2025年高考数学一轮复习：函数的单调性与最值

考点07函数的单调性与最值（2种核心题型+基础保分练+综

合提升练+拓展冲刺练）

D1【考试提醒】

1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.

2.掌握函数单调性的简单应用.

di【知识点】

i.函数的单调性

（D单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数於）的定义域为。，区间/UD,如果\/xi，必6/

定义当修＜%2时，都有仅）＜仅），那么当X142时，都有«工正侬），那么就

就称函数人X）在区间/上单调递增称函数人X）在区间/上单调递减

y=f（x）

图象

描述O*1-_X

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义

如果函数在区间/上单调递增或单调递减,那么就说函数y=/（x）在这一区间具有（严

格的）单调性，区间I叫做＞=/"）的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数了=作）的定义域为D,如果存在实数M满足

（l）Vxer）,都有施百血；（l）VxG。，都有段）》跖

条件

（2）3x0eJD,使得〃殉）=加（2）3x0eJD,使得假口£

结论M为於）的最大值M为大x）的最小值

【常用结论】

1.Vxi，必6/且MW必有®一^＞0（0）或（xi—必）|＞1）—人必）］＞0（«）台段）在区间/上单

Xi-X2

调递增（减）.

2.在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数.

1

3.函数y=/(x)(/(x)>0或｛x)〈0)在公共定义域内与y=一/)，y=—的单调性相反.

4.复合函数的单调性：同增异减.

乐【核心题型】

题型一确定函数的单调性

确定函数单调性的四种方法

(1)定义法;(2)导数法;(3)图象法;(4)性质法.

命题点1函数单调性的判断

【例题1】(2023•浙江・二模)下列函数在区间(0,2)上单调递增的是()

A.y=(x-2)2B.y=-1-

x-2

C.y=sin(x-2)D.y=cos(x-2)

【答案】D

【分析】对于BCD,根据各个选项观察均是/(x)向右平移两个单位长度的形式，根据原函数

的单调区间可以判断平移后的单调区间，进而判断(。，2)上的单调性得到结论，而根据二次

函数的单调性可判断A的正误.

【详解】对于A选项：y=(x-2)2开口向上，对称轴x=2,所以在(-叫2)上单调递减，故不

符合题意.

对于B选项：>=一二是y向右平移了两个单位长度，所以在在(-叫2)上单调递减，故

x-2x

不符合题意.

对于C选项：>=5也(苫-2)是>=sinx向右平移了两个单位长度，

所以y=sin(x-2)在(-g+2,g+2)上单调递减，在(-]+25+2)上单调递增，

因为0<-]+2<2,所以不符合题意.

对于D选项：y=cos(x-2)是了=cosx向右平移了两个单位长度，

所以〉=cos(x-2)在(-无+2,2)上单调递增，则在(0,2)上单调递增，符合题意.

故选D.

【变式1】(2024•北京西城•一模)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增的是

A.y=x2+xB.y=cosx

C.y=2xD.y=log2kl

【答案】D

【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可得

出结果.

【详解】对于选项A,当x=l时，》=1+1=2,当x=-l时，7=1-1=0,即/（一1）*/⑴,

所以选项A不满足题意，

对于选项B,因^=四少在区间（0,+s）上不单调，所以选项B不满足题意，

对于选项C,因为了=2,图象不关于了轴对称，所以选项C不满足题意，

对于选项D,因为y=的定义域为（y,0）U（0,+s）,关于原点对称，

又/（—X）=log2|x|=log2|x|=f（x）,所以y=log?国为偶函数，

当x>0时，y=log2|x|=log2x,又y=log2/在区间（0,+s）上单调递增,所以选项D满足题

忌、9

故选：D.

【变式2】（2024•陕西西安•二模）下列函数中，既是奇函数又在（-明+8）上单调递减的是

（）

A.y=—B.y=x3

x

C.»=-无国D.y=

【答案】C

【分析】A项，定义域不合题意；B项，单调性不符合；C项，先利用定义判断函数的奇偶

性，由函数在［0,+。）上单调递减，再结合奇函数图象的对称性可得；D项，特殊取值可判断

不是奇函数.

【详解】选项A,>=工的定义域为（-8,0）U（0,+s）,不符合题意，故A错误；

选项B,设=定义域为R,

因为/（-》）=（-》丫=-/=-仆）,

所以/（力=/为奇函数，且在定义域上为增函数，故B错误；

选项C,设〃尤）=-无国，定义域为R,

由/（-x）=xf|=xk|=-/（%）,故/（X）为奇函数，

当xWO时，/（x）=-x2,且=在［0,+功上单调递减，

又因为函数图象关于原点对称，所以在（-8,+8）上单调递减，故C正确；

选项D,设/（力=3-，则/（1）=；,/（一1）=3,

由/（T）N-〃1），知不是奇函数，故D错误.

故选：C.

【变式3】（2024•北京门头沟•一模）下列函数中，既是奇函数又在（0,+。）上单调递增的是

C.y^tanxD.y=x|x|

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.

【详解】对于A：了=/定义域为［0,+/），为非奇非偶函数，故A错误；

对于B：>=:定义域为（-e,O）U（O,+s）,为奇函数，但是函数在（0,+8）上单调递减，故B

错误；

对于C：y=tanx为奇函数，定义域为卜|xw|■+E,左ez1,但是函数在（0,+动上不单调,

故C错误；

对于D：令y=/（x）=x|H定义域为R,K/（-X）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）,

所以y=x|x|为奇函数，且当x>0时>=/,函数在（0,+8）上单调递增，故D正确.

故选：D

命题点2利用定义证明函数的单调性

【例题2】（2023•上海奉贤■一模）函数夕=二.在定义域（一叱+⑹上是（）

2X+1

A.严格增的奇函数B.严格增的偶函数

C.严格减的奇函数D.严格减的偶函数

【答案】A

【分析】根据题意，分别判断函数奇偶性以及单调性，即可得到结果.

V_1

【详解】令=土」，任取Xi＜X2eR,

2+1

n.,z\\T'-12*-12付-2*）

*"“）一""）-23+1-2»+1一付+1）（2二+1）'

因为y=2*是R上的严格增函数，所以2f＜2为，

2（2为-2%）

则（2二）（2二）＜0'所以〃』）＜/仇），

则函数＞=女1是R上的严格增函数；

2+1

1-2、

2r-1ox1-?X

又〃-x）=亍工犷i=即函数〃x）为奇函数,

乙IAJ.I乙乙\-L

2"

所以函数口=2二1■在定义域（-0+。）上是严格增的奇函数.

2+1

故选：A

【变式1】（23-24高三上•河南•阶段练习）已知函数/（x+2）是定义在R上的奇函数，若对

于任意两个实数无产马，不等式（西-3）［〃再）-/伍）］＞0恒成立，则不等式

/（尤+2024）＞0的解集是（）

A.（-2022,+oo）B,（2022,+oo）C.（-2024,+8）D.（2024,+8）

【答案】A

【分析】根据条件得出函数/（x）在R上单调递增，再结合奇偶性转化为

〃x+2024）＞0=/（2）解不等式即可.

【详解】由任意两个实数西二%，不等式（占-%）［/（西）-/（%）］＞0恒成立，

，函数/（x）在R上单调递增.

又函数/（x+2）是定义在R上的奇函数，得〃2）=0,

所以不等式〃尤+2024)>0=/■⑵

化为x+2024>2,解得x>-2022,

所以不等式的解集为(-2022,+s).

故选：A.

【变式2】(2023•浙江台州•二模)已知函数“X)同时满足性质:①/(-x)=〃x)；②当

\/占,X2e(0,1)时,"%)-〃％)<0,则函数/(x)可能为()

A.〃x)=，B./(x)=GJ

C./(%)=cos4xD./(x)=ln(l-|x|)

【答案】D

【分析】①〃-x)=/(x)说明/(X)为偶函数，②飞,无2€(0,1),〃网)―(8)<0,说明函数

西-x2

在(0,1)上单调递减，再逐项分析即可.

【详解】①/■(一》)=/(X)说明/(X)为偶函数，②也1e(0,l),"xJ-<0,说明函数

再一x2

在(0,1)上单调递减.

A不满足②，B不满足①，

C不满足②，因为/(x)=cos4x在］0,单调递减，在(?，1)单调递增.

对于D,满足①，当xe(0,1)J(x)=In(l-x)，单调递减，也满足②.

故选：D.

【变式3】(2023•山东•模拟预测)下列函数中既是奇函数又是增函数的是()

〜1-21

A.y=3xB.y=-C.y=2xD.y=——x

x3

【答案】A

【分析】根据奇偶函数的性质，以及函数增减的性质，逐个选项进行判断可得答案.

【详解】A选项，y=3x为奇函数，且单调递增，故A正确；

B选项，>=」是奇函数，在(-8,0),(0,+8)上递减，故B错误；

C选项，y=2x2偶函数，故c错误；

D选项，y=-；x是奇函数，且单调递减，故D错误,.

故洗：A

题型二函数单调性的应用

(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

(2)求解函数不等式时，由条件脱去转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义

域.

(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组X不等式(组))

或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

命题点1比较函数值的大小

【例题3】(2024・北京西城・一模)设。=/1-；,6=「+；,。=《2+4，其中则()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.

【详解】由一故］£(—8,—1),故。=>0,

由对勾函数性质可得b=/+；<—(1+1)=—2,

°=/(2+/)<0,且c=£.(2+f)=〃+2f=Q+—1>—1,

综上所述，有b<c<a.

故选：C.

【变式1】(2024•云南贵州•二模)已知a=ln(、历e),6=2,,=华+1,则4c的大关系为

e5

()

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

【答案】B

【分析】根据4c的特点，构造函数/(x)=吧InY，判断其单调性，得到

X

/«ax=/(e)=-，故有/■(e)>/(5)J(e)>/(2),再运用作差法比较〃5)J(2)即得.

e

【详解】设/(尤)=叱，则/3=匕坐，

XX

当0<x<e时，f\x)>0,/(x)在(0,e)上递增；

当X〉e时，f\x)<0,/(%)在(e,+oo)上递减，

故/(X)皿x=/(e)=L

e

1In51In2口…

贝U—>,—>,即b>c,b7>a；

e5e2

Im_2_5

由ln5In221n5-51n232八可知。<〃，故6>a>c.

521010

故选：B.

【变式2](23-24高三上•北京顺义•期末)已知/(x)在(0,+8)上单调递减,且为>0,则下

列结论中一定成立的是()

A./(x0+l)>/(x0)B./(x0+l)</(x0)

1>x1<x

C./(^0-)/(o)D./(^o-)/(o)

【答案】B

【分析】利用函数的单调性判断即可.

【详解】由%>0得，x0+l>x0,结合/(x)在(0,+◎上单调递减，

则必有/(xo+Dv/G。)，显然B正确，A错误，

而当x°e(0,l)时%-1<0,不在定义域内，故无法比较，C,D错误.

故选：B

【变式3】(2024•四川攀枝花•二模)已知函数/(X)对VxeR都有〃x)=/(x+4)+〃2),若

函数V=〃尤+3)的图象关于直线x=-3对称，且对Vx”％e[0,2],当网片超时，都有

伍-西乂/伉)-〃西))>0,给出如下结论：①〃x)是偶函数；②"2)=0；③“X)是最

小正周期为4的周期函数；@/(3)</(-4).其中正确的结论个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性一一判定选项即可.

【详解】由函数y=/(x+3)的图象关于直线％=-3对称，

可知/(X)关于x=0对称，即/(X)是偶函数，故①正确；

由/(x)=〃x+4)+〃2)n/(-2)=〃2)=〃2)+H2)=2〃2),

即〃2)=0,故②正确;

由上可知f(x)=f(x+4),即7=4是〃x)的一个周期,

又对VX］,%e［0,2］,当国/马时，都有仇-西乂/(工2)-〃西))＞。，

即/(x)在［0,2］上单调递增，根据偶函数性质可知［-2,0］上单调递减，

则7=4是/(x)的最小正周期，故③正确；

由上面结论可知：/(3)=/(-1)＞/(0)=/(-4),故④错误.

故选：C

命题点2求函数的最值

【例题4】(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数＞=皿2》在［16,256］上的最小值为加，最大

值为“，且在等差数列｛%｝中，a2=m,a4=M,贝!］%()=()

A.17B.18C.20D.24

【答案】C

【分析】利用对数函数单调性先求出函数最小值为加，最大值为再由等差数列通项公

式求解.

【详解】因为函数N=log/在［16,256］上单调递增，

所以机=log216=4,M=log2256=8,

所以4=4,g=8,所以等差数列｛%｝的公差"=与昼=一=2,

所以《0=2+(10—2)d=4+8x2=20.

故选：C.

【变式1】(2023•全国•模拟预测)已知点尸(。1)在直线y=2x-2上，若Z=4"+(£|,则下

列选项正确的是()

A.z有最大值竽，最小值4B.z有最大值竽，没有最小值

44

c.z没有最大值，但有最小值4D.Z没有最大值也没有最小值

【答案】C

【分析】利用指数运算将z=4"+]；j化简变形为可以利用基本不等式的形式，然后利用基

本不等式并结合“2a-6=2"进行求解得到最小值，根据指数函数单调性得到没有最大值.

【详解】若点尸(。，与在直线>=2x-2上，贝1]6=2“-2,即2a-b=2,

所以z=4"+(；j=22fl+2-b>2yl22ax2-b=272^=4,

当且仅当2a=-b=l^a=~,b=-l时等号成立，此时z取得最小值4,

又因为〃。)=4"在R上单调递增，所以。一+8时半.+oo,

止匕时因为6=2。一2,所以6f+>»,而g]-0，

所以Zf+00,即没有最大值，

故选：C.

【变式2](2024•贵州・模拟预测)已知函数f(x)=2孑+2，+3,则f(x)的最大值是.

【答案】16

【分析】求出，=-/+2》+3的范围，根据复合函数的单调性求解.

【详解】由/(X)=2-+2X+3,而I=-I+2X+3=-(X-1)2+444,

因为y=2'单调递增,所以TN,则为x)的最大值是16.

故答案为：16

【变式3】(2024,陕西安康•模拟预测)已知函数〃x)=k+l|+|2x+4|.

⑴求函数〃x)的最小值；

⑵若。也。为正实数，且〃a)+〃6)+〃c)=27,求[?的最小值.

abc

【答案】⑴1

(2)9

【分析】(1)根据绝对值的性质，结合一次函数的单调性进行求解即可;

(2)根据(1)的结论，结合基本不等式进行求解即可.

—3x—5,x<一2

【详解】(1)(1)f(-^)=|x+l|+|2x+4|=<x+3,—2<x<-1,

3x+5,x>-l

f(x)在(-%-2)上单调递减，在(-2,+8)上单调递增，

所以2)=1,即当X=-2时，函数/(%)取得最小值;

(2)由(1)可得当X为正实数时，/(x)=3x+5,

则由/(〃)+/伍)+〃。)=27可得：Q+b+c=4,

149a+b+ca+b+c9(a+b+c]

所以—I---1—=-------++--

abc4Qb----------4c

1bcy(a,c\(9a9b9^

-+——+——+-+1+-+——+——+-

44a4aJybbj(4c4c4J

当且仅当小旌噜任时

246

又a+6+c=4,即当a=§,6=§,c=§=2时，等号成立.

所以±1+?4+匚9的最小值为9.

abc

命题点3解函数不等式

【例题5】(2024•内蒙古呼和浩特•一模)己知定义在R上的函数

〃x)=e，T-ei+(x-l)3+x,满足不等式“2x-4)+"2-3x)22,则x的取值范围是()

22

A.(-oo,-4]B.(-oo,2)C.(-«,-]D.[-,2)

【答案】A

【分析】根据给定条件，换元构造函数，分析函数的奇偶性、单调性，再解不等式即得.

【详解】令x—l=f,则x=f+l/eR,原函数化为/(t+l)=e'-eT+『+f+l,

4^g(0=f(t+Y)-l=e,-e~t+t123+t,显然g(-t)=e~'-e'-t3-t=-g(t),

即函数g«)是奇函数，又函数了=1/=-6一'/=「+1都是口上的增函数，

因此函数g«)是R上的增函数，不等式

f(2x-4)+/(2-3x)>2<=>fQx-4)-l+/(2-3x)-l>0,

则g(2x-5)+g(l-3x)>0g(2x-5)1-g(l-3x)=g(3x-1),

于是2x-5N3x-l,解得xW-4,

所以x的取值范围是(-%-4].

故选：A

【变式1】(2024•辽宁•模拟预测)已知〃无)是定义在R上的奇函数，g(x)=_f(x)-2e，+x

也是定义在R上的奇函数，则关于x的不等式g(l-x2)+g(2x+2)>0的解集为()

A.(-co,-l)u(3,+co)B.(-00,-3)u(1,+ao)

C.(-1,3)D.(-3,1)

【答案】A

【分析】根据g(x)为奇函数及/'(x)为偶函数可求g(x),利用导数可判断g(x)为R上的减

函数，从而可求不等式的解.

【详解】因为g(x)=/(x)-2ex+x,故/(x)-2e'+x+r(-x)-2er-x=0,

故/'(x)+/'(-x)=2e'+2eT,

因为/(x)是定义在R上的奇函数，故〃x)+〃-x)=0,

故/'(x)-7'(-x)=0,故/。)=/+b,故g(x)=-e*+ef+x,

此时g'(x)=-e「er+lW-2+l<0,故g(x)为R上的减函数，

而g(12)+g(2x+2)>0等价于g(M)>g(-2x-2),

1-x2<-lx-2§Px2-2x-3>0»故x<-l或x>3

故选：A.

【变式2】(2024•北京延庆・一模)已知函数/(x)=3工-2x-l,则不等式〃x)<0的解集是

()

A.（0,1）B.（0,+8）C.（-<»,0）D.（-8,0）U（l,+8）

【答案】A

【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在。</<1,再由函数的单调性及

/(0)=/(1)=0可得不等式的解集.

【详解】因为八x)=3ln3-2单调递增，且/'(0)=ln3-2<0,<(1)=31n3-2>0,

所以存在唯一(0,1),使得/'(x0)=0,

所以当尤<x()时，f'(x)<0,当尤>与时，f'(x)>0,

所以函数/□)在(-叫/)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，

X/(0)=/(l)=0,且

所以由〃x)<0可得O<X<1,

故选：A

【变式3】(2024•青海・一模)已知函数〃x)=e、-e-、+x,则不等式〃2加-2)+〃a+1)>0

的解集为.

【答案】［,+j

【分析】根据奇偶性定义和函数单调性的性质可化简所求不等式，得到自变量的大小关系,

解不等式即可求得结果.

【详解】'"(x)的定义域为R,〃r)=e-e;x=-〃x),

・•・/(x)为定义在R上的奇函数；

・.・y=e'与V=x均为R上的增函数，>=尸为R上的减函数，

・•・/(X)为定义在R上的增函数；

由/(2〃L2)+〃加+1)>0得：+=

2m-2>-m-l,解得：m>|,/(2加_2)+/(加+1)>0的解集为.

故答案为：［#00］，

命题点4求参数的取值范围

【例题6】(2024,湖南邵阳,二模)已知x>0,y>0,若+3孙+/+>2x+.恒成

立，则实数〃?的取值范围是.

【答案】(2后-S,+8)

【分析】根据题意，将原不等式分离参数，然后换元，由函数的单调性可得最值，即可得到

结果.

【详解】原不等式等价于加＞2x+y-j4(+3xy+/,

2x+y-J4x2+3xy+y2

令z=

一―2后+不一…

故加的范围是仅a-S,+/).

故答案为：(2夜-4,+8)

【变式1】(23-24高三上•内蒙古赤峰•开学考试)已知。＞0,且函数

/、\3a-x,x＜2

〃x)[log@-1)-"＞2在1＜上单调’贝1的取值范围是()

【答案】D

【分析】由函数解析式知函数在R上单调递减，建立不等关系解出即可.

【详解】因为函数/(x)在R上单调,

由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意,

故＞=/(x)在R上单调递减,

0<。<1

所以

3a-2>log。1-1

解得：—<«<1.

故选：D.

【变式2】(2023•陕西商洛•一模)已知函数〃x)=1是定义在R上的增函数,

I(3-a)x+2,x>1

则。的取值范围是()

A.[1,3)B.[1,2]C.[2,3)D.(0,3)

【答案】B

【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在x=l时，一次函数的值不小于二次函

数的值，然后解不等式组可求得结果.

【详解】因为/W=]是定义在R上的增函数，

[(3-a)x+2,x>1

-->1

-2

所以,3-a>0,解得

—1+2aW3—Q+2

故选：B

【变式3](2024•陕西榆林•一模)已知函数/(x)=e*-e”在[0,+功上单调递增,则。的取值

范围是()

A.[0,+<z?)B.(1,+℃)C.(e,+oo)D.[2e,+co)

【答案】B

【分析】分情况讨论，当aW0时直接代入可得函数递减；当。>0时，求导，构造函数，

g(x)=xe*,xe[0,+e),再由g'(x)=(x+l)d0得到抽象函数g(ar)Ng(x),求出aZl,最

后再讨论a=1时的情况，综合得出结果.

【详解】当时，函数〃同=y-/在[0,+功上单调递减，不符合题意，所以。>0,

由题可知/''(x)=ae"*-e*20恒成立，即ae""2^.令8(》)=苫6*6€[0,+8),

则g'(x)=(x+l)e*20,所以g(x)在[0,+动上单调递增，由ae"2ex,

可得⑪*之犹",即g(ax)2g(x),所以办2x20,所以aZl,

当a=l时，/(x)=0,不符合题意，故。的取值范围是(1,+⑹.

故选：B

1【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1.(2024•全国•模拟预测)已知函数=则使得成立的正实数。

的取值范围是()

A.B.[ofC.(0,1)D.(1,+⑹

【答案】A

【分析】根据奇偶性定义判断出/(x)为偶函数，再根据x>0上的单调性得到参数。的取值

范围.

【详解】由题意可知/(x)的定义域为R,且所以为偶

函数.

当x>。时，函数/(x)=(£|,/(x)单调递减.

若成立，则解得"-1或

又a>。,所以正实数。的取值范围是，,+sj.

故选：A.

2.(2024•吉林•二模)已知函数“xhlogzW'+lAx+VTW,则关于x的不等式

〃x+2)>〃2x)解集为()

A-IT"1心|'

，,修D/L*]

【答案】C

【分析】先求出函数的定义域为(-8,T]u[l,+8),所以定义域关于原点对称，然后得到

/(-x)=/(x),所以函数〃x)是偶函数，判断出函数在[1,+8)上的单调性得出距离y轴越

x+2>|2x|

远函数值越大，并且注意函数的定义域，得出x+2'l,解不等式组即可.

2x|>l

,----4%+1>0

【详解】由函数/（工）=1082（4"+1）-1+，/一1知：1J〉。，解得：工31或xW—l,

所以函数的定义域为：（-8,T］U［1,+8）,

因为/(-X)=1°§2(4-“+1)+%+J(—X)2_1

xA

=log2(l+4)-log24+X+J.2-1

x2X

=log2(l+4^-log22+x+J/-1

=log2(1+4、)-2x+x+J*_]

2—

=log2(1+4')—x+V^1=f(x)，

X

所以函数/(x)=log2(4+l)-x+J/_i是偶函数,

因为当时，

2

f(x)=log2(4"+1)-x+>Jx-1

=log2(4"+1)-xlog22+Jx?一i

xX2

二log2(4+l)-log22+Vx-1

2

二l0g212、++Vx-1

令£=2"+/,贝"在［1,+8）上单调递增，

且V=log2t在（0,+8）上单调递增，

所以尸log212,+g］在［1,+»）上单调递增,

因为y=Vx=1在[1,+»)上单调递增,

t7

所以/(X)=log2(4+l)-x+4=T在[1,+«)上单调递增，

所以函数/(xAlogX^+D-x+GW在上单调递减，

x+2>\2x\

11o11

因为〃x+2)>〃2x),所以x+221,解得：-<xw-或<x<2,

2%|>1322

所以不等式〃x+2)>/(2x)解集为u

故选：C

3.(2024•陕西西安•二模)已知函数/(x)=gx2-2x+lnx.若/'(。+1)27(2。-1),则。的取

值范围是()

A.(-«,-1]B.(-1,2]C.[2,+oo)D.(；,2

【答案】D

【分析】利用导数判断出函数在定义域上单调递增，根据已知转化出再解

出结果.

【详解】因为/(x)=gx2-2x+lnx,xe(0,+oo),

cr|\|.1—2x+1(%—1)八

所以/r(X)=x-2+—=--------=——L>0，

XXX

所以是(0,+8)上的增函数，所以若/(〃+1)2f(2a-1)

贝!J4+122a-1>0,解得—<a<2.

2

故选：D

4.(2024•陕西西安•模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,对任意实数x,>都有

f(x+y)=f(X)+f(y)-l,当x>0时，/«>1,且"2)=5,则关于x的不等式

/。)+〃4-3幻<6的解集为()

A.(1,+8)B.(2,+co)C.(-8,1)D.(-℃),2)

【答案】A

【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可.

【详解】任取无1<工2，

从而/（尤2）-/（再）=/（尤2-再+玉）-/（西）

=f（X2-尤Ml,

因为％2-%>0,所以八%2-无1）>1,

所以“6〃再）>0,

则“X）在R上单调递增.

不等式/«+/（4-3x）<6等价于不等式

/（x）+/（4-3x）-l<5,

HP/（x+4-3x）</（2）.

因为/（x）在R上单调递增，

所以4-2x<2,解得x>\.

故选：A.

二、多选题

5.（2024•湖北•模拟预测）已知x21,y>l,且9=4,则（）

A.14x44,\<y<4B.4<x+y<5

C.上的最小值为最大值为4D.4x+/的最小值为12

x4

【答案】BD

44

【分析】对于选项A:由已知得％=一»1,»=—>1,整理即可判断；对于选项B:结合双钩

y%

2

函数的单调性即可判断；对于选项C：结合题意可得上=匕，通过构造函数利用单调性即可

x4

判断；对于选项口:设“月=4》+/=4工+1|,借助导数分析单调性即可求最值.

44

【详解】对于选项A:由己知得x=—21,J=->1,

yx

则lVx<4,1<旌4.故A错误；

对于选项8:令》=》+九

则/=x+y=x+±在xe[l,2]单调递减，在xe[2,4）单调递增，

得4<x+><5,故B正确;

对于选项C：结合题意可得令/(力=以，

x4v74

21

则〃咒=?在昨。,4]上单调递增，得;<(v44,故C错误.

对于选项D:设MX)=4X+/=4X+£,则1卜)=4一^,

当xw[1,2]时,〃(x)单调递减，当xe[2,4)时，〃(x)单调递增，

所以力(X)1nbi=乂2)=12.故D正确.

故选:BD.

6.(2024•全国•模拟预测)6知函数/(x)对任意x/eR恒有/(x+y)=/(x)+〃力,且当

x<0时，/(x)<0,/(2)=3,则下列结论中正确的是()

A./(x)的图象关于了轴对称

B./(x)在R上单调递增

。|〃刈43的解集为[-2,2]

D.若-4<3/+研对力€[-2,2],°且-4,4]恒成立，则实数力的取值范围为

【答案】BC

【分析】对于A,对抽象函数的等式分别赋值》=了=0和^=-％即可判断了⑴是奇函数；

对于B,利用函数的单调性定义推理即得；对于C,利用A,B项分析得到的函数的奇偶性和

单调性求解抽象不等式即可；对于D,利用C的结论得出函数/(x)在12,2]上的最大值，

将〃x)-4<3/+研等价转化为3/+加+1>o在ae[-4,4]上恒成立,结合关于。的一次

函数g(a)=ma+3/+l的图象即得参数机的范围.

【详解】对于A,令x=0,y=0,得〃0)=〃0)+〃0),所以/(。)=0,令>=一%则

/(O)=/(%)+/(-%),BP/(x)+/(-x)=0,则〃=

所以/(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于原点对称，故A错误；

对于B,设再<苫2，则再一马<0，又当x<0时，/(x)<0,则有/(再-%)<°，

即/（而一%）=/（网）+〃一/2）=〃苞）一/小）＜0,则〃再）＜/（々），故/（无）在R上单调递

增，故B正确；

对于C,根据选项B可知，函数/'（x）在R上单调递增，又因为/（X）是定义在R上的奇函数,

/（2）=3,所以-2）=-3,则[〃x）归3的解集为-2,2],故C正确；

对于D,因为/'（x）在R上单调递增，所以当xe卜2,2]时，〃x）4〃2）=3,

又/（x）＜3加2+°加+4对力€[-2,2],04-4,4]恒成立，所以3加？+的+4＞3,即

3m2+am+1＞0在。e[-4,4]上恒成立，

将＞=3加+。■+1看成关于。的一次函数g（a）=ma+3/+1,则需

g（-4）=—4m+3m2+1＞0①

g（4）=4加+3/+1＞0②,'

由①可得/77＞1或加＜；,由②可得加＜-1或加〉-；，故加的范围为/77＞1或加＜-1,

故D错误.

故选：BC.

三、填空题

7.（2024•山东淄博•一模）设方程e*+x+e=0,lnx+x+e=0的根分另lj为2，q,函数

〃x）=e'+（p+q）x,令a=/（0）/=/（；：c=7'1|）,则0,b,c的大小关系为.

【答案】a＞c＞b

【分析】根据给定条件，利用反函数性质求出P+4,再计算判断即得.

【详解】由e*+x+e=0,得e*=-x-e,由lnx+x+e=0,得lnx=-x-e,

依题意，直线＞=-x-e与函数y=e，,y=ln无图象交点的横坐标分别为P，4,

而函数y=e，,y=ln无互为反函数，它们的图象关于直线V=%对称，又直线＞=f-e垂直于

直线＞=x,

因此直线＞=-x-e与函数y=e',y=lnx图象的交点关于直线＞=x对称，即点（0国）在直线

y=-x-e±,

x

则p+q=-e,f（x）=e-ex,于是"0）=1J（g）=＜1,

/(|)=e2-|e=e(Ve-|)<3x|=l,=e2-e-Ve=Ve(e-Ve-1)>0,

所以/(O)>/§)>〃；)，即a>c>6.

故答案为：a>c>b

【点睛】结论点睛：同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线〉=工对

称.

8.(2024•安徽淮北•一模)记不超过x的最大整数为[4若函数〃x)=|2x-[2x+J既有最大

值也有最小值，则实数,的值可以是(写出满足条件的一个f的值即可).

【答案】｝(答案不唯一，取内得任一值即可).

【分析】根据题意取2x+/=机+〃，meZ,«e[0,l),则”x)=|〃T，将问题转化为

g(〃)=|〃-4在区间[0,1)上既有最大值，又有最小值，然后/WO,0<Z<1,和

四种情况分析讨论即可求出答案.

【详角星】取2、+，=加+〃，mGZ,nG[0,1).

贝U/(x)=|2x-[2x+/]|=+=|n-/|.

题意等价于8(〃)=|〃—|在区间[0J)上既有最大值，又有最小值.

当K0时，g仇)=〃-在曲1)上为增函数，只有最小值g(0),无最大值；

当时，g⑺在(0,。上递减，在(⑷上递增，此时g⑼<g(l),有最小值g(。，无

最大值；

当;4f<1时，g⑺在(0,。上递减，在口)上递增，此时g(o)与g⑴，最大值为g(o),最

小值为g(f);

当此1时，ge)=r-〃在[01)上为减函数，有最大值g(o),无最小值.

综上，，的取值范围是

故答案为：!(答案不唯一，取g,"内得任一值即可)

四、解答题

9.(2023•山东•模拟预测)若函数/⑴在(0,”)上是增函数，且/(。+3)</(/+1),求。的取

值范围.

【答案】(T-l)U(2,+8)

【分析】利用函数的单调性，直接列出不等式方程组，然后计算求解.

【详解】•••函数/(X)在(0,+8)上是增函数,且/(a+3)</(/+l),

［Q+3>0、

1°2］，解得-3<。<-1或a>2,

［a+3<"+1

。的取值范围是(T-l)U(2,+8).

10.(2024•陕西宝鸡•模拟预测)已知函数/(力=外+1用2》-2卜

⑴求f(x)的最小值;

(2)若x20时，/(x)Wax+b恒成立，求a+6的最小值.

【答案】⑴3

(2)7

【分析】(1)分类讨论去掉绝对值符号后可求/(无)的最小值；

(2)就04x41、x>l分类讨论后可得a+b的最小值.

4x-l,x>1

r11

【详解】(1)由题设可得/(》)=<3,—<x<I,

2

,I

I-44x,x<——

2

当时，/(x)>3,当xV—g时，/(x)>3,

故/(x)的最小值为3.

(2)因为尤20时，f[x)<ax+b,