嵌套函数的零点问题-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展05嵌套函数的零点问题(精讲十

精练)

一、知识点梳理

1.嵌套函数形式：形如f(g(尤))

2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤

⑴换元解套，转化为/=8仪)与丫=/⑺的零点.

⑵依次解方程，令处)=0,求3代入尸g(x)求出x的值或判断图象交点个数.

注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质.

二、题型精讲精练

2"+2〃

-------I--13

【典例1】已知函数"X)=2，则函数/(x)=/[〃x)[-2〃尤)-3的零点

|log2(x-l)|,x>l~

个数是()

A.4B.5C.6D.7

33

分析：令f=/(%),歹(x)=0一/⑺=2/--一作函数y=/(%)与y=2x+：图象一两个交点

的横坐标为L=0,/2e(1,2)一/(%)=%、/(x)=与判断F(x)的零点个数.

3

【解析】令/=/(无)，尸。)=0,则/⑺-2"；=0,

3

作出V=/(x)的图象和直线y=2x+],由图象可得有两个交点，设横坐标为6,明

.•.4=0总€(1,2).当/。)=4时，有》=2,即有一解；当/■(尤)=%时,有三个解

综上，尸(x)=。共有4个解，即有4个零点，故选A

【题型训练】

一、单选题

Ilglx-llLx^l

1.(2023春•高三平湖市当湖高级中学校联考期中)已知函数/(X)=II11,则函数

0,x=1

y=〃”x))+〃工(meR)零点个数最多是()

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】画出了⑺的图像，设〃x)=r,首先讨论了⑺+根=0的根的情况，再分析=r

根的情况即可分析出y=/(/(x))+利根的情况，即可得出答案.

【详解】画出/(无)的图像，如图所示，

设〃x)=t,由图像可知此0,则阿=一加,

①当相＞0时，即/(。=一机＜0,没有根；

②当〃2=。时，即/(f)=0,此时有3个根A=0,?2=1»4=2,

当/=0时，即〃尤)=0,有3个根，

当r=l时，BP/(%)=1,有4个根，

当f=2时，即〃x)=2,有4个根，

故〃7=0时,/«)=_m=0有11个根；

③当相<0时，f(t)=-m>0,此时有三个根，0<r4<1<?5<2<^,

当”/」(。，。时，即/(同一…①」)，有4个根，

当fje(l,2)时，即/⑺fe(L2),有4个根，

当，=&e(2,+oo)时，即〃x)=&e(2,田)，有4个根，

故根<0时,/'«)=-加有12个根；

综上所述，〃/(幻)=-机最多有12个根，

故选：B.

JQ-_1%<]

2.(2023春•广东揭阳•高三校联考阶段练习)函数〃x)=,'；，则函数y=/V(x))-1

Inx,x>1

的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】令t=/(x),结合题意得到/。)=1的两根为「-夜，L=e,然后根据函数Ax)的

单调性和最值进而求解.

【详解】令f=〃x),则/⑺=1,当时，由r-1=1可得/=或"四(舍去)；当01

时，由ln/=l可得t=e,所以/⑺=1的两根为「-五，L=e,

贝!|/(x)=-0或/(x)=e,因为〃力在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以/。)2/(0)=-1,若f(x)=-近,易知方程无解，

若，(元)=e,当xVl时，由Y-l=e,得x=-Je+l或x=Je+1(舍去)，

此时方程有唯一的解；

当x>l时，由lnx=e,得％=6。，此时方程有唯一的解，

综上所述可知函数V=的零点个数为2个，

故选：A.

尤2+2无_3r<0

3.(2023秋・福建厦门•高三统考期末)已知函数〃x)=J一八，则方程/(〃x))=左

log?尤-2,尤>0

的实数解的个数至多是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根据复合方程问题，换元/=/(",作函数图象分别看内外层分别讨论方程

/(/(力)=%根的个数情况，即可得答案.

【详解】设上“X),则/(〃x))=左化为/(。=左,

.r+2.x-3^<0所以〃0)=_3=〃-2)=/

又“无)=/(-1)=-4=/

log2x-2,x>0I

如图为函数的大致图象:

由图可得，当左>-3时，〃。=%有两个根4〈-2当〉；，即r=/(x)<-2或f=此

时方程/("X))=人最多有5个根；

当3时，/，)=上有三个根一2<.<—1,—1<芍<。,[<4<]，即一2</(x)<—1或

-l<〃x)<0或;<y(x)<g,此时方程/(〃X))=人最多有6个根；

当左=T时，有两个根乙=-1应=；，即〃x)=T或/(尤)=:,此时方程

/(/(力)=%有4个根；

当左<T时，有一个根0<"；,即0<〃司<：,此时方程/(〃力)=上有2个根；

综上，方程/(/(》))=%的实数解的个数至多是6个.

故选：B.

2Xr0

4.(2023.全国•高三期末)已知函数〃无)=,…；g(x)=|x(元-2),若方程

/'(g(x))+g(x)-m=0的所有实根之和为4,则实数机的取值范围是()

A.加>1B.m..1C.777<1D.m,,1

【答案】C

【分析】由题对加取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.

【详解】令f=g(x),此0,

当，”=1时，方程为〃。+/1=0,即/⑺=17,

作出函数y=/(r)及y=iT的图象,

由图象可知方程的根为/=0或r=1,即卜(彳-2)卜0或|x(x-2)|=1,

作出函数g(x)=|x(x-2)|的图象，结合图象可得所有根的和为5,不合题意，故BD错误;

当机=。时，方程为/«)+r=。，即/⑺=T,

由图象可知方程的根即k(x-2)|=re(0,l),

结合函数g(x)=k(x-2)1的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4,满足题意，故A

错误.

故选：C.

3*+3八

-------XW1

5.(2023秋・河南信阳•高三信阳高中校考期末)已知函数"》)=3'一,则函数

|log3(x-l)|,x>l

/(力=/[〃切一3〃力-：的零点个数是()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

3"+3八

-------x<1

【分析】确定函数〃X)=3'"的值域，利用换元法令f=/(x),则te[O,+s),

|log3(x-l)|,x>l

则将函数尸(尤)=-3〃x)的零点问题转化为函数y=于(t),y=3,+；的图象的交

点问题，作函数y=/(f),y=3f+g图象，确定其交点以及其横坐标范围，再结合/(x)的图

象，即可确定*尤)=/[〃尤)]-3〃尤)-g的零点个数.

3尤+3―

【详解】已知〃X)=3'一，当xVl时，f(x)=^—^=y~x+\,

|log3(x-l)|,x>l'

当x>l时，/W=|log3(x-l)|,

作出其图象如图示：

可知Ax)值域为[0,+s),设f=/(x),贝〃e[0,+8),

则函数/(无)=/[〃耳]-3了(力-：的零点问题即为函数V=/«),'=3/+3的图象的交点问

题，

"3'+3

而/(。=,作出函数y=/«),y=3/+；的图象如图示：

|log3(r-l)|,r>l-

可知：>=/(/),〉=3f+g的图象有两个交点，横坐标分别在(0,1),(1,2)之间,

不妨设交点横坐标为4e(0,1),/2e(1,2),

当4=〃x)时，由图象和直线y=/Je(0,1)可知，二者有两个交点,

即此时尸(x)=丹/⑺]-3〃x)-：有两个零点；

当》2="力时，由图象和直线>=占，2€(1,2)可知，二者有3个交点，

即此时/尤)=扛/⑴[-3〃x)有3个零点，

故函数/(无)=的零点个数是5,故选：B.

【点睛】本题考查了复合函数的零点个数的确定问题，综合性较强，涉及到函数的值域以

及分段函数的性质的应用和数形结合的思想方法，解答的关键是采用换元法将函数的零点

问题转化为函数图象的交点问题.

x2,x>0

6.(2023春•江西吉安•高三吉安一中校考阶段练习)已知函数/(©=阿T),X<。,若函数

g(x)=/(/(x))-4(x)+l恰有两个零点，则。的取值范围是()

A.[0,2)。{1}B.(2,+oo)C.(—1,。)D.(―℃,—1)

【答案】C

【分析】设/=/(%)，进而考虑丁=/(。与3;=加一1的交点，分0Va<2,a=2,a>2,

-l<«<0,。<-1五种情况讨论求解即可.

【详解】设，=/(x),贝Uy=/(。一H+1,令力(。=0,得/•1)=〃—1,

我们先来考虑y=与y=〃-i的交点，

令"at—1=—,A=4—4,

当04a<2时,y=a<T与%/⑺只有1个交点,交点横坐标％1,0),此时g(x)有1

个零点；

当a=2时，y=与y=只有2个交点，交点横坐标6e(T。)=1，此时g(x)有

3个零点.

当a>2时，>=0-1与y=/(。只有3个交点，交点横坐标0e(T0)J2e(0，l)J3W(l，+8)，

此时屋元)有5个零点.

若y=与y=〃t)G<0)相切时，设切点P&,ln(F))),

所以，切线斜率q=>=ln(T°)+l,解得f0=T,a=T,

%%

故当时，y=8-1与y=没有交点，g(x)没有零点.

当-1<°<0时，y=m-i与y="t)有2个交点，交点横坐标廿2«内,0),此时g(x)有

2个零点.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于通过换元r=/(%),将问题转化为直线y=〃-i

与y=/(f)的交点个数，进而数形结合，分类讨论求解即可.

7.(2023春•安徽滁州•高一校考开学考试)己知函数/(x)=F,若函数

Inx,x>0

g(x)=/(x)+。有两个零点，则函数％(x)=/(/(x)+a)+a的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】作出函数〃x)的图象，根据题意利用图象分析可得。=2,令f=/(x)+2并将问题

转化为了⑺与产-2交点横坐标t对应x值的个数，结合数形结合法求零点个数即可.

【详解】当x<0时，则/(》)=尤+!在(-叫-1)上单调递增，在上单调递减，

X

则/(X)«/(-!)=—2；

当尤>0时，则〃x)=lnx在(0,+8)上单调递增.

作出函数的图象如图所示，

令g(x)=/(x)+a=。，贝!l/(x)=-。，

若函数g(x)=/(x)+a有两个零点，则函数了⑺的图象与直线y=-。有两个交点，

所以-2,解得a=2,

故/7(元)=/(/(力+2)+2,

令/7(x)=o,即/(〃x)+2)=-2,

7<o

t>0

令r=/(x)+2,贝！|i_或

tH—=-2]nt=-2

It

解得r=-l或f=3，

e

即〃x)+2=-l或"x)+2=:,贝叶(%)=-3或/(x)=J-2>-2,

由图象可得〃x)=-3有3个实数根，〃司=，-2有1个实数根，

故/z(x)的零点个数为4,

故选：B.

,、---，x<0

8.(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃％)=1-%(e为自然对数的底数)，则函数

|lnx|,x>0

*力=/[〃切—!〃力—1的零点个数为()

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

1八

,、---，尤<0_/、_1

【分析】作出函数〃X)=1-X的图象，可设/(x)=r,可得〃。=5+1,判断

|lnx|,x>0e

丫=：尤+1与“工)交点个数,进而将尸(无)=打〃司]-《“X)-1的零点个数问题转化为函

数，=f,y=/(x)的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.

【详解】设“x)=t,令尸(x)=0可得：〃f)=gf+l,

1

对于y=J—,y'=nv>故、=J—在匕=0处切线的斜率值为％i=1,

l-x(l-x)l-x

设y=+1与y=lux相切于点(马，1唉)，

•.切线斜率心=’,则切线方程为：V-lnx2=—(x-x2),

xx?x?

\1

]k2——]

即丁=兀+lux2—1,..<x?,解得：%=e,k2=~T»

,e

[lnx2-1=1

由于3<±<1,故作出〃尤)与y=3》+l图象如下图所示，

eee

.•.丁=3》+1与〃力有四个不同交点，

即y=：f+l与/⑺有四个不同交点，

设三个交点为4，54，/4（，1<，2</3</4），由图象可知：/j<0<?2<1<?3<f4,

作出函数、=/广=/。）的图象如图，

由此可知/（尤）与y=。无交点，与y=有三个不同交点，与y=如y=%各有两个不同交点,

.•./口=/[/（切-5/（司-1的零点个数为7个,

故选：c

【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，常常采用换元的方法，将零点问题转

化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.

2x-3,x>0,

9.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃尤）=函数g(x)=r(〃x))-加恰

x3—3x+1,x<0

有5个零点，则机的取值范围是（）

A.（-3,1）B.（0,1）C.[-1J)D.(1,3)

【答案】C

【分析】由题意可先做出函数/■（》）的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m的

取值范围.

【详解】当xVO时，制X）=3Y-3.由/得X<—1,由r（x）<0,#-l<x<0,

则/'（X）在上单调递减，在（3,-1）上单调递增，故/（X）的大致图象如图所示.

机有且只有1个实根，

则f=/（x）最多有3个不同的实根，不符合题意.

当〃2=3时，根的解是彳=-1,马=3./（x）=：有2个不同的实根，八无）=L有2个

不同的实根，

则二=/（同有4个不同的实根，不符合题意.

当<3时，加有3个不同的实根4，%小且”（-2,-1）,小（一1,。］,心［2,3）.

/（X）=4有2个不同的实根，八必=%有2个不同的实根，八x）=：5有3个不同的实根，

则/=〃x）有7个不同的实根，不符合题意.

当-"m<1时，机=〃。有2个不同的实根%，%,且依（一3,-1）,公［1,2）.

八元）=%有2个不同的实根，八无）=右有3个不同的实根，

则t=有5个不同的实根，符合题意.

当-3<加<-1时，加=〃。有2个不同的实根%,%，且%e（-3,-l）,/9e（O,l）,

/（x）=4有2个不同的实根，/（X）=%，有2个不同的实根，贝!Jr=/（"有4个不同的实根，

不符合题意.

当m<-3时，相=有且只有1个实根,则t=f（x）最多有3个不同的实根,不符合题意，

综上，m的取值范围是卜1,1）.

故选：C.

【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与

分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m的讨论应有〃z=3,l<m<3,

-3<m<-l,m<-3这几种情况，也是解题关键.

二、填空题

/、f2x+2,x<0「,

10.(2023秋・贵州毕节•高三统考期末)已知函数〃X)=,贝IJ函数y=的

[lOgqX,%>U

所有零点之和为.

【答案】4

4

【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数y=/[〃x)]的所有零点，从而得解.

【详解】设冽=/(£),则/(帆)=0,

①当机40时，2机+2=0,得加=一1；

②当相>0时，log4m=09得m=1；

综上所述：若〃回=0,则机=-1或根=1.

故/(力=—1或〃/=1,则有：

…/、fx<0fx>031

①由/X=-1,可得cc1或11,解得x=或X=%

7

[2x+2=-l[log4x=-l24

-、fx<0fx>01

②由/x=1,可得。c[或LI，解得x=-g或>4；

7

'[2x+2=l[log4x=12

综上所述：函数y=/(/(x))的所有零点为-：，一；，4.

故所有零点的和为闫+；+(_，+4=；.

9

故答案为：—.

4

【点睛】关键点点睛：根据题意分xWO和x>。两种情况讨论，运算求解，

11.(2023•福建福州•高三福州三中校考阶段练习)已知函数/(x)=则函数

F(x)=/[/(x)]-2/(x)-1的零点个数为.

【答案】5

【分析】方法一：令〃尤)=%将问题转化为〃。=2/+；,根据图象分析得了⑺=2f+g有

两个零点为4e(0,1),%«1，2)，从而考虑〃x)="与/(x)=%根的个数即可求解;方法二：

利用导函数以及零点的存在性定理讨论/(r)-2r-l=0的根分别为/oe(O,l).

「e(l,2),从而用数形结合的方法确定了(x)=7。与/(x)=。根的个数即可求解.

【详解】方法一：“X)大致图象如下

下p2x

令/(%)=/,/(。_射_；=0=/(。=2/+；(*)

■••/(0)=-+1>1,/(1)=2<|,

e22

所以(*)式方程的一个根4«0,1),

再由图可知(*)式方程的另一个根马€(1,2),

当［«o,i)时,“X)与yr的图象有2个交点，所以y(x)=%有2个实根，

当L41,2)时，〃尤)与y=L的图象有3个交点，所以〃力=/2有3个实根,

二产⑴共有5个零点.

方法二：

令〃尤)=/,b(力=00/⑺-2"；=00/«)=2,+吴1时，

113

e'7+1=2/H—,e'T=2t—,e"=2m—,

222

3

g(m)=em—2m--,m<0,g'(机)=em—2<0,

当mKO时,g'(m)=e6—2v。,

所以g(间在(-00,。］单调递减，

g⑼=_:<ag(T)=」+:>。,

2e2

所以g(〃?)在(-8,。］有且仅有一个零点m0,

其中?e(T,0),则e-=2/g有且仅有一个零点其中％.0,1).

r>l时，|ln(/-l)|=2z+1,l<r<2fff,ln(f-l)+2r+1=0

/z(f)=In(-1)+2/+g在(1,2)单调递增，

/7(e-4+l)=-4+2(e^+l)+1<0,/2(2)=|>0,

〃⑺在(1,2)有且仅有一个零点*%e(L2),

/>2时，结合函数图象可知ln(r-l)=2t+；无解，有两个根右在,

因为％e(O,l),所以由图象可得与y=的图象有2个交点，

所以/(x)=，o有2个实根，

当％e(l,2)时，/(x)与y=%的图象有3个交点,

所以/(%)=%有3个实根，

12x+l|,x<1

12.(2023秋・广东深圳•高三深圳市高级中学校考阶段练习)已知/(%)=

log2(x-l),x>l>

g(x)为三次函数，其图象如图所示.若y=/(g(x))-加有9个零点，则加的取值范围是

【分析】根据/⑴的图象判断与>=机在不同m取值范围下的交点个数，并确定交点横坐标

的范围，结合/⑺解析式求横坐标关于m的表达式，结合题图及y=/(g(元))-机有9个零

点，列不等式组求m范围.

-2x-l,x<--

2

2x+l,-^<x<1,其图象如下,

【详解】由题设“x)=

log2(x-l),x>l

当〃2e(F,0),y=%与/(x)只有一个交点且xe(1,2)；

当m=0,?=相与/(无)有两个交点且x=或x=2：

当相e(0,3),y=%与/(%)有三个交点且xe(-2,-1)u(-1,l)u(2,9)；

当me[3,+oo),y=机与f(x)有两个交点且xe(-co,-2]o[9,+oo).

由题图，要使f=g(x),>=/«)-根有9个零点，贝!]mw(0,3),reO-3,m+2),且/⑺=加

-2</]<-5<，2<1<2<，3<9,

根据/(X)解析式：％=一寸出=宁，/3=2"'+1，

,m+1.

m-3<------<m+2-55

2——<m<—

33

cm-1.

综上，＜m—3<----<m+2可得•-5<m<5,故

2，

0<m<1

m-3<2w+l<m+2

0<m<3

0<m<3、

故答案为：0＜〃2＜1

【点睛】关键点点睛：根据/⑺、g(x)的图象及y=/(g(x))-根零点个数，确定r=g(尤)时

函数y=f(。-机对应零点的范围，进而求各零点关于m的表达式，列不等式求参数范围.

13.(2023秋•江苏泰州•高三统考期末)已知函数〃X)=——(xwa),若关于x的方程

X—CL

/(/(》))=2恰有三个实数解，则实数。的取值集合为.

【答案】同

【分析】当。=0时，易知/(/(力)=2无解；当。＜0时，设f=/(x),采用数形结合的方式

可知％＜。气＜0,可知/(/5))=2无解；当a＞0时，设加=〃力，采用数形结合的方式

可知。＜叫＜。＜吗，通过讨论a的范围可确定班或〃2的取值，由此可构造方程求得。的值.

【详解】〃x)=*=l+M(xwa)；

x-ax-a

当a=0时，/(x)=l(x^o),此时/(〃期=2无解，不合题意；

当.<。时，设r=〃x),则y=7'⑺与y=2的大致图象如下图所示,

贝!|〃/)=2对应的两根为4<°气<0,

此