2025届浙江强基高三数学上学期10月联考试卷（附答案解析）

2025届浙江强基高三数学上学期10月联考试卷

试卷满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

L『人A=（x|必―4x-5<0},集合5={-2,0,2,4,10},则zn8=()

1.已知集合1

A{-2,0,2,4}B.{-2,10)C.{0,2,4}D.{254}

2.已知z=—l—i,则()

A-2B.1C.V2D.2

b,贝甘卡+”是“向量万上『'的（）

3.已知非零向量5—3

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若过点（2j?,0）与圆/+,=4相切的两条直线的夹角为则coscr=（）

34「2#nV5

A.-B.-\_z.LJ.

5555

5.二项式的展开式中的常数项为（)

A.480B.240C.120D.15

6.已知底面半径为2的圆锥SO,其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1,则此圆柱

侧面积与圆锥SO侧面积的比值为（）

A.1B.D.

2

7.函数/(x)=sinx-cosxcos在区间（-兀,2兀）上的所有零点之和为（)

A71B.2兀C.3兀D.4

8.已知函数/（x）的定义域为［0,1］,当x=0或x=l或x是无理数时，/（x）=0;当x=K（"＜加，

m

m,“是互质的正整数）时，/（%）=—.那么当。，b,a+b,°方都属于［0,1］时，下列选项恒成立

m

的是()

A./(a+6)〈/(a)+/(b)B./(a+A"/(a)./伍)

C./(ab)N/(a)+/(b)D.f(ab)>f(a)-f(b)

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.随机变量X,V分别服从正态分布和二项分布，且X〜N(2,l),8(4,0.5),贝！J()

A,P(X<0)=P(X>4)B.P(K<0)=P(y>4)

c.£(x)=£(y)D,p(x<2)=p(r<2)

10.在正四棱柱4BCD—中，AB=2AAi,点M是棱。2上的动点(不自躺点)，贝(I()

A.过点M有且仅有一条直线与直线ZC,都垂直

B.过点M有且仅有一条直线与直线ZC,及〃都相交

C.有且仅有一个点M满足△M4C和的面积相等

D.有且仅有一个点M满足平面M4C_L平面

11.已知P(x(),比)是曲线。：/+,铲=>—x上的一点，则下列选项中正确的是()

A.曲线C的图象关于原点对称

B.对任意x°eR,直线x=/与曲线C有唯一交点尸

C.对任意比e[—1,1],恒有闯<g

7F

D.曲线。在-1<y<1的部分与轴围成图形的面积小于一

4

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.已知椭圆亍+q=1的左、右焦点分别为片，F2,椭圆上一点P满足「鸟，为K，则线段

|叫=-

13.已知曲线y=e工在x=l处的切线/恰好与曲线^=。+1曲相切，则实数。的值为.

14.数学老师在黑板上写上一个实数天,然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板

2

上的数飞乘以-2再加上3得到百，并将毛擦掉后将为写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数X。

除以-2再减去3得到占，也将天擦掉后将巧写在黑板上.然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得

到黑板上的数为3•现已知吃>玉)的概率为0.5,则实数玉)的取值范围是.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.在V48c中，角4民C的对边分别为a,b,c,已知c?=/+从+仍，sin(C-S)=cos^.

(1)求角。和角8.

(2)若边上的高为G，求VZ8C的面积.

22</71

16.已知双曲线C：・—4=i(a〉0,/,〉())与过点Z七-,0,8(0,-血)的直线有且只有一个公共

abI31

点7,且双曲线C的离心率6=

(1)求直线48和双曲线C的方程；

(2)设片，名为双曲线C的左、右焦点，M为线段2工的中点，求证：NMTF[=NTF[A.

17.如图，在四棱锥尸―Z8CD中，底面Z8CD是菱形，ABAD=60°1侧面是正三角形，又是

棱PC的中点.

(.1)证明：ADLDM；

(2)若二面角P-/。-8为60°，求直线与平面P/3所成角的正弦值.

18.已知函数/1(x)=(尤-a)e”.

(1)若a=2,求函数〃x)的单调区间和最值；

⑵若a«0,且一次函数y=g(x)的图象和曲线y=/(x)相切于x=-1处，求函数g(x)的解析式

并证明：g(x)V/(x)恒成立.

(3)若a=l,且函数/z(x)=/(x)-《x2—*在上有两个极值点，求实数/的取值范围.

3

19.已知整数〃…4,数列｛%｝是递增的整数数列，即%,%，…，a〃eZ且可<?<••<%.数列也｝满

足〃=%,bn=an.若对于｛2,3,…，〃—1｝,恒有4—%等于同一个常数左，则称数列出｝为｛%｝

的“左左型间隔数列”；若对于於｛2,3,…，〃-1｝,恒有%+]-4等于同-个常数左，则称数列｛4｝为｛4｝

的“右左型间隔数列“；若对于，e｛2,3,…，〃—1｝,恒有为+「4=左或者也.—/=后，则称数列｛〃｝为

｛%,｝的“左右左型间隔数列

（1）写出数列｛4｝：1,3,5,7,9的所有递增的“左右1型间隔数列”；

（2）已知数列｛%｝满足%=8"（"-1）,数列出｝是｛。“｝的“左左型间隔数列”，数列｛%｝是｛4｝的“右

左型间隔数列“，若〃=10,且有4+%H----\-bn=cx+c2-\---\-cn,求左的值；

（3）数列｛4｝是递增的整数数列，且q=0,%=7.若存在｛%｝的一个递增的“右4型间隔数列也卜,

使得对于任意的，Je｛2,3,-1｝,都有为求％的关于〃的最小值（即关于〃的最

小值函数/（"））.

2025届浙江强基高三数学上学期10月联考试卷

试卷满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合'=｛"/一以-5<0｝,集合3=｛-2,0,2,4,10｝,则/门3=（）

A.｛-2,0,2,4｝B.｛-2,10｝C.｛0,2,4｝D.｛254｝

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合后根据交集概念计算即可.

【详解】因为/=｛x|-l<x<5｝,5=｛-2,0,2,4,10）

所以ZcB=｛0,2,4｝.

故选：C.

4

2.已知z=—1—i,贝|z(l—i)=()

A.-2B.1C.72D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘法运算即可求解.

【详解】因为z(l—i)=(―1—i)(l—i)=(―i)"—l=—2.

故选：A.

3.已知非零向量3,b，贝产卜+可叩―B卜是“向量方4”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.

【详解】因为不为非零向量，

若归+目=卜-可，则卜+町=(5-3『，则/+2)石+小=十一2己石+/?,

所以4展B=o，所以彳工3，故充分性成立；

若G_Lb，贝!=a2+2a-b+b2=a2—2a-b+b2f

所以=(1—则卜+,=归一同，故必要性成立；

所以+目=区—3”是“向量方工B”的充要条件.

故选：C.

4.若过点(2技0)与圆/+/=4相切的两条直线的夹角为则cosa=()

.342V5nV5

5555

【答案】A

【解析】

【分析】由题意求出点(2㈠,0)到圆心的距离为进而可得sin5=彳，结合二倍角的余弦公式计算

即可求解.

5

【详解】点（2逐,0）到圆心（0,0）的距离为d=2石，圆的半径为r=2,

,ar219a/1丫3

所以仙5=厂乖二正,于是cosa»2sin

故选：A.

5.二项式的展开式中的常数项为（）

A.480B.240C.120D.15

【答案】B

【解析】

【分析】运用通项公式计算即可.

【详解】因为&]=晨（/）6-[2]=晨2'”',得到常数项，贝11厂=4.

C^24=15x16=240.

故选:B.

6.已知底面半径为2的圆锥SO,其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1,则此圆柱

侧面积与圆锥SO侧面积的比值为（）

R61

A.1D.--------D.-

22

【答案】C

【解析】

【分析】借助于轴截面求圆柱的高为道，再结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解.

【详解】作出轴截面，如图所示,

由题意可得：AB=4,DE=2,可知RE分别为S4sB的中点，

则N分别为04的中点，则ZW=工SO=百，

2

可得S圆柱侧面积=2?rxG=2j§7r；S圆锥侧面积=7ix2x4=87i,所以比值为

6

故选：c.

(5x兀।

7.函数/(力=$加-(：08%(:(45+4)在区间(-兀,271)上的所有零点之和为()

A.TTB.2兀C.3兀D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，作出函数

(5x兀、

y=cos三+^和歹=tanx的图象，利用数形结合的思想即可求解.

【详解】由/⑴得黑=c°s［m+；］，

5x71

函数/(x)的零点即方程tanx=cos一+—的根,

24

5x71

作出函数^=cos一+—和歹=tanx的图象，如图,

24

由图可知两个图均关于］，°中心对称且在T71，2兀上有两个交点，

2

故函数/(X)在区间(-兀,2兀)上有4个零点，所以4个零点的和为2兀.

8.已知函数/(x)的定义域为［0,1］,当x=0或x=l或x是无理数时，/(x)=0；当x=K(〃<加，

m

m,〃是互质的正整数)时，/(%)=-.那么当。，b,a+b,ab都属于［0』时，下列选项恒成立

m

的是()

A.f(a+b)<f(a)+f(b)B.f(a+b)>f(a)-f(b)

C.f(ab)>f(a)+f(b)D.f(ab)>f(a)-f(b)

7

【答案】D

【解析】

【分析】使用特值法可排除A,B,C,据。，b的取值可分类讨论证明D正确.

【详解】当=；时,/(a+b).⑴=0,/(仍)=/■(；］=：,/(«)=/'(/))=/-(1)=|,

所以/(a+6)</(tz“(6),f(ab)<f(a)-f(b),故排除B、C；

当a=Q=|时，小+。)，£|=，/S)m，/㈤需)］，

所以/(a+6)>/(a)+/(Z)),故排除A.

下面证明D的正确性：

当。，b之一为无理数或者0或者1时，不等式右边为0,显然成立.

na

当a,b都是真分数时，不妨设a=—,b=E

mp

11

则不等式右边为一，显然有左边大于或等于一.

mpmp

所以不等式成立.

故选：D.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.随机变量X,V分别服从正态分布和二项分布，且X〜N(2,l),y~8(4,0.5),贝!!()

AP(^<0)=P(X>4)B,P(K<0)=P(r>4)

c.£(x)=£(y)D,p(x<2)=p(r<2)

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据正态分布的性质和二项分布的性质计算即可.

【详解】对A,因为£(X)=2,根据对称性，知道，故A正确；

对B,因为尸(y<o)=尸(y=o)=\=c：(g)4(；)°=p(y=4)=p(y24),故B正确；

8

对C,因为£（X）=2,E（y）=4xO.5=2,故C正确；

对D,因为尸（X<2）=g,P（Y<2）=C：（1）°（1）4+Cicj）1^）3+C4（1）2（1）2=>故D错误.

故选：ABC.

10.在正四棱柱4BCD—中，AB=2A\,点M是棱上的动点（不合赚点），贝!I（）

A.过点M有且仅有一条直线与直线ZC,4口都垂直

B.过点M有且仅有一条直线与直线ZC,8以都相交

C.有且仅有一个点M满足乙MAC和△〃片A的面积相等

D.有且仅有一个点M满足平面平面MS1，

【答案】AB

【解析】

【分析】由空间线线、线面、面面的位置关系逐项判断即可.

由图可知直线ZC和直线异面,

则过空间中一点都是有且仅有一条直线与它们垂直，故A正确;

又易知与/C,34都相交，且点M在。A上，

所以过点M有且仅有一条直线与直线NC,耳口都相交，故B正确;

连接5。交ZC于0,易知M4=MC,所以

可知M到ZC的距离大于DO,且。。=券4g=41AAC

又M到4口的距离小于Z4,结合/。=用。1所以三角形面积不可能相等，故C错误;

由正四棱柱易得：ZCL平面〃与，，又/Cu平面M4C,

所以对任意M恒有平面平面故D错误.

故选：AB.

11.已知尸（%,比）是曲线=y—x上的一点，则下列选项中正确的是（）

A.曲线C的图象关于原点对称

9

B.对任意x()eR,直线与曲线C有唯一交点尸

C.对任意比e[—1,1],恒有闻<g

7F

D.曲线C在-14了<1的部分与歹轴围成图形的面积小于一

4

【答案】ACD

【解析】

【分析】将x,了替换为-X,一y计算即可判断A；取x=0,可判断有三个交点即可判断B；利用函

数y=x-/的单调性来得出外-只的取值范围，再结合/(x)=Y+x的单调性进行求解即可判断C；

利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D.

【详解】A.对于/+/=了一x,将x,>替换为一x,r,所得等式与原来等价，故A正确；

B.取x=0,可以求得y=0,y=l,y=-1均可，故B错误;

C.由/+/=为一歹；，y0,函数y=x—x3,故J/=1—3X2,

令_/=1-3/=0,解得：%=土旦在xe—£,­,1时，/<0,函数单调递减,

3|_3J|_3

在时，V>0，函数单调递增，所以%-—，

又因为/(x)=d+x是增函数，/[；)=(〉乎，所以有上|<3,故C正确；

D.当先£[(),1]时，XQ+x0二%—%20,又Xo+Xo22xo,

Jo_-2Jo_，所以x：Vj?。一V：.

曲线％2二歹一/与y轴围成半圆，又曲线。的图象关于原点对称,

7F

则曲线C与了轴围成图形的面积小于一，故D正确.

4

10

故选：ACD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.已知椭圆宁+（=1的左、右焦点分别为片，耳，椭圆上一点P满足「鸟，为3，则线段

1叫=-

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

【分析】由已知可得尸点的横坐标为x=l,代入椭圆方程即可求得P点坐标，得出结果.

【详解】因为椭圆;+g=l,则a=2,b=g,c=l,所以耳（—1,0）,乙（1,0）,

因为尸£，与用，

33

所以p点的横坐标为x=i,代入求得纵坐标为±5，即忸月卜5.

3

故答案为：-

2

13.已知曲线y=ex在x=l处的切线/恰好与曲线^=。+1曲相切，则实数。的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】根据/是曲线y=e工在x=l处的切线求出/的方程，再求出/与曲线歹=a+lnx相切的切点即

可求解.

【详解】由^=/得y'=e"又切点为（l,e）,故左=e,切线/为y=酬，

设/与曲线y=a+lnx的切点为（Xo，exo）,y=-,所以:=e,解得切点为

所以a+ln—=。-1=1,解得a=2.

e

故答案为：2.

14.数学老师在黑板上写上一个实数飞,然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板

上的数飞乘以-2再加上3得到为，并将与擦掉后将为写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数天

11

除以-2再减去3得到占，也将天擦掉后将巧写在黑板上.然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得

到黑板上的数为现已知吃〉毛的概率为。-5,则实数玉)的取值范围是.

【答案】(-%-2)U(l,+8)

【解析】

【分析】构造函数/(x)=-2x+3,g(x)=-j-3,由两次复合列出不等式求解即可.

【详解】由题意构造/(x)=-2x+3,g(x)=-|-3,

则有/(/(x))=4x—3,/(g(x))=x+9,g(/(x))=x—g,g(g(x))=：—

因为/(g(x))>x，g(/(x))<x恒成立，

又马〉%的概率为0.5,

4x-3>x,4x-3<x,

所以必有<x3或者<X3解得X£8,-2)u(l,+oo)

----<X,--------->X,

[42[42

故答案为：(-00,-2)U(1,4-00)

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.在V48c中，角4民C的对边分别为。，b,c,已知c?=/+从+仍，sin(C-S)=cos^.

(1)求角。和角B.

(2)若边上的高为百，求V4BC的面积.

【答案】(1)C=—,B=-

34

(2)

2

【解析】

【分析】(1)根据余弦定理求出°=牛，再将sin(C—B)=cos/化简为5诂1]一5]=5由15+1

TT

从而求出8=—即可；

4

(2)根据边8C上的高为G求出6=2,c=®利用S=gbcsirU求解即可.

【小问1详解】

12

由余弦定理知cosCo'=—工,故。=空.

2ab23

因为sin（C_8）=cosA,所以sin一台］=cos一台］=s^n+~

又0<8（巴，所以女—8=8+4，故8=巴.

3364

【小问2详解】

因为BC边上的高〃=bsinC=csinB-，解得6=2，c=V6»

向0

又siiL4=sin（5+C）=sin5cosc+sinCcos5二

4

所以V4BC的面积s=-bcsinA=匕.

22

22//7A

16.已知双曲线C：*—彳=1（。〉04〉0）与过点2今-,0,3（0,—而）的直线有且只有一个公共

abI3J

点T,且双曲线C的离心率6=指.

（1）求直线45和双曲线。的方程；

（2）设片，8为双曲线C的左、右焦点，M为线段力心的中点，求证：ZMTF2=ZTF1A.

2

【答案】（1）AB:y=y/15x-Ji0,——匕=i；

.5

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由离心率求出关系，并化简双曲线方程，再求出直线方程代入双曲线方程中，利用△=0

求解即可；

（2）求出点T坐标，可进一步证明△片用,进而证明NM7耳=/班2.

【小问1详解】

因为双曲线的离心率0=指，

所以二^1=6,解得6=底，

a

13

22

设双曲线方程1;=1.

a5a

（［J）

直线48过点5（0,-V10）,

2L+^^=i

所以直线48方程为RS-VlO，即=JI?x—JHL

丁

代入双曲线方程5x2-/=5a2,得-2x2+2瓜x-2-a2=0.

由题意，A=24—8（2+/）=0,解得/=1

2

所以双曲线C的方程：——匕=1.

5

【小问2详解】

因为/=1，于是一2/+2瓜一2—/=。即2/—2瓜+3=0，

所以x=半，代入y=JBx—而得了=乎，

则T乎，平，又月（遥,0）,所以|距『=4,

\7

因为河为线段么写的中点，所以/,0,

所以囚M•囚周=手乂2后=4=内邛•

又NF\FJ=NTF[M,所以△片鸟Ts△隼M,故/MTF?=NTRA.

17.如图，在四棱锥尸—N8CD中，底面Z8CD是菱形，ABAD=60°1侧面P4£）是正三角形，M是

棱PC的中点.

14

（1）证明：ADLDM；

（2）若二面角P-40-8为60°，求直线。〃与平面尸48所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵巫

13

【解析】

【分析】（1）取4D与网中点。，N.连接P。，OB,ON,MN,证明四边形ODMN是平行四

边形.得到线面垂直，再用性质即可.

（2）建立空间直角坐标系，求出平面尸48的一个法向量为万，再用向量夹角计算公式计算即可.

【小问1详解】

证明：分别取4D与尸3中点。，N.连接P。，OB,ON,MN,

则运用中位线性质知//工BC,=工8C且OD//工8C,,8C,则

2222

OD//MN,OD=MN,

则四边形ODMN是平行四边形.

侧面上4。是正三角形，易知，ADLOP.

底面48CD是菱形，ABAD=60°;则底面34。是正三角形，则40,05.

.•.3_1平面？。5，

■：ON^nPOB,:.ADLON.

由于四边形ODMN是平行四边形.DM//ON,:.ADVDM.

【小问2详解】

由（1）知NP05为二面角P—/O—8的平面角，即NPOB=60°，前面知道40,05,

则过。做/。的垂线。z,以。为坐标原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系。-孙z如图,

15

设/2=2,则力(1,0,0),£>(-1,0,0),C(-2,V3,0),5(0,Ao),P0,乎」，

I22JI44

W=fo,—,方=(—1,百,0),P5=fo,—

I44J<)I22J

设平面尸的一个法向量为元=(久,y,z),

一：十岛=°,进而求得一个法向量为方=(3,6,1).

则《

岛-3z=0''

设直线1W与平面P4B所成角为a,

--।n93

DM-n\0+7+42^/13

则sma=一1=-——

MHx屈13

18.已知函数/'(x)=(x-a)e*.

(1)若a=2,求函数/(x)的单调区间和最值;

(2)若a<0,且一次函数y=g(x)的图象和曲线y=/(x)相切于x=-1处，求函数g(x)的解析式

并证明：g(x)V/(x)恒成立.

(3)若a=l,且函数"x)=/(x)T(x2—x)在上有两个极值点，求实数/的取值范围.

【答案】(1)单调递减区间为(-8,1),单调递增区间为(1,+8),最小值为/(1)=—e,无最大值.

(2)g(x)=—@x—匕网，证明见解析

ee

(2e2^

⑶e,—.

【解析】

【分析】(1)利用导数与单调性的关系求解单调区间，再结合单调性求解最值即可；

(2)根据导数的几何意义求出g(x)=—qx—二且；令

ee

JC

M(x)=/(x)-g(x)=(x-«)e+-x+^^,利用导数求出M(x)最小值为M(—l)=0即可；

ee

(3)因为函数/z(x)=(x-I)e—(x2_x)在上有两个极值点，所以〃'(x)=xeX—(2x—1)在

16

上有两个变号零点，分离参数得：=2三，求解直线丁=：与函数笈在ga］上

的图象有两个交点即可.

【小问1详解】

因为4=2,所以/(x)=(x—2)e\定义域为R,求导得/'(x)=(x—l)e”，

故当xe(—00,l)时，/(X)<0；当xe(l,+8)时，/(%)>0,

所以函数/(x)的单调递减区间为(-8,1),单调递增区间为(1,+8),

所以最小值为/(1)=-e,无最大值.

【小问2详解】

/'(x)=(x—a+l)e)所以广(_1)=_@,又/(一1)=—1±£,

ee

所以g(x)=_q(x+l)_^^,BPg(x)=--+；

eeee

令"(x)=/(x)-g(x)=(x-6z)ex+—x++,

ee

l!]M,(x)=(x-a+l)ex+—,/(%)=(尤-a+2)e*,这里表示/(x)的导函数.

e

令〃"(x)=0,则％=a-2,

当x变化时，"〃(％)与/(x)的变化情况如下表:

X-2)Q—2(Q-2,+8)

—0+

M(x)单调递减-ea-2+—@单调递增

e

所以当x=a-2时，函数/(x)有极小值，极小值为-e"-2+q,也是最小值，

e

因为当Xfi时，/(x)无限趋向于@<0,所以当x<"2时，/(x)<0,

e

又/(—1)=0,此时，“(X)在(—8,—1)上单调递减，在(—1,+8)上单调递增,

所以M(X)"(—1)=0,即不等式g(x)Wf(x)恒成立,

【小问3详解】

17

因为函数人(%)=(%-1”一《/一》)在，,2)上有两个极值点,

所以〃'(x)在1g,2)上有两个变号零点,

因为〃'(%)=xe'-(2x—l),令〃'(x)=0,即xe"-121-1)=0,

因为x=0不是xe、—/(2x—1)=0的根，所以一=——,

tXQ

人口(、2x-1(1A2x_—(x+l)(2x_l)eX_(x-l)(2x+l)

令坦x)=---——<x<2,则〃⑺—-0,

-xexU)(xe]xe

当g<x<l时，〃'(x)>0；当l<x<2时，H'(x)<0,

所以函数》(x)在©,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

又《1=0,理1)=:,笈(2)=2，作出函数X(x)在上的图象,

当—r<-<—>即e<f<上一时，直线:V与函数7/(x)在上的图象有两个交点,

2e2te3

设两个交点的横坐标分别为Xi，/，且项</，

由图可知，当!<%<再或/<1<2时，1〉2XJ,止匕时(x)=及e”|—2%*1)〉0,

2txe\txe)

当芭<xv%2时，2-J,止匕时h1(x)二及e%J]<0,

txe\txeJ

所以函数/i(x)在g,xj上单调递增，在(%,9)上单调递减，在(9,2)上单调递增,

此时，函数/(x)有两个极值点，合乎题意.

(2e2)

因此，实数，的取值范围为e,—.

3

18

19.已知整数〃…4,数列｛%｝是递增的整数数列，即%,%，…，a〃eZ且可<?:••<%.数列也｝满

足〃=%,bn=an.若对于｛2,3,…，〃—1｝,恒有4—的等于同一个常数左，则称数列出｝为｛%｝

的“左左型间隔数