2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：拓展之泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用（学生版+解析）

第13讲：拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应

用

目录

高频考点类型..............................................2

类型一：泰勒展开式.......................................2

类型二：利用超越不等式比较大小............................5

类型三：利用对数型超越放缩证明不等式.....................6

类型四：利用指数型超越放缩证明不等式.....................7

1、泰勒公式形式：

泰勒公式是将一个在%0处具有n阶导数的函数利用关于(X-5)的n次多项式来逼近函数

的方法.

若函数/(%)在包含%的某个闭区间［“，切上具有〃阶导数，且在开区间(。，力上具有

(〃+1)阶导数，则对闭区间［a,切上任意一点x,成立下式：

,0)2

/(x)=/(x0)+/(x0)(x-x0)+^(x-x0)+...++/?„(x)

2!n\

其中：表示在x=5处的〃阶导数，等号后的多项式称为函数/(X)在/处

的泰勒展开式，剩余的R⑺(幻是泰勒公式的余项，是(X-%)"的高阶无穷小量.

2、麦克劳林(Maclaurin)公式

/(X)=/(0)+/'(0)x+且M+...+J―笠*”十与(X)

2!n\

虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取%=0的特殊结果，由于麦克劳林

公式使用方便，在高考中经常会涉及到.

3、常见函数的麦克劳林展开式：

r2ne6x

(1)^=l+x+—+x——xn+1

2!n\(n+1)!

(2)sinx=x-—+--------+(-1)"—-------+o(x2,!+2)

3!5!(2〃+l)!

246

(3)cosx=l-—+—-—+---+(-l)n+o(x2,!)

2!4!6!(2〃)!

2

r婷n+1

(4)ln(l+x)^x-—+--------+(-l)n--+o(x',+l)

23n+1

1”

(5)-----=1+X+X29H-----\-x+。(%)

1—X

(6)(1+〉)〃=1+我+'彳!1)/+o(12)

4、两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)

4.1对数型超越放缩：^<lnx<x-l(x>0)

x

ln(X+x)=x-----x2Hx3_•••+(―1—xn~^~R(x)•••(1)

23nn

上式(1)中等号右边只取第一项得：ln(l+x)<x(x>-l)・结论①

用x—1替换上式结论①中的x得：lnx<x-l(x>0)・…・・结论②

对于结论②左右两边同乘“一1”得—InxNl—xnln^Nl—1,用工替换“九”得:

XX

1--<lnx(x>0).......结论③

x

4.2指数型超越放缩：x+l<ex<-^—(x<l)

1-x

X2Xn

ex=l+x+——+---+——+R“(x)…(2)

2!n\n

上式（2）中等号右边只取前2项得：ex>1+x（x&R）……结论①

用一x替换上式结论①中的x得：>1-x（xR）……结论②

当尤<1时，对于上式结论②e~x>1—x=>:一>1—x=>--—>ex....结

论③

当x>l时，对于上式结论②e~x>1—x=二―>1—x=--—<ex....结

ex1-x

论④

高频考点类型

类型一：泰勒展开式

典型例题

例题L（2024•陕西汉中•一模）苏格兰数学家科林麦克劳林（Col出MaclauriQ研究出了著

名的讥级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的

，3v4一

其中一个公式：ln（l+x）=尤-二+工r-二+…+（-1尸二+…，试根据此公式估计下面代数

234n

式2招+唯+...+（-1尸逑匕+...（wZ5）的近似值为（）（可能用到数值

5n

In2.7321=1.005,In3.7321=1.317）

A.2.322B.4.785C.4.755D.1.005

例题2.（23-24高三上•湖南永州•阶段练习）苏格兰数学家科林麦克劳林（Co/MMaclaurin）

研究出了著名的级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克

劳林建立的其中一个公式：ln（l+x）=x_1+]-q+…+（-1广9+…，试根据此公式估计下面

代数式&+挛+孥-2+…+㈠广四+的近似值为（）（可能用到数值

353n

In2.414=0.881,In3.414=1.23）

A.2.788B.2.881C.2.886D.2.902

例题3.（多选）（2023•辽宁・二模）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个

给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式

e'=l+x+—+—+—+L+—+L

2!3!4!n\

%2〃T

.XXX/\n+1

smx=x------1------------i-L+-1A+L

3!5!7!v7（21）!

由此可以判断下列各式正确的是（）.

A.=cosx+isinx（i是虚数单位）B.T（i是虚数单位）

C.2*21+xln2+（®；2）（x20）

D.cosx<l-—+—（XG（O,1））

224

例题4.（2023•辽宁丹东•一模）计算器计算e.Inx,sin无，cos尤等函数的函数值，是通

过写入"泰勒展开式"程序的芯片完成的."泰勒展开式”是：如果函数/（X）在含有％的某个

开区间内可以多次进行求导数运算，则当尤e（a,6）,且XW%时，有

+....

/（x）=0!1!（》-

其中小⑺是/（力的导数,其⑺是。⑺的导数,尸"⑺是。"⑺的导数.

取毛=0,则sinx的"泰勒展开式”中第三个非零项为—，sinl精确到0.01的近似值为.

练透核心考点

1.（2023,宁夏银川•模拟预测）苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著

名的加“狈/7•〃级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的

，3x4"

其中一个公式：ln(l+x)=x-二+'T-二+...+(-1)MLx+…，试根据此公式估计下面代数

234n

式&+述+拽L±+…+C空+...(„>5)的近似值为()(可能用到数值In2.414

353n

=0.881,In3.414=1.23)

A.3.23B.2.881C.1.881D.1.23

2.(2023•全国•模拟预测)科林・麦克劳林(ColinMaclaurin)是18世纪英国最具有影响的

数学家之一.他研究出数学中著名的Maclaurin级数展开式，下面是麦克劳林建立的其中一

个公式：(1+『"+'"1)231)("2)"一。(……

v72!3!n!

其中xe(—1,1),“eN*,〃!=1X2X3X4X…x〃，例如：1\—1,21—2,3!=6.贝'的

近似值为(参考数据：迂=1.414,结果精确到0.01)()

A.1.35B.1.37C.1.62D.1.66

3.(23-24高二下•四川成都•阶段练习)英国数学家布鲁克•泰勒以发现泰勒公式、泰勒级

数和泰勒展开式而闻名于世.计算器在计算e3Inx,sin%,cosx等函数的函数值时，是

通过写入"泰勒展开式"程序的芯片完成的."泰勒展开式”是：如果函数/(尤)在含有％的某

个开区间(a,6)内可以多次进行求导数运算，则当xe(a,6),且xW七时，有

〃“=肾(彳*°+如(左一%)+粤(工一%)2+^1(・*3+….其中((x)

是〃元)的导数，/(x)是尸(%)的导数，是(力是r(x)的导数,阶乘0!=1,

加="(〃-1*(〃-2)*..*2*1.取毛=0,则411方的"泰勒展开式”中第三个非零项为,

sinl精确到0.01的近似值为.

4.(2023高三・全国・专题练习)计算器计算e3In尤，sinx,cosx等函数的函数值，是通

过写入“泰勒展开式〃程序的芯片完成的."泰勒展开式”是：如果函数/（x）在含有％的某个

开区间（区切内可以多次进行求导数运算，则当xe（a,A）,且时，有

Xf)°+牛(Xf)+勺(X-/+粤(X-九0)+•,,.

其中广⑺是〃尤）的导数，尸⑺是广（X）的导数，尸（X）是尸（X）的导数

取X。=。，则SinX的"泰勒展开式"中第三个非零项为—，sinl精确到0.01的近似值为

类型二：利用超越不等式比较大小

典型例题

例题1.（23-24高二下•北京丰台阶段练习）已知a=；,b=&-1,。=哼则（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

4i「

例题2.（23-24高三下•海南省直辖县级单位•开学考试）若。=ln：,6=T，c=&-l,则a,b,c

34

的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

2022I

例题3.（2024•全国•模拟预测）已知〃=e一痂，Z?=ln2024-ln2023,c二sin•不，则（）

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

练透核心考点

1.（23-24高三下•全国•阶段练习）已知。=J》=ln*c=（log67-l）ln5,则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

2.（2024•甘肃陇南•一模）若。=2,6=7°」,c=e°-2,则（）

4

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

3.（23-24高二下•浙江•开学考试）已知〃力=ln»^,c=e2024—1,贝lj（

20242023

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

类型三：利用对数型超越放缩证明不等式

典型例题

例题1.(23-24高二下•河南•阶段练习)已知函数/(x)=«x-lnx-1的最小值为0.

⑴求。.

(2)证明：(z)ex-e2lnx>0;

5）对于任意〃eN*[l+j[l+5）

例题2.(2024・云南昆明•模拟预测)己知函数八同二，-9e-a.

(1)若〃x)..O,求。的取值范围;

(2)证明：若f(无)有两个零点占,弓，则无I+%2>2.

1—%

例题3.(2024•黑龙江齐齐哈尔・二模)已知函数/(力=。111%+^],〃£区.

⑴当〃=2时，求曲线>=/(%)在点(I"⑴)处的切线方程；

(2)当％之0时，证明：exln(x+1)+e-x-cosx>0.

类型四：利用指数型超越放缩证明不等式

典型例题

例题L(23-24高三下•江西・开学考试)已知函数〃x)=2ae>"-Inx-l•

⑴若.==0,求的极值；

(2)若a,be(O,l),设玉=1,当+1=/(%).证明：

xX

(i)„<n+l;

4e1)

XX

(ii)„-n+2<

例题2.(2024・吉林•模拟预测)已知函数/(无)=无一lnx,g(x)=ex—x-1.

44尤

⑴求函数g(x)的单调区间和最小值;

(2)若证明：

例题3.(2024・福建福州•模拟预测)已知函数f(x)=xlnx—V—1.

(1)讨论的单调性；

19

⑵求证：f(x)<e-v+—----1；

xx

(3)若,〉0应>0且夕4>1，求证：/(^)+/(^)<-4«

练透核心考点

1.(23-24高三下•山东潍坊•阶段练习)已知函数=-x.

⑴若/(X)在R上单调递增，求实数a的取值范围；

⑵当a=l时，证明：VXG(-2,+OO),f(x)>sinx.

2.(2024•内蒙古包头•一模)设函数/(九)=匕，+2侬111%-2办2一(1+24)%.

⑴当aWO时,讨论了(x)的单调性，并证明了(无)21；

⑵证明：①当xeR时，e*2x+l；

②当x20时，x>sinx,当x<0时，x<sinx；

③当。=:时，函数y=/(x)存在唯一的零点.

3.（23-24高二上•福建南平・期末）已知函数/（X）=1口（1+冗）+万送（冗）=cosx+

⑴当％w[O,+x））时，比较“X）与x的大小；

（a\

⑵若/”+1=g（&）（«>0,6>0）,比较/仅2）+1与g（a+i）的大小.

I7

第13讲：拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应

用

目录

高频考点类型..............................................2

类型一：泰勒展开式.......................................2

类型二：利用超越不等式比较大小............................5

类型三：利用对数型超越放缩证明不等式.....................6

类型四：利用指数型超越放缩证明不等式.....................7

1、泰勒公式形式：

泰勒公式是将一个在公处具有〃阶导数的函数利用关于(x-5)的〃次多项式来逼近函数

的方法.

若函数/(X)在包含x0的某个闭区间小句上具有n阶导数，且在开区间(a力)上具有

5+1)阶导数，则对闭区间［a,切上任意一点》,成立下式：

,2H

/(x)=/(x0)+/(x0)(x-x0)+^^(x-x0)+---+^—^^(x-x0)+l?„(x)

2!n\

其中：/⑺(%)表示/(X)在X=%处的〃阶导数，等号后的多项式称为函数/(X)在/处

的泰勒展开式，剩余的R(*(x)是泰勒公式的余项，是(X-%)"的高阶无穷小量.

2、麦克劳林(Maclaurin)公式

/(x)=/(0)+/'(0)X+%2+…+1x"+R(X)

2!n\

虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取%=0的特殊结果，由于麦克劳林

公式使用方便，在高考中经常会涉及到.

3、常见函数的麦克劳林展开式：

ex=l+x+—+--■+—+-^-^xn+i

(1)

2!n\(n+1)!

r3r52n+l

(2)sinx=x-—+-------+(—l)〃--------+o(x2n+2)

3!5!(2〃+l)!

r2r462n

cosx=l-—+--——+...+(-1)"——+o(x2n)

2!4!6!(2〃)！

无2元3n+l

(4)ln(l+x)=x-—+-------+(-l)n--+o(xn+1)

23n+l

1”

(5)-----=1+X+X29H-----\-x+。(%)

1—X

(6)(1+〉)〃=1+我+'彳!1)/+o(12)

4、两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)

4.1对数型超越放缩：^<lnx<x-l(x>0)

x

ln(X+x)=x-----x2Hx3_•••+(―1—xn~^~R(x)•••(1)

23nn

上式(1)中等号右边只取第一项得：ln(l+x)<x(x>-l)・结论①

用x—1替换上式结论①中的x得：lnx<x-l(x>0)・…・・结论②

对于结论②左右两边同乘“一1”得—InxNl—xnln^Nl—1,用工替换“九”得:

XX

1--<lnx(x>0).......结论③

x

4.2指数型超越放缩：x+l<ex<-^—(x<l)

1-x

X2Xn

ex=l+x+——+---+——+R“(x)…(2)

2!n\n

上式（2）中等号右边只取前2项得：ex>1+x（x&R）……结论①

用一x替换上式结论①中的x得：>1-x（xR）……结论②

当尤<1时，对于上式结论②e~x>1—x=>:一>1—x=>--—>ex....结

论③

当x>l时，对于上式结论②e~x>1—x=二―>1—x=--—<ex....结

ex1-x

论④

高频考点类型

类型一：泰勒展开式

典型例题

例题L（2024•陕西汉中•一模）苏格兰数学家科林麦克劳林（Col出MaclauriQ研究出了著

名的讥级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的

f?V4/

其中一个公式：ln（l+x）=x-二+'-二+…+（-1）a工+…，试根据此公式估计下面代数

234n

式2招+唯+...+（-1产逑匕+...（〃25）的近似值为（）（可能用到数值

5n

In2.7321=1.005,In3.7321=1.317）

A.2.322B.4.785C.4.755D.1.005

【答案】c

【分析】由题目观察可知X=7L代入ln（l+x）即可发现解法.

【详解】ln（l+扬=6-亘+包-包+包…+㈠严巫+…

2345n

63述9

-+++(_1产包+…

-2-34-

n

=一二+2肉地…+（一1尸^^+…=ln2.7321=1.005

45n

所以2』+拽+…+（-1尸^+…”ln（l+道）+”=4.755

5n4

故选：C

例题2.（23-24高三上•湖南永州•阶段练习）苏格兰数学家科林麦克劳林（C。//力Maclaurin）

研究出了著名的Mac/。”/力级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克

劳林建立的其中一个公式：ln（l+x）=x-1+!-；+...+（-1广或+…，试根据此公式估计下面

234n

代数式及+逑+逑/+...+（-!广亘+...（〃“）的近似值为（）（可能用到数值

353n

In2.414=0.881,In3.414=1.23）

A.2.788B.2.881C.2.886D.2.902

【答案】B

【解析】由麦克劳林公式得1n（1+逝）=夜二+述/+逑且+…+（-1广回+…，进而可

得答案.

【详解】解：根据麦克劳林公式得：籍1+五）=0二+速/+逑/+…+（-1广回+…，

\）23453v7n

所以ln（l+夜）+2=后+手+苧

由于ln（l+@+2»ln2.414+2=2.881.

故M+这+逑广•+...（„>5）的近似值为2.881.

353n

故选：B.

【点睛】本题考查数学知识迁移与应用能力，解题的关键是将所求近似代替，是中档题.

例题3.（多选）（2023,辽宁•二模）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个

给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式

x2x3x4xn

ex=1+xH-----1------1------FLH------FL

2!3!4!n\

r3572〃-1

.AAA../.\n+1A

sinx=x------1------------FL+（-1）----------FTL

3!5!7!v7（21）!

由此可以判断下列各式正确的是（）.

A.ek=cosx+isinx（i是虚数单位）B.ea=—i（i是虚数单位）

C.2X>l+xln2+^'rln2^（%>o）D.cosx<l-^-+|-（xe（0,l））

【答案】ACD

【分析】对于A、B,将关于sinx的泰勒展开式两边求导得cosx的泰勒展开式，再验证结论

是否正确；

对于C,由2，=eMn2（xN0）,再代入关于e*的泰勒展开式验证是否成立；

4T4J尤2尤,尤6元8胪尤2“尤2〃+2

对于D,由cosx=|l-------1-----------+------------I-L--~—+--------—+L,证明

（2!4!）6!8!10!（2〃）！（2〃+2）!

r68102n2n+2

——+---------+L----+----------+L<0即可.

6!8!10!(2〃)！(2«+2)!

r35721

【详角星】对于A、B,由sin%=%一刀+工一右+1+(-l)n+y-----TVT+L,

3!J!/!(277—11!

炉"一2

两边求导得COSN=1-K+"■-石+・.•+(-1)-----------------1—

2!41o!(2〃-2)!，

...x3ix5ix7i/八」n+lX2n~ll

ismx=xi-------1-------------FTL+-I+L,

3!5!7!v7(2/7-1)!

..1.x2x3ix4x5ix6x7i/n+lX2W-li一〃一2

cosx+isinx=l+xi-------------1------1-------------------FL+—1v)+(-1户+L,

2!3!4!5!6!7!v7(2n-l)!(2〃-2)!

(xi)2+(工xi)3+立(xi),+L+苴+L，

又/=i+T+a

2!3!4!n\

=l+xi--—-—-—+L+(-l)"+1+(-1户+L,

2!3!4!5!6!7!''(2〃-1)!(2n-2)!

=cosx+isinx,故A正确，B错误;

2

v4〃2

对于C,已知e"=l+x+—+—+—+L+-+L,贝Ije"21+x+—.

2!3!4!n\2!

因为2工=”2（记0）,则e，">i+x2+小］，即2al+xln2+回］

1n(xNO)成立,

2!2

故C正确;

故C正确;

丫246丫8丫1.10炉〃一2

Y人人人人九

对于D,cosx=1-------1----------------1-----------------FL+(-1)同+L,，

2!4!6!8!10!(2n-2)!

x.10x2n12〃+2

cosx=1--+—------+LT------------1-----------------+L,

2!4!6!8!10!(2〃)！(2«+2)!

.10

当xe(O,l),一区+《<0；x八

------<0；,

6!8!8!10!

12"X2"?x2n[X2-(2M+1)(2H+2)]

-----------1-----------------<0,xe(O,l),

(2n)!(2n+2)!(2/7+2)!

-----------1-----------------+L<0,所以

（2〃）！（2”+2）!

x2x424

cos%<1-------1----=1一与+或（xe（。」））成立，故D正确.

2!4!

故选：ACD.

【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛：

应用泰勒公式时要选好无，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利

用展开项的特征进行适当的放缩，证明不等式成立.

例题4.（2023•辽宁丹东•一模）计算器计算e",Inx,sin%,cosx等函数的函数值，是通

过写入〃泰勒展开式〃程序的芯片完成的.〃泰勒展开式〃是：如果函数/（%）在含有4的某个

开区间（〃力）内可以多次进行求导数运算，则当无£（々力），且XW%时，有

小）/丫+....

“上得…）°+为

4P2!3!

其中尸（X）是“尤）的导数，尸是尸（X）的导数，尸”⑺是尸（尤）的导数

取X。=0,则sinx的"泰勒展开式"中第三个非零项为—，sinl精确到0.01的近似值为.

【答案】0.84

【分析】根据泰勒展开式，化简得到〃x）=sinx=x-Jx3+±x5+~,求得$也彳的"泰勒

o120

展开式”中第三个非零项，令尤=1,代入上式，进而求得sinl的近似值.

【详解】取毛=。时，可得了（m=必》°+2包彳+/^/+212）彳3+-

v70!1!2!3!

贝!]/(x)=sinx=Oxx°+lx尤+0x》2+Qxj;4+lx-^x5■■.

=.x-—x3+^—x5+•••,

6120

所以sinx的"泰勒展开式”中第三个非零项为工尤$,

120

令x=l,代入上式可得/(l)=sinl=l—1+六+...=黑+..-0.84.

故答案为：万6尤5；0.84.

练透核心考点

1.(2023•宁夏银川•模拟预测)苏格兰数学家科林麦克劳林(ColinMaclaurin)研究出了著

名的〃讥级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的

fr4n

其中一个公式：ln(l+x)=x-^+工-工+…+(-1)片土+…，试根据此公式估计下面代数

234n

式a+2叵+…+(-1)”TS"+…(〃25)的近似值为()(可能用到数值In2.414

353n

=0.881,In3.414=1.23)

A.3.23B.2.881C.1.881D.1.23

【答案】B

【分析】利用赋值法求得所求表达式的值.

尸3v4一

【详解】依题意ln(l+x)=x—二+三r一二+…+(—1)1土+…，

234n

令x=&,则1扉1+0)=0二+速/+迪+㈠产.EEL+…，

1)23456v7n

ln(l+后)+2=应+半+殍一9…+㈠尸”+…，

ln(l+亚)+2“In2.414+2=2.881.

故选：B

2.(2023•全国•模拟预测)科林・麦克劳林(ColinMaclaurin)是18世纪英国最具有影响的

数学家之一.他研究出数学中著名的Maclaurin级数展开式，下面是麦克劳林建立的其中一

个公式：(1+4=1+磔+皿一1)八皿一此一叽3+…+々(-1)…(―)—…,

''2!3!n!

其中weN*,加=1X2X3X4X…x"，例如：1!=1,21=2,3!=6,贝山。丁的

近似值为(参考数据：V2®1.414,结果精确到0.01)()

A.1.35B.1.37C.1.62D.1.66

【答案】B

【解析】在Maclaurin级数展开式中令苫=:,a=0进行计算.取展开式的前几项（4项）

计算即可.

【详解】由题意，知［：］5=［1+；］尤（忘T（后-力

=Id—X^2+10

47

V22-72272-3

H--=1+11+…=1.37

4---32------192

故选：B.

【点睛】方法点睛：本题考查新定义，解题方法理解新定义，把所求式与新定义比较，确定

在新定义中直接取x==0计算即得.考查学生的创新意识,

3.（23-24高二下•四川成都•阶段练习）英国数学家布鲁克•泰勒以发现泰勒公式、泰勒级

数和泰勒展开式而闻名于世.计算器在计算elInx,sinx,cosx等函数的函数值时，是

通过写入"泰勒展开式"程序的芯片完成的."泰勒展开式”是：如果函数/（尤）在含有％的某

个开区间（。力）内可以多次进行求导数运算，则当xe（a,b）,且时，有

/3=肾（工一%）。+%（工7。）+粤（-%）2+^1（》一*3+....其中尸（力

是〃x）的导数，是⑺是尸（左）的导数,尸（力是尸⑺的导数,阶乘0!=1,

〃!=MX（"-1）X（M-2）X…x2xl.取%=0,则sinx的"泰勒展开式”中第三个非零项为,

sin1精确到0.01的近似值为.

【答案】084

【分析】根据泰勒展开式，化简得到/（x）=sinx=x-：x3+上丁+…，求得的“泰勒展开式，，

o120

中第三个非零项，令x=l,代入上式，进而求得的近似值.

【详解】根据题意，

f（x）=sinx,f\x）=cosx,f"（x）=-sin%,=-cosx,L,

取为=。时，可得〃上到h3um-rai…，

v70!1!2!3!

贝！J/(x)=sinx=0xx°+lx%+0x%2+(-l)x^x3+0xx4+lxj^^5H—

-X----d-1------%5+…，

6120

所以sinx的"泰勒展开式”中第三个非零项为工尤5,

120

令x=l,代入上式可得/(l)=sinl=l+工+…=鉴+…。0.84.

o120120

故答案为：万°元5;0.84

4.(2023高三•全国•专题练习)计算器计算e*,In元，sinx,cosx等函数的函数值，是通

过写入"泰勒展开式"程序的芯片完成的."泰勒展开式”是：如果函数/(x)在含有与的某个

开区间(。,9内可以多次进行求导数运算，则当xe(a,6),且XR%时，有

f)。+牛(f)+^(f『+野(

其中/(X)是“尤)的导数，尸⑺是广(X)的导数，尸(乃是尸(X)的导数

取毛=0,则Sinx的"泰勒展开式”中第三个非零项为—,sinl精确到0.01的近似值为.

【答案】上丁0.84

120

【分析】根据泰勒展开式，化简得到/(x)=sinx=x-!d+±x5+…，求得$也%的"泰勒

展开式”中第三个非零项，令X=l,代入上式，进而求得sinl的近似值.

【详解】取毛=。时，可得/(X)=~~~尤°+'(~~-X+~~~~~~-尤2+—~---苫3+…

v70!1!2!3!

贝lj/(x)=sinx=0xx°+lxx+0xx2+(-l)x^x3+0xx4+lx-^x5•••

=X——JC，+^—X5+­••,

6120

「•sinX的〃泰勒展开式〃中第三个非零项为总炉，

令x=l,代入上式可得/(l)=sinl=l—：+=+…=黑+…六0.84.

故答案为：----^5,0.84.

类型二：利用超越不等式比较大小

典型例题

例题1.(23-24高二下•北京丰台•阶段练习)已知。=%匕=&-l,c=lng,则()

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】C

【分析】分别构造函数/(x)=ln(l+x)-x,xe(0,+8),和g(x)=e*-x-1,,xe(0,+co),求

导得到函数人元)，g(x)的单调性，由单调性即可比较出“，b,c的大小.

【详解】设/(x)=ln(l+x)-x,X6(0,-H»),

—Y

贝1小)=；——11=#<0,

l+x1+X

所以/(X)在(0,+8)上单调递减,

所以/(x)v/(0)=0,

所以=,即贝[]c<a；

设g(x)=e*-x-l,(x>0),贝l|g<x)=e*-l>0,故g(x)在(0,+8)上单调递增，

贝必]£|=”一:一l>g(0)=0,即/一l>g,则有，综上c<a<6.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数值大小比较，关键是构造函数，利用单调性解决问题.

例题2.(23-24高三下•海南省直辖县级单位•开学考试)若。=ln^,0=；,c=&-l,则。,6,c

34

的大小关系为()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】构造函数/(x)=ln(x+l)-Ap求导得到函数单调性，得到/]]>/(0),求出

ln|>1,构造g(x)=e「l-ln(x+l),求导得到函数单调性，得到g[j>g(。)，故

L4

^-l>ln-,得到答案.

【详解】设〃无