<x<2左兀+孚(左wZ).

26233

所以函数f(x)的单调递减区间是[2左兀+有",2kH+(k6Z).

令尤一:二左兀+2得x=E+孕(%eZ).

623

所以函数/(X)的对称轴方程是x=kn+半(keZ).

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18.(1)由余弦定理得cosA=为1=.24sinA_

2bc2bc=sinA

所以tanA=-1.

又Ae(0,Jt),所以A=.

(2)在AACD中,设AACD=a,则AADC=.-a,aw(0,1).

所以b=2V2sin(£-a),c=4sina.

所以c+2V2Z?=4V2sina+8sin(-^--a)

=4y[lsina+8(-^-cosa——sina)=4后cosa.

又ae(0,1),所以cosa6(,1),

gPc+2V2fe的取值范围是(4,4V2).

19.(1)r(x)=〃(1一/)—(x—1),/(1)=0,/(l)=

故/(x)的图象在点(1,/(1))处的切线方程为丁二-j-.

(2)/'(x)=〃(1-y)一(%——)—-----------(a—x),x>0.

XXX

①当a<0时，令f(x)=0,解得x=1,有

X(0,1)1(1,+8)

r(x)+0-

f(x)/极小值

故单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+co).

②当a>0时，令f(x)=0,解得x=1或尤=a.

当0<a<1时，

X(0,a)a31)1(1,+8)

f'M-0+0-

/(X)极小值/极大值

故单调递增区间为(a,1),单调递减区间为(0,a),(l,+co)

当。=1时,广⑴<0,f(x)的单调递减区间为(0,+oo),无单调递增区间.

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当a>1时,

X(0,1)1(1,0)a3,+8)

r（x）-0+0-

/（尤）极小值/极大值

单调递增区间为(1,。),单调递减区间为(0,1),(«,+co).

20.(1)/(0)=-1,r(x)=2eOA+a(2x-l)eflX-1,所以广(0)=1-a,

f(x)在x=0处的切线方程为y+1=(1-d)x,所以a=2,b=1.

(2)f(x)=(2x-l)e2x-x,f'{x)=4胧2工-1,当尤<0时,/(尤)<0,/(x)单调递减；

f"(x)=4e2v+8xe2x,当x>0时,/'"(x)>0,f'{x}单调递增；

z2x

f(0)=-1<0,=粕-1>0,所以存在的e(0,1)使得/(尤0)=0,即4x0e»=1.

且当x<Xo时，/(尤)<0,f(x)单调递减;

当X>Xo时，/(x)>0,f(x)单调递增，

所以/(X)仅有一个极值点x0,/(x0)=(2xo-1把2领-沏=竺---刖=J-(4—+x0).

因为XQG(0,}),所以+的>东所以/(Xo)<一总.

(3)g<x)=m2xemx-1,

则当xv0时,夕⑴<0,g(x)单调递减,所以g(x)》g(0)=-1恒成立；

g〃(x)=m2(l+mx)emx.

当机>0,x>0时,g〃(x)>0,g'(x)单调递增,^(0)=-1<0,/(」)=9—1>0,

m

所以存在x0e(0,』)使得?(劭)=0,当沏>尤>0时/(尤)<0,g(x)单调递减，

m

g(xo)<g(0)=-1,不合题意;

当TnW0,x>0时，mx—1W-1，所以(mx-l)emrW—e『

所以g(2)Q-e2m-2<-2,不合题意.

综上,不存在m使得g(x)》-1恒成立.

21.(2024东城一模21)

(1)(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).

(2)由已知得5(仁”一女+1)与S/+1,〃-左)异号,其中左eN*,Z<?-1.

由于欣+1-IS(k,n—k+1)—S(k+1,zi—lc)\=|S(k,n—k+1)|+|S(k+1,"—Q|》2,

因此\ak\+\an-k+i|^2,^=1,2,

北京一零•中2024-2025学年度第一学期高三数学统练三参考答案第4页（共5页）

而1利1+附+il21,k=1,2,…，3■一1,所以|〃i|+㈤+…+1aM》九一1.